23.4 中位线 课件-2025-2026学年华东师大版九年级数学上册

第23章　图形的相似 23.4　中 位 线 问题1 怎样由平行线判定两个三角形相似？ 问题2 相似三角形有哪些方面的应用？你会解决下面的问 题吗？ 导入新课 观察与思考 A B C 测出MN的长，就可知A、B两点的距离. M N 在AB外选一点C，使C能直接到达A和B， 连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N. 若MN=36 m，则AB= 2MN=72 m 如果M、N两点之间还有阻隔，你有什么解决办法？ A B C E F . . D . 中位线 中线 什么是三角形的中线？ （连结顶点与对边中点的线段） 设疑：如果连结两边中点的线段呢？ 讲授新课 三角形的中位线及其性质 一 A B C D E DE是三角形ABC的 中位线. 什么叫三角形的中位线呢？ 连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. A B C 画出△ABC中所有的中位线. 画出三角形的所有中线并说出中位线和中线的区别. D E F 理解三角形的中位线定义的两层含义: ② 如果DE为△ABC的中位线，那么 D、E分别为AB、AC的 . ① 如果D、E分别为AB、AC的中点,那么DE为△ABC的 ； C B A E D 中位线 中点 在△ABC中，中位线DE和边BC什么关系? DE和边BC的关系 数量关系： 位置关系： DE∥BC A B C D E 平行 DE是BC的一半 结论：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半. D A B C E 如图：在△ABC中，D是AC的中点，E是AB的中点. 则有： DE∥BC, DE= BC. 能说出理由吗? 如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是AB的中点. 则有： DE∥BC, DE= BC. D A B C E F 用不同的方法证明 三角形中位线的性质 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半. 用符号语言表示 D A B C E ∵DE是△ABC的中位线 ∴ DE∥BC， DE= BC. 2 1 如图，△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于G．求证：　 证明:连结ED， ∵　D、E分别是边BC、AB的中点， ∴　DE∥AC， ∴　△ACG∽△DEG， ∴ ∴ 三角形的重心 二 如果在上图中，取ＡＣ的中点Ｆ，假设ＢＦ与ＡＤ交于Ｇ`，如下图，那么我们同理有， 所以有 ，即两图中的点G与G`是重合的. 于是我们有以下结论： 三角形三条边上的中线交于一点， 这个点就是三角形的重心，重心与一边 中点的连线的长是对应中线长的 . A B C D F G` A G` 归纳 1.三角形的中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2.三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半. 3.三角形的中位线性质不仅给出了中位线与第三边的关系，而且给出了它们的数量关系，在三角形中给出一边的中点时，可转化为中位线. 课堂小结 1. 如图，小张想估测被池塘隔开的A、B两处景观之间的距离，他先在AB外取一点C，然后步测出AC、BC的中点D、E，并步测出DE的长约为18m，由此估测A、B两处景观之间的距离约为（　C　） A. 18m B. 24m C. 36m D. 54m （第1题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2. 如图，在△ABC中，D、E分别是AC、BC的中点，若∠A＝45°，∠CED＝70°，则∠C的度数为（　D　） A. 45° B. 50° C. 60° D. 65° （第2题） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3. 如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是边AB的中点.已知BC＝10，则OE的长为 　5　. （第3题） 5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4. 如图，在△ABC中，AE是BC边上的中线，点G是△ABC的重心，过点G作GF∥AB交BC于点F. 若EF＝2，则BC长为 　12　. （第4题） 12　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，连结DE并延长到点F，使EF＝ED，连结CF. 求证：四边形DBCF是平行四边形. （第5题） 解：∵ D、E分别是AB、AC的中点，∴ DE是△ABC的中位线. ∴ DE∥BC，BC＝2DE. ∵ EF＝DE，∴ DF＝2DE. ∴ DF＝BC. ∴ 四边形DBCF是平行四边形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6. 如图，△ABC的周长为19，点D、E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M. 若BC＝7，则MN的长为（　C　） A. B. 2 C. D. 3 （第6题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7. 如图，在△ABC中，BD、CE分别为AC、AB边上的中线，BD⊥CE，若BD＝3，CE＝5，则△ABC的面积为（　D　） A. 20 B. 16 C. 15 D. 10 （第7题） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8. 如图，在△ABC中，D、E为边AB的三等分点，EF∥DG∥AC，H为AF与DG的交点.若AC＝6，则DH＝ 　1　. （第8题） 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），E、F分别为DM、MN的中点.若AB＝8，AD＝6，则EF长的最大值为 　5　. （第9题） 5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10. 如图，点G为△ABC的重心，过点G作BC的平行线分别交AB、AC于点D、E. 当BC＝3时，DE的长为 　2　. （第10题） 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，连结BE，F、G、H分别为BE、DE、BC的中点. （1） 求证：FG＝FH. 解：（1） ∵ AB＝AC，∴ ∠ABC＝∠C. ∵ DE∥BC， ∴ ∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠C. ∴ ∠ADE＝ ∠AED. ∴ AD＝AE. ∴ BD＝EC. ∵ F、G、H分别为BE、DE、BC的中点，∴ FG∥BD，FG＝ BD，FH∥EC，FH＝ EC. ∴ FG＝FH. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （2） 当∠A的度数为多少时，FG⊥FH？请说明理由. （第11题答案） 解：（2） 当∠A＝90°时，FG⊥FH. 理由：如图，延长FG交AC于点I. ∵ FG∥BD，∴ ∠FIC＝∠A. ∵ FH∥EC，∴ ∠FIC＋∠IFH＝180°.∵ FG⊥FH，∴ ∠IFH＝90°.∴ ∠A＝∠FIC＝90°. （第11题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12. ★如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是CD、AB的中点，直线EF分别与BC、AD的延长线相交于点G、H. 求证：∠AHF＝∠BGF. （第12题答案） 解：如图，连结AC，取AC的中点M，连结ME、MF. ∵ E是CD的中点，M是AC的中点，F是AB的中点，∴ EM ∥AD，EM＝ AD， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （第12题答案） FM∥BC，FM＝ BC. ∴ ∠MEF＝∠AHF，∠MFE＝∠BGF. 又∵ AD＝BC，∴ EM＝FM. ∴ ∠MEF＝∠MFE. ∴ ∠AHF＝∠BGF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $