精品解析：重庆市巴南区重庆巴蜀科学城中学校2025-2026学年高二上学期入学考试数学试题

重庆巴蜀科学城中学校高2027届高二上入学测试 数学试题 （考试时间：120分钟 总分：120分） 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线过点，，则此直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜率的坐标表示以及，故可得结果. 【详解】由题意知，直线的斜率， 即直线的倾斜角满足， 又，， 故选：C 【点睛】本题主要考查斜率与倾斜角的关系，属基础题. 2. 现采用随机模拟的方式估计一运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定表示命中，表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用随机模拟的方法以及古典概型的计算公式即可求解. 【详解】这三组表示三次投篮恰有两次命中， 所以该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为， 故选： 3. 已知直线与直线互相平行，则实数的值为（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由题意利用两条直线平行的性质，分类讨论，求得结果． 【详解】解：当时，直线：即，直线：即，满足． 当时，直线与直线互相平行， ，解得实数． 综上，， 故选：． 【点睛】本题主要考查两条直线平行的性质，考查分类讨论思想，属于基础题． 4. 平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在如图的分布形态中，，，分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系可能正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图估计平均数、根据频率分布直方图计算众数. 【详解】由直方图矩形高低以及数据的分布趋势判断，得众数是最高矩形下底边的中点横坐标， 因此众数为左起第二个矩形下底边的中点值； 直线左右两边矩形面积相等， 而直线右边矩形面积大于左边矩形面积，则 ； 又数据分布图为右拖尾，因此平均数大于中位数，即， 所以. 5. 已知直线与相交于、两点，且，则实数的值为 A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】分析：首先将圆的方程整理为标准方程，结合等腰三角形的性质和点到直线距离公式得到关于实数a的方程，解方程即可求得最终结果. 详解：圆的方程整理为标准方程即：， 设AB中点为，由圆的性质可知△ABO为等腰三角形，其中， 则，即圆心到直线的距离为， 据此可得：，即，解得：或. 本题选择D选项. 点睛：本题主要考查圆的方程的应用，点到直线距离公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 6. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的形状为（ ） A. 等腰或直角三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】根据同角关系以及正弦定理边角互化可得，由余弦二倍角公式以及和差角公式可得，即可判断三角形形状. 【详解】由得, 由正弦定理得, 由于,所以， 所以,由于为三角形的内角，所以, 又得, 进而可得,而为三角形内角，故， 进而，故三角形为等边三角形， 故选：B 7. 过点在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线有多少条（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】截距为零时单独考察，在截距不为零时，设截距分别为利用截距式写出直线方程，根据过定点,得到的关系，判定的范围，然后求得后分离常数得到，进而得出应当为12正因数，从而解决问题. 【详解】当截距为0时，是直线,只有一条， 当截距大于0时，设截距分别为则直线方程为，∵直线过点, ∴①，∵,∴,结合①可得，,∴, 又∵为整数，， 由①解得,为12的因数， ∴,对应,相应 对应的直线又有6条， 综上所述，满足题意的直线共有7条， 故选：D. 【点睛】本题考查直线的截距和直线方程的截距式，涉及整除问题，关键有两点：一是要注意截距为零的情况，而是在截距不为零时，得到后分离常数得到，进而得出应当为12正因数，本题属中档题. 8. 已知正四棱锥的所有棱长均为2，点为正四棱锥的外接球球面上一动点，，则动点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接、，设，连接，分析可得为正四棱锥外切球的球心，且外接球的半径，作出正四棱锥外接球的轴截面（过点、、），过点作交于点，即可求出，从而求出轨迹长. 【详解】依题意，正四棱锥的所有棱长均为，连接、， 设，连接，则平面，则， 所以，所以， 则为正四棱锥外切球的球心，且外接球的半径， 作出正四棱锥外接球的轴截面（过点、、）如下所示： 因为，所以为等边三角形，所以， 过点作交于点，则， 所以点在以为圆心，为半径的圆上， 所以动点的轨迹长度为. 故选：D 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某高中举行的数学史知识答题比赛，对参赛的2000名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，若同一组中数据用该组区间中间值作为代表值，则下列说法中正确的是（ ） A. 考生参赛成绩的平均分约为72.8分 B. 考生参赛成绩的第75百分位数约为82.5分 C. 分数在区间内的频率为0.2 D. 用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为200的样本，则成绩在区间应抽取30人 【答案】BC 【解析】 【分析】利用频率分布直方图估计平均数判断A；求出第75百分位数判断B；求出分数在区间内的频率判断C；用分层随机抽样求出区间内应抽人数判断D. 【详解】对于A，平均成绩为，A错误； 对于B，由频率分布直方图知，分数在内的频率为0.7，在内的频率为0.9， 因此第75百分位数位于内，第75百分位数为，B正确； 对于C，分数在区间内的频率为，C正确； 对于D，区间应抽取人，D错误. 故选：BC 10. 在斜三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则（ ） A. 为锐角三角形 B. 若，则 C. 的最小值为 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由诱导公式即可判断A，由正弦定理即可判断B，由条件可得，结合基本不等式代入计算，即可判断C，由条件可得，然后换元，结合二次函数的值域，即可判断D. 【详解】对于A，由可得， 则或，即或， 因为三角形为斜三角形，若，则，， 不符合斜三角形，所以，即为钝角，为钝角三角形，故A错误； 对于B，由正弦定理可得，则， 所以，故B正确； 对于C，由，可得， 且，则， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立，故C正确； 对于D，由C可知，， 则， 令， 由可得，则， 所以，故， 且， 所以， 当时，取得最大值， 当或时，最小值为， 所以，故D正确； 故选：BCD 11. 已知点为圆上两动点，且，点为直线 :上动点，则（ ） A. 以为直径的圆与直线相离 B. 的最大值为 C. 的最小值为8 D. 的最小值为112 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，设的中点为，连接，求出点到直线的距离的最小值进行判断，对于B，举例判断，对于CD，利用向量的数量积运算结合图形分析判断即可. 【详解】对于A，设的中点为，连接，则， 所以， 所以点在以为圆心，为半径的圆上， 所以点到直线的距离的最小值为， 因为，所以以为直径的圆与直线相离，所以A正确， 对于B，如图，当直线与直线平行，且共线时，则为等腰三角形， 此时， 则， 所以，所以，所以B错误， 对于C，因为, 所以 , 因为， 所以 ，当，共线，且在之间时取等号， 所以的最小值为8，所以C正确， 对于D，因为， 所以， 所以 ，当，共线，且在之间时取等号， 所以的最小值为112，所以D正确， 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：此题考查直线与圆的位置关系，考查向量的数量积的运算，解题的关键是画出图形，结合图形分析判断，考查数形结合的思想和计算能力，属于较难题. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】首先由两角差的正切公式求出，再由二倍角正切公式计算可得； 【详解】解：因为 所以，解得 所以 故答案为： 【点睛】本题考查两角差的正切公式及二倍角的正切公式的应用，属于基础题. 13. 已知非零向量与满足，且，，点D是的边AB上的动点，则的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量的数量积、单位向量、向量的线性运算确定三角形状，再由向量的模长确定三角形的边长，从而建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标运算求的最小值即可. 【详解】分别表示与方向的单位向量，故所在直线为的平分线所在直线， 又，故的平分线与垂直，由三线合一得到， 取的中点，因为，故， 如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 则，设，， 则， 当时，取得最小值，最小值为. 故答案为：. 14. 甲、乙两人组成的“梦队”参加篮球机器人比赛，比赛分为自主传球和自主投篮两个环节，其中任意一人在每个环节获胜得2分，失败得0分，比赛中甲和乙获胜与否互不影响，各环节之间也互不影响.若甲在每个环节中获胜的概率都为，乙在每个环节中获胜的概率都为，且甲，乙两人在自主传球环节得分之和为2的概率为，则的值为_____，“梦队”在比赛中得分不低于6分的概率为_____. 【答案】 ①. ##0.6 ②. ##0.6075 【解析】 【分析】甲，乙两人在自主传球环节得分之和为2分，是甲得0分乙得2分、甲得2分乙得0分两个互斥事件的和事件，利用相互独立事件的概率公式及互斥事件的概率加法公式解方程可求的值；事件“梦队在比赛中得分不低于6分”的概率，也转化为互斥事件的和事件，再利用相互独立事件及互斥事件的概率公式求解即可. 【详解】记事件“两人在自主传球环节得分之和为2分”，“甲在自主传球环节得分”，“乙在自主传球环节得分”， 由题意可知，与相互独立，且，事件与互斥， 故，解得； 记事件“梦队在比赛中得分不低于6分”，“甲在自主投篮环节得k分”（），“乙在自主投篮环节得分”，由题意可知相互独立， 则， 且事件，，，，两两互斥，则 . 故答案为：；. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知、、分别为内角、、的边，. （1）求； （2）若，的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得，结合余弦定理即可求解； （2）利用面积公式得，再根据余弦定理可得，从而求出周长． 【小问1详解】 因为 由正弦定理得， 则 由余弦定理得，又， 故； 【小问2详解】 由的面积为，所以 由余弦定理，因为，所以 所以 故的周长为 16. 在一次奥运会男子乒乓球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛，决赛采取7局4胜制.已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛结果互不影响. （1）求只需进行四局比赛的概率： （2）已知前两局比赛甲均告负，求甲最终能逆转获得冠军的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用独立事件乘法公式及互斥事件概率和公式计算求解； （2）分类应用独立事件乘法公式及互斥事件概率和公式计算求解. 【小问1详解】 设事件“甲第局都获胜”，. 由题意，事件相互独立，且. 只需进行四局比赛包含两种情况： ①甲能胜四局：；②乙连胜四局：. 设事件“只需进行四局比赛”；则 . 故只需进行四局比赛的概率为. 【小问2详解】 设事件“前两局比赛甲均告负，甲最终能逆转获得冠军”. 由于前两局比赛甲均告负，所以接下来的比赛甲最多可以负一局，包含两种情况： ①甲接下来连胜四局：； ②接下来五局比赛中甲4胜1负（负的一局为第3~6局中某一局）： . 所以， . 所以，甲最终能逆转获得冠军的概率为. 17. 已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. （1）求圆的标准方程； （2）若过点的直线与圆交于两点，当时，求直线的一般式方程； （3）点是圆上任意一点，求的取值范围. 【答案】（1）. （2）或. （3）. 【解析】 【分析】（1）先根据直线与圆相切的性质求出圆心坐标，进而得到圆的半径，从而确定圆的标准方程； （2）分直线斜率存在和不存在两种情况，利用垂径定理求出直线方程； （3）将看作圆上一点与点连线的斜率，通过直线与圆的位置关系求出斜率的取值范围. 【小问1详解】 设圆心的坐标为，已知圆与直线相切于点，则直线（）与直线垂直. 直线的斜率，可得直线的斜率， 即，解得，所以圆心. 圆的半径. 则圆的标准方程为. 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离. 根据垂径定理，满足题意. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即. 圆心到直线的距离. 由垂径定理可得， 即，，，解得. 则直线的方程为，即. 综上，直线的一般式方程为或. 【小问3详解】 设，则，即. 的几何意义是圆上的点与点连线的斜率. 当直线与圆相切时，圆心到直线的距离，即， .由图形知道， 所以的取值范围是. 18. 在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的大小； （3）在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）因为在中，，，且， 所以，，则折叠后，， 又平面， 所以平面，平面，所以， 又已知，且都在面内，所以平面； （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）应用线面垂直的判定定理证明线面垂直关系，再由性质定理得到线线垂直关系，进而再利用判定定理证明所求证的线面垂直关系； （2）以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.用向量法求与平面所成角的大小； （3）假设存在点，使平面与平面成角余弦值为，设，分别求解两平面的法向量，用表示余弦值解方程可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1），以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系. 因为，故， 由几何关系可知，，，， 故，，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则，即， 不妨令，则，，. 设与平面所成角的大小为， 则有， 设为与平面所成角，故， 即与平面所成角的大小为； 【小问3详解】 假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为. 在空间直角坐标系中，，，， 设，则，， 设平面的法向量为，则有，即， 不妨令，则，，所以， 设平面的法向量为，则有，即， 不妨令，则，，所以， 若平面与平面成角余弦值为. 则满足， 化简得，解得或，即或， 故在线段上存在这样的点，使平面与平面成角余弦值为. 此时的长度为或. 19. 在平面四边形中，，且. （1）中，设角的对边分别为，若. ①当时，求的值； ②当时，求的最大值. （2）若，且，将沿翻折成，使得平面平面，在四面体中，任取两条棱，记它们互相垂直的概率为；任取两个面，记它们互相垂直的概率为；任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概率为，试比较的大小. 【答案】（1）①16；② （2） 【解析】 【分析】（1）由得，由余弦定理得，①当时，，由余弦定理即可求解；②当时，，利用均值不等式即可求解； （2）先证，由面面垂直的性质定理得，即可求，由面面垂直判定定理得平面平面，平面平面，进而求得， 同理求得，即可求解. 【小问1详解】 ，由正弦定理得， 由余弦定理得，化简得：， ①当时，， . ②当时，， 当且仅当即时取等号， 的最大值为. 【小问2详解】 由，， 由余弦定理得， 即，所以， 又平面平面，平面平面， 所以平面，又平面，所以， 所以在四面体中，任取两条棱，共有15种情况，其中相互垂直的棱有5对： ， 故， 由平面，平面，所以平面平面， 又，平面平面， 所以平面，又平面，所以平面平面， 所以4个面任选2个面，共有6种情况，其中相互垂直的面有3对： 平面平面，平面平面，平面平面， 故. 任选1个面和不在此面上的1条棱，先从4个平面任选1个平面，共有4种情况， 再从不在此面上的3条棱中选1条，有3种情况，故共有12种情况，其中满足垂直关系的有2种， 分别为平面和棱，平面和棱，故， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆巴蜀科学城中学校高2027届高二上入学测试 数学试题 （考试时间：120分钟 总分：120分） 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线过点，，则此直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 现采用随机模拟的方式估计一运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定表示命中，表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线与直线互相平行，则实数的值为（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 4. 平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在如图的分布形态中，，，分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系可能正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线与相交于、两点，且，则实数的值为 A. B. C. 或 D. 或 6. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的形状为（ ） A. 等腰或直角三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 7. 过点在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线有多少条（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 已知正四棱锥的所有棱长均为2，点为正四棱锥的外接球球面上一动点，，则动点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某高中举行的数学史知识答题比赛，对参赛的2000名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，若同一组中数据用该组区间中间值作为代表值，则下列说法中正确的是（ ） A. 考生参赛成绩的平均分约为72.8分 B. 考生参赛成绩的第75百分位数约为82.5分 C. 分数在区间内的频率为0.2 D. 用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为200的样本，则成绩在区间应抽取30人 10. 在斜三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则（ ） A. 为锐角三角形 B. 若，则 C. 的最小值为 D. 11. 已知点为圆上两动点，且，点为直线 :上动点，则（ ） A. 以为直径的圆与直线相离 B. 的最大值为 C. 的最小值为8 D. 的最小值为112 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则________． 13. 已知非零向量与满足，且，，点D是的边AB上的动点，则的最小值为________． 14. 甲、乙两人组成的“梦队”参加篮球机器人比赛，比赛分为自主传球和自主投篮两个环节，其中任意一人在每个环节获胜得2分，失败得0分，比赛中甲和乙获胜与否互不影响，各环节之间也互不影响.若甲在每个环节中获胜的概率都为，乙在每个环节中获胜的概率都为，且甲，乙两人在自主传球环节得分之和为2的概率为，则的值为_____，“梦队”在比赛中得分不低于6分的概率为_____. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知、、分别为内角、、的边，. （1）求； （2）若，的面积为，求的周长. 16. 在一次奥运会男子乒乓球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛，决赛采取7局4胜制.已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛结果互不影响. （1）求只需进行四局比赛的概率： （2）已知前两局比赛甲均告负，求甲最终能逆转获得冠军的概率. 17. 已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. （1）求圆的标准方程； （2）若过点的直线与圆交于两点，当时，求直线的一般式方程； （3）点是圆上任意一点，求的取值范围. 18. 在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的大小； （3）在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 19. 在平面四边形中，，且. （1）中，设角的对边分别为，若. ①当时，求的值； ②当时，求的最大值. （2）若，且，将沿翻折成，使得平面平面，在四面体中，任取两条棱，记它们互相垂直的概率为；任取两个面，记它们互相垂直的概率为；任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概率为，试比较的大小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $