专题02 对数（高效培优专项训练）数学沪教版2020必修第一册

本讲义聚焦对数的核心概念与运算体系，系统构建从对数定义、指数与对数互化到运算性质应用的完整知识链，层层递进地衔接初等函数与实际问题解决，形成清晰的学习支架。 资料设计紧扣新课标核心素养，突出“数学眼光”“数学思维”“数学语言”的融合运用，如题型八通过真实科技场景引导学生发现数量关系并建立模型，体现数学建模意识；题型五换底公式训练强化逻辑推理能力，题型七附加条件求值提升抽象思维水平。课中便于教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，实现从理解到迁移的闭环学习。

画学科网·上好课 www zxxk com 专题02对数 题型归纳 题型一：对数概念判断与求值 题型二：指数式与对数式相互转化 题型三：对数运算 题型四：对数运算性质的应用 题型五：换底公式的应用 题型六：对数方程求解 题型七：有附加条件对数求值问题 题型八：对数的实际应用 题型专练 题型一：对数概念判断与求值 1.对数式log3a-2(6-a中实数a的取值范围是() A.-0,6 B.(1,6 u6 C. 2.对数loga+3(5-a中实数a的取值范围是() A.-0,5 B.-3,5 c.-3,-2)U(-2,5) D 3.使式子l1ogx-(2-x)有意义的x的取值范围是(） A.x>2 3 4.若loga-(5-a有意义，则实数a的取值范围是 题型二：指数式与对数式相互转化 5.将下列指数式与对数式互化： (1)10g327=3; (2)1og18=-3 1/11 上好每一堂课 . 6*】 0.-3,+0 0.x<2, 面学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 6.将下列指数式与对数式互化： (1)1og216=4; (2l0g,27=-3; (3)10gs100≈4.606： (4)43=64; 132=g (6)10-3=0.001 7.判断下列结论是否正确： (1)若10g2x=3,则x=6; (2)若e=lnx,则x=e2; (3)1g1g10=1; (4)Ig(In e)=0 5)525=√5· 2/11 面学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 8.将下列对数式改写为指数式： (1)1og2512=9; 2log25125= 3 (3)1g0.000001=-6; (4)10g14.2=m 3 9.将下列指数式改写为对数式： (1)36=729; (2)22=4096; 2 4)643=1 4 3/11 可学科网·上好课 www .zxxk.com 题型三：对数运算 10.求值： (1)log52513-25); (2log,35-210g,3+log,7-1og,1.8: (3)川2log43+logg3)(1ogョ2+logg2). 11.计算： 27+7e2+l1og,3-l1og,4+liog2128: (1)1og3 (2)log:5.logs 7.10g 9+(1g 2)+1g 2.1g5+1g5-In Ine)+2+10824. 12.求下列各式的值 (1-27jx9-(-π°+V3-π2+(0.25)5： (2)1lg25+lg4+log23×log,2: 6121og,2-1og,号+loe,8-5e 4/11 系一每丁 可学科网·上好课 www.zxxk.com 13.计算下列各式： a四f写+0e-)+16-3+2x5- (2)log,5.log.4+8+lg125-Ig2-lg5 e2.lg0.01 14.计算： T+21g25+1g16+7 (1)1og33 aa064-(3+-2r+16 15.计算： (a1og,35-21og,}+log,7-lbg,18, 2)gW3+5+V3- 5/11 系一每丁 函学科网·上好课 www zxxk com 题型四：对数运算性质的应用 16.求值： 1) 可-日02方 282-1og,2-log49+lg2+ 1og510 2)lgV27+lg8-lg1000 lg1.2 17.计算下列各值 (1)10g43+logg3)(10g,2+10g,4 2m第：g610-1og,4+1og,9x1og,8-10e 18.计算下列各式的值： 27+10g025+10g64+72: (1)1og3 221og,2-1og,3+lo8,8-5e。 6/11 系一每丁 可学科网·上好课 www .zxxk.com 19.化简下列各式： (1)41g2+3g5-lg5 212og,2-loe,0+1og,8-5 20.(1)3e,4+(1g5)+lg2×lg5+lg2; （2)2g,2+1og+1hve+3x得 题型五：换底公式的应用 21.l0g,6×log63×l0g34×log45= 22.设lg2=a,lg3=b.若2025=100，则c= .(结果用a,b表示) 7 23.已知1og23=a,1og,7=b,则10g)=- ;l0g4256= 24.己知lg2=a,lg3=b,则用a,b表示log625=一： 题型六：对数方程求解 25.求下列各式中x的值： (1)1og2(x2-2)=1; (2)l0g2x2-y(3x2+2x-1)=1: (3)log2[1og(1og4x】=0. 7/11 上好每一堂课 (结果用Q,b表示) 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 26.求下列各式中x的值 (1)logs log,(logzx)=0; (2)log21og3(1og2x=1; (3)3log(2x+=27. 27.求下列各式中x的值. a,=子 (2)l0g.16=-4. 28.求下列各式中x的值： (1)log2x=5; 1 (2）10g5125 ; 3)1og,4=1 2 8/11 学科网·上好课 www zxxk.com 29.求下列各式中x的值： (1)log,27=x 1 21o85-V2+1x: (3)log2(1og4x=0; (4)log;(Igx)=1. 题型七：有附加条件对数求值问题 30.(1)已知2°=5=1000，求上+2的值： a b (2)已知3=4=12，求3+2的值 x y 31.(1)己知5=3,5=4，求a,b,并用a,b表示l0g2548. 2(-（5-+s写+ 9/11 系一每环丁 丽学科网·上好课 www.zxxk com 32.求满足下列条件的各式的值： (1)若10"=4,10”=5，求m+2n的值； (2)若xl0g32=1,求4+4r的值. 33.(1)求值：l0g,8l0g43+3:4+(3-π)°； (2)已知9==6：保六的指 34.(1)已知2"=9,2”=25，求22”的值： (2)计算：41g2+2lg5-l0g41g5+321og:5. 10/11 系一每丁 专题02对数 题型一：对数概念判断与求值 题型二：指数式与对数式相互转化 题型三：对数运算 题型四：对数运算性质的应用 题型五：换底公式的应用 题型六：对数方程求解 题型七：有附加条件对数求值问题 题型八：对数的实际应用 题型一：对数概念判断与求值 1．对数式中实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的定义和性质，得到关于的不等式组，求解即可得到答案. 【详解】由对数式有意义得 解得. 故选：C. 2．对数中实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数真数和底数的性质进行求解即可. 【详解】因为对数式的底数为大于零不等于1的实数，真数为正实数， 所以有， 故选：C 3．使式子有意义的的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．， 【答案】C 【分析】根据题意，结合对数式的定义，列出不等式组，即可求解. 【详解】由式子有意义，则满足，解得且. 故选：C. 4．若有意义，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由对数式底数和真数的限制条件，求算式有意义时实数的取值范围. 【详解】要使有意义， 须，即，解得或，即实数的取值范围是. 故答案为：. 题型二：指数式与对数式相互转化 5．将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)； (2)； (3)； (4). 【分析】（1）（2）（3）（4）利用指数式和对数式的互化关系式求解即可. 【详解】（1）首先，我们给出指数式和对数式的互化关系式， 对于，可化为. （2）对于，可化为. （3）对于，可化为. （4）对于，可化为. 6．将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化. 【详解】（1），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （2），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （3），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （4），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （5），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （6），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. 7．判断下列结论是否正确： (1)若，则； (2)若，则； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)不正确 (2)不正确 (3)不正确 (4)正确 (5)不正确 【分析】结合对数、指数互换运算、幂运算即可求解. 【详解】（1）若，则；故结论不正确. （2）若，则；故结论不正确. （3）因为，则； 故结论不正确. （4）因为，则；故结论正确. （5）因为，则； 故结论不正确. 8．将下列对数式改写为指数式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据指数与对数的运算规则即可将（1）~（4）化为相对应的指数式. 【详解】（1）由可得； （2）由可得； （3）由可得； （4）由可得 9．将下列指数式改写为对数式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据指数式和对数式的互化公式，即可求解. 【详解】（1）（且）化为对数式是， 所以化为对数式是； （2），对数式是； （3），对数式是； （4），对数式是. 题型三：对数运算 10．求值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)2 (3)2 【分析】（1）注意到同一对数式中底数和真数互为倒数，进而利用这一关系求解即可； （2）方法一：逆用对数运算性质，化为对数单项式即可求解； 方法二：正用对数运算性质，统一真数即可求解； （3）注意到各对数式底数均不相同，运用换底公式消除底数的差异即可求解. 【详解】（1）原式． （2）方法一：原式． 方法二：原式 ． （3）原式． 11．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)11 【分析】（1）利用对数的运算法制与换底公式即可得答案. （2）利用对数的运算法制与换底公式即可得答案. 【详解】（1）原式 ． （2）原式 . 12．求下列各式的值． (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据对数的运算法则计算即可. 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式. 13．计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用分数指数幂的性质、运算法则直接求解；. （2）利用对数的运算法则和性质，即可求解. 【详解】（1） （2） 14．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据指数幂，对数的运算性质进行计算. 【详解】（1） . （2） . 15．计算： (1)； (2). 【答案】(1)2； (2). 【分析】利用对数的运算法则结合对数的性质，计算求解. 【详解】（1）原式. （2）原式. 题型四：对数运算性质的应用 16．求值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由由根式和指数式的运算性质即可计算求解； （2）由对数的运算性质即可计算求解； 【详解】（1）原式； （2）原式. 17．计算下列各值 (1) (2)计算： 【答案】(1) (2) 【分析】(1)由对数的运算计算出结果;(2) 由指数与对数的运算计算出结果. 【详解】（1） （2） 18．计算下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）利用对数运算性质化简求解即可． 【详解】（1）原式 ． （2）原式 ． 19．化简下列各式： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）、（2）利用对数的运算法则求解即可. 【详解】（1）原式. （2）原式 . 20．（1）; （2）. 【答案】（1）3；（2） 【分析】（1）根据对数运算公式求解. （2）根据对数运算与指数运算公式求解. 【详解】（1） . （2） . 题型五：换底公式的应用 21． ． 【答案】1 【分析】根据对数运算性质及换底公式可得结果. 【详解】由题意得， ． 故答案为：1. 22．设.若，则 .（结果用表示） 【答案】 【分析】由指数与对数互化并根据对数运算法则以及换底公式计算可得结果. 【详解】由可得 . 故答案为： 23．已知，则 ； .（结果用，b表示） 【答案】 【分析】根据对数的运算性质和换底公式计算即可求解. 【详解】由， 得. 则log1456＝ 故答案为：； 24．已知，则用表示 . 【答案】 【分析】利用换底公式和对数运算性质即可. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 题型六：对数方程求解 25．求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)或； (2)； (3)． 【分析】（1）根据条件，利用特殊的对数值，得到，即可求解； （2）根据条件，利用特殊的对数值及对数的定义，得到，且不为，即可求解； （3）根据条件，利用特殊的对数值及对数的定义，即可求解. 【详解】（1）因为，所以，解得或. （2）因为，所以，解得或， 当时，，不符合题意， 当时，，所以. （3）因为，所以，所以，故． 26．求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据和以及指数与对数的互化求值即可； （2）根据和以及指数与对数的互化求值即可； （3）根据指数与对数的互化求值即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以，解得； （2）因为，所以， 所以，解得； （3）因为，所以， 所以，解得. 27．求下列各式中x的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）将对数式化为指数形式，再根据指数运算公式，即可求解. 【详解】（1）由，得． （2）由，得，即， 又，且，则． 28．求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)32 (2) (3)16 【分析】（1）（2）（3）根据对数式和指数式的互换，对数的运算性质即可求解. 【详解】（1）因为，所以 （2），所以. （3）因为，所以，即，所以. 29．求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)1000. 【分析】根据指数式和对数式的互化解答（1）（2）；根据对数的性质解答（3）（4）. 【详解】（1）∵，∴，即，∴，解得． （2）∵，∴，∴． （3）∵，∴，∴． （4）∵，∴，∴． 题型七：有附加条件对数求值问题 30．（1）已知，求的值； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）1 【分析】（1）（2）根据对数运算的概念以及运算律，可得答案. 【详解】（1）由已知，，所以. （2）因为，所以，解得， 由，解得， 所以. 31．（1）已知，求a，b，并用a，b表示. （2）求值 【答案】（1）， （2） 【分析】（1）将指数式化为对数式根据对数的运算性质计算即可； （2）利用幂指数的运算性质，对数的定义计算可求解． 【详解】（1）因为，所以由对数的定义可知， 所以. （2） . 32．求满足下列条件的各式的值： (1)若，，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用指数运算计算得解. （2）利用对数换底公式及指数式与对数式的互化关系计算得解. 【详解】（1）由，，得， 所以. （2）由，得， 所以. 33．（1）求值：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）1 【分析】（1）利用对数的概念、对数运算性质及换底公式，指数幂的运算性质化简计算； （2）结合指对互化，利用对数运算性质及换底公式求解即可. 【详解】（1）原式 ； （2）因为，所以 ， 所以， 则. 34．（1）已知，，求的值； （2）计算：. 【答案】（1）；（2）27. 【分析】（1）利用有理数指数幂的运算性质求解即可. （2）利用对数的运算性质以及换底公式进行化简求值即可. 【详解】（1）因为，，， 所以， 所以， 即. （2） . 题型八：对数的实际应用 35．石墨烯纳米材料的制备过程中，需通过激光散射技术监测纳米颗粒的团聚程度.在团聚指数增长阶段，散射光强度达到检测阈值时，颗粒团聚体数量与超声处理时间（单位：分钟）满足，其中为初始颗粒数量，为团聚速率常数.已知某样品经超声处理6分钟后，团聚体数量变为初始的100倍，则团聚速率常数约为（   ）（参考数据：，） A．56.2% B．77.8% C．115.4% D．118.4% 【答案】C 【分析】根据题意，得出方程，结合对数运算性质，即可求解. 【详解】由题意，可得，即， 所以，即，可得，所以. 故选：C. 36．放射性物质是指那些能自然地向外界辐射能量，发出射线的物质.在一个给定的单位时间内，放射性物质的质量会按某个衰减率衰减.一般是用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称为半衰期.考古学中常利用生物标本中的碳元素稳定持续衰减的现象测定遗址的年代.已知碳的半衰期为年.现在实验室测定某遗址内动物标本中碳含量为正常大气中碳含量的.则该遗址大约距今（    ）（） A．年 B．年 C．年 D．年 【答案】C 【分析】设动物标本中碳含量初始值是个单位，由题意得出，解方程，求出的值，即可得出结果. 【详解】不妨设动物标本中碳含量初始值是个单位， 则经过年动物标本中碳含量为， 令，则年. 故选：C. 37．历史上，在5月27日曾有多次地震记录．例如：2006年5月27日，印尼爪哇发生里氏6.3级地震，2024年5月27日，四川木里县发生里氏5.0级地震，经过科学家的研究发现，地震时释放出来的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．印尼爪哇地震所释放出来的能量约是四川木里地震的（    ）倍．（精确到1．参考数据：） A．87 B．88 C．89 D．90 【答案】 【分析】设印尼地震的能量 ，震级，四川地震的能量 ，震级，利用对数计算 的值，根据参考数据，利用对数函数的单调性估计得到答案. 【详解】设印尼地震的能量 ，震级，四川地震的能量 ，震级. 因为地震时释放出来的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为， 所以， 且， 所以， 根据精确度要求精确到1，所以， 故选：C. 38．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.8，衰减速度为12，且当训练选代轮数为12时，学习率衰减为0.5．则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练选代轮数至少为（参考数据：）（   ） A．34 B．35 C．36 D．37 【答案】C 【分析】根据已知条件列方程，可得，再由，结合指对数关系和对数函数的性质求解即可． 【详解】由于，所以， 依题意，则， 则， 由，即， 所以， 所以所需的训练迭代轮数至少为次． 故选：C. 39．尽管目前人类还是无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为：.若记2025年1月7日西藏日喀则发生里氏6.8级地震释放出来的能量为，2022年5月20日四川雅安发生里氏4.8级地震释放出来的能量为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数的运算可得正确的选项. 【详解】由题设有，， 故即， 故选：C. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $