22.2二次函数与一元二次方程 课时练习 2025-2026学年人教版（2012）九年级数学上册

22.2二次函数与一元二次方程 课时练习 一．选择题 1．抛物线y＝ax2+bx+c中的x，y的部分对应值如下表： x … ﹣3 ﹣2 0 1 3 4 … y … 7 0 ﹣8 ﹣9 ﹣5 0 … 关于它的图象和性质，下列说法正确的是（　　） A．图象开口向下 B．对称轴是直线 C．当x＞3时，y随x的增大而增大 D．图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0）和（2，0） 2．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是﹣3，顶点坐标为（﹣1，4），则下列说法正确的是（　　） A．抛物线的对称轴是直线x＝1 B．抛物线与x轴的另一个交点的横坐标是2 C．当x＜﹣1时，y随x的增大而减小 D．抛物线与y轴的交点的纵坐标是3 3．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，则下列结论中正确的是（　　） A．4a﹣b＝0 B．4a﹣2b+c＞0 C．若点A（5，y1）、点、点在该函数图象上，则y1＜y3＜y2 D．若方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2 4．已知二次函数y＝（m﹣2）x2+2mx+m﹣3的图象与x轴有两交点，当m＞2且该函数图象与x轴两交点的横坐标x1，x2满足：﹣3＜x1＜﹣2，﹣1＜x2＜0时，则m的取值范围是（　　） A．3＜m＜11 B． C．2＜m＜3或 D． 5．已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表： x ﹣2 ﹣1 0 1 3 y 5 0 ﹣3 ﹣4 0 下列结论：①抛物线开口向上；②抛物线对称轴为直线x＝1；③ax2+bx+c＝5的另一个解是x＝4；④当﹣1＜x＜3时，y＞0；⑤抛物线与x轴的两个交点间的距离是4，其中，正确的个数（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 6．已知x1、x2是二次方程x2+bx+c＝0两个不同的根．若0＜x1＜1，0＜x2＜1，则（　　） A．c和1+b+c都小于 B．c和1+b+c至少一个小于 C．c和1+b+c都大于 D．c和1+b+c至少一个大于 7．关于抛物线y＝（x﹣2）2+4图象的性质，下列说法错误的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线x＝2 C．顶点坐标是（2，4） D．与x轴有两个交点 8．根据下表中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（　　） x 6.17 6.18 6.19 6.20 y＝ax2+bx+c ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.06 A．6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18 C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20 9．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且CD＝3．当四边形ABCD的周长最小时，点D的坐标为（　　） A．（4，3） B．（4，4） C．（4，5） D．（4，6） 10．在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝x2+（a+b）x+ab的图象与x轴有M个交点，函数y＝abx2+（a+b）x+1的图象与x轴有N个交点，则（　　） A．M＝N﹣1或M＝N+1 B．M＝N﹣1或M＝N+2 C．M＝N或M＝N+1 D．M＝N或M＝N﹣1 二．填空题 11．抛物线y＝x2+bx+c与x轴的交点坐标分别为（﹣1，0），（3，0）．当y＜0时，x的取值范围是 　 　 ． 12．已知ax2+bx+c＞0的解集为﹣1＜x＜5，写出a、b、c满足的条件 　 　 ． 13．关于x的不等式（a2﹣4a+3）x2+（a﹣1）x+1＞0恒成立，求a的范围 　 　 ． 14．已知a，b是抛物线y＝x2+2024x﹣4与x轴的两个交点的横坐标，则的值为　 　 ． 15．已知二次函数y＝（a﹣3）x2﹣4x+2的图象与x轴只有一个公共点，则a的值是 　 　 ． 16．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是　 　 ． 17．表中列出了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中部分x和y的值，则一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个较小根的范围是　 　 （两相邻整数之间）． x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … ﹣2 ﹣3 ﹣2 1 6 … 18．对于函数y＝x2﹣2|x|+c，有以下结论： ①函数图象为轴对称图形，对称轴是y轴； ②当c＝﹣3时，函数有最小值﹣3； ③若函数图象与x轴有3个交点，c＝0； ④若关于x方程x2﹣2|x|+c＝k有4个实数根，则c﹣1＜k＜c； ⑤若图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜﹣1＜x2时，y1＜y2，则x1+x2＞﹣2． 其中正确的结论是 　 　 ．（填写序号） 三．解答题 19．已知抛物线y＝﹣x2+（1﹣m）x+m与y轴交于点（0，4）． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线与x轴的交点坐标； （3）当x在什么范围时，y＞0？当x在什么范围时，y≤0？ 20．二次函数y＝ax2+bx﹣5（a≠0）的部分图象如图所示，其图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点C，且经过点D（3，﹣8）． （1）求此二次函数的解析式； （2）将此二次函数解析式配方成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并直接写出此二次函数图象的顶点坐标以及它与x轴的另一个交点B的坐标． 21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（a﹣1）x+a﹣2＝0． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若抛物线y＝x2﹣（a﹣1）x+a﹣2与x轴交于点A，B，且AB＝2，求a的值． 22．二次函数y＝x2﹣4x+c经过点（0，1）． （1）求二次函数解析式； （2）若m是该二次函数与x轴交点的横坐标，记，求M的值． 23．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称，点A的坐标为（﹣1，0）． （1）求二次函数的表达式； （2）当y＜0时，写出x的取值范围； （3）当a≤x≤a+1时，二次函数y＝x2+bx+c的最小值为2a，求a的值． 24．定义：在平面直角坐标系中一点P（m，n），点P的纵坐标n与其横坐标m的差（n﹣m）称为点P的“影差”．例如：点（1，﹣3）的“影差”为：﹣3﹣1＝﹣4． （1）二次函数y＝﹣x2+bx+c（c≠0）当x＝﹣4，x＝2时“影差”值为0． ①求b、c的值． ②求此时该二次函数点“影差”最大值． ③求该二次函数点“影差”大于5时的x的取值范围． （2）若二次函数y＝x2+bx+c（c≠0）的“影差”最小值为﹣1，点B（t，0）与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“影差”相等，求b的值． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D D B C B D C B C 二．填空题 11．解：∵a＝1＞0， ∴抛物线开口向上， ∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴的交点坐标分别为（﹣1，0），（3，0）， ∴当y＜0时，﹣1＜x＜3． 故答案为：﹣1＜x＜3． 12．解：∵ax2+bx+c＞0的解集为﹣1＜x＜5， ∴二次函数y＝ax2+bx+c的开口向下，抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（5，0）， ∴y＝a（x+1）（x﹣5）且a＜0， 即y＝ax2﹣4ax﹣5a， ∴b＝﹣4a，c＝﹣5a， 即a、b、c满足的条件为a＜0且b＝﹣4a且c＝﹣5a． 故答案为：a＜0且b＝﹣4a且c＝﹣5a． 13．解：对于二次函数y＝（a2﹣4a+3）x2+（a﹣1）x+1， 当a2﹣4a+3＞0且Δ＝（a﹣1）2﹣4（a2﹣4a+3）＜0时，y＞0， 即a2﹣4a+3＞0且3a2﹣14a+11＞0， 解方程a2﹣4a+3＝0得a1＝1，a2＝3， ∴当a＜1或a＞3时，a2﹣4a+3＞0； 解方程3a2﹣14a+11＝0得a1＝1，a2， ∴当a＜1或a时，3a2﹣14a+11＞0， ∴a的取值范围为a＜1或a． 故答案为：a＜1或a． 14．解：∵a，b是抛物线y＝x2+2024x﹣4， 与x轴的两个交点的横坐标， ∴a，b是方程x2+2024x﹣4＝0的两个解， ∴ab＝﹣4， ∴， 故答案为：0． 15．解：∵二次函数y＝（a﹣3）x2﹣4x+2的图象与x轴只有一个公共点， ∴b2﹣4ac＝16﹣8（a﹣3）＝0， ∴a＝5， 故答案为：5． 16．解：∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点， ∴方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣1，x2＝4， 故答案为：x1＝﹣1，x2＝4． 17．解：∵x＝﹣2和x＝0时，y＝﹣2， ∴对称轴为直线x＝﹣1， ∵当x＝1时，y＞0，当x＝0时，y＜0， ∴根据函数的连续性，在0～1之间，存在一个数，使y＝0， 根据抛物线的对称性，在﹣3～﹣2之间，也存在一个数，使y＝0， ∴一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个较小根的范围是﹣3＜x＜﹣2， 故答案为：﹣3＜x＜﹣2． 18．解：①函数y＝x2﹣2|x|+c与y轴交点是（0，c）， 当x≥0时，y＝x2﹣2x+c＝（x﹣1）2+c﹣1，其图象开口向上，对称轴为x＝1，最小值为c﹣1； 当x＜0时，y＝x2+2x+c＝（x+1）2+c﹣1，其图象开口向上，对称轴为x＝﹣1，最小值为c﹣1， ∴函数y＝x2﹣2|x|+c的图象关于y轴对称， 故①正确，符合题意； ②当c＝﹣3时，函数y＝x2﹣2|x|﹣3． 当x≥0时，y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，其图象开口向上，对称轴为x＝1，此时y的最小值为﹣4； 当x＜0时，y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，其图象开口向上，对称轴为x＝﹣1，此时y的最小值为﹣4， ∴当c＝﹣3时，函数的最小值是﹣4，不是﹣3， 故②错误，不符合题意； ③函数y＝x2﹣2|x|+c与x轴有3个交点， 即方程x2﹣2|x|+c＝0有3个不同的实数根， 当x≥0时，方程为x2﹣2x+c＝0； 当x＜0时，方程为x2+2x+c＝0； ∵函数图象关于y轴对称， ∴其中一个方程有一个根为0，另一个方程有两个非零根， 当x＝0时，代入y＝x2﹣2|x|+c，得c＝0， 此时方程x2﹣2|x|＝0， 即|x|（|x|﹣2）＝0， 解得x＝0或x＝2或x＝﹣2，满足与x轴有3个交点， 故③正确，符合题意； ④方程x2﹣2|x|+c＝k有4个实数根， 即函数y＝x2﹣2|x|+c与直线y＝k有4个交点， 当x≥0时，y＝x2﹣2x+c＝（x﹣1）2+c﹣1，其图象开口向上，对称轴为x＝1，最小值为c﹣1； 当x＜0时，y＝x2+2x+c＝（x+1）2+c﹣1，其图象开口向上，对称轴为x＝﹣1，最小值为c﹣1； ∵函数y＝x2﹣2|x|+c与y轴交点是（0，c）， 要使函数y＝x2﹣2|x|+c与直线y＝k有4个交点， 则c﹣1＜k＜c， 故④正确，符合题意； ⑤当x1＜﹣1＜x2时，y1＜y2， ∵函数y＝x2﹣2|x|+c在x＜0时，y＝x2+2x+c＝（x+1）2+c﹣1， 对称轴为x＝﹣1，在x＜﹣1时，y随x的增大而减小； 在x＞0时，y＝x2﹣2x+c＝（x﹣1）2+c﹣1， 对称轴为x＝1，在0＜x＜1时，y随x的增大而减小； ∴当x1＜﹣1＜x2时，y1＜y2，则﹣2＜x1＜﹣1且x1到﹣1的距离小于x2到1的距离， 当y1＝y2时，x1+x2＝﹣2或x1+x2＝0， 则结合图象可得，y1＜y2时，x1+x2＞﹣2， 故⑤正确，符合题意； 综上，正确的结论是①③④⑤． 故答案为：①③④⑤． 三．解答题 19．解：（1）∵抛物线与y轴交于点（0，4）， ∴m＝4， ∴y＝﹣x2﹣3x+4； （2）令y＝0，由﹣x2﹣3x+4＝0解得x1＝1，x2＝﹣4， ∴交点坐标为（﹣4，0）和（1，0）； （3）由y＝﹣x2﹣3x+4得a＝﹣1＜0， ∴抛物线的开口向下，与x轴的交点坐标为（﹣4，0）和（1，0）， ∴当﹣4＜x＜1时，y＞0；当x≤﹣4或x≥1时，y≤0． 20．解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣5（a≠0）图象与x轴交于点A（﹣1，0），且经过点D（3，﹣8）， ∴， 解得：， ∴此二次函数的解析式为y＝x2﹣4x﹣5； （2）y＝x2﹣4x﹣5＝x2﹣4x+4﹣4﹣5＝（x﹣2）2﹣9， 二次函数的解析式为y＝（x﹣2）2﹣9， ∴顶点坐标为（2，﹣9），对称轴为x＝2， 设另一点坐标为B（a，0）， 则﹣1+a＝2×2， 解得a＝5， ∴点B的坐标是B（5，0）． 21．（1）证明：∵一元二次方程x2﹣（a﹣1）x+a﹣2＝0， Δ＝（a﹣1）2﹣4（a﹣2） ＝a2﹣6a+9 ＝（a﹣3）2≥0， ∴方程总有两个实数根； （2）解：令y＝0，得：x2﹣（a﹣1）x+a﹣2＝0， ∴x1+x2＝a﹣1，x1x2＝a﹣2， ∴， ∵抛物线y＝x2﹣（a﹣1）x+a﹣2与x轴交于点A，B，且AB＝2， ∴|x1﹣x2|＝2， ∴， 化简为：a2﹣6a+5＝0， 解得：a＝1或5． 22．解：（1）把（0，1）代入y＝x2﹣4x+c， 解得：c＝1， ∴二次函数解析式为y＝x2﹣4x+1； （2）根据题意，得：m2﹣4m+1＝0， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．解：（1）∵二次函数的对称轴是直线x＝1， ∴1， ∴b＝﹣2， 将A（﹣1，0）代入y＝x2﹣2x+c中， 解得c＝﹣3． ∴二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点， A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1， ∴B（3，0）， ∴当﹣1＜x＜3时，y＜0， ∴当y＜0时，x的取值范围为﹣1＜x＜3； （3）①若a+1≤1，即a≤0时， 则当x＝a+1时，函数值最小， ∴（a+1）2﹣2（a+1）﹣3＝2a， 解得：a＝1或a＝1（舍去）； ②如a＜1＜a+1，即0＜a＜1时， 则当x＝1时函数值最小， ∴1﹣2﹣3＝2a， 解得：a＝﹣2（不合题意）； ③若a≥1， 则当x＝a时函数值最小， ∴a2﹣2a﹣3＝2a， 解得：a＝2或a＝2（舍去）， ∴a的值为1或2． 24．解：（1）①根据题意可得y＝﹣x2+bx+c（c≠0）经过（﹣4，﹣4），（2，2）， 把（﹣4，﹣4），（2，2）代入二次函数可得， ， 解得， 所以b＝﹣1，c＝8； ②二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣x+8， 则该二次函数点“影差”为﹣x2﹣x+8﹣x＝﹣x2﹣2x+8＝﹣（x+1）2+9， 当x＝﹣1时，该二次函数点“影差”有最大值为9； ③根据题意可得﹣x2﹣2x+8＞5， 即﹣x2﹣2x+3＞0， 令y＝﹣x2﹣2x+3，当y＝0时，0＝﹣x2﹣2x+3， 解得x1＝﹣3，x2＝1， ∴y＝﹣x2﹣2x+3与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（1，0）， ∵a＝﹣1＜0， ∴结合二次函数的图象，可得﹣x2﹣2x+8＞5的解集为﹣3＜x＜1， 即二次函数点“影差”大于5时，﹣3＜x＜1； （2）令x＝0，可得y＝c， ∴C（0，c）， ∵点B与点C的“影差”相等， ∴﹣t＝c， ∴B（﹣c，0）， 把B（﹣c，0）代入y＝x2+bx+c（c≠0），可得： 0＝c2﹣bc+c＝c（c﹣b+1）， ∵c≠0， ∴c﹣b+1＝0，即c＝b﹣1， ∴二次函数y＝x2+bx+b﹣1， ∵二次函数y＝x2+bx+c（c≠0）的“影差”最小值为﹣1， ∴x2+bx+b﹣1﹣x的最小值为﹣1， 则可得， 解得， 故b的值为或． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/9/8 18:28:33；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $