精品解析：2023年浙江省第四届初中生学科素养测评数学试题

2023年第四届初中生学科素养测评数学试题卷 九年级 考生须知： 1．本次考试采用网上阅卷，务必要正确填涂准考证号，准考证号填涂时需用2B铅笔． 2．答题前，在答题纸左侧考生信息栏中填写学校、姓名、指导老师等信息． 3．作答必须用黑色墨迹签字笔或钢笔填写，答案必须写在答题纸上，答题时不得超出答题框，否则无效． 4．保持卷面清洁，不要折叠，不要弄破． 5．考试结束后，试题卷和答题纸一并上交． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 若，则（ ） A. 6 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查负指数幂的运算法则以及完全平方公式．先根据负指数幂的运算法则将a、b化简，再利用完全平方公式计算的值． 【详解】解：， ， ， ． ． 故选：A． 2. 将0，1，2，3四个组成无重复数字的四位数，将这些四位数从大到小排列，那么第10个数为（ ） A. 2013 B. 2031 C. 2103 D. 2130 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了数字变化类，根据0不能作为千位上的数可知有三种情况选择，分别是1，2，3，根据题意列出四位数，并结合题意即可求解． 【详解】解：将0，1，2，3四个数组成无重复数字的四位数，千位为1时有：； 千位为2时有：； 千位为3时有：； ∴ 第10个四位数为2103． 故选：C． 3. 已知n为实数，点在二次函数的图象上．若，，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】依据题意，由二次函数为，又，从而令，则，故或，又二次函数的图象开口向下，故当时，对应的点在函数的图象上的轴上方的部分，进而可以得解．本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 【详解】解：由题意，二次函数为， 又， 令，则． 或． 又二次函数的图象开口向下， 当时，对应的点在函数的图象上的轴上方的部分． ． 故选：． 4. 点位于所在的平面内，使得，，的面积相等，满足题意的点有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线性质，平行四边形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．当点在外部时，过点作的平行线，点作的平行线，过点作的平行线，三线相交于，，，可证，这样的点有3个；当点在内部时，当点在三角形重心位置时，也符合题意，从而得出答案． 【详解】解：当点在外部时，过点作的平行线，点作的平行线，过点作的平行线，三线相交于，，，如图所示： ，， 四边形是平行四边形， 同理可知，，，也符合题意； 那么当点在外部时，点有三个； 当点在内部时，作三角形的中线，三条中线相交于点，如图所示： 是的中线， ， 是的中线， ， ， ， 同理可证，， 当点位于点所在位置，符合题意； 那么当点在内部时，符合题意的有一个； 综上，点位于所在的平面内，使得，，的面积相等，满足题意的点有4个； 故选：D． 5. 如图，在四边形中，，则的面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆的定义，三角形的面积，含30度角的直角三角形的性质，过点作于点，以为圆心作为半径的圆，当在的延长线上时，的面积的最大，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，以为圆心作为半径的圆， ∵， ∴当在的延长线上时，的高取得最大值，则的面积最大， ∵， ∴， ∴， ∴的面积的最大值为， 故选：D． 6. 若正整数满足方程，则这个方程的解的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了方程的解，正整数，熟练掌握以上知识点是解题的关键，由为正整数，推出，那么，那么可得到的取值，从而得出答案． 【详解】解： 为正整数， ， 正整数满足方程， ， ， 当时，，解得，符合题意； 那么满足这个方程的解只有一组， 故选：A ． 7. 如图，的半径为5，四边形内接于，且于点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查垂径定理与勾股定理，解一元二次方程，过作于，于，连接，，则四边形为矩形，得到，，设，，则，， 在和中，根据勾股定理得到，整理得，再代入解得，然后代入各个线段计算即可． 【详解】解：过作于，于，连接，，则， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 设，， ∵， ∴，， 中，，则， 中，，则， ∴， 整理得， 把代入得， 解得， 当时，，不合题意； 当时，，此时，，，， ∴，， ∴， 故选：A． 8. 已知，是实数，点在函数的图象上，设，则的最大值为（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查求二次函数的最值．根据题意得出，根据得出，进而将化为顶点式，即可求解． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴， 当时，或， ∴， ∴ ， ∵， ∴时，的最大值为， 故选：A． 9. 为的外接圆，则必在上的是的（ ） A. 外心关于的对称点 B. 垂心关于的对称点 C. 内心关于的对称点 D. 重心关于的对称点 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形垂心的反射性质，垂心关于某边的对称点必在外接圆上，即可解决． 【详解】A、外心O是外接圆的圆心，关于的对称点到的距离等于O到的距离，但到顶点的距离不一定等于半径，故不一定在上，故此选项不正确； B、根据几何定理，垂心关于某边的对称点必在外接圆上，故此选项正确； C、内心是角平分线交点，其位置由内角决定，对称点不一定满足外接圆上点到顶点的距离相等，故不在上，故此选项不正确； D、重心是中线的交点，与顶点的距离关系不满足外接圆半径，对称点也不在上，故此选项不正确； 故选：B． 【点睛】本题主要考查三角形的外心、垂心、内心、重心与其外接圆的关系，熟练掌握它们之间的区别和联系是解题的关键． 10. 若只有三个正整数满足不等式（其中是常数），那么这三个正整数之和是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数与不等式，首先，二次不等式的解集是的两个根之间的区间，由于只有三个正整数解，说明这三个整数是连续的且位于根之间，通过判别式确定k的范围，结合对称轴位置和整数解的条件，验证可能的正整数组合，即可求解． 【详解】解：由题意知，有两个不等的实数根， ， 解得或 x要取三个正整数， 仅考虑． 二次函数的对称轴为直线， 假设三个连续正整数为3，4，5，需满足： 时，，解得， 时，，解得， 时，，解得， 时，，解得， 综上，，满足， 其他连续整数组合（如4，5，6或2，3，4）均无法同时满足所有条件， 故这三个数是3，4，5，和为12， 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 11. 已知为有理数，若关于的一元二次方程有一个实根为，则该方程的另一个实根为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，二次根式的混合计算，由根与系数的关系可得，，由a，b，c是有理数，，得到和都是有理数，，则可设（n为有理数），求出，根据是有理数，且n是有理数，得到，即，据此可得答案． 【详解】解；设方程的另一个根为m， 由根与系数的关系可得，， ∴， ∵a，b，c是有理数，， ∴和都是有理数， ∴和都是有理数， ∴可设（n为有理数）， ∴ ， ∵是有理数，且n是有理数， ∴， ∴， ∴， ∴原方程的另一个根为， 故答案为：． 12. 已知的外接圆的半径为6，若，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角的性质及解直角三角形，熟练掌握圆周角的性质及三角函数是解题的关键；连接并延长，交圆于点D，连接，过点C作于点E，由题意易得，，然后根据三角函数可进行求解． 【详解】解：连接并延长，交圆于点D，连接，过点C作于点E，如图所示： ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 从长度为3，4，7，的四条线段中任选三条线段，可以成为一个三角形三边的概率是，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的构成条件，概率的应用． 先求出所有情况，可知共4种情况，，不能成为一个三角形三边，则、能成为一个三角形三边，根据三角形的构成条件计算即可． 【详解】从长度为3，4，7，的四条线段中任选三条线段，共有、、、共4种情况， ∵， ∴，不能成为一个三角形三边，从长度为3，4，7， ∵的四条线段中任选三条线段，可以成为一个三角形三边的概率是， ∴、能成为一个三角形三边， ∴、 ∴， 即 ∵， ∴， 故答案为： 14. 在中，，且，点在边上（点与点不重合），过点作直线，使直线截所得的三角形与原三角形相似，则这样的直线可作4条，此时的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质；根据题意，直线可作4条，当当在上任意位置存在3条直线，使得直线截所得的三角形与原三角形相似，第4条直线即，进而根据相似三角形的性质求得的值，即可求解． 【详解】解：如图， 当在上任意位置存在:， ∴，， 当时， ∴， ∴， 当时， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， 所以当直线与平行时，截得的三角形与相似，则与原三角形相似， ∴ 故答案为：． 15. 已知为实数，函数的图像与轴交于两点，且满足，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，先化为顶点式，根据二次函数的性质可得抛物线开口向上，顶点坐标为，结合题意可得，，进而解不等式组，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴抛物线对称轴为直线，且抛物线开口向上，顶点坐标为 ∵函数的图像与轴交于两点 ∴ 解得：， ∵， ∴ 解得： ∴， 故答案为：． 16. 设正整数的各位数字之和为，例，，等，若，则___________． 【答案】2019 【解析】 【分析】此题考查了二元一次不定方程的整数解，先假设n是三位数和四位数，依据判断出n的大致范围是在2000到2031之间，设十位数字为a，个位数字为b，根据列出关于a、b的二元一次方程，根据，，且a、b均为非负整数可得答案． 【详解】解：（1）若n是三位数，n的最大取值为999， 此时， 所以n不是三位数； （2）若n是四位数， ①假设， 设十位数字为a，个位数字为b， 则， 整理得：， 由于，，且a、b均为整数， 所以， 则； ②若， 则， 整理得， ∵，，且a、b均为整数， ∴，， 此时． 故答案为：2019． 17. 若关于的方程恰有1个不同的实数根，实数的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的意义和一元二次方程根的情况，分情况讨论，再进行解答即可． 【详解】解：由得，， ， ， 当时，，不符合题意； 当时，， 即， 方程只有一个实数根， ， 解得或（舍）， 当时，， 即， 方程只有一个实数根， ， 解得或（舍）， 当时， 若时，则方程为， ， 该方程有两个相等的实数根， 若时，则方程为， ， 该方程有两个不相等的实数根， 综上可知，当时，原方程有三个根，不符合题意； 当时， 若时，则方程为， ， 该方程无实数根， 若时，则方程为， ， 该方程有两个相等的实数根， 综上可知，当时，原方程有一个根， 符合题意； 实数的值为． 18. 在平行四边形中，，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，勾股定理．分当时，求得；当时，平行四边形是矩形，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：当时，不妨设， ∵四边形是平行四边形， ∴ 如图，作平行四边形， ∴，， ∴， ∴； 当时，平行四边形是矩形， ∴， ∴， ∴的取值范围是． 故答案为：． 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 19. 如图，在锐角中，、、分别为、、上的点，连结、、，若． （1）求的值； （2）求证：． 【答案】（1） （2） 证明：由（1）可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理的应用，相似三角形的性质与判定； （1）根据三角形内角和定理可得，结合已知可得，进而根据三角形内角和定理可得，即可得出结论； （2）由（1）的结论得出，进而证明，根据相似三角形的性质，即可得证． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 略 20. 求关于的方程的所有实数根的和． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减，一元二次方程根与系数的关系；令：，，，进而可得，结合已知可得，转化为或，根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】解： 令：，， 原方程化为 ． ∵ ∴ 即 因此，原方程等价于  或 ，即： 或 ，乘以 3 消分母： 判别式：（因为 ，所以恒有两实根）． 根的和（由二次方程根与系数关系）：． ，乘以： 判别式：（恒有两实根）． 根的和：． 所有根的和为 ． 21. 已知函数的图象与轴交于两点，且． （1）当时，设表示的最小值，求的最大值； （2）若，证明：或． 【答案】（1） （2） 若或不成立， 假设，则， 抛物线的对称轴为直线， 得， 当时，， 得， ， ， ， 与已知条件矛盾； 假设则， 此时， 即，， ，， 导致，与已知条件矛盾； 假设且， 当时，， 当时，， ， ， ， ， 与已知条件矛盾； 综上，所以假设情况均与已知条件矛盾，故假设不成立， 原命题或成立． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质和反证法． （1）根据函数的图象与性质得到该函数的最小值m在顶点处取得，把代入即可表示出最小值m的函数关系式，再根据关于a的函数关系式即可求出结果； （2）利用反证法，分三种情况得出与条件矛盾；进而即可得证． 【小问1详解】 解：由题意可知，函数的图象开口方向向上， 函数的最小值m在顶点处取得，顶点横坐标为，代入函数得： ， ， ， ， 此为关于a的开口向下的抛物线，最大值在顶点处，代入得，； 【小问2详解】 略 22. 已知点，若的半径为1，点是上的动点， （1）求面积的取值范围； （2）求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，勾股定理，求一点与圆上一点的最值问题，相似三角形的性质与判定； （1）根据勾股定理求得，根据等面积法求得的长，进而根据到圆上一点的距离求得的最值，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （2）在上截取，连接，，证明得出，进而得出，勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作于点，直线与圆相交于C ∵， ∴，，， ∵， ∴ ∴， 设面积为， ∴， ， ∴； 【小问2详解】 解：如图，在上截取，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023年第四届初中生学科素养测评数学试题卷 九年级 考生须知： 1．本次考试采用网上阅卷，务必要正确填涂准考证号，准考证号填涂时需用2B铅笔． 2．答题前，在答题纸左侧考生信息栏中填写学校、姓名、指导老师等信息． 3．作答必须用黑色墨迹签字笔或钢笔填写，答案必须写在答题纸上，答题时不得超出答题框，否则无效． 4．保持卷面清洁，不要折叠，不要弄破． 5．考试结束后，试题卷和答题纸一并上交． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 若，则（ ） A. 6 B. C. 3 D. 2. 将0，1，2，3四个组成无重复数字的四位数，将这些四位数从大到小排列，那么第10个数为（ ） A. 2013 B. 2031 C. 2103 D. 2130 3. 已知n为实数，点在二次函数的图象上．若，，则（ ） A. B. C. 或 D. 4. 点位于所在的平面内，使得，，的面积相等，满足题意的点有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 如图，在四边形中，，则的面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 若正整数满足方程，则这个方程的解的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图，的半径为5，四边形内接于，且于点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，是实数，点在函数的图象上，设，则的最大值为（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 9. 为的外接圆，则必在上的是的（ ） A. 外心关于的对称点 B. 垂心关于的对称点 C. 内心关于的对称点 D. 重心关于的对称点 10. 若只有三个正整数满足不等式（其中是常数），那么这三个正整数之和是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 11. 已知为有理数，若关于的一元二次方程有一个实根为，则该方程的另一个实根为___________． 12. 已知的外接圆的半径为6，若，，则的长为________． 13. 从长度为3，4，7，的四条线段中任选三条线段，可以成为一个三角形三边的概率是，则的取值范围是___________． 14. 在中，，且，点在边上（点与点不重合），过点作直线，使直线截所得的三角形与原三角形相似，则这样的直线可作4条，此时的取值范围是___________． 15. 已知为实数，函数的图像与轴交于两点，且满足，则的取值范围是___________． 16. 设正整数的各位数字之和为，例，，等，若，则___________． 17. 若关于的方程恰有1个不同的实数根，实数的值为___________． 18. 在平行四边形中，，则的取值范围是___________． 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 19. 如图，在锐角中，、、分别为、、上的点，连结、、，若． （1）求的值； （2）求证：． 20. 求关于的方程的所有实数根的和． 21. 已知函数的图象与轴交于两点，且． （1）当时，设表示的最小值，求的最大值； （2）若，证明：或． 22. 已知点，若的半径为1，点是上的动点， （1）求面积的取值范围； （2）求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $