1.2.1 有理数的概念 （预习讲义）2025-2026学年人教版数学七年级上册

第1章 有理数 1.2.1 有理数的概念 （预习讲义） 学习目标 1. 理解有理数的意义。 2. 能识别一个数是不是有理数。 3. 理解并掌握有理数的两种分类方法。 4. 体会数的扩充过程，培养分类思想。 知识点梳理 1. 回顾与引入 (1) 我们以前学过的数有： 1　 整数：如 1，2，3，0，-1，-2，-3 等。（包括正整数、零和负整数） 2　 分数：如 二分之一，三分之二，零点五（即二分之一），负三分之一，负零点六（即负五分之三）等。（包括正分数和负分数） (2) 这些数统称为有理数。 2. 有理数的定义 有理数：整数和分数统称为有理数。 也就是说，如果一个数可以表示成整数、或者分子和分母都是整数且分母不为零的分数的形式，那么这个数就是有理数。 3. 有理数的分类 有理数有两种常见的分类方法： (1) 分类方法一（按定义分类）： 有理数 1　 整数 a. 正整数：如 1，2，3，... b. 零：0 c. 负整数：如 -1，-2，-3，... 2　 分数 a. 正分数：如 二分之一，三分之四，五点二（即五又五分之一），... (注意：正分数是指大于零的分数) b. 负分数：如 负三分之一，负四分之五，负三点七（即负三又十分之七），... (注意：负分数是指小于零的分数) (2) 分类方法二（按性质（符号）分类）： 有理数 1　 正有理数 a. 正整数：如 1，2，3，... b. 正分数：如 二分之一，三分之四，5.2，... 2　 零：0 (注意：0 既不是正数，也不是负数) 3　 负有理数 a. 负整数：如 -1，-2，-3，... b. 负分数：如 负三分之一，负四分之五，-3.7，... 重要说明： (1) 有限小数和无限循环小数都可以化为分数，所以它们都是有理数。例如：0.3 是十分之三，0.333...（三循环）是三分之一。 (2) 0 是一个特殊的有理数，它既不是正数也不是负数。 知识点总结 1. 有理数的概念： 整数和分数统称为有理数。 2. 有理数的成员： (1) 整数（正整数、0、负整数） (2) 分数（正分数、负分数） (3) （有限小数和无限循环小数可以化为分数，因此也属于有理数） 3. 有理数的分类： (1) 按定义分：有理数分为整数和分数。 (2) 按性质（符号）分：有理数分为正有理数、0、负有理数。 4. 关键点： 0 是有理数，且 0 既不是正数也不是负数。 巩固练习 一、选择题 1．下列说法中，正确的是（　　） A．有理数不是正数就是负数 B．是无限小数，所以不是有理数 C．0是最小的整数 D．最大的负整数是 2．在中，非负数共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列说法正确的有(　　) ①正有理数是正整数和正分数的统称；②整数是正整数和负整数的统称；③有理数是正整数、负整数、正分数、负分数的统称；④0是偶数，但不是自然数；⑤偶数包括正偶数、负偶数和零. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．对于下列各数：，，，，，，其中说法错误的是（　　） A．，，都是整数 B．分数有，， C．正数有，， D．是负有理数，但不是分数 5．在、3.5、、0、、3.010010001……（每两个1之间的0个数逐次增加1）中，有理数个数共有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．下列说法中： ①0是最小的整数； ②有理数不是正数就是负数； ③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数； ④非负数就是正数； ⑤不仅是有理数，而且是分数； ⑥带“-”号的数一定是负数； ⑦无限小数不都是有理数； ⑧正数中没有最小的数，负数中没有最大的数； 其中错误的说法的个数为（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 7．下列说法正确的是（　　） A．不是分数 B．不带“”号的数都是正数 C．0是自然数也是正数 D．能写成分数形式的数称为有理数 8．下列说法正确的有（　　） A．正有理数是正整数和正分数的统称 B．整数是正整数和负整数的统称 C．有理数是正整数、负整数、正分数、负分数的统称 D．0是偶数，但不是自然数 9．在下列各数0.05，，0，2014，中，有理数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 10．有理数中，最大的负整数是　 　 ． 11．在有理数中，既不是正数也不是负数的数是　　 　 ． 12．把下列各数填入相应的大括号里 ﹣7，3.01，2008，﹣0.142，+0.1，0，99，- ①整数集：{　 　 ，…} ②负分数集：{　 　 ， …} ③正整数集：{ 　 　 ，…}． 13．在﹣5，，﹣1，﹣0.15，﹣这五个数中，与其他四个数不同的数是　 　 14．在有理数中，最大的负整数是　 　 　，最小的正整数是　　 　 ，最大的非正数是　　 　 　，最小的非负数是　 　 　，最小的非负数是　　 　 ． 15．（1）有一列数：1，-2，-3，4，-5，-6，7，-8，…．那么接下来的3个数分别是　 　 ，　 　，　 　 ； （2）有一列数：，，，，…．那么接下来的第7个数是　 　 ． 16．把下列各数填入它所属的集合内： 5.2，0，，，+（﹣4），﹣2，﹣（﹣3 ），0.25555…，﹣0.030030003… （1）分数集合：{　 　 …} （2）非负整数集合：{　 　 …} （3）有理数集合：{　 　 …} 三、解答题 17．写出同时满足下列三个条件的五个有理数：①其中三个数是整数；②其中三个数是负数；③这五个数在数轴上的点的位置都在﹣3与+3之间． 18．把下面的有理数填在相应的大括号里：（★友情提示：将各数用逗号分开）15，-，0，﹣30，0.15，﹣128，，+20，﹣2.6 正数集合﹛ 　 ﹜； 负数集合﹛ ﹜； 整数集合﹛　 ﹜； 非负数集合﹛　 ﹜． 19．把下列各数分别填入相应的大括号内： −7，3.5，−3.1415，π，0，，0.03，，10，， 自然数集合{ …}； 整数集合{ …}； 正分数集合{ …}； 非正数集合{ …}； 有理数集合{ …}． 20．有一次同学聚会，他们的座位号是：小王的座位号与下列一组数中的负数的个数相等，小李的座位号与下列一组数中的正整数的个数相等 6，，0，−200，，−5.22，−0.01，+67，，−10，300，−24． （1）试问小王、小李坐的各是第几号位置？ （2）若这次同学聚会的人数是小王的座位号的2倍与小李的座位号的4倍的和，请问这次聚会到了多少同学？ 参考答案 1．D 2．C 3．B 4．D 5．B 6．D 7．D 8．A 9．D 10．-1 11．0 12．﹣7，2008，0，99；﹣0.142，﹣；2008，99 13． 14．﹣1；1；0；0；0 15．9；-10；11； 16．5.2，，﹣2，0.25555　；0，﹣（﹣3）；5.2，0，，+（﹣4），﹣2，﹣（﹣3），0.25555 17．解：这五个有理数为：﹣1，﹣，﹣，0，1． 18．解：正数集合为：15，0.15，，+20； 负数集合为：﹣，﹣30，﹣128，﹣2.6； 整数集合为：15，0，﹣30，+20； 非负数集合为：15，0，0.15，，+20． 故答案为：15，0.15，，+20；﹣，﹣30，﹣128，﹣2.6；15，0，﹣30，+20；15，0，0.15，，+20． 19．自然数集合{ 0，10…}； 整数集合{−7，0，10…}； 正分数集合{ 3.5，，0.03…}； 非正数集合{ −7，−3.1415，0，，， …}； 有理数集合{−7，3.5，−3.1415，0，，0.03，，10，， …}． 20．（1）小王的座位号是6，小李的座位号是2 （2）20人 学科网（北京）股份有限公司 $