高一数学上学期第一次月考（人教B版2019必修第一册第一章+第二章，高效培优·强化卷）

2025-2026学年高一数学上学期第一次月考卷 强化卷·参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A B A C C B C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 题号 9 10 11 答案 AB ABC. BC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 12 14． / 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．（14分） 15．（13分） 【详解】（1）若A是空集，则方程无实根，（1分） 当时，，解得，此时，不符合题意；（3分） 所以，，解得，（5分） 故实数a的取值范围为；（6分） （2）当时，. 所以方程至少有一个正实根.（7分） ①当时，，解得， 所以，符合题意；（9分） ②当时，由，则且， 若时，，此时，符合题意；（10分） 当且时，方程有两个不相等实根，设为， 且方程有两正根或一正根和－负根， 所以或，（11分） 解得或.（12分） 综上，实数a的取值范围为.（13分） 16．（15分） 【详解】（1）当时，，则或， 而， 所以.（7分） （2）当时，，（9分） 由（1）知，由“”是“”成立的必要不充分条件，（11分） 得集合是集合的真子集，则或，解得或，（14分） 所以正实数m的取值范围中.（15分） 17．（15分） 【详解】（1）故当时，取得最大值，最大值为45，所以这批机器运转第7年时，可获得最大利润45万元；（7分） （2）记年平均利润为，则14 当且仅当，即时，等号成立.（15分） 18．（17分） 【详解】（1）因为关于的不等式的解集为，（1分） 所以，即（2分） 所以不等式可转化为，（3分） 又，所以，即， 当，即时，解得;（4分） 当，即时，解得;（5分） 当，即时，解得，（6分） 综上所述:当时，不等式的解集为; 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为.（7分） （2）因为当时，，所以，（8分） 即，所以，（9分） ①若存在正实数a，b，使不等式有解，则，（10分） ，（11分） 当且仅当，即时，，（12分） 所以，解得或， 即的取值范围是.（13分） ②由，可得，（14分） 所以 ，（16分） 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为36.（17分） 19．（17分） 【详解】（1）因为时，且，所以集合不具有性质. 因为时，，总有， 所以集合具有性质，其相应的集合和是 ，.（4分） （2）首先，由中元素构成的有序数对共有个. 因为，所以； 又因为当时，， 所以当时，. 从而，集合中元素的个数最多为， 即.（10分） （3），证明如下： 当时，根据定义， ，，且，从而. 如果与是的不同元素， 那么与中至少有一个不成立， 从而与中也至少有一个不成立. 故与也是的不同元素. 可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即， 当时，根据定义，，， 且，从而. 如果与是的不同元素， 那么与中至少有一个不成立， 从而与中也至少有一个不成立， 故与也是的不同元素. 可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即， 综上可知，.（17分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期第一次月考卷 强化卷·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版2019必修一第一章+第二章 。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．集合的子集有（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】D 【分析】根据集合中有个元素，其子集有个元素即可得解. 【详解】由题意得集合中有3个元素，则其子集有个. 故选：D. 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合交集的定义计算. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 3．不等式的解集是（ ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】先将不等式变形为，再求出变形后的一元二次不等式的解，即可得解. 【详解】原不等式可化为， 解得或， 所以不等式的解集为或. 故选：B. 4．设，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可得解. 【详解】由，解得，由，解得或， 若成立，则或也成立， 反之，若或成立，则不一定成立， ∴“”是“”的充分不必要条件. 故答案为：A. 5．已知，，若集合，则（    ） A．0 B．1 C． D．1或-1 【答案】C 【分析】由两集合相等及分式的分母不为可求出，再利用集合相等和互异性求，代入计算即可. 【详解】因为，，所以，故， 此时集合为，根据集合相等，必有，解得或． 当时，不满足集合元素的互异性， 当时，集合为，符合条件. 所以． 故选：C. 6．已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．2 【答案】C 【分析】由题意可知：，是方程的两根，利用韦达定理可得，再利用基本不等式求最值即可. 【详解】由题意可知：，是方程的两根，且， 则，可得，， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故选：C. 7．已知实数满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，得到，求得，得到，即可求解. 【详解】令，联立方程组，解得 ， 则， 因为，可得， 所以，所以，即. 故选：B. 8．某寺院有甲、乙、丙三口铜钟．甲钟每4秒敲响一声，乙钟每5秒敲响一声，丙钟每6秒敲响一声．新年到来时，三口钟同时敲响并且同时停敲，某人共听到365声钟响．若在此期间，甲、乙、丙三口钟敲响的次数分别，则（    ） A．365 B．256 C．484 D．516 【答案】C 【分析】根据题意分析，结合容斥原理求解即可. 【详解】设敲钟持续的时间为秒， 则甲乙丙钟敲响次数分别为，，， 由于甲乙敲响周期的最小公倍数为20，则甲乙同时敲响次数为， 由于甲丙敲响周期的最小公倍数为12，则甲丙同时敲响次数为， 由于乙丙敲响周期的最小公倍数为30，则乙丙同时敲响次数为， 由于甲乙丙敲响周期的最小公倍数为60，则甲乙丙同时敲响次数为， 由容斥原理易知， 解得，则． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．对于实数a、b、c、d，下列选项中正确的是（    ） A．， B．，， C．， D．，， 【答案】AB 【分析】由不等式性质判断AB正确，举反例说明CD错误即可. 【详解】由不等式性质可知AB正确； 对于C，当，时，不成立，故C错误； 对于D，当时，不成立，故D错误. 故选：AB. 10．关于的方程至少有一个负根的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】探求使不等式成立的充分不必要条件，即寻找在解集范围内且小于该范围的选项． 【详解】当时，方程为，此时方程的根为负根， 当时，方程， 当方程有两个负根时，则有，解得， 当方程有一个负根一个正根时，则有即， 综上所述，当关于的方程至少有一个负根时，有， 选项中，在的范围内，且比小的范围有A、B、C． 故选：ABC. 11．取整函数：不超过的最大整数，如，取整函数在现实生活中有着广泛的应用，如停车收费、出租车收费等等都是按照“取整函数”进行计费的，以下关于“取整函数”的性质是真命题有（    ） A． B． C．则 D． 【答案】BC 【分析】根据取整函数的定义，ABD举列判断，C根据定义给予证明． 【详解】时，，但，A错； 时，，B正确； 设，则，，∴，C正确； ，则，但，D错． 故选：BC． 【点睛】本题考查含有一个量词的命题的真假判断，考查新定义函数取整函数，对于全称命题与存在命题的真假判断，要根据量词进行判断是进行证明还是可举例判断． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若“，使得”是假命题，则实数的取值可以为 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】由题意“，使得”是真命题，求参数范围即可. 【详解】由于“，使得”是假命题， 则“，使得”是真命题， 故，则， 则实数的取值可以为. 故答案为：（答案不唯一） 13．若方程的两根为，且，则 ． 【答案】12 【分析】结合韦达定理，列出方程求解即可 【详解】由韦达定理得，，，， 即 ，可解得 故答案为：12 14．已知，且，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】将已知条件整理得，代入消元得，再变形后利用基本不等式即得. 【详解】， ， ， ， ， 当且仅当，即时等号成立， 此时取最大值． 故答案为：. 4、 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知集合. (1)若A是空集，求实数a的取值范围； (2)当时，若为非空集合，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分和两种情况求解即可； （2）分和两种情况，结合一元二次方程根的分布求解即可. 【详解】（1）若A是空集，则方程无实根， 当时，，解得，此时，不符合题意； 所以，，解得， 故实数a的取值范围为； （2）当时，. 所以方程至少有一个正实根. ①当时，，解得， 所以，符合题意； ②当时，由，则且， 若时，，此时，符合题意； 当且时，方程有两个不相等实根，设为， 且方程有两正根或一正根和－负根， 所以或， 解得或. 综上，实数a的取值范围为. 16．（15分） 已知集合，． (1)若，求； (2)若存在正实数m，使得“”是“”成立的必要不充分条件，求正实数m的取值范围． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）解不等式化简集合，再利用补集、交集的定义求解. （2）求出集合，再利用必要不充分条件定义列式求解. 【详解】（1）当时，，则或， 而， 所以. （2）当时，， 由（1）知，由“”是“”成立的必要不充分条件， 得集合是集合的真子集，则或，解得或， 所以正实数m的取值范围中. 17．（15分） 娄底四中校内有块空地，为美化校园环境，学校决定将空地建成一个小花园，市园林公司中标该项目后须购买一批机器投入施工，据分析，这批机器可获得的利润（单位：万元）与运转的时间（单位：年）的函数关系为. (1)当这批机器运转第几年时，可获得最大利润？最大利润是多少？ (2)当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？ 【答案】(1)第7年时，可获得最大利润45万元 (2) 【分析】（1）对已知的二次函数配方可求得结果； （2）设这批机器的年平均利润为，则且然后利用基本不等式可得其最大值. 【详解】（1）故当时，取得最大值，最大值为45，所以这批机器运转第7年时，可获得最大利润45万元； （2）记年平均利润为，则14 当且仅当，即时，等号成立. 18．（17分） 已知函数. (1)关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集; (2)已知，当时，， ①若存在正实数a，b，使不等式有解，求的取值范围; ②求的最小值. 【答案】(1)答案见解析 (2)①，②36 【分析】（1）由根与系数的关系求出关系，代入所求不等式，分类讨论解集； （2）由条件得，再利用基本不等式求解问题. 【详解】（1）因为关于的不等式的解集为， 所以，即 所以不等式可转化为， 又，所以，即， 当，即时，解得; 当，即时，解得; 当，即时，解得， 综上所述:当时，不等式的解集为; 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. （2）因为当时，，所以， 即，所以， ①若存在正实数a，b，使不等式有解，则， ， 当且仅当，即时，， 所以，解得或， 即的取值范围是. ②由，可得， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为36. 【点睛】关键点点睛：第（2）问中，若存在正实数a，b，使不等式有解，则，利用基本不等式求出，则，可解不等式. 19．（17分） 已知集合 其中 由S 中的元素构成两个相应的集合： ，其中是有序实数对，集合M和N中的元素个数分别为m和n.若对于任意的，总有，则称集合S具有性质 P. (1)检验集合与是否具有性质 P并对其中具有性质 P的集合，写出相应的集合M和N； (2)对任意具有性质 P 的集合S，证明： (3)判断m和n的大小关系，并证明你的结论. 【答案】(1)集合不具有性质 P， 具有性质 P，，. (2)证明见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）利用性质的定义判断出具有性质的集合，利用集合，的定义写出，. （2）据具有性质的集合满足，总有，得到得到；当时，，求出中的元素个数. （3）当时，根据定义可得中元素的个数不多于中元素的个数，即，当时，根据定义可得中元素的个数不多于中元素的个数，即.，进而可得结论 【详解】（1）因为时，且，所以集合不具有性质. 因为时，，总有， 所以集合具有性质，其相应的集合和是 ，. （2）首先，由中元素构成的有序数对共有个. 因为，所以； 又因为当时，， 所以当时，. 从而，集合中元素的个数最多为， 即. （3），证明如下： 当时，根据定义， ，，且，从而. 如果与是的不同元素， 那么与中至少有一个不成立， 从而与中也至少有一个不成立. 故与也是的不同元素. 可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即， 当时，根据定义，，， 且，从而. 如果与是的不同元素， 那么与中至少有一个不成立， 从而与中也至少有一个不成立， 故与也是的不同元素. 可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即， 综上可知，. 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期第一次月考卷 强化卷·考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版2019必修一第一章+第二章 。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．集合的子集有（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．不等式的解集是（ ） A． B．或 C． D． 4．设，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知，，若集合，则（    ） A．0 B．1 C． D．1或-1 6．已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．2 7．已知实数满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．某寺院有甲、乙、丙三口铜钟．甲钟每4秒敲响一声，乙钟每5秒敲响一声，丙钟每6秒敲响一声．新年到来时，三口钟同时敲响并且同时停敲，某人共听到365声钟响．若在此期间，甲、乙、丙三口钟敲响的次数分别，则（    ） A．365 B．256 C．484 D．516 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．对于实数a、b、c、d，下列选项中正确的是（    ） A．， B．，， C．， D．，， 10．关于的方程至少有一个负根的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 11．取整函数：不超过的最大整数，如，取整函数在现实生活中有着广泛的应用，如停车收费、出租车收费等等都是按照“取整函数”进行计费的，以下关于“取整函数”的性质是真命题有（    ） A． B． C．则 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若“，使得”是假命题，则实数的取值可以为 . 13．若方程的两根为，且，则 ． 14．已知，且，则的最大值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知集合. (1)若A是空集，求实数a的取值范围； (2)当时，若为非空集合，求实数a的取值范围. 16．（15分） 已知集合，． (1)若，求； (2)若存在正实数m，使得“”是“”成立的必要不充分条件，求正实数m的取值范围． 17．（15分） 娄底四中校内有块空地，为美化校园环境，学校决定将空地建成一个小花园，市园林公司中标该项目后须购买一批机器投入施工，据分析，这批机器可获得的利润（单位：万元）与运转的时间（单位：年）的函数关系为. (1)当这批机器运转第几年时，可获得最大利润？最大利润是多少？ (2)当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？ 18．（17分） 已知函数. (1)关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集; (2)已知，当时，， ①若存在正实数a，b，使不等式有解，求的取值范围; ②求的最小值. 19．（17分） 已知集合 其中 由S 中的元素构成两个相应的集合： ，其中是有序实数对，集合M和N中的元素个数分别为m和n.若对于任意的，总有，则称集合S具有性质 P. (1)检验集合与是否具有性质 P并对其中具有性质 P的集合，写出相应的集合M和N； (2)对任意具有性质 P 的集合S，证明： (3)判断m和n的大小关系，并证明你的结论. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $