2025--2026学年苏科版八年级数学上册期末提优(七)(八)新定义(阅读理解)　

期末提优(七)新定义(阅读理解)题 1.(2024·南京期末)定义:如图,点C、点D 把线段AB分割成AC,CD 和BD,若以AC,CD,BD为边的三角形是一个直角三角形，则称点 C、点 D 是线段AB的勾股分割点.已知点M、点N是线段AB 的勾股分割点,AM=2,MN=3,则BN= . 2.(2024·宿迁期末)我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”.例如：-1，-4，-9这三个数， 其结果6，3，2都是整数，所以-1，-4，-9这三个数称为“完美组合数”. (1)-3,-12,-27 这三个数 “完美组合数”(填“是”或“不是”). (2)若三个数-5,m,-20是“完美组合数”,其中有两个数乘积的算术平方根为15，求m的值. 3.(2025·扬州期末)定义:在△ABC中,若BC=a,AC=b,AB=c,a,b,c满足 则称这个三角形为“类勾股三角形”.请根据以上定义解决下列问题： (1)如图①所示，若等腰三角形ABC 是“类勾股三角形”,AB=BC,AC>AB,求∠A 的度数. (2)如图②所示,在△ABC 中,∠B=2∠A,且∠C>∠A.求证:△ABC为“类勾股三角形”.小明同学想到可以在AB 上找一点 D 使得AD=CD,再作 CE⊥BD. ①探索△CDB 的形状并说明理由. ②请你帮助小明完成证明过程. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 4.对于平面直角坐标系xOy中的点 P 和图形W，给出如下定义：图形 W关于经过点(m，0)且垂直于x轴的直线的对称图形为 W'，若点 P恰好在图形 W'上，则称点 P 是图形 W关于点(m,0)的“关联点”. (1)若点 P 是点 Q(3,2)关于原点的“关联点”，则点 P 的坐标为 . (2)如图,在△ABC 中,A(1,1),B(6,0),C(4,-2). ①点 C关于x轴的对称点为 C'，将线段 BC'沿x轴向左平移d(d>0)个单位长度得到线段EF(E,F分别是点B,C'的对应点),若线段EF上存在两个△ABC 关于点(1,0)的“关联点”,则d的取值范围是 . ②已知点 M(m+1,0)和点 N(m+3,0),若线段MN上存在△ABC关于点(m,0)的“关联点”,求m的取值范围. 5.新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”. (1)如图①,若△ABC 和△ADE 互为“兄弟三角形”,AB=AC,AD=AE.写出∠BAD,∠BAC和∠BAE 之间的数量关系，并证明. (2)如图②,△ABC 和△ADE 互为“兄弟三角形”,AB=AC,AD=AE,点 D、点 E 均在△ABC外,连接BD,CE交于点 M,连接AM,求证:MA平分∠BME. (3)如图③,若AB=AC,∠BAC=∠ADC=60°,试探究∠B 和∠C 的数量关系，并说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 6.定义：在平面直角坐标系中，对于任意一次函数y= kx+b(k≠0)的图象,作该图象在直线x=m的右侧部分关于直线x=m的轴对称图形，与原图象在直线x=m的右侧部分及与直线x=m的交点共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫作原函数关于直线x=m的“V型函数”.例如：图①就是一次函数y=x+2关于直线x=-1的“V型函数”图象. (1)请在图②中画出函数y=x+2关于直线x=0的“V型函数”图象. (2)若函数y=x+10 关于直线 x=m的“V型函数”图象与x轴只有一个交点，则 m= . (3)如图③,点 C(-12,0),以 OC 为斜边在x轴上方作等腰 Rt△OCB,当函数y=x+10关于直线x=m的“V型函数”图象与△OCB 的边只有两个交点时，求m的取值范围. 7.点P、点P'和点 Q 为平面直角坐标系中的三个点,给出如下定义:若 PQ=P'Q,且∠PQP'=90°,则称 P'为点 P 关于点 Q 的等垂点. (1)已知点Q 的坐标为(4,0). ①如图①，若点 P 为原点，直接写出 P 关于Q的等垂点 P'的坐标为 ； ②如图②，P 为y轴上一点，且点 P 关于点 Q的等垂点 P'恰好在一次函数y=2x+3的图象上，求点 P'的坐标. (2)如图③,若点 Q 的坐标为(1,-2),P 为直线y=2上一点，P关于点 Q 的等垂点 P'位于y轴右侧,连接OP',QP',请问(OP'+QP'是否有最小值?若有，请求出最小值；若无，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1.如图①,在平面直角坐标系中,A(0,3a),B(-4a,0),△AOB的面积为6.期末提优(八)一次函数与几何综合题 (1)求点A,B的坐标; (2)如图②，将线段AB 向右平移m个单位长度，再向下平移 m 个单位长度后得到线段A₁B₁,若△A₁OB₁的面积为4,求m的值; (3)如图③，将线段AB 平移得到线段 CD，点B与点 C 对应,且C(0,n),且-3<n<0,连接BD交y轴于点 F,求 的值. 2.如图①，在平面直角坐标系xOy中，直线 与x轴相交于点A，直线 与y轴相交于点 C，与x轴的负半轴相交于点 D，其中OC:OD=4:3,直线l₁与直线 l₂相交于点 B. (1)填空:①m= ; ②直接写出不等式 的解集: . (2)猜想∠ABC的度数，并说明理由. (3)如图②,连接AC,在直线AC 上有一点 P,连接OP,若∠OPC≥∠ABC,求CP 的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 3.(2024·宿迁期末)已知:如图,一次函数y= 的图象分别与x轴、y轴相交于点A，B，且与经过点 C(2,0)的一次函数y=kx+b的图象相交于点 D.点D 的横坐标为4，直线CD与y轴相交于点 E. (1)直线 CD 的函数表达式为 .(直接写出结果) (2)点 Q 为线段 DE上的一个动点,连接BQ. ①若直线 BQ 将△BDE 的面积分为1:2 两部分，试求点 Q 的坐标. ②点 Q 是否存在某个位置，将△BDE 沿着直线 BQ 翻折，使得点 D 恰好落在直线 AB 下方的坐标轴上?若存在，请直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 4.(2025·扬州期末)如图①，在平面直角坐标系中，直线.AB: 分别与坐标轴交于A，B两点，点C 是点A 关于y轴的对称点，直线 CD:y= kx+b(k≠0)与直线 AB 交于点D(-1,a),连接OD. (1)求直线 CD的表达式. (2)在直线 CD 上是否存在一点 P，使得 若存在，请求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由. (3)如图②，以OD 为直角边，点O 为直角顶点，构造等腰直角三角形 DOD'，点D'位于x轴的上方，点M 是直线 CD 上一点，若∠MAB=∠ABD',请直接写出点 M 的坐标. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 5.(2025·无锡期末)如图，在平面直角坐标系xOy中,直线 交x轴于点A、交y轴于点 B，直线 经过点A，且与y轴交于点 C. (1)点A 的坐标为 ,b= .(直接写出答案) (2)若点 Q为y轴上任意一点. ①连接AQ,当∠QAB=45°时,请求出点 Q 的坐标； ②若点 P 为射线 AO 上任意一点，过点 P 作x轴的垂线,分别交直线 AB,AC 于 M,N,当△QMN为等腰直角三角形时，直接写出点 P的坐标. 6.如图①，一次函数y=2x+4的图象与x轴交于点A，与y轴交于点 B，点C在x轴的正半轴上,且OC=2OA. (1)求点A 的坐标和直线BC的函数表达式. (2)如图②，设点 M 是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB 于点 P，交直线BC于点Q. ①若△PQB的面积为 ，求点M 的坐标； ②当∠MBC+∠ABO=45°时,求点 M 的坐标. 期末提优(七)新定义(阅读理解)题 1. 解析：①当M N为最长线段时，∵点M ，N是线段AB的勾股分割点，∴ ②当1BN为最长线段时，∵点 M，N是线段AB 的勾股分割点，∴ .综上所述， 或 2.(1)是 解析:∵ ,其中6,9,18 都是整数,∴-3,-12,-27这三个数是“完美组合数”. (2)当 时,则-5m=225,解得m=-45. ，且10,15,30都是整数,∴此时满足-5,m,-20 是“完美组合数”. 当 时,则-20m=225,解得 不满足m是整数，不符合题意.综上所述，m=-45. 3.(1)∵AB=BC,AC>AB,∴a=c,b>c.∵△ABC是“类勾股三角形”, C是等腰直角三角形,∴∠A=45°.(2)①等腰三角形,理由如下:∵AD=CD,∴∠A=∠ACD,∴∠CDB=∠ACD+∠A=2∠A.∵∠B=2∠A,∴∠CDB=∠B,∴△CDB 是等腰三角形. ②由①得CD=CB=a,∴AD=CD=a,∴DB=AB-AD=c-a.∵CE⊥AB, 在 Rt△ACE 中, 在 Rt△BCE 中, C是“类勾股三角形”. 4.(1)(-3,2) (2)①4<d≤6 解析:如图①中,当d=4时,线段BC'平移到 HG位置,此时线段EF上存在1个△ABC关于点(1,0)的“关联点”,当d=6时,线段BC'平移到 NM 位置,此时线段 EF 上存在2个△ABC关于点(1，0)的“关联点”，观察图象可知，满足条件的d的取值范围为4<d≤6. ②如图②中,当m=3时,线段MN上存在△ABC关于点(m,0)的“关联点”； 如图③中,当m=5时,线段MN上存在△ABC关于点(m,0)的“关联点”; 如图④中,当m=7时,线段MN上存在△ABC关于点(m,0)的“关联点”； 如图⑤中,当m=9时,线段MN上存在△ABC关于点(m,0)的“关联点”. 观察图象可知满足条件的m的取值范围为3≤m≤5或7≤m≤9. 5.(1)∠BAD+∠BAC=∠BAE.证明:∵△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”,∴ ∠BAC = ∠DAE,∴ ∠BAC-∠DAC =∠DAE-∠DAC,即∠CAE=∠BAD,∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC=∠BAE. (2)如图①,过点 A 作 AG⊥BD 于 G,AH⊥EM 于 H.∵ △ABC 和△ADE互为“兄弟三角形”,∴ ∠BAC=∠DAE,∴ ∠BAC+∠DAC=∠DAE +∠DAC, 即 ∠BAD = ∠CAE. 在 △BAD 和 △CAE 中, ∴ △BAD≌△CAE(SAS).∵ AG⊥BD,AH⊥EM, ∴AG=AH,∴MA平分∠BME. (3)∠B+∠C=180°.理由:如图②,延长 DC 至点 P,使 DP =AD.∵∠ADP=60°,∴ △ADP 为等边三角形,∴ AD=AP,∠DAP=60°. ∵∠BAC= 60°, ∴ ∠BAD = ∠CAP. 在 △BAD 和 △CAP 中, (402400°C∠CAP,∴△ADD≌∠CAP(SA20D和ACAP∠ADE∠CAP(SS).∵∠∠AP∠AOF ∵∠ACD+∠ACP=180°,∴ ∠B+∠ACD=180°. 6.(1)如图①所示. (2)-10 解析:令y=0,则0=x+10,解得x=-10.∵函数y=x+10关于直线x=m的“V型函数”图象与x轴只有一个交点，∴m=-10. (3)在等腰Rt△OCB中,点C(-12,0),∴OC=12,∴点B(-6,6),∴直线OB的表达式为y=-x.解方程x+10=-x,得x=-5.由(2)知直线y=x+10与x轴的交点为(-10,0),当-10<m<-5时,函数y=x+10关于直线x=m的“V型函数”图象与△OCB的边只有两个交点.∵直线y=x+10与△OCB的边已经有两个交点,∴函数y=x+10关于直线x=m的“V型函数”图象与△OCB的边不能再有交点，即函数y=x+10关于直线x=m的“V型函数”图象与x轴的交点(较靠左的一个)在点 C(-12,0)的左侧.如图②.∵ C(-12,0)与点(-10,0)关于直线x=-11对称,∴m=-11时,函数y=x+10关于直线x=m的“V型函数”图象经过点 C(-12,0),∴当函数y=x+10关于直线x=m的“V型函数”图象与△OCB的边只有两个交点时，m的取值范围为-10<m<-5或m<-11. 7.(1)①(4,4)或(4,-4) 解析:作出点 P 关于点Q 的等垂点,如图①,则P'Q=PQ.∵ 点Q 的坐标为(4,0),且点 P 为原点,∴ PQ=4,∴P'Q=PQ=4.∵ P'Q⊥x轴,∴ 点 P 关于点 Q 的等垂点 P'的坐标为(4,4)或(4,-4). ②Ⅰ.当点P在y轴的正半轴上时，过点 P'作P'A⊥x轴于点A，如图②,∵P'恰好在一次函数y=2x+3的图象上,∴设 P'(m,2m+3),∴ P'A=-2m-3.∵点Q 的坐标为(4,0),∴OQ=4. ∵PQ⊥P'Q,∴∠PQA+∠AQP'= 90°.∵ ∠AQP'+∠AP'Q =90°, 在 △AP'Q 和 △OQP 中, ∴ △AP'Q ≌△OQP(AAS),∴ AP' = OQ,∴ - 2m-3 = 4,解得 Ⅱ.当点P 在y轴的负半轴上时，过点 P'作 P'B⊥x轴于点 B，如图③,∵P'恰好在一次函数y=2x+3的图象上,∴设 P'(m,2m+3),∴P'B=2m+3.同Ⅰ可得△P'BQ≌△QOP,∴ P'B=OQ,∴2m+3=4,解得 综上，点P'的坐标为 或( ,4). (2)OP'+QP'有最小值,最小值为 .过点 Q 作平行于x轴的直线a，交y轴于点B，过点 P作PC⊥直线a于点 C，交x轴于点A，过点P'作P'D⊥直线a于点 D,连接PQ,如图④,则OB=2,BQ=1,PA=2,AC=OB=2,∴ PC=PA+AC=4.∵ ∠CPQ+∠CQP =90°,∠CQP+∠P'QD=90°,∴∠CPQ=∠DQP'.在△PCQ 和△QDP'中, ∴BD=BQ+QD=1+4=5,∴点 P'的横坐标为5,即点 P'在直线x=5上运动.作点O关于直线x=5的对称点O'，连接O'Q，交直线x=5于点P",则P"O=P"O'.∴当点 P'与点 P"重合,且Q,P",O'在一条直线上时,OP'+QP'的值最小,最小值为O'Q.过点Q 作QE⊥OO'于点 E,则OE = 1,QE = 2,∴ O'E = OO'-OE = 10 - 1 = 9,∴ O'Q = 有最小值，最小值为 期末提优(八)一次函数与几何综合题 1.(1)∵A(0,3a),B(-4a,0),∴a>0,OA=3a,OB=4a,∴S△AOB=或-1(舍),∴A(0,3),B(-4,0). (2)设A₁B₁与y轴交于点D，分两种情况： ①如图①，当点 D 在y轴正半轴时，由平移的性质可知，A₁(m，3-m),B₁(-4+m,-m),设直线AB的表达式为y= kx+b,把A(0,3),B(-4,0)代入,得 解得直线 AB 的表达式为 设线段AB向右平移m个单位长度所得的直线A'B'的表达式为 与x轴的交点坐标为(-4+m,0),则 (-4+m)+c=0,解得 直线 y= 与y轴的交点为 线段A'B'再向下平移m个单位长度后得到线段. 解得 ②如图②，当点 D 在y 轴负半轴时，由平移的性质可知，A₁(m，3-m),B₁(-4+m,-m),由①得 = 解得 .综上所述，m的值为 或 (3)由平移的性质,得AB=CD,AB∥CD,∴∠BAF=∠DCF,∠ABF=∠CDF. 在 △ABF 和 △CDF 中, ∴ △ABF ≌△CDF(ASA),∴AF=CF,∴AO-OC=AF+OF-(CF-OF)=AF+OF- 卧 的值为2. 解析：将x=0代入直线 中，得y=3,∴ C(0,3),即(OC=3.∵ OC:OD=4:3,∴ OD= ,∴D(- ,0).将 代入直线 中，得 解得 ②x>-3 解析：联立方程组 解得 不等式 的解集为x>-3. (2)∠ABC=45°,理由:将y=0代入直线 中，得.x=4,∴A(4,0).由(1)得B(-3,-1),C(0,3),∴AB²=(4+3)²+(0+1)²= ∴AC²+BC² = AB², AC = BC, ∴ △ABC 是等腰直角三角形,∴∠ABC=45°. (3)设直线AC 的函数表达式为y= px+q,,将A(4,0),C(0,3)的坐标代入，得 解得 直线 AC 的函数表达式为y= 设.P(a,- a+3),∵∠OPC≥∠ABC,∴∠OPC≥45°,∴只有当∠OPC=∠CAB时,CP有最大值,∴OP∥AB,∴直线 OP 的函数 表 达 式为 联立方程组 解得即CP 的最大值为 3.(1)y=3x-6 (2)①将x=0代入y=3x-6,得y=-6,∴ E(0,-6),BQ将△BDE的面积分为1：2两部分时，有两种情况： 当 时， ∵D(4,6),E(0,-6),∴点 Q 的横坐标为 纵坐标为 当 1:2时, ∴点Q的横坐标为 纵坐标为 .综上可知，点Q 的坐标为 或 ②存在，点Q的坐标为(3，3)或 解析：一次函数y= 与y轴的交点坐标为(0,3),即B(0,3),当点 D 落在x轴的正半轴上(记为点 D₁)时,如图①,作DH⊥y轴于点H,连接BD₁,∵B(0,3),D(4,6),∴OB=3,OH=6,∴OB=HB=3,由轴对称的性质得 BD=BD₁,∠DBQ =∠D₁BQ,在 Rt△BHD 和 Rt△BOD₁ 中, ∴ Rt△BHD≌Rt△BOD₁(HL),∴∠HBD =∠D₁BO,∴∠HBD+∠DBQ = ∠D₁BO+∠D₁BQ,∴ ∠HBQ =∠OBQ = 90°,∴BQ∥x轴,∴点Q 的纵坐标为3,将y=3代入y=3x-6,得3=3x-6,解得x=3,∴点Q 的坐标为(3,3); 当点 D 落在y轴的负半轴上(记为点 D₂)时，如图②，过点 Q 作QM⊥BD于M,QN⊥OB于N,由轴对称的性质得BD=BD₂,∠DBQ=∠D₂BQ,∴BQ平分∠DBO,∴MQ=NQ.∵B(0,3),D(4,6),E(0,-6),∴ BE=3-(-6)= 9,xD=4,BD = ✔(4-0)²+(6-3)²=5. 解得 点Q 的横坐标为- ，将 代入y=3x-6,得 点Q 的坐标为 .综上可知，点Q 的坐标为(3，3)或 4.(1)在 中,令x=0得y=3,令y=0得x=-2,∴A(-2,0),B(0,3).∵点C是点A 关于y轴的对称点,∴C(2,0),把D(-1,a)代入 得 …D(-1, ).将(-1, ),(2,0)代入直线 CD的表达式y= kx+b,得 解得 直线CD的表达式为 (2)存在.如图①,设AP 交y轴于点 T,设点 同理，由点 A，P的坐标得,直线 AP 的 表 达 式 为 y = 则点 则 解得m=2或m=-4. 即点 P 的坐标为(2,0)或(-4,3). (3)如图②,过点 D 作 DK⊥x轴于 K,过点 D'作 D'T⊥x轴于 T,∵△DOD'是等腰直角三角形,∴DO=D'O,∠DOD'=90°,∴∠DOK=90°-∠D'OT = ∠OD' T.∵ ∠DKO = ∠OTD' = 90°,∴ △DKO≌ 设 直 线 BD'的表 达 式 为 则 解得 直线 BD'的表达式为 当M在直线AB左侧时,∵∠MAB=∠ABD',∴AM∥BD',设直线 AM的表达式为 把A(-2,0)代入,得( 解得 ∴ 直线AM 的表达式为 联立上式和直线CD的表达式得 解得 当M在直线AB右侧时，如图③，在BD'延长线上取点H，使BH=AH，连接AH并延长交直线CD于M，设 ∵A(-2,0), 解得 n= 设直线 AH 的表达式为 则 解得 直线AH的表达式为 ，联立上式和CD的表达式得· 解得 即点 综上所述，点M 的坐标为 或 5.(1)(-4,0) - 3 (2)①如图①,过点B作 BE⊥AQ于E,作EF⊥y轴于 F,作AD⊥EF交FE 延长线于D,∴∠D=∠BFE=∠AEB=90°,∴∠AED+∠DAE=90°,∠AED +∠BEF = 90°,∴ ∠DAE = ∠BEF.∵ ∠BAQ = 45°,∴∠ABE=90°-∠BAQ=45°,∴∠ABE=∠BAQ,∴AE=BE,∴△ADE≌△EFB(AAS),∴AD=EF,BF=DE,设E(x,y),∴-y=-x,2-y=x-(-4),∴x=y=-1,∴E(-1,-1),设直线AQ 的表达式为y= mx+n, 如图②,同理可得,DE=BF,AD=EF,∴x-(-4)=y-2,y=-x,∴x=∴Q(0,12).综上所述,点Q 的坐标为 或(0,12). ②点 P 的坐标为 或 或 解析：设P(t,0)(t≥-4),如图③,当∠NMQ=90°(或∠MNQ=90°)时,MN= 由 MQ=MN得 点 P 的坐标为 如图④,当∠MQN=90°时,由lMN=2DQ彳得 ∴点 P 的坐标为 如图⑤,当∠MQN=90°时, 点 P 的坐标为( ,0); 当 ∠NMQ = 90°( 或 ∠MNQ =90°)时, (舍去).综上所述，点P 的坐标为 或 或( ,₀). 6.(1)对于一次函数y=2x+4,令y=0,则有0=2x+4,解得x=-2,∴点A(-2,0),∴OA=2.∵OC=2OA=2×2=4,∴C(4,0).对于一次函数y=2x+4,令x=0,则y=4,∴B(0,4). 设直线 BC 的表达式为y= kx+b(k≠0),将点 B(0,4),C(4,0)代入,可得 解得 直线 BC的表达式为y=-x+4. (2)①根据题意，过点M作y轴的平行线，交直线AB 于点 P，交直线BC于点 Q，当点 M在x轴负半轴时，如图①. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 可设M(a,0)(a<0),则P(a,2a+4),则Q(a,-a+4),∴PQ=|2a+4-(-a+4)|=|3a|=-3a.∵ △PQB的面积为- ,B(0,4),∴S△PQB= 解得 (舍去)或 此时 当点M在x轴正半轴时,如图②.可设M(a,0)(a>0),则P(a,2a+4),则Q(a,-a+4),∴PQ=|2a+4-(-a+4)|=|3a|=3a.∵△PQB的面积为 ，解得 或 (舍去).此时 综上所述，点M的坐标为 或 ②由(1)可知,A(-2,0),B(0,4),C(4,0),∴ OB=OC=4.又∵ 可分两种情况讨论:当∠MBO=∠ABO时,如图③,可有∠MBC+∠ABO=∠MBC+∠MBO=∠OBC =45°. 在△ABO 和△MBO 中, ∴△ABO≌△MBO(ASA),∴ OM=OA=2, ∴ M(2,0). 当∠M'BC=∠MBC时,如图④,过点 C作CK⊥OM',交 BM'于点 K.可有∠M'BC+∠ABO=∠MBC+∠MBO=∠OBC=45°. ∵∠M'BC+∠BM'O=∠OCB=45°,∠MBC+∠MBO=∠OBC=45°, ∴∠M'BC+∠BM'O=∠MBC+∠MBO,∴ ∠BM'O=∠MBO=∠ABO. ∵∠BM'O+∠CKM'=∠MBO+∠OMB =90°,∴ ∠CKM'=∠OMB. ∵∠CKM'+∠BKC=∠OMB+∠BMC=180°,∴ ∠BKC=∠BMC. 在△BMC 和△BKC 中. ∴ △BMC≌△BKC(AAS), ∴KC=MC=4-2=2. 在△OBM 和△CM'K中 ∴△OBM≌△CM'K(AAS),∴ CM'=OB=4,∴OM'=OC+CM'=4+4=8,∴M'(8,0). 综上所述,当∠MBC+∠ABO=45°时,点M的坐标为(2,0)或(8,0). $