23.3第4课时　相似三角形的性质课件　2025-2026学年华东师大版九年级数学上册

23.3　相似三角形 第4课时　相似三角形的性质 第23章　图形的相似 如图，△ ∽△ABC，相似比为k，分别作BC， 上的高AD， ．求证： 证明: ∵△ ∽△ABC， ∴ ∠B′= ∠B． 又∵ =∠ADB =90°， ∴△ ∽△ABD. (两角对应相等的两个三角形相似) 从而 (相似三角形的对应边成比例) 讲授新课 相似三角形对应线段（高、中线、角平分线）的比 一 相似三角形的对应边上的高的比等于相似比. 类似地，可以证明相似三角形对应边上的中线，对应角的平分线的比也等于相似比. 因而，相似三角形的对应高、中线、角平分线的比等于相似比. 一般地，我们有： 相似三角形对应线段的比等于相似比. 相似三角形的性质定理1： 归纳 如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？两个相似多边形呢？ A B C A' B' 如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，那么 因此 AB＝k A'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A' C' 相似三角形周长的比 二 从而 相似三角形周长的比等于相似比. 相似多边形周长的比等于相似比. 归纳 同理得： 如图，△ABC∽△A' B' C' ，相似比为k，它们的面积比是多少？ A B C A' B' C' D' D 解：如图，分别作出△ABC和△A' B' C' 的高AD和A' D' ． ∵ ∠ADB =∠A' D' B' ∠B＝∠B' ∴ △ADB∽△A' D' B' 相似三角形面积的比等于相似比的平方 三 相似三角形面积的比等于相似比的平方． 归纳 2.判断 （1）一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三角形的周长也扩大为原来的5倍； 解： （1）一个三角形各边扩大为原来5倍，相似比为1：5 扩大5倍周长＝5×原周长 （2）一个三角形各边扩大为原来9倍，相似比为1：9 边长扩大9倍四边形＝81倍原四边形的的面积 （2）一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这个四边形的面积也扩大为原来的9倍． 3. 蛋糕店制作两种圆形蛋糕，一种半径是15cm,一种半径是30cm，如果半径是15cm的蛋糕够2个人吃，半径是30cm的蛋糕够多少人吃（假设两种蛋糕高度相同）？ 两种蛋糕是相似的， 相似比是1：2， 面积的比为 设半径是30cm的蛋糕够x人吃 1：4＝2：x x = 8 答：半径是30cm的蛋糕够8个人吃． 解： 4. 在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原图中的2cm变成了6cm，这次复印的放缩比例是多少？这个多边形的面积发生了怎样的变化？ 解： 放大比例为 1.相似三角形的对应高，中线，角平分线的比等于相似比. 一般地，我们有： 相似三角形对应线段的比等于相似比. 2.相似三角形周长的比等于相似比； 相似多边形周长的比等于相似比. 3.相似三角形面积的比等于相似比的平方; 相似多边形面积的比等于相似比的平方. 课堂小结 1. 若两个相似三角形对应边上的中线之比为3∶1，则对应角的平分线之比为（　C　） A. 9∶1 B. 6∶1 C. 3∶1 D. ∶1 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2. 如图，在▱ABCD中，点E在边DC上，DE∶EC＝3∶1，连结AE，交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为（　D　） A. 3∶4 B. 1∶3 C. 1∶9 D. 9∶16 （第2题） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3. 已知△ABC与△DEF相似，且对应的高线之比为2∶3.若△ABC的周长为40，则△DEF的周长是 　60　. 4. 已知△ABC∽△DEF，且它们的面积比为9∶4.若△ABC的最短边的长为4.5cm，则△DEF的最短边的长为 　3　cm. 60　 3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5. 如图，D、E分别是AC、AB上的点，∠ADE＝∠B，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，AD＝3，AB＝5. （1） 求 的值. 解：（1） ∵ ∠DAE＝∠BAC，∠ADE＝∠B， ∴ △ADE∽△ABC. 由题意，得AF、AG分别为△ADE和△ABC对应边上的高.∴ ＝ ＝ . （第5题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2） 求△ADE与△ABC的周长之比. 解：（2） 由（1），得△ADE∽△ABC. ∴ △ADE的周长∶△ABC的周长＝AD∶AB＝3∶5. （第5题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （3） 若△ADE的面积为4，求△ABC的面积. 解：（3） 由（1），得△ADE∽△ABC. ∴ ＝ ＝ ＝ .∵ S△ADE＝4，∴ ＝ . ∴ S△ABC＝ . （第5题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD∶DB＝2∶3，若△ADE的周长为2a，则△ABC的周长为（　C　） A. 3a B. 9a C. 5a D. 25a （第6题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7. ★如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DE∥AC. 若S△BDE∶S△CDE＝1∶4，则S△BDE∶S△ACD等于（　C　） A. 1∶16 B. 1∶18 C. 1∶20 D. 1∶24 （第7题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8. 如图，在▱ABCD中，AD＝10cm，CD＝6cm，E为AD上一点，且BE＝BC，CE＝CD，BM平分∠EBC交CE于点M，CN平分∠ECD交AD于点N，则 的值是 　 　. （第8题） 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，D是边AC上的一点，过点D作DF∥AB，交BC于点F，作∠BAC的平分线交DF于点E，连结BE. 若△ABE的面积是2，则 的值是 　 　. （第9题） 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10. 如图，E为▱ABCD的BC边的延长线上一点，AE与BD交于点F，与DC交于点G. （1） 若CG∶GD＝1∶2，求△ABE与△GDA的周长比. 解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ ∠ABE＝∠GDA，AB∥CD，AB＝CD. ∴ ∠BAE＝∠DGA. ∴ △ABE∽△GDA. ∵ CG∶GD＝1∶2，∴ GD∶CD＝2∶3.∴ AB∶GD＝CD∶GD＝3∶2，即△ABE与△GDA的周长比为3∶2. （第10题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2） 若△ABE与△GDA的面积比是k∶1（k＞1），求 的值. 解：（2） 由（1），知△ABE∽△GDA. ∴ ＝ .∵ △ABE与△GDA的面积比是k∶1（k＞1），∴ ＝ ＝ .∴ ＝ .∴ ＝ .∴ ＝ ＝ －1. （第10题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. 如图，在△ABC中，点D在BC上，连结AD，使得∠CAD＝∠B，DC＝3，且S△ACD∶S△ADB＝1∶2. （1） 求线段AC的长. 解：（1） ∵ S△ACD∶S△ADB＝1∶2，∴ BD＝2DC. ∵ DC＝3，∴ BD＝2×3＝6.∴ BC＝BD＋DC＝6＋3＝9.∵ ∠B＝∠CAD，∠C＝∠C， ∴ △ABC∽△DAC. ∴ ＝ ，即 ＝ .∴ AC＝3 . （第11题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2） 若将△ADC沿直线AD翻折，使点C落在点E处，AE交边BC于点F，且AB∥DE，求 的值. 解：（2） 由翻折的性质，得∠E＝∠C，DE＝DC＝3.∵ AB∥DE，∴ ∠B＝∠EDF. ∵ ∠CAD＝∠B，∴ ∠EDF＝∠CAD. ∴ △EFD∽△CDA. ∴ ＝ ＝ ＝ . （第11题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $