13.3三角形的内角与外角 同步课时练习 2025-2026学年人教版八年级数学上册

13.3三角形的内角与外角 同步课时练习 一．选择题 1．如图，∠2＝136°，∠3＝∠4，∠5＝∠6，则∠1为（　　） A．108° B．136° C．98° D．92° 2．如图，已知∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E等于（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 3．如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝56°，AD⊥BC，DE∥AC．则∠ADE的度数为（　　） A．56° B．46° C．44° D．34° 4．如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝108°，则∠DAC的度数为（　　） A．80° B．82° C．84° D．86° 5．已知△ABC中，∠A＝50°，则图中∠1+∠2的度数为（　　） A．180° B．220° C．230° D．240° 6．如图，直线AB∥CD，连接BC，点E是BC上一点，∠A＝15°，∠C＝27°，则∠AEC的大小为（　　） A．27° B．42° C．45° D．70° 7．如图，∠ACD是△ABC的一个外角，CE平分∠ACD，F为CA延长线上的一点，FG∥CE，交AB于点G，若∠1＝70°，∠2＝36°，则∠3＝（　　） A．36° B．40° C．34° D．70° 8．如图，在△ABC中，∠1＝120°，∠2＝50°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠C的度数是（　　） A．40° B．35° C．50° D．45° 9．如图，在△ABC中，E，F分别是AB，AC上的点，且EF∥BC，AD是∠BAC的平分线，分别交EF，BC于点H，D，则∠1、∠2和∠3之间的数量关系为（　　） A．∠1＝∠2+∠3 B．∠1＝2∠2+∠3 C．∠1﹣∠2＝∠2﹣∠3 D．∠1+∠2＝2∠3 10．如图，将三角板DEF的直角放置在△ABC内，恰好三角板的两条直角边分别经过点B，C．若∠A＝55°，则∠ABD+∠ACD＝（　　） A．35° B．45° C．55° D．60° 二．填空题 11．三角形的三个内角度数比为1：2：3，则三个外角的度数比为　 　 ． 12．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠ACB＝42°，D为边BC延长线上一点，BF平分∠ABC，E为射线BF上一点．若直线CE垂直于△ABC的一边，则∠BEC的度数为 　 　 ． 13．如图，在△ABC中，∠B＝32°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是　 　 度． 14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝52°，将其折叠，使点A落在边BC上的点E处，CA与CE重合，折痕为CD，则∠EDB的度数是 　 　 ． 15．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝　 　 °． 16．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝　 　 度． 17．如图，将△ABC沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处，若∠1＝129°，则∠2的度数为 　 　 ． 三．解答题 18．如图，在△ABC中，E、G分别是AB、AC上的点，F、D是BC上的点，连接EF、AD、DG，AD∥EF，∠1+∠2＝180°． （1）说明：AB∥DG； （2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝3∠B+40°，求∠B的度数． 19．如图，已知点D、F、E、G都在△ABC的边上EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝70°，求∠AGD的度数．（请任下面的空格处填写理由或数学式） 解：∵EF∥AD．（已知） ∴∠2＝　 　 （ 　 　 ） ∵∠1＝∠2．（已知） ∴∠1＝　 　 （ 　 　 ） ∴　 　 ∥　 　 ，（ 　 　 ） ∴∠AGD+　 　 ＝180°，（两直线平行，同旁内角互补） ∵　 　 ，（已知） ∴∠AGD+70°＝180°（等量代换） ∴∠AGD＝　 　 ． 20．如图，在△ABC中，AD是角平分线，∠B＝40°，∠C＝70°， （1）求∠BAD的度数． （2）过点A作BC边上的高AE，垂足为E，求∠EAD的度数． 21．引入概念1：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 引入概念2：从不等边三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形．若分成的两个小三角形中一个是满足有两个角相等的三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． 【理解概念】： （1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”． ①　 　 ；②　 　 ． （2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°．请你说明CD是△ABC的等角分割线． 【应用概念】： （3）在△ABC中，若∠A＝40°，CD为△ABC的等角分割线，请你直接写出所有可能的∠B度数． 22．已知，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是边AC，BC上的点，点P是斜边AB上一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α． （1）如图①所示，当点P运动至∠α＝50°时，则∠1+∠2＝　 　 ； （2）如图②所示，当P运动至AB上任意位置时，试探求∠α，∠1，∠2之间的关系，并说明理由． 23．数学课上，胡老师带领班上的同学探索三角形内角和定理的证明方法．已知：如图，△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°，机智的同学们想出了如下两种思路： 方法一：如图，过点A作DE∥BC：方法二：如图，过点C作CD∥AB， 请你选择其中一种思路，完成证明． 24．【问题背景】 （1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B＝∠C+∠D； 【简单应用】 （2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD．∠BCD，若∠ABC＝35°，∠ADC＝15°，求∠P的度数； 【问题探究】 （3）如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC＝35°，∠ADC＝29°，请猜想∠P的度数，并说明理由． 【拓展延伸】 （4）在图4中，若设∠C＝α，∠B＝β，∠CAP∠CAB，∠CDP∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为：　 　 （用α、β表示∠P，不必说明理由） 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A C C B C B C A 二．填空题 11．5：4：3． 12．9°、51°、129°． 13．64． 14．14°． 15．30°． 16．540． 17．51°． 三．解答 18．证明：（1）由题意可知， ∠BEF＝∠1，∠BFE＝∠ADB， ∴∠BEF+∠BFE＝∠1+ADB， ∴180°﹣（∠BEF+∠BFE）＝180°﹣（∠1+ADB）， 即∠B＝∠GDC， ∴AB∥DG． 解：（2）∵DG是∠ADC的平分线，且AB∥DG， ∴∠1＝∠GDC＝∠B， ∵∠2＝3∠B+40°， ∴180°﹣∠1＝3∠B+40°， ∴180°﹣∠B＝3∠B+40°， ∴∠B＝35°． 19．解：∵EF∥AD．（已知） ∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等） ∵∠1＝∠2．（已知） ∴∠1＝∠3（等量代换） ∴DG∥AB，（内错角相等，两直线平行） ∴∠AGD+∠BAG＝180°，（两直线平行，同旁内角互补） ∵∠BAC＝70°，（已知） ∴∠AGD+70°＝180°（等量代换） ∴∠AGD＝110°． 故答案为：∠3；两直线平行，同位角相等；∠3；等量代换；DG；AB； 内错角相等，两直线平行；∠BAG；∠BAC＝70°；110° 20．解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝70°， ∴∠BAC＝180°﹣40°﹣70°＝70°， ∵AD是角平分线， ∴∠BAD， （2）∵∠B＝40°，∠C＝70°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣40°﹣70°＝70°， ∵AE是高， ∴∠BAE＝90°﹣40°＝50°， ∴∠EAD＝∠BAE﹣∠BAD＝50°﹣35°＝15°． 21．（1）解：△ABC与△ACD，△ABC与△CBD是“等角三角形”； 故答案为：△ABC与△CBD，△ACD与△CBD； （2）证明：∵在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝60°， ∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝80°， ∵CD为角平分线， ∴∠ACD＝∠DCB∠ACB＝40°， ∴∠ACD＝∠A，∠DCB＝∠A， ∴CD＝DA， 在△DBC中，∠DCB＝40°，∠B＝60°， ∴∠BDC＝180°﹣∠DCB﹣∠B＝80°， ∴∠BDC＝∠ACB， ∵CD＝DA，∠BDC＝∠ACB，∠DCB＝∠A， ∠B＝∠B， ∴CD为△ABC的等角分割线； （3）解：当△ACD是等腰三角形，如图2，DA＝DC时，∠ACD＝∠A＝40°， ∴∠ACB＝∠BDC＝40°+40°＝80°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝60°； 当△ACD是等腰三角形，如图3，DA＝AC时，∠ACD＝∠ADC＝70°， ∠BCD＝∠A＝40°， ∴∠ACB＝70°+40°＝110°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝30°； 当△ACD是等腰三角形，CD＝AC的情况不存在， 当△BCD是等腰三角形，如图4，DC＝BD时，∠ACD＝∠BCD＝∠B， ∵∠A+∠B+∠ACB＝180°， ∴∠B， 当△BCD是等腰三角形，如图5，DB＝BC时，∠BDC＝∠BCD， 设∠BDC＝∠BCD＝x， 则∠B＝180°﹣2x， 则∠ACD＝∠B＝180°﹣2x， 由题意得，180°﹣2x+40°＝x， 解得x°， ∴∠B＝180°﹣2x＝（）°， 当△BCD是等腰三角形，CD＝CB的情况不存在， 综上，∠B的度数为60°；30°；（）°；（）°． 22．解：（1）∵在四边形CEPD中，根据四边形内角和360°，可得 ∠CEP+∠CDP＝360°﹣90°﹣50°＝220°． 又∠CEP+∠2+∠CDP+∠1＝360°， ∴∠1+∠2＝360°﹣（∠CEP+∠CDP）＝360°﹣220°＝140°． 故答案为140°； （2）在四边形CEPD中，∠C+∠CEP+∠α+∠CDP＝360°， ∴∠C+∠α＝360°﹣∠CEP﹣∠CDP． 又∵∠CEP+∠2+∠CDP+∠1＝360°， ∴∠1+∠2＝360°﹣∠CEP﹣∠CDP． ∴∠C+∠α＝∠1+∠2， 即∠1+∠2＝90°+∠α． 23．证明：方法一：∵DE∥BC， ∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE， ∵∠BAD+∠BAC+∠CAE＝180°． ∴∠B+∠BAC+∠C＝180°； 方法二：∵CD∥AB， ∴∠A＝∠ACD，∠B+∠BCD＝180°． ∴∠B+∠ACB+∠A＝180°． 24．（1）证明：在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB＝180°，在△COD中，∠C+∠D+∠COD＝180°， ∵∠AOB＝∠COD， ∴∠A+∠B＝∠C+∠D； （2）解：∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4 由（1）的结论得： ， ∴2∠P+∠1+∠3＝∠2+∠4+∠ABC+∠ADC， ∴∠P（∠ABC+∠ADC）， ∵∠ABC＝35°，∠ADC＝15°， ∴∠P＝25°； （3）解：如图3， ∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠PAD＝180°﹣∠2，∠PCD＝180°﹣∠3， ∵∠P+（180°﹣∠1）＝∠ADC+（180°﹣∠3），∠P+∠1＝∠ABC+∠4， ∴2∠P＝∠ABC+∠ADC， ∠ABC＝35°，∠ADC＝29°， ∴∠P（∠B+∠D）（35°+29°）＝32°； （4）解：同法可得，∠Pαβ； 故答案为：∠Pαβ． 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