第二章《轴对称》复习课学案 2025-2026学年鲁教版数学七年级上册

该初中数学导学案围绕“轴对称”单元设计，以知识网络图构建核心概念体系，通过“成轴对称图形—线段与角的性质—等腰三角形与等边三角形—直角三角形特殊性质—尺规作图应用”的课时递进路径，层层深入引导学生从直观感知走向逻辑推理，实现从图形识别到性质理解再到综合运用的能力跃升。 亮点在于“模型探究+问题驱动”的双轮推进设计，突出数学抽象、逻辑推理和建模意识的核心素养。例如在角平分线模型中，学生通过观察、归纳、证明三个环节完成从具体图形到一般结论的提炼，再迁移至实际问题如人工湖距离最短路径的求解，体现用数学语言表达现实世界的能力。每道典型例题均配有符号语言规范训练和错因分析提示，帮助学生建立清晰的思维链条，既提升解题效率又强化数学表达习惯，为教师开展结构化复习提供可复制、可拓展的教学范式。

第二章《轴对称》复习课 【知识网络】 【知识梳理】（要求：熟背并默写，不要死记硬背，脑海中要始终有图形，结合图形背诵。） 1. 成轴对称的定义： 2. 轴对称图形的定义： 3. 轴对称的性质：（1） （2） 4. 线段的轴对称性 （1）线段是 ，它的对称轴有 条，是 . （2）垂直平分线的定义： （3）垂直平分线的性质： 符号语言： 性质 ∵ ∴ 5. 角的轴对称性 （1） 角是 图形，它的对称轴有 条，对称轴是 ． （2） 角平分线的性质： 符号语言： 性质 ∵ 且 ∴ 补充：①三角形的三条边的垂直平分线的交点到 的距离相等 ②三角形的三条角平分线的交点到 的距离相等 6. 等腰三角形 （1）等腰三角形是 图形，有 条对称轴，对称轴是 ． （2）等腰三角形的性质定理： （简称“ ” ) ． 符号语言：∵ ∴ （3） 等腰三角形的 互相重合(简称“ ”)． 符号语言： ①∵ ② ∵ ③∵ ∴ ∴ ∴ （4）等腰三角形的判定： __ （简称“ ”) ． 符号语言：∵ ∴ 7. 等边三角形 （1） 等边三角形的性质 ①等边三角形是___________图形，且有 对称轴． ②等边三角形的三个内角 ，并且每一个角都等于 ． （2） 等边三角形的判定 ① ② ③ 8. 直角三角形 性质： 符号语言：∵Rt△ABC中 ， ∴ 【考点精练】 考点一：线段垂直平分线的性质应用 1.如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线MN交AC边于点D，交BC边于点E连接BD． （1）若CE＝6，△BDC的周长为28，求BD的长． （2）若∠ADM＝70°，∠ABD＝20°，求∠A的度数． 考点二：角平分线的性质应用 2.如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的角平分线，过点E作EN⊥AB于点N，EM为△BED 的高． （1）若∠BED＝40°，∠BAD＝25°，求∠ABD的度数； （2）若AB＝16，BD＝8，△ABC的面积为64，求EM的长． 考点三：等腰三角形、等边三角形的性质应用 3．等腰△ABC中，AB＝AC，边AC上的中线BD把△ABC的周长分成15cm和6cm两部分． 求边AB、BC的长． 4．如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE，求证：AB＝AC． 5.已知:如图,C为线段AB上一点,△ACM,△CBN都是等边三角形,连接AN交MC于点E, 连接BM交CN于点F,连接EF。求证：(1)AN=MB；(2)△CEF为等边三角形。 考点四：含30°角的直角三角形的性质应用 6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，求证：AD＝3BD． 7．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，EF为AB的垂直平分线，EF交BC于F，交AB于E，且EF＝3，求BF、CF的长． 考点五：尺规作图 8.利用轴对称解决最短路径问题： （1）如图1,点A,B在直线m的同侧,在直线m上求作点P，使PA+PB最小。 （2）如图2,OA,OB是两条相交的公路,点P是一个邮电所,现想在OA,OB上各设立一个投递点C,D,要想使邮电员每次投递路程最短(PC+CD+PD最短),则投递点应设立在何处?在图中作出点P。 （3）在定直线m异侧有两点A,B,在直线m上求作一点P,使PA与PB之差的绝对值最大。 （4）如图4,P,Q为∠MON内两点,分别在OM与ON上作点A,B,使四边形PABQ的周长最小。. 9.作图与探究：如图，中，． （1）作图：①画线段的垂直平分线，设与边交于点；②在射线上画点，使，连接．（不写作法，保留作图痕迹） （2）探究：与有怎样的数量关系？并证明你的结论． 【综合测评】 1、 选择题（共 10 题，每题4分，共40分） 1．下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．小林同学在照镜子的时候发现自己的学号牌在镜子中的数字显示为如下图案，请问他的学号应该是（    ） A．70625 B．70952 C．70925 D．52607 3．等腰三角形的一个内角为，则它的顶角度数是（   ） A． B． C．或 D．或 4．如图，在△ABC中，，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点M和点N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P．连接并延长交于点D，若，则点D到直线的距离是（  ） A．5 B．4 C．3 D．2 5．如图，将一张等宽的纸条按图中方式折叠，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，，，于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在△ABC中，，，的延长线交于点，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 8．昆明市打算在某条街道新建一所中学，为了方便居民区A、B的学生上学，要使A、B两小区到学校的距离之和最小，则学校C的位置应该在（   ） A． B． C． D． 9．如图，△ABC中，，的中垂线交于E，交于点D，若，则的周长为（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 10．如图，在△ABC中，，，点P从点A出发以的速度向点B运动，点Q从点C同时出发以的速度向点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当是以为底的等腰三角形时，运动的时间是（   ） A．2.5秒 B．3秒 C．3.5秒 D．4.2秒 二、填空题（共6题，每题4分，满分24分） 11.如图，把长方形沿折叠后，点，分别落在，的位置．若， 则 ． 12.如图，在中，，是的中垂线，分别交、于点、，若，，则 ． 13．如图，在中，AD==CD，则∠A为 ． 14．如图，左图是一个可调节平板支架，其结构示意图如右图所示，当平分时，点B到桌面的距离是，则点B到的距离是 ． 15．如图，在△ABC中，，的垂直平分线分别交，于点D，M，的垂直平分线分别交，于点E，N，连接，，则的度数为 ． 16．如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点D，E，再分别以D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线，交于点F，已知，，则的长为 ． 三、解答题（本大题共 8个小题，满分 86分） 17.（12分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，请按要求完成下列问题． (1)画出△ABC关于直线l对称的（与，与，与相对应）； (2)在直线l上画出点，使的值最小． (3)求的面积； 18．（10分）如图，△ABC中，是△ABC的高．．求的长． 19．（10分）如图，在△ABC中，点D为上一点，将沿翻折得到，与相交于点F，若平分，，． (1)求证：； (2)求的度数． 20.（8分）如图，在中，∠B=90°，，，垂足为E，且，连接求证：为等腰三角形． 21.（10分）在△ABC中，，，，将△ABC沿某条直线折叠，使三角形的顶点与重合，折痕为． (1)试求的周长； (2)若，求的度数． 22.（10分）如图，△ABC中，交于点D， (1)求证：． (2)若，求△ABC的面积． 23．（12分）如图所示，，是等腰的斜边上的两个动点，,且． (1)求证：； (2)求证；． 24． （本题14分） 【模型解读】 角平分线在数学中都占据着重要的地位，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法． 【模型证明】 图5 图4 图3 图2 图1 常见模型1 条件：如图1，为的角平分线，，垂足为点A，，垂足为点B． 结论：，． 常见模型2 条件：如图2，在中，，为的角平分线，作，垂足为点E． 结论：，且（当是等腰直角三角形时，有）． 常见模型3 条件：如图3，是的角平分线，． 结论：． 根据模型3的条件，请证明上述结论． 【模型运用】如图4，，分别为和的平分线，，则，，的数量关系是 ． 【解决问题】如图5，是一个四边形人工湖，，米，米，甲、乙两人同时从点C出发，甲沿方向以2米/秒的速度前进，乙沿方向以1米/秒的速度前进，30秒后，甲、乙分别到达E，F处，此时测得，，此时甲、乙两人的距离为 米． 答案：： 考点精练】 考点一：线段垂直平分线的性质应用 1.解：（1）∵MN垂直平分BC， ∴DC＝BD，CE＝EB， 又∵EC＝6， ∴BE＝6， 又∵△BDC的周长＝28， ∴B D+D C＝16， ∴BD＝8； （2）∵∠ADM＝70°， ∴∠CDN＝70°， 又∵MN垂直平分BC， ∴∠D N C＝90°，N D＝N C， ∴∠C＝20°， 又∵∠C＝∠DBC＝20°，∠ABD＝20° ，∴∠ABC＝40°， ∴∠A＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝120°． 考点二：角平分线的性质应用 2.解：（1）由条件可知∠ABE＝∠BED﹣∠BAD＝40°﹣25°＝15°， ∵BE为△ABD的角平分线， ∴∠ABD＝2∠ABE＝30°． （2）由条件可知△ABD的面积为32， ∵BE为△ABD的角平分线，EN⊥AB，EM为△BED的高， ∴NE＝ME， ∵S△ABD＝S△ABE+S△BDE＝32， ∴， ∵AB＝16，BD＝8，NE＝ME， ∴，解得： 考点三：等腰三角形、等边三角形的性质应用 3.解：设AB＝x cm，BC＝y cm， ∴AC＝AB＝x cm， ∵BD是△ABC的中线， ∴AD＝CDx cm， 当AB+AD＝15cm，BC+CD＝6cm时， ∴， ∴， ∴AB＝10cm，BC＝1cm， 10+1＞10，满足三角形三边关系定理； 当AB+AD＝6cm，BC+CD＝15cm时， ∴， ∴， ∴AB＝4cm，BC＝13cm， ∵4+4＜13，不满足三角形三边关系定理， ∴此种情况不成立． 综上所述：AB＝10cm，BC＝1cm． 4.证明：过点A作AF⊥BC于点F． ∵AD＝AE，AF⊥BC， ∴DF＝EF， ∵BD＝CE， ∴BF＝FC， ∵AF⊥BC， ∴AB＝AC． 5.证明：（1）∵△ACM，△CBN是等边三角形， ∴AC＝MC，BC＝NC，∠ACM＝∠NCB＝60°， ∴∠ACM+∠MCN＝∠NCB+∠MCN，即∠ACN＝∠MCB， 在△ACN和△MCB中， ∵， ∴△ACN≌△MCB（SAS）， ∴AN＝BM． （2）∵△CAN≌△CMB， ∴∠CAN＝∠CMB， 又∵∠MCF＝180°﹣∠ACM﹣∠NCB＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠MCF＝∠ACE， 在△CAE和△CMF中， ∵， ∴△CAE≌△CMF（ASA）， ∴CE＝CF， ∴△CEF为等腰三角形， 又∵∠ECF＝60°， ∴△CEF为等边三角形． 考点四：含30°角的直角三角形的性质应用 6.证明：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴∠B＝60°，AB＝2BC， ∵CD⊥AB， ∴∠DCB＝30°， ∴BC＝2BD， ∴AB＝4BD， ∵AB＝AD+BD， ∴AD＝3BD． 7.解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C（180°﹣120°）＝30°， ∵EF为AB的垂直平分线， ∴EF⊥AB， ∴BF＝2EF＝2×3＝6， 连接AF， ∵EF为AB的垂直平分线， ∴AF＝BF， ∴∠BAF＝∠B＝30°， ∴∠CAF＝120°﹣30°＝90°， ∴CF＝2AF＝2×6＝12． 考点五：尺规作图 略 【综合测评】 一．1.C 2.D 3.C 4.C 5.C 6.B 7.C 8.C 9.B 10.B 二．11. 65° 12. 13.30° 14. 12 15. 48° 16. 三．17.解：（1）如图，△DEF即为所求． （2）如图，连接AE交直线l于点P，连接BP， 此时PA+PB＝PA+PE＝AE，为最小值， 则点P即为所求． （3）△DEF的面积为． 18. 1 19.（1）证明：∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∠B＝40°，∠C＝35°， ∴∠BAC＝105°． ∵AE平分∠CAD， ∴∠CAE＝∠DAE． 由翻折得：∠BAD＝∠DAE，∠B＝∠E＝40°， ∴∠BAD＝∠DAE＝∠CAF＝35°， ∴∠CAF＝∠C． （2）解：∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∠B＝40°，∠C＝35°， ∴∠BAC＝105°． ∵AE平分∠CAD， ∴∠CAE＝∠DAE． 由翻折得：∠BAD＝∠DAE，∠B＝∠E＝40°， ∴∠BAD＝∠DAE＝∠CAE＝35°， ∴∠AFD＝∠CAE+∠C＝70°． ∵∠AFD＝∠1+∠E， ∴∠1＝70°﹣40°＝30°． 20.证明：∵CD∥AB， ∴∠BCD+∠B＝90°， ∵∠B＝90°， ∴∠BCD＝90°， ∴∠BAC+∠ACB＝∠DCE+∠ACB＝90°， ∴∠BAC＝∠DCE， ∵DE⊥AC， ∴∠B＝∠DEC＝90°， ∵AB＝CE， ∴△ABC≌△CED（ASA）， ∴AC＝CD， ∴△ACD是等腰三角形． 21.解：（1）由折叠的性质可知，DE垂直平分线段AB， 根据垂直平分线的性质可得：DA＝DB， 所以，DA+DC+AC＝DB+DC+AC＝BC+AC＝14； （2）设∠CAD＝4x，则∠BAD＝7x， ∵DA＝DB， ∴∠B＝∠BAD＝7x， 在Rt△ABC中，∠B+∠BAC＝90°， 即：7x+7x+4x＝90°，x＝5°， ∠B＝7x＝35°． 22.（1） （2）18 23. 24.解：【模型证明】证明：如图， ∵CD⊥OA于D，CE⊥OB于E， ∴∠CAO＝∠CBO＝90°， ∵OC是∠AOB的角平分线， ∴∠AOC＝∠BOC， 又∵OC＝OC， ∴△CAD≌△CBE（AAS）， ∴CA＝CB； 【模型运用】如图，在BC上截取点F，使得CD＝CF，连接EF， ∵CE平分∠BCE， ∴∠ECF＝∠ECD， ∵CE＝CE，CD＝CF， ∴△CED≌△CEF（SAS）， ∴∠CFE＝∠D， ∵AB∥CD， ∴∠A+∠D＝180°，∠BFE+∠CFE＝180°， ∴∠BFE＝∠A， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠FBE， ∵BE＝BE， ∴△ABE≌△FBE（AAS）， ∴AB＝BF， ∵BF+CF＝BC， ∴AB+CD＝BC； 故答案为：AB+CD＝BC； 【解决问题】由题意可得：CE＝60米，CF＝30米，BC＝80米，CD＝60米， ∴BE＝BC﹣CE＝80﹣60＝20米，DF＝CD﹣CF＝60﹣30＝30米， 如图，延长CD至点G，使得DG＝BE，连接AG， ∵∠B+∠ADF＝180°，∠ADG+∠ADF＝180°， ∴∠B＝∠ADG， ∵AB＝AD，DG＝BE， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴DG＝BE＝20米，∠BAE＝∠DAG，AE＝AG， ∵∠EAF，∠BAD＝∠BAE+∠EAF+∠DAF＝∠DAG+∠EAF+∠DAF＝∠EAF+∠GAF， ∴（∠EAF+∠GAF）， ∴∠EAF＝∠GAF， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF＝GF＝GD+DF＝20+30＝50米， 即此时甲、乙两人的距离为50米． 故答案为：50． 学科网（北京）股份有限公司 $