2.2 课时1 基本不等式 同步作业-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2.2 课时1 基本不等式 【基础巩固】 1．设，，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 2．当时，的最小值为（ ） A．3 B． C． D． 3．已知，设，，则与的大小关系是（ ） A． B． C． D．不确定 4．已知，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 5．（多选）已知正实数,满足,下列式子中,最小值为的有（ ） A． B． C． D． 6．已知，则的最小值为__________. 7．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是_________． 8．(1)已知,求的最小值; (2)若时,求的最大值. 【能力拓展】 9．已知都是正实数，若，则 的最小值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 10．若一个三角形的三边长分别为,,,记,则此三角形面积,这是著名的海伦公式,已知的周长为,,则的面积的最大值为__________. 11．设，求的最大值． 【素养提升】 12．（多选）《九章算术》中有“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步．问：勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为和的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设为斜边的中点，作直角三角形的内接正方形对角线，过点作于点，则下列推理不正确的是（ ） A．由图1和图2面积相等得 B．由可得 C．由可得 D．由可得 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 课时1 基本不等式 【基础巩固】 1．设，，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵ ∴，（当且仅当，取“=”） 故选：C. 2．当时，的最小值为（ ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【解析】由（当且仅当时等号成立）， 可得当时，的最小值为. 3．已知，设，，则与的大小关系是（ ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【解析】，当且仅当时，等号成立，故. 4．已知，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】,当且仅当,即时,取等号. 5．（多选）已知正实数,满足,下列式子中,最小值为的有（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】∵,,∴,∴,当且仅当时等号成立. 由,得,∴的最大值为,A错误; ,B正确; ,C正确; ,D正确. 6．已知，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】时，，根据均值不等式， 可得：， 当，即时取得等号， 故时，取得最小值是. 7．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】不等式恒成立， 即恒成立， 又， 当且仅当时取等号， 所以，解得． 8．(1)已知,求的最小值; (2)若时,求的最大值. 【答案】见解析 【解析】(1)由,得,所以, 当且仅当,即时,等号成立,所以的最小值为6; (2)由,得,当且仅当,即时等号成立,所以的最大值为. 【能力拓展】 9．已知都是正实数，若，则 的最小值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解析】由可知 （当且仅当时等号成立） （当且仅当时等号成立） （当且仅当时等号成立） 以上三个不等式两边同时相乘，可得 （当且仅当时等号成立）. 10．若一个三角形的三边长分别为,,,记,则此三角形面积,这是著名的海伦公式,已知的周长为,,则的面积的最大值为__________. 【答案】 【解析】由题意,,,,由,,则,时取等号,则. 11．设，求的最大值． 【答案】见解析 【解析】设，，且， 所以． 由，得， ∴，当且仅当时，等号成立， 即的最大值为． 【素养提升】 12．（多选）《九章算术》中有“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步．问：勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为和的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设为斜边的中点，作直角三角形的内接正方形对角线，过点作于点，则下列推理不正确的是（ ） A．由图1和图2面积相等得 B．由可得 C．由可得 D．由可得 【答案】ABD 【解析】对于A，由图1和图2面积相等得，所以，故A错误； 对于B，因为，所以，所以，，， 因为，所以，整理得，故B错误； 对于C，因为为斜边的中点，所以， 因为，所以，整理得，故C正确； 对于D，因为，所以，整理得，故D错误. 第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $