高一数学上学期第一次月考（沪教版2020必修第一册第一章+第二章，高效培优·强化卷）

2025-2026学年高中数学上学期第一次月考卷 强化卷·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020必修第一册第一章+第二章 。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知集合，，则 【答案】 【分析】根据交集的定义求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故答案为：. 2．不等式的解集是 . 【答案】 【分析】根据条件，利用一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由得到， 令，因为， 又图象开口向上，所以图象恒在轴上方， 则的解集为， 故答案为：. 3．已知，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】将不等式转化为一元二次不等式求解即得. 【详解】不等式化为：，解得， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 4．已知，，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先设出，求出，，再结合不等式的性质解出即可； 【详解】令，则解得， 故，由，得， 又，故，即． 故答案为： 5．已知，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】直接利用基本不等式求解即可. 【详解】由，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为5. 故答案为：5. 6．已知，，且真包含于，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用补集的定义以及真包含的定义可得出答案 【详解】或，因为真包含于，所以，解得. 故答案为： 7．已知集合，，若，则实数的值为 ． 【答案】或. 【分析】根据交集运算得出，，根据方程求解即可. 【详解】因为的解集为，所以， 又，所以，，所以，， 所以，，解得或. 故答案为：或 8．设集合.若，则 . 【答案】 【分析】由得，求出并验证. 【详解】因为，所以，解得或， 若，则，此时，符合题意； 若，则，此时，不符合题意. 故的值为. 故答案为：. 9．已知或，若是的必要条件，则实数的范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意得出，分类讨论a的取值范围，列出相应不等式，即可求得答案. 【详解】因为是的必要条件，所以， ①当时，，满足； ②当时，， 由，得，解得，故； ③当时，， 由，得，解得，故； 综上所述，实数的范围是， 故答案为： 10．若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用一元二次型不等式恒成立，分类求出的范围. 【详解】当时，原不等式为，此不等式对一切实数都成立； 当时，，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 11．定义：已知集合满足，都有，则称集合对于这种*运算是封闭的．则下列说法：①若，则对于加法“+”封闭；②若，则对于减法“”封闭；③若，则对于乘法“”封闭中正确的个数是 ． 【答案】3 【分析】根据运算新定义，结合加减乘运算的性质判断各项的正误. 【详解】任意两个自然数相加必是自然数，所以对于加法“+”封闭，①正确； 任意两个实数相减必是实数，所以对于减法“”封闭，②正确； 任意两个有理数相乘必是有理数，所以对于乘法“”封闭，③正确， 则说法正确的个数有3个. 故答案为：3 12．给定，若集合，且存在，满足，则称P为“广义等差集合”．记P的元素个数为，则下列说法正确的有 ①是“广义等差集合” ②是“广义等差集合” ③若P不是“广义等差集合”，当时，的最大值为4 ④若P不是“广义等差集合”，若的最大值为4，则n可以是13 【答案】①②③ 【分析】根据题意，由“广义等差集合”的定义，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于①， 取，则符合“广义等差集合”的定义，故①正确， 对于②，取故②正确， 对于③，当时，，如时，设， 由题意可知两两不相同， 则矛盾， 故，当时，取，满足P不是“广义等差集合”， 故的最大值为4，故③正确， 对于④，当时，取，这与矛盾，故④错误， 故选：①②③ 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．若且，则下列不等式中恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的性质即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，若，但，故A错误； 对于B，由于且，则，故，故B错误； 对于C，若，此时 ，不满足，故C错误； 对于D， 由于，故，因此，由于，故，D正确， 故选：D. 14．若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两个命题的关系，得到两集合的包含关系，列不等式求解即可. 【详解】依题意知：，， 因为是的必要不充分条件， 所以⫋，所以，解得. 故选：C 15．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的描述确定集合中的元素，再根据补集的定义求出 【详解】已知,表示是自然数,表示也是自然数 当时,; 当时,; 当时,; 当时,; 当时,,不满足 所以集合 已知全集,根据补集的定义：对于一个集合,它的全集中的补集是由所有不属于但属于的元素组成 集合,在全集中去掉集合中的元素 得到. 故选: 16．如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点.则下列说法正确的是：①；②；③；④.（   ） A．①③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】由题易得，，，据此可判断①；又函数过，可得，结合，，可得的范围判断②；又，结合，可得即可判断③；由题知即可判断④. 【详解】根据题意，，因为二次函数过点，所以， 又顶点在第一象限，所以对称轴，则，即，故①正确； 二次函数图像过，所以，则， 又，，所以，则，故②正确； 由，所以，又，所以，故③正确； ，故④正确. 故选：D. 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（14分） 设全集U=R,已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由补集及并集运算即可求解； （2）由和两类情况讨论，列出不等式求解即可. 【详解】（1）或. 或. （2）由， 则①当时，由，解得； ②当时，或 解得或． 综上，实数的取值范围为． 18．（14分） （1）已知，，且.求的最小值 （2）关于的方程有且只有正根，求实数的取值范围； 【答案】（1）； （2）. 【分析】（1）消元，用表示，再用均值不等式得到最值； （2）分和两种情况讨论，时，由判别式和韦达定理得到不等式组，解出的取值范围. 【详解】（1）由得即， 因为，所以，， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值是. （2）当时，由得，符合题意； 当时，设方程的根为， 由得，解得， 所以或， 综上，的取值范围是. 19．（14分） 已知函数 (1)当时，求不等式的解集； (2)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由得到，再分，，求解； （2）根据恒成立，由求解. 【详解】（1）解：当时，即， 当时，不等式化为，解得，所以； 当时，不等式化为，无解. 当时，不等式化为，解得，所以， 综上，原不等式的解集为或； （2）若恒成立，即. 因为（当且仅当时，等号成立），所以， 当时，不等式显然恒成立， 当时，，解得， 综上，. 故的取值范围为. 20．（18分） 对于一个所有元素均为整数的非空集合A，和一个给定的正整数k，定义集合. (1)若，直接写出集合和； (2)若，其中，，直接写出使得集合中元素个数最少的一个k（用n表示）； (3)若，p和k都是正整数，集合，求出使得成立的所有p和k的值，并说明理由. 【答案】(1)，. (2) (3)，，理由见解析 【分析】（1）根据题意，集合，利用列举法，即可求得； （2）由，得到，得到时，此时中的元素个数最少，分类讨论，即可求解； （3）根据题意，分和两种情况分类讨论，结合题设条件，即可求解. 【详解】（1）由题意，集合，且， 当时，可得； 当时，可得. （2）由题意，集合， 对于，其中， 当时，此时中的元素个数最少， 若时，中的元素个数最少； （3）若时，可得，要使得且， 则，即. 若时，此时，显然中有很多自然数空缺，所以不成立. 综上可得： ，. 21．（18分） 对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”，同时点是点的“下位点”； (1)写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； (2)设点是点的“上位点”，判断点是否既是点的“下位点”，又是点的上位点，证明你的结论； (3)设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值，并说明理由. 【答案】(1)“下位点”； “上位点” (2)是，理由见解析 (3)4049，理由见解析 【分析】（1）根据上位点和下位点的定义，找出满足条件的坐标即可. （2）要判断点与点和点的上下位关系，需要根据定义分别计算相应的比值并比较大小. （3）根据条件找到满足要求的最小正整数，需要通过上下位关系列出不等式求解. 【详解】（1）∵, ∴的一个“下位点”可以是；的一个“上位点”可以是. （2）结论正确：点既是点的“下位点”，又是点的上位 证明：∵点是点的“上位点”， ∴，且，，，均大于0，∴ ∴，即， ∴点是点的“下位点”； 同理，，即， ∴点是点的“上位点”. （3）由题意对任意，都成立 即总存在正整数，使不等式成立 则对任意，都成立 对任意，为正整数恒成立 所以正整数的最小值为4049. 【点睛】关键点点睛：理解并运用“上位点”和“下位点”的定义是解题的关键. 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高中数学上学期第一次月考卷 强化卷·考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020必修第一册第一章+第二章 。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知集合，，则 2．不等式的解集是 . 3．已知，则不等式的解集为 ． 4．已知，，则的取值范围为 ． 5．已知，则的最小值为 ． 6．已知，，且真包含于，则实数的取值范围为 . 7．已知集合，，若，则实数的值为 ． 8．设集合.若，则 . 9．已知或，若是的必要条件，则实数的范围是 ． 10．若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为 . 11．定义：已知集合满足，都有，则称集合对于这种*运算是封闭的．则下列说法：①若，则对于加法“+”封闭；②若，则对于减法“”封闭；③若，则对于乘法“”封闭中正确的个数是 ． 12．给定，若集合，且存在，满足，则称P为“广义等差集合”．记P的元素个数为，则下列说法正确的有 ①是“广义等差集合” ②是“广义等差集合” ③若P不是“广义等差集合”，当时，的最大值为4 ④若P不是“广义等差集合”，若的最大值为4，则n可以是13 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．若且，则下列不等式中恒成立的是（   ） A． B． C． D． 14．若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（      ） A． B． C． D． 15．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 16．如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点.则下列说法正确的是：①；②；③；④.（   ） A．①③ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（14分） 设全集U=R,已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 18．（14分） （1）已知，，且.求的最小值 （2）关于的方程有且只有正根，求实数的取值范围； 19．（14分） 已知函数 (1)当时，求不等式的解集； (2)若恒成立，求的取值范围. 20．（18分） 对于一个所有元素均为整数的非空集合A，和一个给定的正整数k，定义集合. (1)若，直接写出集合和； (2)若，其中，，直接写出使得集合中元素个数最少的一个k（用n表示）； (3)若，p和k都是正整数，集合，求出使得成立的所有p和k的值，并说明理由. 21．（18分） 对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”，同时点是点的“下位点”； (1)写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； (2)设点是点的“上位点”，判断点是否既是点的“下位点”，又是点的上位点，证明你的结论； (3)设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值，并说明理由. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期第一次月考卷 强化卷·参考答案 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1． 2． 3． 4． 5． 5 6． 7． 或. 8． 9． 10． 11． 3 12． ①②③ 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 题号 13 14 15 16 答案 D C C D 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（14分） 【详解】（1）或.（3分） （5分） 或.（7分） （2）由， 则①当时，由，解得；（10分） ②当时，或（12分） 解得或．（13分） 综上，实数的取值范围为．（14分） 18．（14分） 【详解】（1）由得即，（2分） 因为，所以，，（3分） 所以，（5分） 当且仅当时等号成立，（6分） 所以的最小值是.（7分） （2）当时，由得，符合题意；（8分） 当时，设方程的根为，（9分） 由得，解得，（12分） 所以或，（13分） 综上，的取值范围是.（14分） 19．（14分） 【详解】（1）解：当时，即， 当时，不等式化为，解得，所以；（2分） 当时，不等式化为，无解.（4分） 当时，不等式化为，解得，所以，（6分） 综上，原不等式的解集为或；（7分） （2）若恒成立，即.（8分） 因为（当且仅当时，等号成立），（10分） 所以，（11分） 当时，不等式显然恒成立，（12分） 当时，，解得，（13分） 综上，. 故的取值范围为.（14分） 20．（18分） 【详解】（1）由题意，集合，且， 当时，可得； 当时，可得.（4分） （2）由题意，集合， 对于，其中， 当时，此时中的元素个数最少， 若时，中的元素个数最少；（10分） （3）若时，可得，要使得且， 则，即. 若时，此时，显然中有很多自然数空缺，所以不成立. 综上可得： ，.（18分） 21．（18分） 【详解】（1）∵, ∴的一个“下位点”可以是；的一个“上位点”可以是.（4分） （2）结论正确：点既是点的“下位点”，又是点的上位 证明：∵点是点的“上位点”， ∴，且，，，均大于0，∴ ∴，即， ∴点是点的“下位点”； 同理，，即， ∴点是点的“上位点”.（10分） （3）由题意对任意，都成立 即总存在正整数，使不等式成立 则对任意，都成立 对任意，为正整数恒成立 所以正整数的最小值为4049.（18分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $