22.3 实际问题与二次函数 课时练习 2025-2026学年人教版九年级数学上册

22.3实际问题与二次函数课时练习 一．选择题 1．用一条长40cm的绳子围成一个矩形的最大面积是（　　） A．50cm2 B．100cm2 C．200cm2 D．250cm2 2．二次函数y＝﹣（x﹣1）2+4的最大值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知关于x的二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）+1的最小值为k，若3＜a＜4，3＜b＜4，则k的取值范围是（　　） A． B． C．0≤k≤1 D． 4．若当﹣4≤x≤2时，二次函数的最小值为0，则m＝（　　） A． B． C． D．或 5．如图，足球训练中，小辉从球门正前方A处射门，球射向球门的路线呈抛物线，对应的函数解析式为y（米）＝a（x﹣2）2+3，已知球门高OB为2.44米，忽略其他因素，能满足球能射进球门的可能a值是（　　） A．a＝﹣0.01 B．a＝﹣0.1 C．a＝﹣0.12 D．a 6．一实心球经过的路线为如图所示的抛物线，其表达式为，则实心球的落地点B到最高点A的水平距离BC的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 7．点A（s，t）在二次函数y＝2（x﹣m）2（m为常数）的图象上，s﹣m＝t≠0．当s﹣2≤x≤s时，二次函数的最大值与最小值的差为（　　） A． B． C．4 D． 8．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30﹣x）件，要使利润最大，每件的售价应为（　　） A．24元 B．25元 C．28元 D．30元 9．在“探索二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：A（0，1），B（2，1），C（4，1），D（3，2）．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式y＝ax2+bx+c，则a+b+c的最大值等于（　　） A．﹣5 B． C．2 D．5 10．已知点P（m﹣1，n），Q（m+1，n），M（m+3，n），N（m+2，n+1），二次函数的图象经过这四个点中的三个点，得到对应的函数解析式y＝ax2+bx+c，当a的值最小时，所对应的二次函数图象所经过的点为（　　） A．点P，点Q和点M B．点P，点Q和点N C．点P，点M和点N D．点Q，点M和点N 二．填空题 11．若a≥0，b≥0，且2a+b＝2，2a2﹣4b的最小值为m，最大值为n，m+n的值为　 　 ． 12．某商场销售一批玩具，进价为50元/件，售价为60元/件时，每月可售200件．根据市场调查发现，售价每涨1元，则每个月会少售出10件（售价不能高于72元/件）．则该种玩具的售价为　 　 元/件时，该商场每个月的利润最大． 13．飞机着陆时速度快，通常借助直道滑行一段距离来保持飞机稳定．据统计某飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝80t﹣2t2，那么飞机着陆后滑行 　 　 s才能停下来． 14．某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度h（单位：m）与足球飞行的时间t（单位：s）之间具有二次函数关系，其部分图象如图所示，则足球到达最高点所需的时间是　 　 s． 15．若二次函数y＝﹣ax2+bx+2有最大值为4，则y＝a（x+1）2﹣b（x+1）﹣2的最小值是　 　 ． 16．明明看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：发现水柱距地面的高度y（m）与水柱距喷水头的水平距离x（m）之间近似满足函数关系的图象，已知水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距离地面3.2m．身高1.6m的明明站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离8m的位置，她的头顶 　 　 碰到水柱．（填“能”或“不能”） 17．图1是一个高脚杯截面图，杯体CBD呈抛物线状（杯体厚度不计），点B是抛物线的顶点，AB＝9，EF＝2，点A是EF的中点，当高脚杯中装满液体时，液面CD＝4，此时最大深度（液面到最低点的距离）为12，将高脚杯绕点F缓缓倾斜倒出部分液体，当∠EFH＝30°时停止，此时液面为GD，则液面GD到平面l的距离是 　 　 ；此时杯体内液体的最大深度为 　 　 ． 三．解答题 18．一种商品进货单价为40元，如果按50元的定价出售，卖出500个后本地市场就将饱和，同时市场调查表明，此种商品单价每上涨1元，其销售量就减少10个．为了能赚取最多的利润，售价应定为多少元？ 19．如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m．设矩形菜园的边AB的长为xm，面积为Sm2． （I）写出S关于x的函数解析式，并求出x的取值范围； （Ⅱ）当该矩形菜园的面积为72m2时，求边AB的长； （Ⅲ）当边AB的长为多少时，该矩形菜园的面积最大？最大面积是多少？ 20．某单位汽车停车棚如图1所示，棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，其中点B为棚顶外沿，MN为斜拉杆．棚顶的竖直高度y（单位：m）与距离停车棚支柱AO的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣8）2+k，其图象如图2所示，且点B（7，3.26）和点N（6，3.2）在图象上． （1）求二次函数的表达式； （2）某个数学兴趣小组研究一辆校车能否在按如图2所示的停车棚下避雨，他们将校车截面看作长CD＝5.5m，高DE＝2.8m的矩形．通过计算，发现校车不能完全停到车棚内，请你帮助兴趣小组通过计算说明理由． （3）小俊提出，若要使（2）中的校车能完全停到车棚内，且为了安全，需要保证点F与顶棚的竖直距离至少为0.5米，现需要将顶棚整体沿支柱AO（支柱可加长）向上至少提升h米，求h的值． 21．如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用抛物线y＝4x刻画，斜坡可以用直线刻画． （1）求小球落地点与点O的水平距离． （2）当小球抛出高度达到7.5m时，小球与点O的水平距离为多少？ （3）求小球与斜坡的距离的最大值． 22．如图是某公园的一座抛物线形拱桥，夏季正常水位时拱桥的拱顶到水面AB的距离为1.8m，秋季水位会下降约0.2m，此时水面CD宽度约为4.0m． （1）如图1，以AB的中点O为原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，请求出抛物线的解析式； （2）如图2，国庆节期间为装点节日的气氛，公园决定在拱桥上挂一串小彩灯，这串彩灯在拱桥中间部分EF与水面接近平行，两边自然垂下且关于抛物线的对称轴对称，彩灯两端的最低点M，N到水面CD的距离为1.4m，求这串影灯的最大长度． 23．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计滑雪爱好者滑雪轨迹问题？ 素材1 图1是某跳台滑雪场地的截面示意图．平台AB长为1米，平台AB距地面18米．以地面所在直线为x轴，过点B垂直于地面的直线为y轴，取1米为单位长度，建立如图2的平面直角坐标系．已知滑道对应的函数为． 素材2 运动员（看成点）在BA方向获得速度v米/秒后，从A处向右下飞向滑道，点M是下落过程中的某位置（忽略空气阻力）．设运动员飞出时间为t秒，运动员与点A的竖直距离为h米，运动员与点A的水平距离为l米． 素材3 实验表明：h＝6t2，l＝vt． 素材4 滑雪场规定：滑雪爱好者在飞行的过程中，若5≤x≤7时，飞行的高度与跳台滑道的垂直距离在8～10米的范围内即可获得奖励． 问题解决 任务1 确定滑道形状 根据图2，求滑道抛物线的解析式； 任务2 确定滑雪爱好者与滑道位置关系 根据图3，当v＝5，t＝1时，判断此时滑雪爱好者是否在滑道上？ 任务3 确定滑雪爱好者的滑雪方案 滑雪爱好者从A处飞出，飞出的路径近似看成函数，若该滑雪爱好者能够获得奖励，求整数t的值． 参考答案 一．选择 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B B D D D B C D 二．填空题 11．解：∵2a+b＝2， ∴b＝2﹣2a， ∴2a2﹣4b＝2a2﹣4（2﹣2a）＝2（a+2）2﹣16， ∵b≥0， ∴2﹣2a≥0， ∴a≤1， ∵a≥0， ∴0≤a≤1， ∴当a＝0时，2a2﹣4b有最小值﹣8， 当a＝1时，2a2﹣4b有最大值2， ∴m＝﹣8，n＝2， ∴m+n＝﹣6， 故答案为：﹣6． 12．解：设售价上涨x元，利润为y元，则售价为（x+60）元，销量为（200﹣10x）件， 根据题意得y＝（60+x﹣50）（200﹣10x）＝﹣10（x﹣5）2+2250， ∵﹣10＜0， ∴二次函数存在最大值，即x＝5时，y有最大值为2250， 60+5＝65（元）， ∴该种玩具的售价为65元/件时，该商场每个月的利润最大． 故答案为：65． 13．解：∵s＝80t﹣2t2＝﹣2（t﹣20）2+800， ∴当飞机着陆后滑行20s，才能停下来， 故答案为：20． 14．解：足球飞行的高度h（单位：m）与足球飞行的时间t（单位：s）之间具有二次函数关系，根据函数的图象可得抛物线的对称轴为直线， ∵函数的开口向下， ∴在x＝0.8时，足球到达最高点， 即足球到达最高点所需的时间是0.8s， 故答案为：0.8． 15．解：由题知， 因为二次函数y＝﹣ax2+bx+2有最大值为4， 所以a＞0，且抛物线顶点的纵坐标为4． 因为二次函数y＝ax2﹣bx﹣2的图象与二次函数y＝﹣ax2+bx+2的图象关于x轴对称， 所以二次函数y＝ax2﹣bx﹣2顶点的纵坐标为﹣4，且开口向上， 所以二次函数y＝ax2﹣bx﹣2有最小值﹣4． 将二次函数y＝ax2﹣bx﹣2向左平移1个单位长度可得函数y＝a（x+1）2﹣b（x+1）﹣2的图象， 所以函数y＝a（x+1）2﹣b（x+1）﹣2有最小值为﹣4． 故答案为：﹣4． 16．解：根据题意可知抛物线的顶点为（5，3.2），水柱距地面的高度y（m）与水柱距喷水头的水平距离x（m）之间近似满足函数关系， 则抛物线的解析式为， 令x＝8，则， 故她的头顶不能碰到水柱． 故答案为：不能． 17．解：以A为原点，直线EF为x轴，直线AB为y轴，建立平面直角坐标系，如图： 由题意得： A（0，0），B（0，9），C（﹣2，21），D（2，21）， 设抛物线的解析式为：y＝ax2+9， 将D（2，21）代入得： 21＝a9， 解得：a＝1， ∴y＝x2+9． 将高脚杯绕点F倾斜后，仍以A为原点，直线EF为x轴，直线AB为y轴，建立平面直角坐标系，如图： 由题意得： A（0，0），F（，0），E（，0），B（0，9），C（﹣2，21），D（2，21）， 由题可知，直线l与x轴的夹角为30°，GD∥l， ∵l经过点F（，0），且∠EFH＝30°， ∴设直线l的解析式为：yx+b， 将F（，0）代入，解得b＝﹣1， ∴yx﹣1， 又∵GD∥l， ∴kGD＝kl， ∴设直线GD的解析式为yx+p， 将D（2，21）代入，解得p＝19， ∴yx+19， ∴M（0，19），N（0，﹣1）， 过点M作MP⊥l于点P， ∵∠EFH＝30°，∠FAN＝90°， ∴∠ANF＝60°， ∴MP＝10． 过抛物线最低点Q作QL∥l，L为QL于MP的交点， 设直线QL的解析式为yx+q， 由得： x2x+9﹣q＝0， ∵只有一个交点Q， ∴Δ＝0， ∴4（9﹣q）＝0， ∴q， ∴ML＝． 故答案为：10，． 三．解答题 18．解：设每个已经涨x元时．现在销量为：（500﹣10x）个， 利润＝（500﹣10x）（x+50﹣40）＝10（50﹣x）（x+10）， ∵（50﹣x）+（x+10）＝60， 故当（50﹣x）＝（x+10）时，（50﹣x）（x+10）最大， ∴x＝20时，利润最多， 售价应定为20+50＝70（元）， 答：为涨了能赚取最多的利润，售价应定为70元． 19．解：（Ⅰ）∵AB＝CD＝xm， ∴BC＝（30﹣2x）m， 由题意得S＝x（30﹣2x）＝﹣2x2+30x（6≤x＜15）； （Ⅱ）令s＝72得：﹣2x2+30x＝72， 解得：x＝3或x＝12， 当x＝3时，30﹣2x＝24＞18， ∴x取12， 答：AB的长为12米． （Ⅲ）∵S＝﹣2x2+30x＝﹣2（x﹣7.5）2+112.5， ∴当x＝7.5时，S有最大值，S最大＝112.5， 20．解：（1）把点B（7，3.26）和点N（6，3.2）代入y＝a（x﹣8）2+k得， ， 解得， 则抛物线的表达式为：y＝﹣0.02（x﹣8）2+3.28； （2）不能，理由： 由题意得，点F的横坐标为7﹣5.5＝1.5， 当x＝1.5时，y＝﹣0.02（x﹣8）2+3.28＝2.44＜2.8， 故校车不能完全停到车棚内； （3）则新抛物线的表达式为：y＝﹣0.02（x﹣8）2+3.28+h， 由题意得，车最左上端（对应（2）中F）的横坐标为x＝1.5， 当x＝1.5时，y≥2.44， 当x＝1.5时，y＝﹣0.02（x﹣8）2+3.28+h＝2.435+h≥2.8+0.5， 则h≥0.865， 故h＝0.865米， 21．解：（1）令， 解得x1＝0，x2＝7， ∴小球落地点与点O的水平距离为7m； （2）把y＝7.5代入得， 解得x1＝3，x2＝5， 即小球与点O的水平距离为3m或5m； （3）如图，设抛物线上一点A的坐标为， 作AB⊥x轴交直线于点B，则点B的坐标为， ∴， ∵ ∴当时，AB有最大值，最大值为， ∴小球与斜坡的距离的最大值为． 22．解：（1）设抛物线的解析式为：y＝ax2+k（a≠0）， 由题意得：拱顶的坐标为（0，1.8），点D的坐标为（2，﹣0.2）， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为yx2+1.8； （2）由题意知，点F（a，a2+1.8）， ∴EF＝2a， ∵彩灯两端的最低点到水面CD的距离为1.4m，秋季水位会下降约0.2m， ∴彩灯的最低点M，N在直线y＝1.2上， ∴点N为（a，1.2）， ∴FNa2+0.6， 设彩灯的长度为w， w＝EF+2FN ＝2a﹣a2+1.2 ＝﹣a2+2a+1.2， ∵﹣1＜0， ∴a＝1时，w最大，w最大＝﹣1+2+1.2＝2.2． 答：这串彩灯的最大长度为2.2米． 23．解：（1）由题意，点A的坐标为（1，18），且点A在滑道所在的抛物线上， 将x＝1，y＝18代入，得：184+c， 解得：c， 因此滑道对应的函数表达式为yx2﹣4x； （2）当v＝5，t＝1时，h＝6t2＝6，l＝vt＝5×1＝5， 当x＝5+1＝6时，y62﹣4×65，OB﹣h＝18﹣6＝12＞5， 因此运动员此时没有落在滑道上； （3）设飞行的高度与跳台滑道的垂直距离为：y′， 则y′＝（x2x+t）﹣（x2﹣4x）（x）2+t， ∵飞行的高度与跳台滑道的垂直距离在8～10米的范围内即可获得奖励， ∴8＜t10， ∴17.7＜t＜19.7， 当t＝18或19时，该滑雪爱好者能够获得奖励． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/9/8 18:32:34；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $