1.4 二次函数的应用 同步课堂-2025-2026学年浙教版数学九年级上册

1.4二次函数的应用 讲解目录 【知识点1】二次函数的应用 1 【知识点2】根据实际问题列二次函数关系式 2 【知识点3】图象法求一元二次方程的近似根 2 【知识点4】二次函数综合题 3 【知识点5】抛物线与x轴的交点 4 【知识点6】二次函数与不等式（组） 5 【题型1】用二次函数解决增长率问题 6 【题型2】用二次函数解决面积问题 7 【题型3】用二次函数解决固定型抛物线问题 9 【题型4】用二次函数解决商品利润问题 10 【题型5】用二次函数解决运动型抛物线问题 12 知识讲解 【知识点1】二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 1.（2023秋•苍梧县期末）在一次炮弹发射演习中，记录到一门迫击炮发射的炮弹的飞行高度y米与飞行时间x秒的关系式为，当炮弹落到地面时，经过的时间为（　　） A．40秒 B．45秒 C．50秒 D．55秒 2.（2024•宝安区模拟）古代拱桥的建筑形状类似于抛物线，某拱桥的形状可以看作是一个二次函数y=ax2-4x+3，若关于x的一元二次方程ax2-4x+2=0有两个不相等的实数根，那么a的取值范围是（　　） A．a＜2 B．a＞2 C．a＜2且a≠0 D．a≤2且a≠0 【知识点2】根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 1.（2023•大埔县开学）若正方形的边长为6，边长增加x,面积增加y,则y关于x的函数解析式为（　　） A．y=（x+6）2 B．y=x2+62 C．y=x2+6x D．y=x2+12x 2.（2024秋•东川区期中）公安部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售1500个，9月份销售y个，设7月份到9月份销售量的月增长率为x,那么y与x的函数关系是（　　） A．y=1500（1+x）2 B．y=1500（1-x）2 C．y=（1+x）2+1500 D．y=x2+1500 3.（2024秋•瑞安市校级期中）已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=-2x+80．设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（　　） A．w=（x-30）（-2x+80） B．w=x（-2x+80） C．w=30（-2x+80） D．w=x（-2x+50） 【知识点3】图象法求一元二次方程的近似根 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 1.（2024•兰州）下表是一组二次函数y=x2+3x-5的自变量x与函数值y的对应值： x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y -1 -0.49 0.04 0.59 1.16 那么方程x2+3x-5=0的一个近似根是（　　） A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3 2.（吴兴区一模）已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（　　） x … -1 0 1 2 … y … -5 1 3 1 … A．抛物线开口向上 B．抛物线与y轴交于负半轴 C．当x=3时，y＞0 D．方程ax2+bx+c=0的正根在2与3之间 3.（2024秋•长春期末）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的图象如图所示，则方程ax2+bx+c=m有实数根的条件是（　　） A．m≥-4 B．m≥0 C．m≥5 D．m≥6 【知识点4】二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 【知识点5】抛物线与x轴的交点 求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系． △=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点； △=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 1.（2024秋•清远校级期末）如表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值，则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是（　　） x .... -1 0 3 4 .... y .... 0 -5 -8 -5 .... A．图象的开口向下 B．有最小值-8 C．图象与x轴的一个交点是（5，0） D．图象的对称轴是 2.（2025•南京模拟）如图，是二次函数y=ax2+bx+c的图象，若关于x的方程ax2+bx+c=m总有一正一负两个实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＞3 B．m＜3 C．m≥3 D．m≤3 3.（2025•河东区一模）已知抛物线y=ax2-2ax+a-2（a是常数，且a≠0）与y轴正半轴交于点A，当时，y＞0；当时，y＜0．则a的值为（　　） A．-3 B．4 C．6 D．8 【知识点6】二次函数与不等式（组） 二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系 ①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围． ②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 1.（2024•市中区校级一模）如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是（　　） A．-1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜-1且x＞5 D．x＜-1或x＞5 2.（2024秋•海淀区校级期末）已知一次函数y1=kx+m（k≠0）和二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）部分自变量与对应的函数值如下表 x … -1 0 2 4 5 … y1 … 0 1 3 5 6 … y2 … 0 -1 0 5 9 … 当y2＞y1时，自变量x的取值范围是（　　） A．-1＜x＜2 B．4＜x＜5 C．x＜-1或x＞5 D．x＜-1或x＞4 题型专练 【题型1】用二次函数解决增长率问题 【典型例题】由于长期受新型冠状病毒的影响，核酸检测试剂需求量剧增，某医院去年一月份用量是8000枚，二、三两个月用量连续增长，若月平均增长率为x，则该医院三月份用核酸检测试剂的数量y（枚）与x的函数关系式是（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】一件商品的原价是240元，经过两次降价后的价格为y元，若设两次的平均降价率为x，则y与x的函数关系式是（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】据省统计局公布的数据，某省2019年第二个月总值约为7.9亿元人民币，若该省第四个月总值为y亿元人民币，平均每个月增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是   （　　） A. B. C. D. 【举一反三3】某玩具厂7月份生产玩具200万只，9月份生产该玩具y（万只）．设该玩具的月平均增长率为x，则y与x之间的函数表达式是    ． 【举一反三4】某商店一月份销售额为万元，月平均增长率（），一季度的销售额为万元，那么关于月平均增长率的函数解析式是     ． 【举一反三5】芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）． (1)求与之间的函数关系式； (2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率． 【题型2】用二次函数解决面积问题 【典型例题】九年级某班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰直角三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，如图所示，最佳方案是（    ）    A.方案1 B.方案2 C.方案3 D.面积都一样 【举一反三1】如图，在边长为10的正方形中，E，F，C，H分别是边，，，上的点，且．设A，E两点间的距离为x，四边形的面积为y，则y与x的函数图象可能为（ ） A. B. C. D. 【举一反三2】用总长为米的材料做成如图1的矩形窗框，设窗框的宽为米，窗框的面积为米2，关于的函数图象如图2，则的值是（　　） A.6 B.7 C.8 D.不能确定 【举一反三3】如图，有长为的篱笆，一边利用墙（墙长不限），则围成的花圃的面积最大为          ． 【举一反三4】用长度为8 m的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，那么这个窗户的最大透光面积为     ．    【举一反三5】某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15米）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另三边用总长40米的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长为x米，花园的面积为y平方米． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)满足条件的花园面积能否达到150平方米？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由； (3)当x是多少时，矩形场地面积y最大？最大面积是多少？ 【题型3】用二次函数解决固定型抛物线问题 【典型例题】 “卢沟晓月”是著名的北京八景之一，古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为22米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为则主桥拱最高点P与其在水中倒影之间的距离为（    ）米． A.11 B.13 C.22 D.26 【举一反三1】某水利工程公司开挖的沟渠，蓄水之后截面呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：m）．某学习小组探究之后得出如下结论，其中正确的为(   ) A. B.池底所在抛物线的解析式为 C.池塘最深处到水面的距离为3.2 m D.若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离减少为原来的 【举一反三2】随着国民经济和城市化建设的不断发展，城市道路的功能得到不断完善，复杂的城市道路网要求设置越来越多的下沉式立交桥.下沉式立交桥将相交道路设置在地面层或地上半层，主路设置在地下层或地下半层，下沉武立交桥也因此具有比高架立交景观条件好、比隧道立交造价低的特点．某下沉式立交桥的主路桥截面是抛物线形，如图以主路桥面最低点O为原点，以原点所在的水平直线为x轴建立平面直角坐标系．已知主路桥面跨径，主路桥面的最低点O到的距离为．由于下沉式立交桥的主路桥面低于周边地面且纵坡较大，所以容易出现桥面积水现象，在一次暴雨后，桥面有积水且积水跨径为，已知普通轿车的安全涉水深度大于，若一位普通轿车驾驶员能驾车从这个下沉式立交桥安全通过，则积水跨径的长度不能超过      米． 【举一反三3】如图，隧道的截面是抛物线，可以用表示，该隧道内设双行道，一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为米，宽为米，如果要安全通过隧道，应满足      ．    【举一反三4】悬索桥又名吊桥，其缆索几何形状由力的平衡条件决定，一般接近抛物线．如图1是某段悬索桥的图片，主索近似符合抛物线，从主索上设置竖直的吊索，与桥面垂直，并连接桥面承接桥面的重量，两桥塔，间距为，桥面水平，主索最低点为点P，点P距离桥面为，如图2，以的中点为原点O，所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求主索抛物线的函数表达式； (2)距离点P水平距离为和处的吊索共四条需要更换，求四根吊索总长度为多少米？ 【题型4】用二次函数解决商品利润问题 【典型例题】某海滨浴场有100把遮阳伞，每把每天收费10元时，可全部租出，若每把每天收费提高1元，则减少5把伞租出，若每把每天收费再提高1元，则再减少5把伞租出，……，为了投资少而获利大，每把伞每天应提高收费（    ） A.7元 B.6元 C.5元 D.4元 【举一反三1】某商店购进一批单价为20元的商品，若以单价30元销售，则每月可售出400件，如果销售单价每提高1元，月销售量相应减少20件，设每件商品单价涨元，月销售利润为元，可列函数为：，对所列函数下列说法错误的是（   ） A.表示涨价后商品的单价 B.表示涨价后少售出商品的数量 C.表示涨价后商品的月销售量 D.当时月利润达到最大 【举一反三2】某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）存在一次函数关系，如图所示．则最大利润是（　　）    A.180 B.220 C.190 D.200 【举一反三3】某商厦将进货单价为70元的某种商品，按销售单价100元出售时，每天能卖出20个，通过市场调查发现，这种商品的销售单价每降价1元，日销量就增加1个，为了获取最大利润，该种商品的销售单价应降       元． 【举一反三4】某商品的销售利润y与销售单价x的关系为y＝+2650，则当x=________元时，y有最       值，这个值为      元． 【举一反三5】某特产专卖店销售一种核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后经市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克． (1)若该特产专卖店希望这批核桃每天获利2240元，则销售单价应定为多少元？ (2)当定价多少元时，销售单价为多少元时该店销售核桃每天获得利润最大，最大利润是多少？ 【题型5】用二次函数解决运动型抛物线问题 【典型例题】一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮筐内，已知篮圈中心距离地面高度为，下列说法正确的是（　　）    A.篮球出手时离地面的高度是 B.篮圈中心的坐标是 C.此抛物线的顶点坐标是 D.此抛物线的解析式是 【举一反三1】小明周末外出游玩时看到某公园有一圆形喷水池，如图1，简单测量得到如下数据：圆形喷水池直径为，水池中心处立着一个圆柱形实心石柱，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈拋物线型，水柱在距水池中心处到达最大高度为，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点处汇合，小明根据图示建立了平面直角坐标系，如图2，则的高度是（ ）    A. B. C. D. 【举一反三2】如图，同学们在操场上玩跳大绳游戏，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，摇绳的甲、乙两名同学拿绳的手的间距为6米，到地面的距离与均为米，绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的垂直距离为米．身高为米的小吉站在距点О水平距离为m米处，若他能够正常跳大绳（绳子甩到最高时超过他的头顶），则m的取值范围是           ． 【举一反三3】图1所示是一个简易桶装水的取水装置，图2是其示意图．从出水口A处喷出的水流可抽象为抛物线，点C是水流与杯子底部的接触点．水流运动的高度与运动的水平距离近似满足函数关系式：． (1)求抛物线的解析式；（不必写x的取值范围） (2)为了取水便捷舒适，要将取水装置垫高，若垫高后点C离出水口的水平距离不得小于，求取水装置至少要垫高多少厘米？ 【举一反三4】如图1，一个可调节高度的喷灌架射出的水流可以近似地看成抛物线．图2是喷射出的水流在平面直角坐标系中的示意图，其中喷灌架置于点处，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）设置的是1米，当喷射出水流距离喷水头水平距离为8米时，达到最大高度5米． (1)求水流运行轨迹的函数解析式； (2)若在距喷灌架12米处有一棵米高的果树，问：水流是否会碰到这棵果树？请通过计算说明． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4二次函数的应用 讲解目录 【知识点1】二次函数的应用 1 【知识点2】根据实际问题列二次函数关系式 2 【知识点3】图象法求一元二次方程的近似根 4 【知识点4】二次函数综合题 5 【知识点6】二次函数与不等式（组） 8 【题型1】用二次函数解决增长率问题 10 【题型2】用二次函数解决面积问题 12 【题型3】用二次函数解决固定型抛物线问题 16 【题型4】用二次函数解决商品利润问题 20 【题型5】用二次函数解决运动型抛物线问题 24 知识讲解 【知识点1】二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 1.（2023秋•苍梧县期末）在一次炮弹发射演习中，记录到一门迫击炮发射的炮弹的飞行高度y米与飞行时间x秒的关系式为，当炮弹落到地面时，经过的时间为（　　） A．40秒 B．45秒 C．50秒 D．55秒 【答案】C 【分析】在y=-x2+10x中，令y=0解出x的值即可得到答案． 【解答】解：在y=-x2+10x中，令y=0得： 0=-x2+10x, 解得x=0（舍去）或x=50， ∴当炮弹落到地面时，经过的时间为50秒； 故选：C． 2.（2024•宝安区模拟）古代拱桥的建筑形状类似于抛物线，某拱桥的形状可以看作是一个二次函数y=ax2-4x+3，若关于x的一元二次方程ax2-4x+2=0有两个不相等的实数根，那么a的取值范围是（　　） A．a＜2 B．a＞2 C．a＜2且a≠0 D．a≤2且a≠0 【答案】C 【分析】由两个不相等的实数根，即可得判别式Δ＞0，继而可求得a的范围． 【解答】解：由题意得：Δ=（-4）2-4a×2＞0且a≠0， 解得：a＜2且a≠0， 故选：C． 【知识点2】根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 1.（2023•大埔县开学）若正方形的边长为6，边长增加x,面积增加y,则y关于x的函数解析式为（　　） A．y=（x+6）2 B．y=x2+62 C．y=x2+6x D．y=x2+12x 【答案】D 【分析】首先表示出原边长为6的正方形面积，再表示出边长增加x后正方形的面积，再根据面积随之增加y可列出方程． 【解答】解：原边长为6的正方形面积为：6×6=36， 边长增加x后边长变为：x+6， 则面积为：（x+6）2， ∴y=（x+6）2-36=x2+12x. 故选：D． 2.（2024秋•东川区期中）公安部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售1500个，9月份销售y个，设7月份到9月份销售量的月增长率为x,那么y与x的函数关系是（　　） A．y=1500（1+x）2 B．y=1500（1-x）2 C．y=（1+x）2+1500 D．y=x2+1500 【答案】A 【分析】利用该品牌头盔9月份的销售量=该品牌头盔7月份的销售量×（1+7月份到9月份销售量的月增长率）2，即可列出y与x的函数关系． 【解答】解：根据题意得：y=1500（1+x）2． 故选：A． 3.（2024秋•瑞安市校级期中）已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=-2x+80．设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（　　） A．w=（x-30）（-2x+80） B．w=x（-2x+80） C．w=30（-2x+80） D．w=x（-2x+50） 【答案】A 【分析】利用这种产品每天的销售利润=每千克的销售利润×每天的销售量，即可找出w与x之间的函数表达式． 【解答】解：根据题意得：w=（x-30）y, 即w=（x-30）（-2x+80）． 故选：A． 【知识点3】图象法求一元二次方程的近似根 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 1.（2024•兰州）下表是一组二次函数y=x2+3x-5的自变量x与函数值y的对应值： x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y -1 -0.49 0.04 0.59 1.16 那么方程x2+3x-5=0的一个近似根是（　　） A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3 【答案】C 【分析】观察表格可得0.04更接近于0，得到所求方程的近似根即可． 【解答】解：观察表格得：方程x2+3x-5=0的一个近似根为1.2， 故选：C． 2.（2015•吴兴区一模）已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（　　） x … -1 0 1 2 … y … -5 1 3 1 … A．抛物线开口向上 B．抛物线与y轴交于负半轴 C．当x=3时，y＞0 D．方程ax2+bx+c=0的正根在2与3之间 【答案】D 【分析】结合图表可以得出当x=0或2时，y=1，可以求出此函数的对称轴是直线x=1，顶点坐标为（1，3），借助（0，1）两点可求出二次函数解析式，从而得出抛物线的性质． 【解答】解：∵由图表可以得出当x=0或2时，y=1，可以求出此函数的对称轴是直线x=1，顶点坐标为（1，3）， ∴二次函数解析式为：y=a（x-1）2+3， 再将（0，1）点代入得：1=a（-1）2+3， 解得：a=-2， ∴y=-2（x-1）2+3， ∵a＜0 ∴A，抛物线开口向上错误，故A错误； ∵y=-2（x-1）2+3=-2x2+4x+1， 与y轴交点坐标为（0，1），故与y轴交于正半轴， 故B错误； ∵当x=3时，y=-5＜0， 故C错误； ∵方程ax2+bx+c=0，△=16+4×2×1=22＞0， 此方程有两个不相等的实数根， 由表正根在2和3之间； 故选：D． 3.（2024秋•长春期末）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的图象如图所示，则方程ax2+bx+c=m有实数根的条件是（　　） A．m≥-4 B．m≥0 C．m≥5 D．m≥6 【答案】A 【分析】利用函数图象，当m≥-4时，直线y=m与二次函数y=ax2+bx+c有公共点，从而可判断方程ax2+bx+c=m有实数根的条件． 【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为（6，-4）， 即x=6时，二次函数有最小值为-4， ∴当m≥-4时，直线y=m与二次函数y=ax2+bx+c有公共点， ∴方程ax2+bx+c=m有实数根的条件是m≥-4． 故选：A． 【知识点4】二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 【知识点5】抛物线与x轴的交点 求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系． △=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点； △=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 1.（2024秋•清远校级期末）如表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值，则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是（　　） x .... -1 0 3 4 .... y .... 0 -5 -8 -5 .... A．图象的开口向下 B．有最小值-8 C．图象与x轴的一个交点是（5，0） D．图象的对称轴是 【答案】C 【分析】由表格中的几组数求得二次函数的解析式，然后通过函数的性质即可得出结果． 【解答】解：设y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）， ， ∴， ∴y=x2-4x-5， =（x-5）（x+1） =（x-2）2-9， ∴函数的图象开口向上，顶点为（2，-9），图象与x轴的交点分别为（-1，0）和（5，0）， ∴对称轴是x=2，函数有最小值-9， ∴选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意． 故选：C． 2.（2025•南京模拟）如图，是二次函数y=ax2+bx+c的图象，若关于x的方程ax2+bx+c=m总有一正一负两个实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＞3 B．m＜3 C．m≥3 D．m≤3 【答案】A 【分析】将问题转化为：求直线y=m与抛物线有两个交点且这两个交点横坐标一正一负时，m的取值范围． 【解答】解：如图所示：当m＞3时，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=m有两个交点，且一个交点的横坐标为正，另一交点的横坐标为负．所以当关于x的方程ax2+bx+c=m总有一正一负两个实数根时，m的取值范围是m＞3． 故选：A． 3.（2025•河东区一模）已知抛物线y=ax2-2ax+a-2（a是常数，且a≠0）与y轴正半轴交于点A，当时，y＞0；当时，y＜0．则a的值为（　　） A．-3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】首先把二次函数的解析式整理成顶点坐标式，可得：y=a（x-1）2-2，所以可知抛物线的对称轴是直线x=1，根据二次函数的对称性可得：当时，y＞0，又因为当时，y＜0，可知当时，y=0，从而可得关于a的方程，解方程即可求出a的值． 【解答】解：整理可得：y=a（x-1）2-2， ∴抛物线的对称轴是直线x=1， ∵当时，y＞0； 根据抛物线的对称性可得：当时，y＞0， 又∵当时，y＜0， ∴当时，y=0， ∴， ∴a=8． 故选：D． 【知识点6】二次函数与不等式（组） 二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系 ①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围． ②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 1.（2024•市中区校级一模）如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是（　　） A．-1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜-1且x＞5 D．x＜-1或x＞5 【答案】A 【分析】先利用抛物线的对称性求出与x轴的另一个交点坐标，然后写出抛物线在x轴上方部分的x的取值范围即可． 【解答】解：由图可知，抛物线的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点为（5，0）， 所以，抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-1，0）， 所以，不等式ax2+bx+c＞0的解集是-1＜x＜5． 故选：A． 2.（2024秋•海淀区校级期末）已知一次函数y1=kx+m（k≠0）和二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）部分自变量与对应的函数值如下表 x … -1 0 2 4 5 … y1 … 0 1 3 5 6 … y2 … 0 -1 0 5 9 … 当y2＞y1时，自变量x的取值范围是（　　） A．-1＜x＜2 B．4＜x＜5 C．x＜-1或x＞5 D．x＜-1或x＞4 【答案】D 【分析】利用表中数据得到直线与抛物线的交点为（-1，0）和（4，5），-1＜x＜4时，y1＞y2，从而得到当y2＞y1时，自变量x的取值范围． 【解答】解：∵当x=-1时，y1=y2=0；当x=4时，y1=y2=5； ∴直线与抛物线的交点为（-1，0）和（4，5）， 而-1＜x＜4时，y1＞y2， ∴当y2＞y1时，自变量x的取值范围是x＜-1或x＞4． 故选：D． 题型专练 【题型1】用二次函数解决增长率问题 【典型例题】由于长期受新型冠状病毒的影响，核酸检测试剂需求量剧增，某医院去年一月份用量是8000枚，二、三两个月用量连续增长，若月平均增长率为x，则该医院三月份用核酸检测试剂的数量y（枚）与x的函数关系式是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设月平均增长率为x， 根据题意得，． 故选：B． 【举一反三1】一件商品的原价是240元，经过两次降价后的价格为y元，若设两次的平均降价率为x，则y与x的函数关系式是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设两次的平均降价率为x，根据题意得，， 故选：C． 【举一反三2】据省统计局公布的数据，某省2019年第二个月总值约为7.9亿元人民币，若该省第四个月总值为y亿元人民币，平均每个月增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是   （　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设平均每个月增长的百分率为， ∵第二个月总值约为亿元人民币， ∴第三月的总值为， ∴第四月的总值为， ∴y关于x的函数表达式是：， 故选：C． 【举一反三3】某玩具厂7月份生产玩具200万只，9月份生产该玩具y（万只）．设该玩具的月平均增长率为x，则y与x之间的函数表达式是    ． 【答案】 【解析】由题意知，8月份生产玩具万只，9月份生产该玩具万只， 依题意得，， 故答案为：． 【举一反三4】某商店一月份销售额为万元，月平均增长率（），一季度的销售额为万元，那么关于月平均增长率的函数解析式是     ． 【答案】 【解析】根据题意可得，， 故答案为：． 【举一反三5】芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）． (1)求与之间的函数关系式； (2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率． 【答案】解：（1）∵每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）, ∴依题意得：， ∴与之间的函数关系式为； （2）依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴每次降价的百分率为20%． 【题型2】用二次函数解决面积问题 【典型例题】九年级某班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰直角三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，如图所示，最佳方案是（    ）    A.方案1 B.方案2 C.方案3 D.面积都一样 【答案】C 【解析】方案1：设米，则米，    则菜园面积， 当时，此时菜园最大面积为8平方米； 方案2：如图，，    ∵， ∴菜园面积为8平方米； 方案3：半圆的半径为米， ∴此时菜园最大面积（平方米）, ∵， ∴方案3的菜园面积最大， ∴在三种方案中，最佳方案是方案3． 故选：C． 【举一反三1】如图，在边长为10的正方形中，E，F，C，H分别是边，，，上的点，且．设A，E两点间的距离为x，四边形的面积为y，则y与x的函数图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设正方形的边长为，则， ∴与的函数图象是A． 故选：A． 【举一反三2】用总长为米的材料做成如图1的矩形窗框，设窗框的宽为米，窗框的面积为米2，关于的函数图象如图2，则的值是（　　） A.6 B.7 C.8 D.不能确定 【答案】A 【解析】设窗框的长为， ， 根据函数图象，可知当时，窗框的面积最大，最大值为， 即， ； 故选A． 【举一反三3】如图，有长为的篱笆，一边利用墙（墙长不限），则围成的花圃的面积最大为          ． 【答案】48 【解析】设篱笆的宽为x米，长为米， ， ∵墙长不限， 当时，，S值最大，此时． 故答案为：48． 【举一反三4】用长度为8 m的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，那么这个窗户的最大透光面积为     ．    【答案】 m2 【解析】设宽为x m，则长为 m， 可得面积S＝x•＝﹣x2+4x， 当x＝时，S有最大值，最大值为（m2）． 故答案为： m2． 【举一反三5】某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15米）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另三边用总长40米的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长为x米，花园的面积为y平方米． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)满足条件的花园面积能否达到150平方米？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由； (3)当x是多少时，矩形场地面积y最大？最大面积是多少？ 【答案】解：（1）根据题意得：由题意可知为米， 则， ∴， 墙长15米， ， ， ， 自变量的取值范围是； （2）此花园面积能达到150平方米，理由如下： 当时，即， ， 解得：，， ， ∴. 此花园面积能达到150平方米，此时； （3）， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴当时，矩形场地面积y最大，最大面积是平方米． 【题型3】用二次函数解决固定型抛物线问题 【典型例题】 “卢沟晓月”是著名的北京八景之一，古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为22米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为则主桥拱最高点P与其在水中倒影之间的距离为（    ）米． A.11 B.13 C.22 D.26 【答案】D 【解析】由题意知，抛物线经过点，代入解析式中： 得到：， 解得， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴， ∴主桥拱最高点与其在水中倒影之间的距离为米， 故选：D． 【举一反三1】某水利工程公司开挖的沟渠，蓄水之后截面呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：m）．某学习小组探究之后得出如下结论，其中正确的为(   ) A. B.池底所在抛物线的解析式为 C.池塘最深处到水面的距离为3.2 m D.若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离减少为原来的 【答案】C 【解析】设解析式为，抛物线上点，，，带入抛物线解析式中得，解得，解析式为． 选项A中，，故选项A错误； 选项B中，解析式为，故选项B错误； 选项C中，池塘水深最深处为点，水面，，所以水深最深处为点P到水面的距离为3.2米，故选项C正确； 选项D中，若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，由抛物线关于轴对称可知，抛物线上点横坐标，带入解析式算得，即到水面距离为米，而最深处到水面的距离为3.2米，减少为原来的．故选项D错误． 故选C． 【举一反三2】随着国民经济和城市化建设的不断发展，城市道路的功能得到不断完善，复杂的城市道路网要求设置越来越多的下沉式立交桥.下沉式立交桥将相交道路设置在地面层或地上半层，主路设置在地下层或地下半层，下沉武立交桥也因此具有比高架立交景观条件好、比隧道立交造价低的特点．某下沉式立交桥的主路桥截面是抛物线形，如图以主路桥面最低点O为原点，以原点所在的水平直线为x轴建立平面直角坐标系．已知主路桥面跨径，主路桥面的最低点O到的距离为．由于下沉式立交桥的主路桥面低于周边地面且纵坡较大，所以容易出现桥面积水现象，在一次暴雨后，桥面有积水且积水跨径为，已知普通轿车的安全涉水深度大于，若一位普通轿车驾驶员能驾车从这个下沉式立交桥安全通过，则积水跨径的长度不能超过      米． 【答案】 【解析】∵，主路桥面的最低点到的距离为， ∴点A的坐标为， 设抛物线的表达式为，把点代入，得， 解得． ∴抛物线的表达式为． 令，则， 解得：，， 即：当普通轿车的安全涉水深度等于时，，，此时， ∴要想普通轿车驾驶员能驾车从这个下沉式立交桥安全通过，则积水跨径的长度不能超过米， 故答案为：． 【举一反三3】如图，隧道的截面是抛物线，可以用表示，该隧道内设双行道，一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为米，宽为米，如果要安全通过隧道，应满足      ．    【答案】 【解析】∵，汽车宽为米， ∴当时，， ∴． ∵， ∴, 故答案为：． 【举一反三4】悬索桥又名吊桥，其缆索几何形状由力的平衡条件决定，一般接近抛物线．如图1是某段悬索桥的图片，主索近似符合抛物线，从主索上设置竖直的吊索，与桥面垂直，并连接桥面承接桥面的重量，两桥塔，间距为，桥面水平，主索最低点为点P，点P距离桥面为，如图2，以的中点为原点O，所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求主索抛物线的函数表达式； (2)距离点P水平距离为和处的吊索共四条需要更换，求四根吊索总长度为多少米？ 【答案】解：（1）由图可知，点C的坐标为． 设该抛物线的函数表达式为． 又点P坐标为， ，     ， ∴主索抛物线的函数表达式为； （2）由题意，当时，， 此时吊索的长度为． 由抛物线的对称性得，当时，此时吊索的长度也为． 当时，，此时吊索的长度为． 由抛物线的对称性得，当时，此时吊索的长度也为． ， ∴四根吊索的总长度为. 【题型4】用二次函数解决商品利润问题 【典型例题】某海滨浴场有100把遮阳伞，每把每天收费10元时，可全部租出，若每把每天收费提高1元，则减少5把伞租出，若每把每天收费再提高1元，则再减少5把伞租出，……，为了投资少而获利大，每把伞每天应提高收费（    ） A.7元 B.6元 C.5元 D.4元 【答案】C 【解析】设每个遮阳伞每天应提高x元，每天获得利润为S，由此可得， S=（10+x）（100-5x）， 整理得S=-5x2+50x+1000，=-5（x-5）2+1125， ∵-5＜0, ∴当x=5时,S最小, 即为了投资少而获利大，每把伞每天应提高收费5元, 故选C． 【举一反三1】某商店购进一批单价为20元的商品，若以单价30元销售，则每月可售出400件，如果销售单价每提高1元，月销售量相应减少20件，设每件商品单价涨元，月销售利润为元，可列函数为：，对所列函数下列说法错误的是（   ） A.表示涨价后商品的单价 B.表示涨价后少售出商品的数量 C.表示涨价后商品的月销售量 D.当时月利润达到最大 【答案】A 【解析】设每件商品单价涨元，则单件价格为元，利润为元，月销量减少量为元，月销售量为元，则月销售利润是：元， 故， ∵， ∴时，月利润达到最大值， 据此选项B，C，D正确，不符合题意，选项A错误符合题意， 故选：A. 【举一反三2】某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）存在一次函数关系，如图所示．则最大利润是（　　）    A.180 B.220 C.190 D.200 【答案】D 【解析】设y=kx+b，由图象可知，， 解得：， ∴y=﹣2x+60； 设销售利润为p， 根据题意得，p=（x﹣10）y=（x﹣10）（﹣2x+60）=﹣2x2+80x﹣600， ∵a=﹣2＜0， ∴p有最大值， 当x=﹣=20时，p最大值=200． 即当销售单价为20元/千克时，每天可获得最大利润200元， 故选：D． 【举一反三3】某商厦将进货单价为70元的某种商品，按销售单价100元出售时，每天能卖出20个，通过市场调查发现，这种商品的销售单价每降价1元，日销量就增加1个，为了获取最大利润，该种商品的销售单价应降       元． 【答案】5 【解析】设利润为W元，销售单价降价x元， 由题意得， ， ∵， ∴当时，W最大， ∴为了获取最大利润，该种商品的销售单价应降5元， 故答案为：5． 【举一反三4】某商品的销售利润y与销售单价x的关系为y＝+2650，则当x=________元时，y有最       值，这个值为      元． 【答案】50；大；2650 【解析】∵<0， ∴抛物线开口向下， ∵销售利润y与销售单价x的关系为y＝﹣+2650， ∴当单价定价为每件50元时，可获得最大利润2650元． 故答案为：50，大，2650． 【举一反三5】某特产专卖店销售一种核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后经市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克． (1)若该特产专卖店希望这批核桃每天获利2240元，则销售单价应定为多少元？ (2)当定价多少元时，销售单价为多少元时该店销售核桃每天获得利润最大，最大利润是多少？ 【答案】解：（1）设每千克核桃应降价x元，则平均每天的销售利润是千克， 由题意可得， 解得， 经检验这两个解都符合题意， 此时销售单价为元或元， 所以销售单价应定为54元或56元时，该特产专卖店这批核桃每天获利2240元； （2）设每千克核桃应降价x元，每天的总利润为y元， 则 ， ， 当时， y最大，此时定价（元），且（元）， 所以当定价55元时，该店销售核桃获得利润最大，最大利润是2250元. 【题型5】用二次函数解决运动型抛物线问题 【典型例题】一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮筐内，已知篮圈中心距离地面高度为，下列说法正确的是（　　）    A.篮球出手时离地面的高度是 B.篮圈中心的坐标是 C.此抛物线的顶点坐标是 D.此抛物线的解析式是 【答案】D 【解析】由图和题意可得，抛物线的顶点坐标为， 故错误； 设抛物线的函数解析式为， ∵篮圈中心在抛物线上，将它的坐标代入上式， 得， ∴， ∴，故正确； 当时，， ∴球出手处离地面，故错误； 由图示知，篮圈中心的坐标是，故错误； ∴说法正确的是， 故选：． 【举一反三1】小明周末外出游玩时看到某公园有一圆形喷水池，如图1，简单测量得到如下数据：圆形喷水池直径为，水池中心处立着一个圆柱形实心石柱，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈拋物线型，水柱在距水池中心处到达最大高度为，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点处汇合，小明根据图示建立了平面直角坐标系，如图2，则的高度是（ ）    A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选择图2中第一象限内的抛物线求其对应的函数关系式， 由题意，得抛物线的顶点坐标为， 设抛物线对应的函数关系式为6， 将点代入，得，解得， ∴抛物线对应的函数关系式为， 当时，， ∴点的纵坐标为； 则的高度是， 故选：B． 【举一反三2】如图，同学们在操场上玩跳大绳游戏，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，摇绳的甲、乙两名同学拿绳的手的间距为6米，到地面的距离与均为米，绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的垂直距离为米．身高为米的小吉站在距点О水平距离为m米处，若他能够正常跳大绳（绳子甩到最高时超过他的头顶），则m的取值范围是           ． 【答案】 【解析】以O为坐标原点，所在直线为y轴所在直线为x轴，由题意可得， ，，， 设抛物线解析式为, 将点代入可得， ， 解得：， ∴， ∵身高为米的小吉站在距点О水平距离为m米处能够正常跳大绳， 即跳绳高度要高于米， ∴， 当时， 整理得， 解得，， 即身高为米的小吉站在距点О水平距离1米处和5米处时，绳子恰好在头顶上， ∵绳子甩到最高时要超过他的头顶， ∴， 故答案为． 【举一反三3】图1所示是一个简易桶装水的取水装置，图2是其示意图．从出水口A处喷出的水流可抽象为抛物线，点C是水流与杯子底部的接触点．水流运动的高度与运动的水平距离近似满足函数关系式：． (1)求抛物线的解析式；（不必写x的取值范围） (2)为了取水便捷舒适，要将取水装置垫高，若垫高后点C离出水口的水平距离不得小于，求取水装置至少要垫高多少厘米？ 【答案】解：（1）由已知，把点、代入， 得， 解得． ∴抛物线的解析式为； （2）设垫高，则垫高后的函数解析式为， 把代入，得， 解得， ∴为了取水便捷舒适，取水装置至少要垫高． 【举一反三4】如图1，一个可调节高度的喷灌架射出的水流可以近似地看成抛物线．图2是喷射出的水流在平面直角坐标系中的示意图，其中喷灌架置于点处，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）设置的是1米，当喷射出水流距离喷水头水平距离为8米时，达到最大高度5米． (1)求水流运行轨迹的函数解析式； (2)若在距喷灌架12米处有一棵米高的果树，问：水流是否会碰到这棵果树？请通过计算说明． 【答案】解：（1）由题可知：抛物线的顶点为， 设函数解析式为， 将点代入可得， 故解析式为； （2）当时，， 故水流不会碰到这棵果树． 学科网（北京）股份有限公司 $