1.4.3 用函数的观点看一元二次方程课件-2023—2024学年浙教版数学九年级上册

第1章 二次函数 1.4 二次函数的应用 第3课时 用函数的观点看一元二次方程 1 学习目标 2 课时导入 3 感悟新知 4 随堂检测 5 课堂小结 会运用一元二次方程求函数的图象与x轴或平行于x轴的直线的交点坐标，并用来解决相关的实际问题. 会用二次函数的图象求一元二次方程的解或近似解. 理解问题解决过程中二次函数与一元二次方程两种数学模型的转换，明确它们之间的区别与联系. 1.前面我们思考并讨论过二次函数y=ax2+bx+c和一元二次方程ax2+bx+c=0的关系，你还记得吗? 二次函数y=0 ax2+bx+c=0 (一元二次方程的一般式) 令函数值y=0的自变量x的值 方程ax2+bx+c=0的解 函数图象与x轴交点的横坐标 2.根据二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根之间的关系填表： 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac 有两个交点 两个相异的实根 b2-4ac > 0 有一个交点 两个相等的实根 b2-4ac = 0 没有交点 没有实数根 b2-4ac < 0 知识点 二次函数与一元二次方程的关系 1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解是(　　) A．x1＝1，x2＝3　　　 B．x1＝1，x2＝－3 C．x1＝－1，x2＝3 D．x1＝－1，x2＝－3 C 【分析】 抛物线与x轴的交点坐标为(－1，0)，(3，0)，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解为x1＝－1，x2＝3. 利用一元二次方程ax2+bx+c=m求二次函数图象与x轴或平行于x轴的直线的交点坐标，并解相关实际问题(如“抛物线型”)的一般思路： (1)根据题意建立直角坐标系，并求出抛物线型对应的二次函数(y=ax2+bx+c) 表达式； (2)取y=m，得一元二次方程ax2+bx+c=m ； (3)解这个方程； (4)根据实际情况写出题目答案. 要点解读 二次函数y=ax²+bx+c y=0 一元二次方程ax²+bx+c=0 两根为x1=m；x2=n 则 函数与x轴交点坐标为： （m，0）；（n，0） 反过来，也可利用二次函数的图象求一元二次方程的解。 例1 一个球从地面上竖直向上弹起时的速度为10m/s，经过t(s)时球的高度为h(m).已知物体竖直上抛运动中，h＝v0t-gt² (v0表示物体运动上弹开始时的速度，g表示重力系数，取g＝10m/s²).问球从弹起至回到地面需多少时间？经多少时间球的高度达到3.75m? 解法提醒 可以利用解一元二次方程求二次函数的图象与横轴(或平行于横轴的直线)的交点坐标. 反之，也可以利用二次函数的图象求一元二次方程的解. 【解析】根据已知条件，易求出函数表达式h = 10t－5t²和画出函数图象. h=0 弹起时间t=0 落地时间t=2 h=3.75 取h＝3.75m，得方程10t－5t²＝3.75，求出它的根，就得到球达到3.75m高度时所经过的时间. 解：由题意，得h(m)关于t(s)的二次函数表达式 为h=10t－5t². 取h=0，得一元二次方程10t－5t²=0， 解这个方程得，t1=0，t2=2. 所以球从地面弹起至回地面所需的时间为t2－t1=2(s). 取h=3.75，得一元二次方程10t－5t²=3.75. 解这个方程，得t1=0.5，t2=1.5. 答：球从地面弹起至回地面所需的时间为2s，经过0.5s或1.5s球的高度达到3.75m. 知识点 一元二次方程的解或近似解 2 (1) 将原方程变形为 x2+2x-10=0； (2) 用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图象； 利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x=10的近似根，并说出你的做法步骤. -2 O -10 -8 -6 -4 2 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x -5 5 y -12 y=x2+2x-10 (3) 观察图象，图象与x轴有两个交点，其横坐标一个在－5与－4之间，另一个在2与3之间，分别约为－4.3和2.3. (4) 写出方程x2+2x－10=0的解: 由此可知，方程x2+2x－10=0的近似根为：x1≈－4.3，x2≈2.3. -2 O -10 -8 -6 -4 2 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x -5 5 y -12 y=x2+2x-10 方程x2+2x=7的近似根呢？ 方程x2+2x=7即x2+2x－10=－3， -2 O -10 -8 -6 -4 2 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x -5 5 y -12 y=x2+2x-