23.3第5课时　相似三角形的应用课件　2025-2026学年华东师大版九年级数学上册

23.3　相似三角形 第5课时　相似三角形的应用 第23章　图形的相似 据史料记载,古希腊数学家,天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理,在金字塔影子的顶部立一根木杆.借助太阳光线构成两个相似三角形,来测量金字塔的高度. 如图,如果木杆EF长2m,它的影长FD为3m,测OA长为201m,求金字塔的高度BO. 讲授新课 利用相似三角形测量高度 一 解：太阳光是平行的光线,因此∠BAO=∠EDF. 因此金字塔的高为134m. 如图,如果木杆EF长2m,它的影长FD为3m,测OA长为201m,求金字塔的高度BO. 又 ∠AOB=∠DFE=90°， ∴△ABO∽△DEF. A F E B O ┐ ┐ 还可以有其他方法测量吗？ OB EF = OA AF △ABO∽△AEF OB = OA · EF AF 平面镜 如图,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标点P,在河的这一边取点Q和S,使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直,接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T,确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点为R.如果测得QS=45m,ST=90m,QR=60m,求河的宽度PQ. 利用相似三角形测量宽度 二 因此河宽大约为90m. 测距的方法 测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解. 方法归纳 例：已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和CD=12m,两树的根部的距离BD=5m,一个身高1.6m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路从左向右前进,当他与左边较低的树的距离小于多少时,就不能看到右边较高的树的顶端点? 典例精析 分析:如图,设观察者眼睛的位置(视点)为点F(EF近似为人的身高),画出观察者的水平视线FG ,它交AB、 CD于点H 、 K.视线FA、 FG的夹角∠ AFH是观察点A的仰角.能看到C点．类似地, ∠ CFK是观察点C时的仰角,由于树的遮挡,区域Ⅰ和Ⅱ都在观察者看不到的区域(盲区)之内.再往前走就根本看不到C点了. 解：如图，假设观察者从左向右走到点E时，他的眼睛的位置点F与两棵树的顶端点 A、C恰在一条直线上． 由此可知，如果观察者继续前进，即他与左边的树的距离小于８m时，由于这棵树的遮挡，右边树的顶端点C在观察者的盲区之内，观察者看不到它． 1. 相似三角形的应用主要有两个方面： （1）测高 测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解. （不能直接使用皮尺或刻度尺测量） （不能直接测量的两点间的距离） 测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决. （2）测距 课堂小结 1. 如图，为了测量某棵树的高度，小刚用长为2m的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距6m，与树相距15m，那么这棵树的高度为（　B　） A. 5m B. 7m C. 7.5m D. 21m （第1题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2. 如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，为了测量A、B两点之间的距离，小天想了一个办法：在地上取一点C，使它可以直接到达A、B两点，连结AC、BC，在AC上取一点M，使AM＝3MC，作MN∥AB交BC于点N，测得MN＝38m，则A、B两点之间的距离为 　152　m. （第2题） 152　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，交AB于点H. 求证：DE·BA＝BC·DH. （第3题） 解：∵ DE⊥AB，DF⊥BC，∴ ∠DEH＝∠BFH＝90°.∴ ∠D＋∠DHE＝∠B＋∠BHF＝90°. ∵ ∠DHE＝∠BHF，∴ ∠D＝∠B. 又∵ ∠DEH＝∠C＝90°，∴ △DEH∽△BCA. ∴ ＝ . ∴ DE·BA＝BC·DH. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4. 新情境·日常生活 如图，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行.张强戴着帽子（人与帽子的总高度约2.2m）乘电梯刚好安全通过，则根据图中数据计算这两层楼之间的高约为（　A　） A. 5.5m B. 6.2m C. 11m D. 12.2m （第4题） A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5. 如图，在离某建筑物4m处有一棵树AB，在某时刻，1.2m长的竹竿A'B'垂直于地面，影长B'B为2m，此时，树AB的影子有一部分映在地面上，还有一部分映在建筑物的墙上，墙上的影长CD为2m，则这棵树AB的高为（　C　） A. 6.4m B. 5.4m C. 4.4m D. 3.4m （第5题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6. 凸透镜成像的原理如图所示，AD∥l∥BC. 在凸透镜左侧，若物体到焦点F1的距离与焦点F1到凸透镜中心线DB的距离之比为5∶4，则物体AH与缩小的实像CG的高度之比为 　5∶4　. （第6题） 5∶4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7. 新考向·传统文化 《九章算术》是我国古代数学著作，奠定了中国传统数学的基本框架.其中记载：“今有邑东西七里，南北九里，各中开门.出东门一十五里有木.问出南门几何步而见木？”译文如下：今有一座矩形小城（如图），东西方向城墙长7里，南北方向城墙长9里，各城墙正中均开一扇城门.走出东门15里处有棵树，问走出南门多少步，恰好能看见这棵树？请你计算：走出南门 　315　步，恰好能看见这棵树（注：1里＝300步）. 315　 （第7题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8. 如图，小云想要测量窗外的环保宣传牌AB的高度，她发现早上阳光恰好从窗户的最高点C处射进房间的地板点F处，中午的阳光恰好从窗户的最低点处射进房间的地板点E处，小云测得窗户距地面的高度OD＝1m，窗高CD＝1.5m，并测得OE＝1m，OF＝3m.请根据以上测量数据，求出环保宣传牌AB的高度. （第8题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解：∵ DO⊥BF，∴ ∠DOE＝90°.∵ OD＝OE＝1m，∴ ∠DEB＝45°.∵ AB⊥BF，∴ ∠ABE＝90°.∴ ∠BAE＝45°＝∠AEB. ∴ AB＝BE. 设AB＝BE＝xm.∵ AB⊥BF，CO⊥BF，∴ ∠ABF＝ ∠COF＝90°.∴ AB∥CO. ∴ △ABF∽△COF. ∴ ＝ .又∵ CO＝CD＋OD＝1.5＋1＝2.5（m），BF＝BE＋EF＝BE＋（OF－OE）＝（x＋2）m，∴ ＝ ，解得x＝10.∴ 环保宣传牌AB的高度是10m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 $