1.2 二次函数的图象 同步课堂-2025-2026学年浙教版九年级数学上册

1.2二次函数的图象 讲解目录 【知识点1】二次函数的图象 1 【知识点2】二次函数图象与几何变换 2 【知识点3】二次函数图象上点的坐标特征 2 【知识点4】二次函数图象与系数的关系 3 【题型1】二次函数y=a(x-m)²＋k与y=ax²，y=a(x-m)²的图象之间的平移 4 【题型2】二次函数y=a(x-m)²的图象的相关特征 5 【题型3】二次函数y=ax²＋bx＋c与y=ax²，y=a(x-m)²，y=a(x-m)²＋k的图象之间的平移 6 【题型4】二次函数y=a(x-m)²与y=ax²图象之间的平移 6 【题型5】二次函数y=ax²的图象的相关特征 7 【题型6】二次函数y=ax²＋bx＋c的图象的相关特征 8 【题型7】二次函数y=a(x-m)²＋k的图象的相关特征 9 知识讲解 【知识点1】二次函数的图象 （1）二次函数y=ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y=ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y=ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 1.（2024秋•蚌山区月考）已知实数a,b,c满足a+b+2c=-4，2a-b-3c=8，a+b+c＜0，则（　　） A．a＞0，b2-4ac＞0 B．a＞0，b2-4ac＜0 C．a＜0，b2-4ac＞0 D．a＜0，b2-4ac＜0 2.（2024秋•龙岩期末）二次函数y=x2的图象与反比例函数的图象的交点个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【知识点2】二次函数图象与几何变换 由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 1.（2024秋•右江区期末）把抛物线y=2x2向左平移5个单位，所得抛物线的解析式为（　　） A．y=2x2+5 B．y=2x2-5 C．y=2（x+5）2 D．y=2（x-5）2 2.（2024秋•秦皇岛校级期末）将抛物线y=x2+2x向上平移2个单位后，所得新抛物线的解析式为（　　） A．y=x2+2x+2 B．y=x2+2x-2 C．y=x2-2x D．y=x2+6x+8 3.（2025•武威一模）在同一平面直角坐标系中，若抛物线y=x2-2mx+m2+2m-4向右平移2个单位后得抛物线y=（x-n）2+m-n,则符合条件的m,n的值为（　　） A．，n=-6 B．m=2，n=-4 C．m=-1，n=6 D．m=1，n=3 【知识点3】二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（-，）． ①抛物线是关于对称轴x=-成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x=． 1.（2024秋•秦皇岛期末）下列各点，在抛物线y=3（x-1）2-1的图象上的是（　　） A．（1，1） B．（1，-1） C．（-1，1） D．（-1，-1） 2.（2024秋•长宁区期末）已知二次函数y=-x2+2x+2的图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），如果x1＜x2＜0，那么y1、y2的大小关系是（　　） A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1=y2 D．无法确定 【知识点4】二次函数图象与系数的关系 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 1.（2024秋•迁安市期末）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在x=1时函数有最大值2，下面的结论不正确的是（　　） A．a＜0 B．b2-4ac＞0 C．2a+b=0 D．ac＞0 2.（2025•望花区二模）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为-2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y=ax2+b1x+c1，则下列结论正确的是（　　） A．a＜0 B．c＞0 C．a-b+c＜0 D．阴影部分的面积为4 题型专练 【题型1】二次函数y=a(x-m)²＋k与y=ax²，y=a(x-m)²的图象之间的平移 【典型例题】二次函数的图象平移后，得到二次函数图象，平移方法是（    ） A.先向左平移1个单位，再向上平移4个单位 B.先向左平移1个单位，再向下平移4个单位 C.先向右平移1个单位，再向上平移4个单位 D.先向右平移1个单位，再向下平移4个单位 【举一反三1】将二次函数的图象向下平移1个单位长度，得到的二次函数表达式为（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】将二次函数向左平移4个单位，向下平移2个单位，所得到的新函数关系式为      ． 【举一反三3】将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度．    (1)写出平移后的二次函数表达式； (2)在平面直角坐标系中画出平移后的二次函数的图象； 【举一反三4】把二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数的图象． (1)试确定h，k的值； (2)指出二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【题型2】二次函数y=a(x-m)²的图象的相关特征 【典型例题】在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】对于函数的图象，下列说法不正确的是（    ） A.开口向下 B.对称轴是 C.最高点为 D.交y轴于点 【举一反三2】与抛物线关于y轴成轴对称关系的抛物线是（　　） A. B. C. D. 【举一反三3】二次函数的图象的顶点坐标是      ． 【举一反三4】二次函数的图象不经过第        象限． 【举一反三5】写出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． (1) (2) (3)． 【举一反三6】在同一平面直角坐标系中，画出函数y=x²，y=(x+2)²，y=(x-2)²的图象，并写出对称轴及顶点坐标. 【题型3】二次函数y=ax²＋bx＋c与y=ax²，y=a(x-m)²，y=a(x-m)²＋k的图象之间的平移 【典型例题】抛物线可以由抛物线平移得到，则下列平移方法正确的是（    ） A.先向左平移2个单位，再向上平移1个单位 B.先向左平移2个单位，再向下平移1个单位 C.先向右平移2个单位，再向上平移1个单位 D.先向右平移2个单位，再向下平移1个单位 【举一反三1】将抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的解析式为（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】把二次函数y＝x²+bx+c的图象向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度后，得到的抛物线的顶点坐标为（﹣2，1），则b﹣c的值为       ． 【举一反三3】已知二次函数图象的对称轴为直线． (1)求a的值； (2)将该二次函数的图象沿x轴向右平移2个单位后得到一个新的二次函数，求新二次函数的解析式． 【题型4】二次函数y=a(x-m)²与y=ax²图象之间的平移 【典型例题】二次函数向右平移1个单位后的表达式是（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】二次函数的图象向右平移个单位后的函数为（   ） A. B. C. D. 【举一反三2】将二次函数的图象向右平移1个单位长度，则所得抛物线的解析式是（    ） A. B. C. D. 【举一反三3】二次函数向右平移1个单位得到的函数解析式为      ． 【举一反三4】已知函数，和． (1)在同一平面直角坐标系中画出它们的图象； (2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标； (3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数的图象得到函数和函数的图象. 【举一反三5】请在同一坐标系中画出二次函数①；②的图象．说出两条抛物线的位置关系，指出②的开口方向、对称轴和顶点．    【题型5】二次函数y=ax²的图象的相关特征 【典型例题】抛物线的开口方向、对称轴分别是（    ） A.向上，轴 B.向上，轴 C.向下，轴 D.向下，轴 【举一反三1】抛物线的顶点坐标是（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】已知二次函数开口向上，且，则        ． 【举一反三3】抛物线的开口方向是        ． 【举一反三4】说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点： （1）； （2）； （3）； （4）． 【题型6】二次函数y=ax²＋bx＋c的图象的相关特征 【典型例题】若二次函数的图象如图所示，则的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】已知二次函数图象如图所示，下列结论：    ①；②；③；④点都在抛物线上，则有．其中正确的结论有（　　） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【举一反三2】已知抛物线（，）的对称轴为直线．若当时，，则a的取值范围是（    ） A. B. C. D.或 【举一反三3】如图，这是二次函数的图象，则化简的结果是（    ） A. B. C. D. 【举一反三4】二次函数，经过点，对称轴l如图所示，若，，，则M，N，P中，值小于0的数有        ． 【举一反三5】抛物线经过点，则的值为      ． 【举一反三6】二次函数的图象的开口方向为      ． 【题型7】二次函数y=a(x-m)²＋k的图象的相关特征 【典型例题】根据如图所示的二次函数的图象，可以判断坐标系原点可能是（    ）    A.点A B.点B C.点C D.点D 【举一反三1】抛物线的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 【举一反三2】抛物线的对称轴是直线      ． 【举一反三3】二次函数的开口      ，对称轴      ，顶点坐标是      ． 【举一反三4】说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点： （1）； （2）； （3）； （4）． 【举一反三5】．已知抛物线. （1）该抛物线开口向      ，对称轴是      ，顶点坐标是      ， （2）在直角坐标系中画出的图象． 解：①列表：             ②描点、连线： 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2二次函数的图象 讲解目录 【知识点1】二次函数的图象 1 【知识点2】二次函数图象与几何变换 3 【知识点3】二次函数图象上点的坐标特征 4 【知识点4】二次函数图象与系数的关系 5 【题型1】二次函数y=a(x-m)²＋k与y=ax²，y=a(x-m)²的图象之间的平移 8 【题型2】二次函数y=a(x-m)²的图象的相关特征 10 【题型3】二次函数y=ax²＋bx＋c与y=ax²，y=a(x-m)²，y=a(x-m)²＋k的图象之间的平移 12 【题型4】二次函数y=a(x-m)²与y=ax²图象之间的平移 14 【题型5】二次函数y=ax²的图象的相关特征 16 【题型6】二次函数y=ax²＋bx＋c的图象的相关特征 18 【题型7】二次函数y=a(x-m)²＋k的图象的相关特征 23 知识讲解 【知识点1】二次函数的图象 （1）二次函数y=ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y=ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y=ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 1.（2024秋•蚌山区月考）已知实数a,b,c满足a+b+2c=-4，2a-b-3c=8，a+b+c＜0，则（　　） A．a＞0，b2-4ac＞0 B．a＞0，b2-4ac＜0 C．a＜0，b2-4ac＞0 D．a＜0，b2-4ac＜0 【答案】A 【分析】由题意得，可求，则a+b+c=a+4-7a+3a-4=-3a＜0，可求a＞0，设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c（a≠0），则图象开口向上，由a+b+c＜0，可知当x=1时，y=a+b+c＜0，则图象与x轴有两个交点，进而可得b2-4ac＞0． 【解答】解：设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c（a≠0）， 由题意得， 解得，， ∴a+b+c=a+4-7a+3a-4=-3a＜0， ∴a＞0， ∴则图象开口向上， ∵a+b+c＜0， ∴当x=1时，y=a+b+c＜0， ∴图象与x轴有两个交点， ∴b2-4ac＞0， 故选：A． 2.（2024秋•龙岩期末）二次函数y=x2的图象与反比例函数的图象的交点个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据二次函数和反比例函数的图象位置，画出图象，直接判断交点个数． 【解答】解：根据二次函数和反比例函数的图象位置如图： ∵二次函数y=x2的图象在一、二象限，开口向上，顶点在原点，y轴是对称轴， 反比例函数的图象在一、三象限，故两个函数的交点只有一个，在第一象限． 故选：A． 【知识点2】二次函数图象与几何变换 由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 1.（2024秋•右江区期末）把抛物线y=2x2向左平移5个单位，所得抛物线的解析式为（　　） A．y=2x2+5 B．y=2x2-5 C．y=2（x+5）2 D．y=2（x-5）2 【答案】C 【分析】先确定抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）向左平移5个单位得到对应点的坐标为（-5，0），然后根据顶点式写出平移后得抛物线解析式． 【解答】解：抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移5个单位得到对应点的坐标为（-5，0），所以平移后的抛物线的解析式为y=2（x+5）2． 故选：C． 2.（2024秋•秦皇岛校级期末）将抛物线y=x2+2x向上平移2个单位后，所得新抛物线的解析式为（　　） A．y=x2+2x+2 B．y=x2+2x-2 C．y=x2-2x D．y=x2+6x+8 【答案】A 【分析】根据上加下减的原则得出解析式即可． 【解答】解：由“上加下减“平移规律知：将抛物线y=x2+2x向上平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为y=x2+2x+2， 故选：A． 3.（2025•武威一模）在同一平面直角坐标系中，若抛物线y=x2-2mx+m2+2m-4向右平移2个单位后得抛物线y=（x-n）2+m-n,则符合条件的m,n的值为（　　） A．，n=-6 B．m=2，n=-4 C．m=-1，n=6 D．m=1，n=3 【答案】D 【分析】先把抛物线y=x2-2mx+m2+2m-4化为顶点式的形式，再根据函数图象平移的法则求出右平移2个单位后所得抛物线的解析式，写出对应系数的值即可． 【解答】解：∵抛物线y=x2-2mx+m2+2m-4化为y=（x-m）2+2m-4， ∴抛物线y=x2-2mx+m2+2m-4向右平移2个单位后得抛物线，所得抛物线的解析式为：y=（x-m-2）2+2m-4，即y=（x-n）2+m-n, ∴， 解得， 故选：D． 【知识点3】二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（-，）． ①抛物线是关于对称轴x=-成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x=． 1.（2024秋•秦皇岛期末）下列各点，在抛物线y=3（x-1）2-1的图象上的是（　　） A．（1，1） B．（1，-1） C．（-1，1） D．（-1，-1） 【答案】B 【分析】可将四个选项中的坐标代入抛物线方程中，看两边是否相等，即可判断该点是否在抛物线上． 【解答】解：A、将（1，1）代入y=3（x-1）2-1得，1≠3×02-1=-1，所以（1，1）不在y=3（x-1）2-1上，故本选项错误； B、将（1，-1）代入y=3（x-1）2-1得，-1=3×02-1，所以（1，-1）在y=3（x-1）2-1上，故本选项正确； C、将（-1，1）代入代入y=3（x-1）2-1得，1≠3×（-2）2-1=11，所以（-1，1）不在y=3（x-1）2-1上，故本选项错误； D、将（-1，-1）代入y=3（x-1）2-1得，-1≠3×（-2）2-1=11，所以（-1，-1）不在y=3（x-1）2-1上，故本选项错误． 故选：B． 2.（2024秋•长宁区期末）已知二次函数y=-x2+2x+2的图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），如果x1＜x2＜0，那么y1、y2的大小关系是（　　） A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1=y2 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【解答】解：二次函数y=-x2+2x+2的图象开口向下，对称轴为直线x=1， x＜1时，y随x的增大而增大， ∵x1＜x2＜0， ∴y1＜y2． 故选：A． 【知识点4】二次函数图象与系数的关系 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 1.（2024秋•迁安市期末）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在x=1时函数有最大值2，下面的结论不正确的是（　　） A．a＜0 B．b2-4ac＞0 C．2a+b=0 D．ac＞0 【答案】D 【分析】由抛物线开口向下，可得a＜0，即可判定A；根据抛物线与x轴有两个不同的交点，可得Δ=b2-4ac＞0，即可判定B；由对称轴为直线x=1，可判定C；根据抛物线经过原点，即可判定D，据此即可求解． 【解答】解：A、∵抛物线开口向下， ∴a＜0， 故该选项正确，不合题意； B、由函数图象可知，抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴Δ=b2-4ac＞0，故该选项正确，不合题意； C、∵抛物线的对称轴为直线x=1， ∴， ∴b=-2a, ∴2a+b=0，故该选项正确，不符合题意； D、∵抛物线经过原点， ∴c=0， ∴ac=0， 故该选项错误，符合题意； 故选：D． 2.（2025•望花区二模）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为-2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y=ax2+b1x+c1，则下列结论正确的是（　　） A．a＜0 B．c＞0 C．a-b+c＜0 D．阴影部分的面积为4 【答案】D 【分析】根据抛物线开口向上，可得a＞0，据此判断A；抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点在x轴的下方，据此判断B；根据抛物线y=ax2+bx+c的图象，可得x=-1时，y＞0，即a-b+c＞0，据此判断C；首先判断出阴影部分是一个平行四边形，然后根据平行四边形的面积=底×高，求出阴影部分的面积是多少即可判断D． 【解答】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0，故A不正确； 由图象可知c＜0，故B不正确； ∵x=-1时，y＞0， ∴a-b+c＞0， 故C不正确； ∵抛物线向右平移了2个单位， ∴平行四边形的底是2， ∵函数y=ax2+bx+c的最小值是y=-2， ∴平行四边形的高是2， ∴阴影部分的面积是：2×2=4，故D正确． 故选：D． 题型专练 【题型1】二次函数y=a(x-m)²＋k与y=ax²，y=a(x-m)²的图象之间的平移 【典型例题】二次函数的图象平移后，得到二次函数图象，平移方法是（    ） A.先向左平移1个单位，再向上平移4个单位 B.先向左平移1个单位，再向下平移4个单位 C.先向右平移1个单位，再向上平移4个单位 D.先向右平移1个单位，再向下平移4个单位 【答案】C 【解析】将抛物线向右平移1个单位，再向上平移4个单位后， 得到抛物线，即， 故选：C． 【举一反三1】将二次函数的图象向下平移1个单位长度，得到的二次函数表达式为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】将二次函数的图象向下平移1个单位长度，得：， 故选：． 【举一反三2】将二次函数向左平移4个单位，向下平移2个单位，所得到的新函数关系式为      ． 【答案】 【解析】抛物线向左平移4个单位可得，再向下平移2个单位可得， 故答案为：. 【举一反三3】将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度．    (1)写出平移后的二次函数表达式； (2)在平面直角坐标系中画出平移后的二次函数的图象； 【答案】解：（1）将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度后所得的抛物线解析式为； （2）列表如下： 函数图象如下所示：    【举一反三4】把二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数的图象． (1)试确定h，k的值； (2)指出二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】解：（1）∵把二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到的二次函数解析式为， ∴； （2）二次函数开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 【题型2】二次函数y=a(x-m)²的图象的相关特征 【典型例题】在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据二次函数的顶点坐标为，它的顶点坐标在x轴上， 故选：C． 【举一反三1】对于函数的图象，下列说法不正确的是（    ） A.开口向下 B.对称轴是 C.最高点为 D.交y轴于点 【答案】B 【解析】对于函数的图象， ∵， ∴开口向下，对称轴，最高点的坐标是顶点坐标， 时，， 交y轴于点， 故A、C、D正确， 故选：B． 【举一反三2】与抛物线关于y轴成轴对称关系的抛物线是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】抛物线的顶点坐标为， 关于y轴对称的抛物线的顶点坐标为， 与抛物线关于y轴成轴对称关系的抛物线是． 故选：C． 【举一反三3】二次函数的图象的顶点坐标是      ． 【答案】 【解析】∵二次函数的解析式的顶点式为， ∴二次函数的图象的顶点坐标是， 故答案为：. 【举一反三4】二次函数的图象不经过第        象限． 【答案】三、四 【解析】∵二次函数顶点，开口向上， ∴图象不经过第三、四象限， 故答案为：三、四． 【举一反三5】写出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． (1) (2) (3)． 【答案】解：（1）∵抛物线， ∴开口向下，对称轴是，顶点坐标为； （2）∵抛物线， ∴开口向上，对称轴是，顶点坐标为； （3）∵抛物线， ∴开口向上，对称轴是，顶点坐标为． 【举一反三6】在同一平面直角坐标系中，画出函数y=x²，y=(x+2)²，y=(x-2)²的图象，并写出对称轴及顶点坐标. 【答案】解：函数图象如图所示： 抛物线y=x²的对称轴是直线x=0,顶点坐标为(0,0). 抛物线y=(x+2)²的对称轴是直线x=-2,顶点坐标为(-2,0). 抛物线y=(x-2)²的对称轴是直线x=2,顶点坐标为(2,0). 【题型3】二次函数y=ax²＋bx＋c与y=ax²，y=a(x-m)²，y=a(x-m)²＋k的图象之间的平移 【典型例题】抛物线可以由抛物线平移得到，则下列平移方法正确的是（    ） A.先向左平移2个单位，再向上平移1个单位 B.先向左平移2个单位，再向下平移1个单位 C.先向右平移2个单位，再向上平移1个单位 D.先向右平移2个单位，再向下平移1个单位 【答案】D 【解析】， 抛物线可以由抛物线先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到， 故选：D． 【举一反三1】将抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的解析式为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】， 将抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的解析式为， 故选：C． 【举一反三2】把二次函数y＝x²+bx+c的图象向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度后，得到的抛物线的顶点坐标为（﹣2，1），则b﹣c的值为       ． 【答案】﹣2 【解析】∵抛物线的顶点坐标为（﹣2，1）， ∴﹣﹣1＝﹣2，c﹣﹣2＝1， 解得：b＝2，c＝4， ∴b﹣c＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【举一反三3】已知二次函数图象的对称轴为直线． (1)求a的值； (2)将该二次函数的图象沿x轴向右平移2个单位后得到一个新的二次函数，求新二次函数的解析式． 【答案】解：（1）∵二次函数图象的对称轴为直线, ∴，解得． （2）∵， ∴， ∴平移后为：． ∴新二次函数的解析式为． 【题型4】二次函数y=a(x-m)²与y=ax²图象之间的平移 【典型例题】二次函数向右平移1个单位后的表达式是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】将二次函数向右平移1个单位后的解析式是， 故选：A． 【举一反三1】二次函数的图象向右平移个单位后的函数为（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】二次函数的图象向右平移个单位后的函数为． 故选：A． 【举一反三2】将二次函数的图象向右平移1个单位长度，则所得抛物线的解析式是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】将二次函数的图象向右平移1个单位长度，则所得抛物线的解析式是， 故选：B． 【举一反三3】二次函数向右平移1个单位得到的函数解析式为      ． 【答案】 【解析】∵抛物线顶点坐标为， ∴向右平移1个单位后，顶点坐标为， ∴平移后抛物线解析式为：． 故答案为． 【举一反三4】已知函数，和． (1)在同一平面直角坐标系中画出它们的图象； (2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标； (3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数的图象得到函数和函数的图象. 【答案】解：（1）如图所示： （2）开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为， 开口向上，对称轴为，顶点坐标为， 开口向上，对称轴为，顶点坐标为； （3）由抛物线向左平移1个单位，由抛物线向右平移1个单位. 【举一反三5】请在同一坐标系中画出二次函数①；②的图象．说出两条抛物线的位置关系，指出②的开口方向、对称轴和顶点．    【答案】解：列表： 描点： 连线，如图． 由图象可知，①向左平移两个单位得到②， ∴②的开口方向向上，对称轴是，顶点坐标为（2，0）． 【题型5】二次函数y=ax²的图象的相关特征 【典型例题】抛物线的开口方向、对称轴分别是（    ） A.向上，轴 B.向上，轴 C.向下，轴 D.向下，轴 【答案】B 【解析】， 抛物线开口向上， ， 对称轴为轴． 故选：B． 【举一反三1】抛物线的顶点坐标是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】二次函数的图象的顶点坐标为． 故选：C． 【举一反三2】已知二次函数开口向上，且，则        ． 【答案】5 【解析】∵二次函数开口向上， ∴， ∵, ∴或, ∴或, 又∵, ∴． 故答案为：5． 【举一反三3】抛物线的开口方向是        ． 【答案】向上 【解析】∵在中，， ∴抛物线的开口方向是向上． 故答案为：向上． 【举一反三4】说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】解：（1）∵抛物线解析式为, ∴a＝3＞0， ∴抛物线y＝3x²的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标是（0，0）； （2）∵抛物线解析式为：， ∴a＝-3＜0， ∴抛物线y＝-3x²的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标是（0，0）； （3）∵抛物线解析式为：， ∴a＝, ∴抛物线y＝x²的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标是（0，0）； （4）∵抛物线解析式为：， ∴a＝， ∴抛物线y＝x²的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标是（0，0）． 【题型6】二次函数y=ax²＋bx＋c的图象的相关特征 【典型例题】若二次函数的图象如图所示，则的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据二次函数图象与轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在轴左边可得同号，故， 所以的图象大致是：抛物线开口向上，图象与轴的负半轴相交，对称轴在轴右边，故选项B符合题意． 故选：B． 【举一反三1】已知二次函数图象如图所示，下列结论：    ①；②；③；④点都在抛物线上，则有．其中正确的结论有（　　） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【答案】B 【解析】∵抛物线开口向上， ∴， ∵， ∴， ∵抛物线交y轴于负半轴， ∴， ∴，故①正确， ∵，， ∴， ∴，故②正确， ∵时，， ∴， ∵时，， ∴， ∴， ∴，故③正确， ∵点都在抛物线上， 观察图象可知，故④错误． 综上，正确的结论是①②③， 故选：B． 【举一反三2】已知抛物线（，）的对称轴为直线．若当时，，则a的取值范围是（    ） A. B. C. D.或 【答案】A 【解析】∵（，）的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【举一反三3】如图，这是二次函数的图象，则化简的结果是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵二次函数开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线与x轴的一个交点坐标在直线和直线之间， ∴抛物线与x轴的另外一个交点坐标在直线和直线之间， ∴当时，， ∴， ∴ ， 故选：A． 【举一反三4】二次函数，经过点，对称轴l如图所示，若，，，则M，N，P中，值小于0的数有        ． 【答案】M，N 【解析】∵二次函数，经过点， ∴， ∴， ∵二次函数与y轴交于正半轴，开口向下， ∴，， ∴； ∵对称轴与x轴的交点的横坐标在到0之间， ∴， ∴， ∴，， 故答案为：M，N． 【举一反三5】抛物线经过点，则的值为      ． 【答案】 【解析】把点代入, 得：， 化简得：， , 故答案为：． 【举一反三6】二次函数的图象的开口方向为      ． 【答案】向上 【解析】在中， ， 二次函数的图象的开口方向向上， 故答案为：向上． 【题型7】二次函数y=a(x-m)²＋k的图象的相关特征 【典型例题】根据如图所示的二次函数的图象，可以判断坐标系原点可能是（    ）    A.点A B.点B C.点C D.点D 【答案】A 【解析】由题意得：二次函数的顶点坐标为， ∴在点的左下方位置的点A可能是坐标系原点. 故选：A． 【举一反三1】抛物线的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵抛物线， ∴该抛物线的顶点坐标是． 故选：A． 【举一反三2】抛物线的对称轴是直线      ． 【答案】7 【解析】抛物线的对称轴是直线， 故答案为：7． 【举一反三3】二次函数的开口      ，对称轴      ，顶点坐标是      ． 【答案】向上；直线； 【解析】， 该函数的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标为， 故答案为：向上，直线，． 【举一反三4】说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】解：（1），开口向上，对称轴是直线x＝－3，顶点坐标是（－3，5）； （2），开口向下，对称轴是直线x＝1，顶点坐标是（1，－2）； （3），开口向上，对称轴是直线x＝3，顶点坐标是（3，7）； （4），开口向下，对称轴是直线x＝－2，顶点坐标是（－2，－6）． 【举一反三5】．已知抛物线. （1）该抛物线开口向      ，对称轴是      ，顶点坐标是      ， （2）在直角坐标系中画出的图象． 解：①列表：             ②描点、连线：    【答案】解：（1）因为抛物线为，所以该抛物线开口向向下，对称轴是x=2，顶点坐标是(2,3)；   （2）①列表： ②  描点、连线： 学科网（北京）股份有限公司 $