高一数学上学期第一次月考（人教B版2019必修第一册第一章+第二章，高效培优·提升卷）

2025-2026学年高一数学上学期第一次月考卷 提升卷·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版2019必修一第一章+第二章 。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．命题：，的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由全称命题的否定可得. 【详解】由题意可得命题：，的否定是，. 故选：C. 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用补集和交集运算即可求得结果. 【详解】由，又因为， 所以， 故选：B. 3．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质求解分式不等式的解集. 【详解】因为，所以. 即，可得，解得. 故选：D. 4．已知关于x的方程的两个不相等的实数根分别为，且，则（    ） A．5 B．或 C．5或 D． 【答案】D 【分析】根据方程有两个根得出判别式大于零及两根之和和两根之积，最后计算可求得的值. 【详解】因为关于的两个实数根分别为， 所以， 所以，所以， 所以，解得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 综上所述：. .故选：D. 5．如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.已知全集，集合是偶数，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用集合的运算及新定义一一判定选项即可. 【详解】由题，是偶数， 对于，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，，故错误； 对于D，，， 则，故D正确. 故选：D 6．已知命题的否定是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可知命题的否定是真命题，根据一元二次不等式的存在性问题求解即可. 【详解】依题意，是真命题， 所以在R上有解， 当时，原不等式，解得，满足题意； 当时，一元二次函数开口向下，此时原不等式在R上一定有解，故满足题意； 当时，若在R上有解，则，解得， 综上所述，， 因此命题的否定是真命题的充要条件为， 所以命题的否定是真命题的一个充分不必要条件可以是， 故选：A. 7．已知正数满足.若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由基本不等式乘“1”法，求得的最小值，进而可求解. 【详解】由题意知：不等式恒成立， 即， ， 即：， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，当且仅当即 时等号成立. ∴当时，取得最小值为8. ∴解得： 故选：C. 8．设是一个集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：（1）属于属于；（2）中任意多个元素的并集属于；（3）中任意多个元素的交集属于；则称是集合上的一个拓扑.已知集合，对于下面给出的四个集合： ①； ② ③； ④ 其中是集合上的拓扑的集合的序号是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】利用定义结合集合间的基本关系与运算计算即可. 【详解】① 故①不是集合X上的拓扑的集合； ③， 故③不是集合X上的拓扑的集合； 对于选项②④ 满足：（1）X属于，属于； （2）中任意多个元素的并集属于；（3）中任意多个元素的交集属于， 综上得，是集合X上的拓扑的集合的序号是②④ 故选：C 【点睛】思路点睛：新定义问题关键在于理解题意，将问题转化为集合间的基本关系即可. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】A选项，利用立方根的性质可得A正确；BC选项，可根据不等式的性质进行推理，D选项可举出反例. 【详解】A选项，若，则，A正确； B选项，因为，所以，B正确； C选项，因为，所以由倒数法则得， 因为，由不等式性质（同向同正可乘性）知，C正确； D选项，举反例：当时，满足，， 此时，则，D错误. 故选：ABC 10．下列命题的否定是全称量词命题且为真命题的有（    ） A． B．所有的正方形都是矩形 C． D．至少有一个实数，使 【答案】AD 【分析】解法一：根据存在命题的否定是全称量词命题进行判断B即可；根据ACD原命题的否定是全称量词命题，再判断原命题的否定是否为真命题进行判断即可. 解法二：存在量词与全称量词命题一真一假，只需找选项中是存在量词命题，且为假命题的即可． 【详解】解法一：对于A，是存在量词命题， 其否定为：，即，是全称量词命题，且为真命题； 对于B，所有的正方形都是矩形是全称量词命题，其否定为存在量词命题； 对于C，是存在量词命题， 其否定为：，，即，因为恒成立，故其是假命题； 对于D，至少有一个实数，使是存在量词命题， 其否定为：任意实数，都有，因为，所以不存在使得，故其为真命题． 解法二：存在量词与全称量词命题一真一假，只需找选项中是存在量词命题，且为假命题的即可． 只有ACD是存在量词命题，且A中，所以A为假命题， C中恒成立，所以C为真命题， D中任意实数，都有，所以D为假命题． 故选：AD． 11．已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的值可能为（   ） A． B． C． D．5 【答案】ABD 【分析】求两个不等式的解，根据不等式组的解只有一个整数解，结合两不等式的解的交集，可确定不等式端点需要满足的关系，即可列不等式求解. 【详解】解不等式，得或. 解方程，得. ①当，即时，，方程组的解为，不是整数， 所以； ②当，即时，不等式的解集为， 此时不等式组的解集为，根据题意， 得，即； ③当，即时，不等式的解集为， 要使不等式组的解集中仅有一个整数， 则，即. 综上，的取值范围为. 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若，，并有以下7个关系式： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦ 其中正确的有 （填序号）． 【答案】①②③④⑥⑦. 【分析】根据条件，利用元素与集合、集合与集合间的关系的判断方法，逐一对各个命题分析判断，即可求解. 【详解】因为，所以，又，若作为一个元素并不在A中，故①正确；③，④正确； 又任何一个集合都是它本身的子集，空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集， 所以②，⑥正确， 又，所以⑤错误，显然⑦正确， 故答案为：①②③④⑥⑦. 13．已知集合，且，若命题“”是真命题，则m的取值范围是 . 【答案】 【分析】由命题是真命题等价转换成.又列出不等关系式即可求解. 【详解】若命题为真，则集合B中所有元素都在集合A中，即. 又，所以 解得，故. 故答案为： 14．以表示数集中最大的数．已知，，，则的最小值为 【答案】2 【分析】根据题意求出所满足的不等式，再结合基本不等式求解即可. 【详解】由题意可知, 所以有，因为 所以， 当且仅当，即时取等号， 另外，当且仅当即时取等号， 综合上述，所以有即，当且仅当时取等号. 故答案为：2. 4、 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知集合，求： (1)当时，中至多只有一个元素，求的取值范围； (2)当满足什么条件时，集合为空集． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）当时，为一次方程，符合题意，当时，则可求得结果， （2）当，时，方程无解，当时，则可得答案. 【详解】（1）由题意得，方程可化为， ①当时，方程可化为，得， 所以，符合题意， ②当时， 因为中至多只有一个元素， 所以，解得， 综上所述，的取值范围为或； （2）①当时，方程可化为， 因为为空集，所以， ②当时， 因为为空集，所以， 综上所述，当或时，集合为空集． 16．（15分） 设全集，集合，，其中． (1)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据条件可知，列不等式，即可求解； （2）首先求当时的取值范围，再求其补集. 【详解】（1）， “”是“”的必要而不充分条件，  ，解得， 即实数的取值范围为； （2）若命题“，使得”是假命题，则， ，或， ①当时，，解得， ②当时，则，无解， 即命题为假命题时，实数的取值范围为， 命题为真命题时，实数的取值范围为． 17．（15分） 已知全集，集合，. (1)若时，存在集合使得，求出这样的集合； (2)是否存在集合，满足?若存在，求实数的取值范围；若不能，请说明理由. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，，再根据求解即可； （2）根据题意得到，分类讨论与两种情况，结合二次方程的解法即可得解. 【详解】（1）当时，， ， 又因为， 所以这样的集合共有如下6个：. （2）由可得，结合， 当，即，时，，满足题意， 当时， ①若有两个相等的实数根，即，则， 此时，不满足题意， ②若有两个不相等的实数根，又， 结合韦达定理可得两根，故，此时， 综上，实数的取值范围为. 18．（17分） 已知关于的不等式. (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围. (3)在（2）的条件下，解关于x的不等式. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可得，且和时关于的方程的两个实数根，从而可求出的值； （2）由题意得或，从而可求出的取值范围； （3）根据（2）中的取值范围可得到不等式对应方程的根的大小，即可求得结果. 【详解】（1）因为关于的不等式的解集为， 所以，且和时关于的方程的两个实数根， 则，解得； （2）因为关于的不等式恒成立， 当时，原不等式为成立； 当时， ，即； 综上的取值范围为； （3）不等式可化简为， 则的两个根为， 因为， 所以，即， 所以解集为. 19．（17分） 已知是全体复数集的一个非空子集，如果，总有，，，则称S是数环.设是数环，如果①内含有一个非零复数；②且，有，则称是数域.由定义知有理数集Q是数域. (1)求元素个数最小的数环； (2)记，证明：是数域； (3)若，是数域，判断是否是数域，请说明理由. 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3)不一定是数域，理由见解析 【分析】（1）先证为数环，再证其为元素最少的数环； （2）设，，，再利用数环、数域的定义证明即可； （3）先取，说明是数域；再证为数域，接着取，即可得出是不是数域. 【详解】（1）因为为数环，可知不是空集，即中至少有一个元素， 若，则，可知为数环； 若，则，可知中不止一个元素，不是元素个数最少的数环； 综上所述：元素个数最少的数环为. （2）设，，，可知， 则有：， ， ， 因为，则，，，，，， 可知，，，所以是数环； 因，则必存在使，此时，满足①； 若，则， 因为，则，， 可知，满足②；综上所述：是数域. （3）不一定是数域，理由如下： ①若，，显然，均为数域，且是数域； ②设，， 设，，，可知，则有： ， ， ， 因为，则，，，，，， 可知，，，所以是数环； 因，则必存在使，此时，满足①； 若，则， 因为，则，， 可知，满足②； 综上所述：是数域. 因，，但， 所以不是数域； 综上所述：不一定是数域. 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期第一次月考卷 提升卷·参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B D D D A C C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 题号 9 10 11 答案 ABC AD ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． ①②③④⑥⑦ 13． 14． 2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．（14分） 15．（13分） 【详解】（1）由题意得，方程可化为，（1分） ①当时，方程可化为，得， 所以，符合题意，（3分） ②当时， 因为中至多只有一个元素， 所以，解得， 综上所述，的取值范围为或；（6分） （2）①当时，方程可化为， 因为为空集，所以，（9分） ②当时， 因为为空集，所以， 综上所述，当或时，集合为空集．（13分） 16．（15分） 【详解】（1）， “”是“”的必要而不充分条件， （2分） ，解得，（5分） 即实数的取值范围为；（7分） （2）若命题“，使得”是假命题，则，（8分） ，或，（10分） ①当时，，解得，（12分） ②当时，则，无解，（14分） 即命题为假命题时，实数的取值范围为， 命题为真命题时，实数的取值范围为．（15分） 17．（15分） 【详解】（1）当时，，（2分） ，（4分） 又因为，（5分） 所以这样的集合共有如下6个：.（7分） （2）由可得，结合，（8分） 当，即，时，，满足题意，（9分） 当时， ①若有两个相等的实数根，即，则， 此时，不满足题意，（11分） ②若有两个不相等的实数根，又， 结合韦达定理可得两根，故，此时，（14分） 综上，实数的取值范围为.（15分） 18．（17分） 【详解】（1）因为关于的不等式的解集为， 所以，且和时关于的方程的两个实数根， 则，解得；（4分） （2）因为关于的不等式恒成立， 当时，原不等式为成立； 当时， ，即； 综上的取值范围为；（10分） （3）不等式可化简为， 则的两个根为， 因为， 所以，即， 所以解集为.（17分） 19．（17分） 【详解】（1）因为为数环，可知不是空集，即中至少有一个元素， 若，则，可知为数环； 若，则，可知中不止一个元素，不是元素个数最少的数环； 综上所述：元素个数最少的数环为.（4分） （2）设，，，可知， 则有：， ， ， 因为，则，，，，，， 可知，，，所以是数环； 因，则必存在使，此时，满足①； 若，则， 因为，则，， 可知，满足②；综上所述：是数域.（10分） （3）不一定是数域，理由如下： ①若，，显然，均为数域，且是数域； ②设，， 设，，，可知，则有： ， ， ， 因为，则，，，，，， 可知，，，所以是数环； 因，则必存在使，此时，满足①； 若，则， 因为，则，， 可知，满足②； 综上所述：是数域. 因，，但， 所以不是数域； 综上所述：不一定是数域.（17分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期第一次月考卷 提升卷·考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版2019必修一第一章+第二章 。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．命题：，的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 4．已知关于x的方程的两个不相等的实数根分别为，且，则（    ） A．5 B．或 C．5或 D． 5．如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.已知全集，集合是偶数，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 6．已知命题的否定是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 7．已知正数满足.若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．设是一个集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：（1）属于属于；（2）中任意多个元素的并集属于；（3）中任意多个元素的交集属于；则称是集合上的一个拓扑.已知集合，对于下面给出的四个集合： ①； ② ③； ④ 其中是集合上的拓扑的集合的序号是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．下列命题的否定是全称量词命题且为真命题的有（    ） A． B．所有的正方形都是矩形 C． D．至少有一个实数，使 11．已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的值可能为（   ） A． B． C． D．5 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若，，并有以下7个关系式： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦ 其中正确的有 （填序号）． 13．已知集合，且，若命题“”是真命题，则m的取值范围是 . 14．以表示数集中最大的数．已知，，，则的最小值为 4、 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知集合，求： (1)当时，中至多只有一个元素，求的取值范围； (2)当满足什么条件时，集合为空集． 16．（15分） 设全集，集合，，其中． (1)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 17．（15分） 已知全集，集合，. (1)若时，存在集合使得，求出这样的集合； (2)是否存在集合，满足?若存在，求实数的取值范围；若不能，请说明理由. 18．（17分） 已知关于的不等式. (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围. (3)在（2）的条件下，解关于x的不等式. 19．（17分） 已知是全体复数集的一个非空子集，如果，总有，，，则称S是数环.设是数环，如果①内含有一个非零复数；②且，有，则称是数域.由定义知有理数集Q是数域. (1)求元素个数最小的数环； (2)记，证明：是数域； (3)若，是数域，判断是否是数域，请说明理由. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $