2025--2026学年苏科版八年级数学上册期末提优3.4　

期末提优(三)尺规 作 图 类型一 非网格作图 1.(2025 ·徐州期末)(1)如图①,已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于 4B的长为半径画弧，两弧交于点 C，D，过C，D两点作直线l.在l上取点 P,作射线AP,连接BP.判断∠1与∠2的大小关系，并说明理由. (2)如图②，点A，B在直线MN的同侧，请用无刻度的直尺和圆规，在直线 MN上作点 P，使得∠APM=∠BPN.(保留作图痕迹,不写作法) 2.红梅公园是常州市最大的国家级重点公园，因园内著名古建筑——红梅阁而得名，园中天宁宝塔与文笔塔遥相呼应，园内八景吸引无数游客前往.如图是公园北侧小东门路、西侧红梅路、天宁宝塔与文笔塔的大致位置.已知红梅阁到这两条路的距离近似相等，且到这两座塔的距离也近似相等.请在图中用直尺和圆规找到红梅阁的位置，标注为点 P.(保留作图痕迹，不要求写作法) 3.(2025·南京期中)已知P为直线l外一点，利用直尺和圆规在l上作点A，B，分别满足下列条件.(保留作图痕迹，不写作法) (1)在图①中,PA=PB,∠APB=90°; (2)在图②中,PA=PB,∠APB=60°. 4.(2024·南京校级模拟)已知∠β和线段l,线段h.使用直尺和圆规作出满足下列条件的三角形(写出作法，保留作图痕迹). (1)求作△ABC,使得∠B=∠β,周长等于线段l; (2)求作△ABC,使得∠B=∠β,∠B一边上的高等于线段h，周长等于线段l. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 5.五线谱上跳动着美妙的音符，你能在等距的平行线上借助直尺和圆规画出美丽的几何图形吗? (1)在图①的两条平行线上画一个等腰三角形，使其三个顶点都在平行线上，且有一个内角等于已知角α.(画出符合题意的一种即可) (2)在图②的两条平行线上画一个等腰三角形，使其三个顶点都在平行线上，且满足腰：底= ：2.(画出符合题意的一种即可) (3)在图③的三条等距平行线上画一个等边三角形，使其三个顶点分别在三条等距平行线上.(画出符合题意的一种即可) (4)在图④的四条等距平行线上画一个正方形，使其四个顶点分别在四条等距平行线上.(画出符合题意的一种即可) (5)小强同学声称他在五条等距的平行线上画出了如图⑤所示的正五边形(各边相等各内角也相等的五边形)，你同意他的说法吗?请给出你的观点并说明理由. 类型二 网格作图 6.(2025·连云港月考)如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫作格点. (1)在图①中以格点为顶点画一个面积为10的正方形； (2)在图②中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2， , 7.仅使用无刻度的直尺作图，找出下面三图中直线l上的点 P，使得点 P到A，B两点距离之和最小.(请保留作图痕迹) 8.线段AB 的端点A，B在6×6 的正方形网格的格点上.只用无刻度的直尺在网格中画图(保留画图痕迹，每小题画出一个即可). (1)在图①中找出格点 C,使∠ABC=90°; (2)在图②中找出格点 D,使∠ABD=45°; (3)在图③ 中画出 非格 点 的 点 E,使∠AEB=90°. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 类型一 非几何变换类最值问题期末提优(四)几何最值问题(选填题) 1.(2025·常州期末)定义：P是平面内某一点，Q 是图形 W上任意一点，将P，Q两点间距离的最小值称为点 P 与图形 W 的“点图距”.如图,在等边△ABC中,点A 的坐标为(3,0),点B,C在y轴上.记动点 P(t,0)与等边△ABC的“点图距”为y，则y随t变化的图象是() 2.(2025·泰州期末)如图,在四边形ABCD 中,∠ABD=∠ACD=90°,M 是 AD 的中点,N 是BC上的动点,连接 MN.若 AD=8,BC=6,则MN的最小值为 . 3.(2024·宿迁期末)如图，在平面直角坐标系中,点P 的坐标为(0,-2),直线 与x轴、y轴分别交于点A，B，且M 是直线AB上的一个动点，则PM 的最小值为 . 4.(2023·资阳中考)如图，在平面直角坐标系xOy中,边长为2的等边△ABC 的顶点A,B分别在x轴、y轴的正半轴上移动，将△ABC 沿 BC 所在直线翻折得到△DBC，则 OD 的最大值为 . 5.如图,在△ABC 中,∠C=60°,AC=5,BC=4,点 D 为 CB 延长线上一点.当点 D 在CB延长线上运动时， 的最小值为 . 类型二 轴对称变换最值问题 6.(2025·宿迁期末)如图,等腰△ABC 中,AB=AC=13,BC=10,EF垂直平分AC,分别交AC,AB 于点 E,F.若点 D 为 BC上一动点,点 M 为EF 上一动点,则 CM+DM 的最小值为 () A. 8 B.10 C. 12 D.13 7.(2025·无锡期末)如图,△ABC为等边三角形,AB=2,点 D 是 BC 的中点,点 E,F 分别是边AB，BC 上的动点，且不与端点重合，作∠AEF 和∠EFC 的平分线交于点 G,则 DG+CG 的最小值为 . 8.如图,∠ABC=30°,AB=2,BC=1,点 D 是射线BA 上的动点，将线段 CD 绕点 D 顺时针旋转120°,得到线段 ED,连接CE,AE,则CE+AE 的最小值是 . 学科网（北京）股份有限公司 期末提优(三)尺规 作图 1.(1)∠1=∠2.理由如下:如图①. 由作图可知,直线l是线段AB 的垂直平分线,∴PA=PB,l⊥AB,∴∠2=∠3.∵∠1=∠3,∴∠1=∠2. (2)如图②，P点即为所作. 2.如图，点P 即为所求. 3.(1)如图①,点A,B即为所作. (2)如图②,点A,B即为所作. 4.(1)作∠MBN=∠β,在射线BM上取点A,在线段l(DF)上截取DE=BA,在射线BN上截取BG=EF,连接AG,作AG的垂直平分线HP 交线段BG于C,连接AC,如图①,△ABC 即为所求. 理由:由作图可知,DE=BA,BG=EF,∵ HP 是AG 的垂直平分线,∴AC=CG,∴BC+AC=BC+CG=BG,∴ BC+AC+BA=BG+BA=EF+DE=DF,∴△ABC的周长等于线段l.∵∠B=∠β,∴△ABC满足条件.(2)作∠MBN=∠β,过B作RS⊥BN,在BR上截取BT=h,过T作TW⊥RS交射线BM于A,在线段l(DF)上截取DE=BA,在射线BN上截取BG=EF,连接AG,作AG的垂直平分线HP 交线段BG于C,连接AC,如图②,△ABC 即为所求. 理由:由作图可知,TW∥BN,∴点A到BN的距离等于BT=h,同(1)可知△ABC的周长等于线段l,∠B=∠β,∴△ABC满足条件. 5.(1)如图①,在l₂上取点A,作∠BAC等于已知角α,交l₁于点 B,在l₂上截取AC=AB,连接BC,△ABC 即为所求. (2)如图②,在l₂上取点D,作AD⊥l₂,交l₁于点A,在l₂上取BD= 连接AB,AC,△ABC 即为所求. 理由：由作法得 BD,∴腰:底 (3)如图③,在l₃上取点 B,作AB⊥l₃,交l₁于点A,作AC=AB,使点C在l₂上,连接BC,△ABC 即为所求. 理由:由作法得l₂ 垂直平分线段 AB,AC=AB,∴AC=BC,∴ AC=AB=BC,∴ △ABC 是等边三角形. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (4)如图④,在l₂上取点D,作EF⊥l₂,交l₁于点E,交l₄于点F,在l₁上取EA=FD,在l₄上取FC=ED,连接CD交l₃于点 P,作∠ABP=∠BPC,连接BC,正方形ABCD 即为所求. 由作法得∠ABP=∠BPC,EA=FD,FC=ED,∠AED=∠CFD=90°,∴AB∥CD, ∠ADE+∠DAE=90°,∴△ADE≌△DCF,∴AD =CD,∠DAE=∠CDF,∴∠ADE+∠CDF=90°,∴∠ADC=90°,∴∠BAD= ,同理∠BCD=90°,∴ 四边形ABCD 是正方形. (5)不同意.理由：假设五边形ABCDE 是正五边形.如图⑤，过点A 作AM⊥l₂于点M,过点C作CN⊥l₄于点 N,AB交直线l₂于点 G,BC交直线l₄ 于点 H. ∵ AM = CN,AE = DC, ∠AME = ∠CND = 90°,∴ Rt △AME ≌Rt△CND(HL),∴ ∠AEM =∠CDN. ∵ ∠EAG=∠DCH,AE =CD, ∴△AGE≌△CHD(ASA),∴ ∠AGE = ∠CHD. ∵ l₂∥l₃∥l₄, ∴∠ABT=∠AGE,∠CHD=∠CBT,∴ ∠ABT=∠CBT,∴ 直线 BT 是正五边形的对称轴,∴BT⊥DE,∴DE=CD=2CN,∴∠CDN=30°, ，与正五边形的内角为108°矛盾，∴假 设错误，∴小强同学的说法错误. 6.(1)如图①的正方形的边长是 ,面积是10. (2)如图②的三角形的三边长分别为2， , 7.如图，点P 即为所求. 8.(1)如图①，点C 即为所求.(答案不唯一) (2)如图②，点D 即为所求.(答案不唯一) (3)如图③，点E 即为所求.(答案不唯一) 期末提优(四) 几何最值问题(选填题) 1. B 解析:∵点P(t,0),点B,C在y轴上,∴当t<0时,点P(t,0)与等边△ABC 的“点图距”为 PO 的长度,∴y=-t; 当t>0时,∵△ABC是等边三角形,OA⊥BC,点A 的坐标为(3,0),∴ ∠OAB =∠OAC =30°,OA =3,∴ AB =2OB,AB²-OB²= OA²,∴(2OB)²-OB²=3²,∴OC=OB= ,AC=BC=AB=2 ，如图所示，过点P作 PD⊥AB 于点 D,当 PO =PD 时,∵∠BAO=30°,∴ AP=2PD=2PO,∵OA=PA+PO=3,∴OP=PD=1,AP=2,∴此时动点P(t,0)与等边△ABC的“点图距” y=1,∴当0≤PO≤1时,OP≤PD,∴动点P(t,0)与等边△ABC的“点图距”为OP 的长度,∴y=t(0≤t≤1);当1<P0≤3时,OP>PD,∴动点P(t,0)与等边△ABC 的“点图距”为 PD 的长度,∴ 当t>3时,动点 P(t,0)与等边△ABC的“点图距”为AP的长度,∴y=AP=OP-OA=t-3(t>3).综上所述选 B. 2. 解析:过点M作ME⊥BC于点 E,连接MB,MC,如图.∵垂线段最短,∴当点 N 与点 E 重合时,MN最小.∵∠ABD=∠ACD=90°,M是AD 的中点,∴MB =MC= AD=4.∵ ME⊥BC,∴ BE=CE = ∴MN 的最小值为 3.4 解析:如图所示,过点 P作 PH⊥AB于H,连接AP,在 中，当 时,x=4,当x=0时,y=3,∴A(4,0),B(0,3), 是直线AB上的一个动点，∴当MP⊥AB时,PM有最小值,即点M 与点H 重合时 PM有最小值,∴ PM的最小值为4. 4. +1 解析:如图,过点D作DF⊥AB,交AB 延长线于点F,取AB的中点E,连接DE,OE,OD,∵等边三角形ABC的边长为2,∴AB=2,∠ABC=60°,由翻折可知∠DBC = ∠ABC = 60°,BD = AB =2,∴∠DBF=60°.∵ DF⊥AB,∴∠DFB=90°,∴ ∠BDF=30°,∴ BF= 由勾股定理可得 ∵ E是AB的中点,∴AE=BE=OE= AB = 1,∴ EF = BE + BF = 2, ∴ DE = √DF²+EF²= .当D，E，O 三点共线时OD最大，最大值为 5. 解析:如图,作CE平分∠ACB,交AD于点F,过点D作DE⊥CF交CF延长线于点 E,∴ 在 Rt△CDE 中,∠E=90°.∵ ∠ACB=60°, 过点A作 AG⊥EC 于点 G,∴AD-DE≥AD-DF=AF≥AG, 在 Rt△AGC 中,∠AGC=90°,∠ACG= ∠ACB =30°,∴ AG= AC= ,∴2+ 的最小值为 6. C 解析:连接AM,如图,∵ EF垂直平分AC,交AC,AB 于点 E,F,∴AM=CM,∴ CM+DM=AM+MD,可知当A,M,D 三点共线,AD⊥BC时,CM+DM有最小值,∵等腰△ABC中,AB=AC=13,BC=10,点D为BC的中点,∴由等腰三角形“三线合一”可知,AD⊥BC,BD= 则 .当A,M,D三点共 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 线,AD⊥BC时,CM+DM有最小值,为12,故选 C. 7. 解析:如图,连接GA,GB,AD,过点G作GP⊥AB于点 P,GQ⊥BC于点Q,GI⊥EF 于点I,∵ ∠AEF 和∠EFC 的平分线交于点 G,∴GP=GI,GQ=GI,∴PG=QG.∵ GP⊥AB,GQ⊥BC,∴BG平分∠ABC.∵△ABC为等边三角形,AB=2,∴ BG 垂直平分AC,BC=AB=2,∴GC=GA.∵△ABC为等边三角形,点 D 是 BC 的中点,∴AD⊥BC,BD=1，∴由勾股定理得 点A，D，G三点共线时，DG+CG取得最小值为 8. 解析:如图,在射线 BC 上取点 F,连接DF,使∠BDF=120°,作直线BE,则∠DFC=180°-∠BDF-∠DBF=30°,∴∠DFC=∠DBF,∴BD=FD.由旋转得∠EDC=120°,ED=CD,∴ ∠EDB+∠BDC=∠EDC=120°.∵∠BDC+∠CDF=∠BDF=120°,∴ ∠EDB=∠CDF.在△BDE和△FDC中,(EEEDB:∠CDF,∴△BDE≌△FDC(SAS),∴∠ABE=∠DFC=30°.∵ ∠ABE 为定角,点 B 为定点,∴点 E 在定直线上，作点C关于直线BE的对称点C'，连接AC'交BE于E'，当点E在点E'处时CE+AE取最小值(由对称得C'E=CE,∴CE+AE=C'E+AE,由两点间线段最短可知,点 E 在点 E'处时,CE+AE取最小值,最小值为C'A的长),连接BC',则BC'=BC=1,∠C'BE=∠CBE.∵∠CBE=∠ABE+∠ABC=60°,∴ ∠ABC'=∠C'BE+∠ABE=90°. CE+AE 的最小值是 $