高一数学上学期第一次月考（沪教版2020必修第一册第一章+第二章，高效培优·提升卷）

2025-2026学年高中数学上学期第一次月考卷 提升卷·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020必修第一册第一章+第二章 。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知全集，集合满足，则下列关系中一定正确的有 ． ①；②；③；④ 【答案】③ 【分析】根据子集、交集、补集的定义进行判断即可. 【详解】由可得，但不一定成立，①，②错误； 则因为，所以，③正确； 当时，；当时，，④错误． 故答案为：③. 2．已知集合，，则集合的真子集个数为 . 【答案】 【分析】由集合的交集运算及真子集的概念可得结果. 【详解】因为集合，， 所以，共3个元素，所以的真子集个数为. 故答案为：7. 3．“方程至多有一个实数解”的一个充分不必要条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】先求出“方程至多有一个实数解”的充要条件，再利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】“方程至多有一个实数解”的充要条件为，解得， 又是的充分不必要条件． 故答案为：（答案不唯一） 4．设集合，，，则实数的取值集合为 . 【答案】 【分析】解方程求集合，再由并集结果，讨论、分别求出对应参数值，即可得. 【详解】由题设，又，则. 所以，显然不可能有， 当时，若，此时， 若，此时， 当时，有， 综上，. 故答案为： 5．已知，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由不等式的性质即可求解. 【详解】因为， 所以，则有又， 由不等式的同向同正可乘性得，则. 故答案为： 6．已知且，则的最小值为 ． 【答案】9 【分析】通过换元，令，得，将问题转化为求的最小值.再通过“1”的代换结合基本不等式即可得解. 【详解】由，得，令，则， 故， 当且仅当即时等号成立， 也即，即时，等号成立， 故的最小值为9． 故答案为：9. 7．若对任意，都有，则实数的最大值为 【答案】 【分析】利用绝对值不等式的性质求出的最小值，再根据已知条件确定实数的最大值. 【详解】根据绝对值不等式. 对于，这里，，则. 当且仅当时等号成立，所以的最小值是. 因为对任意，都有恒成立. 这就意味着要不大于的最小值. 而最小值是，所以，那么实数的最大值就是. 故答案为：3. 8．已知全集，集合，，，若，则所有子集的个数为 ． 【答案】 【分析】利用，求出，再求出全集，结合集合的运算得到，进而得到子集个数. 【详解】因为，，且， 则或，且，，解得． 则集合，， 又， 所以，，则， 所以的子集的个数为． 故答案为：. 9．已知，且，则的最大值为 ． 【答案】25 【分析】方法1，由基本不等式可得最大值；方法2，由，可得，代入可得，然后由二次函数性质可得答案. 【详解】方法1，由，得，则， 当且仅当，即时，取等号，所以的最大值为25； 方法2，因为，所以，则 ， 又因为，则结合二次函数图象可知当时，取到最大值25，即的最大值为25． 故答案为：25 10．若实数满足，则的最大值与最小值的和为 ． 【答案】/ 【分析】利用齐次化结合判别式可求最大值和最小值，从而得到它们的和. 【详解】因为，故， 而， 若，则，则， 若，则， 设，则，令， 则， 若，则； 若， 故， 故即且， 综上，， 故的最小值为，最大值为， 所以的最大值与最小值的和为． 故答案为：. 11．若关于的不等式组恰有50个不等的实数解，则的取值范围为 .（结果用区间表示） 【答案】 【分析】先求出不等式的解，再分，，三种情况讨论，再根据区间内有个整数，得到区间的长度应满足的条件，进而可得出答案. 【详解】由，解得或， 当，即时，， 此时原不等式组不可能有个不等的实数解， 当，即时，， 此时原不等式组无解， 当，即时， 原不等式组的解集为， 因为原不等式组恰有50个不等的实数解，且区间内有个整数， 所以在区间内有个整数， 则区间的长度应满足，解得， 所以， 则在区间内只有两个整数， 所以区间内有个整数， 所以，解得， 综上，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据区间内有个整数，得到区间的长度应满足的条件，是解决本题的关键. 12．已知集合，将与（其中，）的乘积放入如图的方格中，则方格中全部数之和的最大值为 . 【答案】110 【分析】先求方格中全部数之和的表达式，设，换元并利用二次函数性质求其最大值. 【详解】解：由表格数据可得所有数之和为： ， ， 集合， ， 设，则，，， 当或时，取最大值，最大值为110， 此时，，可取最大值110. 故答案为：110. 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解不等式求出集合B，再根据集合的并集运算，即可求得答案. 【详解】由题意得， 结合全集，集合， 得， 故选：B 14．若、、为实数，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】B 【分析】对于A，当时即可判断，对于B，利用作差法即可判断，对于C，取即可判断，对于D，利用作差法即可判断. 【详解】 对于A，当时，，故A错误； 对于B：因为 ，则，所以，，所以，故B正确， 对于C，取，满足，显然不成立，故C错误； 对于D： ，因为，得，又，所以，所以，故D错误. 故选：B 15．已知二次函数．甲同学：的解集为或；乙同学：的解集为或，丙同学：函数图象的对称轴在轴右侧．在这三个同学的论述中，只有一个假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设描述，由一元二次不等式的解集列不等式求参数的范围，结合假命题个数确定参数范围. 【详解】若的解集为或，则解得； 若的解集为或，则解得； 若函数图象的对称轴在轴右侧，则对称轴，则，得． 又这三个同学的论述中，只有一个假命题，故乙同学为假，综上，． 故选：C. 16．设集合是实数集的子集，如果满足：对任意，都存在，使得，称为集合的聚点，则在下列集合中，以0为聚点的集合有（    ） ①        ② ③        ④ A．①② B．①③ C．②③ D．①③④ 【答案】B 【分析】根据聚点的含义，一一判断各集合是否满足聚点定义，即可判断答案. 【详解】对于①，对任意，都存在， 使得，故0是集合的聚点； 对于②，取，此时对于任意， 都有，即不可能成立，故0不是集合的聚点； 对于③，对任意，都存在，即， 使得，故0是集合的聚点； 对于④，，即随n的增大而增大， 故的最小值为，故当时，不存在x，使得， 故0不是集合的聚点； 故选：B 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是理解聚点的含义，判断所给集合是否满足聚点定义. 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（14分） 已知集合，且. (1)求； (2)已知集合，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由结合题意可得，然后可得. （2）分，两种情况，结合题意可得答案. 【详解】（1）由题知，解得， 此时，满足， 故； （2）由题知，因为， 当，即时，解得，满足题意； 当，即时，， 要满足. 则，解得，故. 综上，的取值范围是. 18．（14分） 已知全集，集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)命题，命题，若是的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）求出集合、，根据可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围； （2）分析可知，，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）对于集合，由， 等式两边平方得， 所以，， 可得，解得，则， 因为，则， 所以，， 因为，则或，解得或， 因此，实数的取值范围是或. （2）已知命题，命题，若是的必要条件，则， 所以，，解得或， 因此，实数的取值范围是或. 19．（14分） 通过市场调查发现：某产品生产需投入年固定成本3万元，每生产万件，需要额外投入流动成本万元.在年产量不足万件时，（万元）；在年产量不少于万件时，（万元）.已知每件产品售价元，且生产的产品在当年可全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； (2)当年产量为多少万件时，生产销售该产品所获利润最大？最大利润是多少？ （注：若，当且仅当时等号成立） 【答案】(1) (2)以当年产量为6万件时，利润最大，最大利润为3万元 【分析】（1）分和两种情况讨论，分别求出的解析式； （2）利用均值不等式分别求出各段的最大值，即可得解. 【详解】（1）因为每件商品售价为元，则万件的商品销售收入为万元； 根据题意得， 当时，； 当时，； 所以. （2）当时， ， 当且仅当，即时，有最大值； 当时，， 当且仅当，即时取等号， 因为，所以当年产量为万件时，利润最大，最大利润为万元 20．（18分） 法国数学家佛郎索瓦・韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系，人们把这个关系称为韦达定理，它的内容为：“对于一元二次方程，它的两根、有如下关系：．” 韦达定理还有逆定理，它的内容为：“如果两数和满足如下关系：，那么这两个数和是方程的根．”通过韦达定理的逆定理，我们就可以利用两数的和与积的关系构造一元二次方程 例如：，那么和是方程的两根．请应用上述材料解决以下问题： (1)已知、是两个不相等的实数，且满足，，求的值； (2)已知实数、满足，，求的值； (3)已知，是二次函数的两个零点，且，求使的值为整数的所有的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用两个等式特征，可将可看作方程的两个异实数根，由韦达定理即可求出所求式的值； （2）由题设等式，可将可看作方程的两个实数根，求出两根，分情况讨论求解即得； （3）由题意，使，求得，利用韦达定理求得，将所求式整理化简得，结合题设条件，即可求得的所有取值. 【详解】（1）由，，， 可将可看作方程的两个不相等的实数根， 由韦达定理，， 所以； （2）由，， 可将可看作方程的两个实数根， 由解得或， 则有或， ① 当时，； ② 当时，． 所以的值为22或37． （3）由题意和韦达定理，可得，， 且，解得， 故 因，又，故必为的因数， 则的值可能为， 则实数k的值可能为，又， 故k的所有取值为． 21．（18分） 已知数集（，且），若，均有，则称具有性质．规定集合，集合，设集合中的元素个数为，集合中的元素个数为． (1)试判断集合和集合是否具有性质； (2)若具有性质，，证明：； (3)若具有性质，试比较a，b的大小，并说明理由． 【答案】(1)集合不具有性质，集合具有性质 (2)证明见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）由定义即可直接判断； （2）由新定义得到集合中元素的个数不超过，即可求证； （3）对集合中的元素分两种情况讨论：，得到或，得到，，进而得到，同样讨论集合中的元素，得到，即可求证； 【详解】（1）对于集合，若，则，所以集合不具有性质． 对于集合，因为，，，，，，，，所以集合具有性质． （2）依题意，集合中的元素构成有序数对，共有个． 因为，所以，又当时，， 所以当时，， 因此集合中元素的个数不超过，故． （3）对集合中的元素分两种情况讨论： ①若，则，，可得， 这种情况下，集合中每个元素都能在集合中找到一个对应的元素． ②若，其中，则，，．， 可得，且，， 这种情况下，集合中每对元素都能在集合中找到一对对应的元素，所以． 同理，对集合中的元素也分两种情况讨论： ①若，可得， 这种情况下，集合中每个元素都能在集合中找到一个对应的元素． ②若，其中，可得，且，， 这种情况下，集合中每对元素都能在集合中找到一对对应的元素．所以． 综上可得． 【点睛】关键点点睛：通过或推出，集合中每对元素都能在集合中找到一对对应的元素，同理推出集合中每对元素都能在集合中找到一对对应的元素． 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期第一次月考卷 提升卷·参考答案 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1． ③ 2． 3． （答案不唯一） 4． 5． 6． 9 7． 8． 9． 25 10． / 11． 12． 110 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 题号 13 14 15 16 答案 B B C B 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（14分） 【详解】（1）由题知，解得， 此时，满足， 故；（7分） （2）由题知，因为，（8分） 当，即时，解得，满足题意；（9分） 当，即时，，（10分） 要满足.（11分） 则，解得，故.（13分） 综上，的取值范围是.（14分） 18．（14分） 【详解】（1）对于集合，由，（1分） 等式两边平方得，（3分） 所以，， 可得，解得，则，（4分） 因为，则， 所以，，（5分） 因为，则或，解得或， 因此，实数的取值范围是或.（7分） （2）已知命题，命题，若是的必要条件，则，（9分） 所以，，解得或，（13分） 因此，实数的取值范围是或.（14分） 19．（14分） 【详解】（1）因为每件商品售价为元，则万件的商品销售收入为万元； 根据题意得， 当时，；（3分） 当时，；（6分） 所以.（7分） （2）当时，（8分） （9分） ，（10分） 当且仅当，即时，有最大值；（11分） 当时，，（12分） 当且仅当，即时取等号，（13分） 因为，所以当年产量为万件时，利润最大，最大利润为万元（14分） 20．（18分） 【详解】（1）由，，， 可将可看作方程的两个不相等的实数根， 由韦达定理，， 所以；（4分） （2）由，， 可将可看作方程的两个实数根， 由解得或， 则有或，（7分） ① 当时，；（8分） ② 当时，．（9分） 所以的值为22或37．（10分） （3）由题意和韦达定理，可得，，（11分） 且，解得，（12分） 故（13分） 因，又，故必为的因数，（14分） 则的值可能为，（15分） 则实数k的值可能为，又，（17分） 故k的所有取值为．（18分） 21．（18分） 【详解】（1）对于集合，若，则，所以集合不具有性质． 对于集合，因为，，，，，，，，所以集合具有性质．（4分） （2）依题意，集合中的元素构成有序数对，共有个． 因为，所以，又当时，， 所以当时，， 因此集合中元素的个数不超过，故．（8分） （3）对集合中的元素分两种情况讨论： ①若，则，，可得， 这种情况下，集合中每个元素都能在集合中找到一个对应的元素．（10分） ②若，其中，则，，．， 可得，且，， 这种情况下，集合中每对元素都能在集合中找到一对对应的元素，所以． 同理，对集合中的元素也分两种情况讨论：（14分） ①若，可得， 这种情况下，集合中每个元素都能在集合中找到一个对应的元素．（16分） ②若，其中，可得，且，， 这种情况下，集合中每对元素都能在集合中找到一对对应的元素．所以． 综上可得．（18分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高中数学上学期第一次月考卷 提升卷·考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020必修第一册第一章+第二章 。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知全集，集合满足，则下列关系中一定正确的有 ． ①；②；③；④ 2．已知集合，，则集合的真子集个数为 . 3．“方程至多有一个实数解”的一个充分不必要条件是 ． 4．设集合，，，则实数的取值集合为 . 5．已知，，则的取值范围是 . 6．已知且，则的最小值为 ． 7．若对任意，都有，则实数的最大值为 8．已知全集，集合，，，若，则所有子集的个数为 ． 9．已知，且，则的最大值为 ． 10．若实数满足，则的最大值与最小值的和为 ． 11．若关于的不等式组恰有50个不等的实数解，则的取值范围为 .（结果用区间表示） 12．已知集合，将与（其中，）的乘积放入如图的方格中，则方格中全部数之和的最大值为 . 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 14．若、、为实数，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 15．已知二次函数．甲同学：的解集为或；乙同学：的解集为或，丙同学：函数图象的对称轴在轴右侧．在这三个同学的论述中，只有一个假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 16．设集合是实数集的子集，如果满足：对任意，都存在，使得，称为集合的聚点，则在下列集合中，以0为聚点的集合有（    ） ①        ② ③        ④ A．①② B．①③ C．②③ D．①③④ 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（14分） 已知集合，且. (1)求； (2)已知集合，且，求的取值范围. 18．（14分） 已知全集，集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)命题，命题，若是的必要条件，求实数的取值范围. 19．（14分） 通过市场调查发现：某产品生产需投入年固定成本3万元，每生产万件，需要额外投入流动成本万元.在年产量不足万件时，（万元）；在年产量不少于万件时，（万元）.已知每件产品售价元，且生产的产品在当年可全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； (2)当年产量为多少万件时，生产销售该产品所获利润最大？最大利润是多少？ （注：若，当且仅当时等号成立） 20．（18分） 法国数学家佛郎索瓦・韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系，人们把这个关系称为韦达定理，它的内容为：“对于一元二次方程，它的两根、有如下关系：．” 韦达定理还有逆定理，它的内容为：“如果两数和满足如下关系：，那么这两个数和是方程的根．”通过韦达定理的逆定理，我们就可以利用两数的和与积的关系构造一元二次方程 例如：，那么和是方程的两根．请应用上述材料解决以下问题： (1)已知、是两个不相等的实数，且满足，，求的值； (2)已知实数、满足，，求的值； (3)已知，是二次函数的两个零点，且，求使的值为整数的所有的值． 21．（18分） 已知数集（，且），若，均有，则称具有性质．规定集合，集合，设集合中的元素个数为，集合中的元素个数为． (1)试判断集合和集合是否具有性质； (2)若具有性质，，证明：； (3)若具有性质，试比较a，b的大小，并说明理由． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $