幂函数知识总结与题型归纳讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦幂函数的核心概念、图像特征与性质，系统构建从定义辨析到图像判断、从单调奇偶性分析到大小比较的完整知识链，前后衔接紧密，层层递进，形成清晰的学习支架。 资料设计亮点突出，体现数学抽象、逻辑推理与直观想象等核心素养。例如例1通过辨析函数形式强化“系数为1、底数为自变量、指数为常数”的三要素判断标准，培养抽象能力；例7借助图像排序训练几何直观，提升识图能力；例14结合单调性与不等式关系考查逻辑推理，深化对幂函数本质的理解。课中可辅助教师精准讲解难点，课后学生能通过典型例题巩固方法，查漏补缺，实现从理解到应用的闭环学习。

第十四讲：幂函数知识总结与题型归纳 知识再现 1、幂函数的概念与图像 一般地，（为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数． 2、幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数 ①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数． 3.常用幂函数，，，，的图象如图． 4.常见的幂函数图像及性质： （1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； （2）如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增； （3）如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； （4）在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． 5.对于形如（其中m∈N*，n∈Z，m与n互质）的幂函数 （1）当n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称； （2)当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称； (3)当m为偶数时，（或），是非奇非偶函数，图象只在第一象限（或第一象限及原点处） 题型一 幂函数概念及性质 例1.现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 解析：幂函数满足形式，故，满足条件，共2个故选：B 例2（多选）.下列说法不正确的是（ ） A．幂函数的图象都通过两点 B．当时，幂函数的值在定义域内随的增大而减小 C．幂函数的图象不可能出现在第四象限 D．当幂函数的图象是一条直线时，或1 解析：对于A，幂函数的图象都通过点，幂函数不过点，故A不正确； 对于B，当时，幂函数定义域为，以幂函数为例， 它在和上分别单调递减，在定义域不单调，故B不正确； 对于C，由幂函数的性质可知幂函数图象不可能出现在第四象限，故C正确； 对于D，当时，幂函数的图象是一条直线， 但不过点，故D不正确.故选：ABD. 例3.（多选）如果幂函数的图象不过原点，则实数的取值为（ ） A． B． C． D．无解 解析：由已知可得，解得或.故选：BC. 例4.已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 解析：是幂函数，设，将代入解析式， 得，解得，故，则， 故，解得 故选：B 例5．已知幂函数的图像过点，则 的值域是（   ） A． B． C． D． 解析：幂函数的图像过点，，解得， ， 的值域是.故选：D. 例6.幂函数的图象过点，则函数的值域是（ ） A． B． C． D． 解析：设，代入点得， 则，令， 函数的值域是.故选：C. 题型二： 幂函数图象的判断及应用 例7.幂函数，，，在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（   ）    A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 解析：根据幂函数的性质可知，在第一象限内的图像，当时，图像递增， 且越大，图像递增速度越快，由此可判断是曲线，是曲线； 当时，图像递减，且越大，图像越陡，由此可判断是曲线， 是曲线；综上所述幂函数，，，， 在第一象限内的图象依次是如图中的曲线，，，. 故选：D. 例8.已知幂函数（且p与q互质）的图像如图所示，则（    ）    A．p、q均为奇数且 B．p为奇数，q为偶数且 C．p为奇数，q为偶数且 D．p为偶数，q为奇数且 解析：由图像知函数为偶函数，所以p为偶数，且由图像的形状判定， 又因为p与q互质，所以q为奇数，故选：D. 例9.给定一组函数解析式： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． 如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（    ）                 A．⑥③④②⑦①⑤ B．⑥④②③⑦①⑤ C．⑥④③②⑦①⑤ D．⑥④③②⑦⑤① 解析：图象（1）关于原点对称，为奇函数，且不过原点、第一象限递减，故满足； 图象（2）关于轴对称，为偶函数，且不过原点、第一象限递减，故满足； 图象（3）非奇非偶函数，且不过原点、第一象限递减，故满足； 图象（4）关于轴对称，为偶函数，且过原点、第一象限递增，故满足； 图象（5）关于原点对称，为奇函数，且过原点、第一象限递增，故满足； 图象（6）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随增大递减，故满足； 图象（7）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随增大递增，故满足； 故图象对应解析式顺序为⑥④③②⑦①⑤. 故选：C 例10.函数的图像可能是（ ） A． B． C． D． 解析：由题意知，函数，则满足，解得， 故函数的定义域为，又，结合幂函数的性质，可得选项C符合题意．故选：C 题型三 比较大小 例11．设a＝，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>c>b B．a>b>c C．c>a>b D．b>c>a 解析：试题分析：∵函数是减函数，∴；又函数在上是增函数，故.从而选A 例12.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 解析：由，，， 则，，又，， 则，即，所以．故选：D． 例13.设，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 解析：因为， 且， 在上递增， 所以，即，综上： 故选：A 例14．已知幂函数在上单调递减，若，，，则下列不等关系正确的是（ ） A． B． C． D． 解析：由于函数为幂函数，且在上单调递减， 则，解得， ，，， 由于指数函数在上为增函数，因此，，故选B. 题型四：幂函数的单调性与奇偶性综合 例15.（多选）已知幂函数图像经过点，则下列命题正确的有（    ） A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．若，则 D．若，则 解析：将点代入函数得：，则. 所以，显然在定义域上为减函数，所以A错误； ，所以为偶函数，所以B正确； 当时，，即，所以C错误； 当若时， 假设，整理得 ，化简得，， 即证明成立， 利用基本不等式，，因为，故等号不成立，成立； 即成立，所以D正确. 故选：BD. 例16.当时，幂函数为减函数，则实数m的值为（   ） A． B． C．或 D． 解析：因为函数既是幂函数又是的减函数， 所以解得：.故选：A. 例17.已知幂函数（k∈N*）的图象关于y轴对称，且在区间（0，+∞）上是减函数，求函数f（x）的解析式． 解析：幂函数（k∈N*）的图象关于y轴对称， 所以，，解得－1＜k＜3， 因为k∈N*，所以k=1，2； 且幂函数（k∈N*）在区间（0，+∞）为减函数，∴k=1， 函数的解析式为：． 例18.已知幂函数在上是减函数，． （1）求的解析式； （2）若， 求的取值范围． 解析：（1）由函数为幂函数得，解得或， 又函数在上是减函数，则，即，所以，； （2）由（1）得，所以不等式为， 设函数，则函数的定义域为，且函数在上单调递减， 所以，解得，所以的取值范围是. 例19.已知幂函数在上单调递增，函数时，总存在使得，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 解析：试题分析：由已知，得或．当时，，当时，．又在单调递增，∴．∴在上的值域为，在上的值域为，∴，∴，即．故选D. 例20．已知幂函数的图象经过点． （Ⅰ）求函数的解析式； （Ⅱ）判断函数在区间（0，+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明． 解析：（Ⅰ）∵是幂函数，则设（α是常数）， ∵的图象过点，∴， 故，即； （Ⅱ）在区间上是减函数．证明如下： 设 ∴， ， ∴在区间上是减函数． 题型五：幂函数性质综合 例21．若函数与图象关于对称，且，则必过定点（ ） A． B． C． D． 解析：，，， 所以，函数的图象过定点， 又函数与图象关于对称，因此，函数必过定点. 故选：D. 例22．给出幂函数：①；②；③；④；⑤.其中满足条件的函数的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 解析：如图，只有上凸函数才满足题中条件，所以只有④满足，其他4个都不满足， 故选：A. 例23．已知幂函数为偶函数，且在区间上是单调增函数. （1）求函数的解析式； （2）设函数，若对任意的恒成立，求实数c的取值范围. 解析：（1）在区间上是单调增函数，即，解得. 又，.当时，不是偶函数； 当时，是偶函数.故函数的解析式为. （2）由（1）知，则. 对任意的恒成立，，且.又，，解得.故实数c的取值范围是. 例24.已知x，，满足，，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 解：令，，则，∴为奇函数． ∵，∴．又∵， ∴，∴，． 又∵在R上单调递增，∴，即．故选：B． 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $第十四讲：暴函数知识总结与题型归纳 知识再现 1、幂函数的概念与图像 一般地，y=X(a∈)(“为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为 常数的函数称为幂函数 2、幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数 ①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数. 3.常用幂函数y=x,y=r,y=r，y=，y=x的图象如图 3-2 vEx'I 2345 5 y=x3 y=x3 y=x 4.常见的幂函数图像及性质： (1)所有的幂函数在(0，十∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； (2)如果>0，那么幂函数的图象过原，点，并且在区间0，十∞)上单调递增； (3)如果<0，那么幂函数的图象在区间(0，十∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右 边趋向于原，点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于十∞时，图象在x轴上 方无限接近x轴； (4)在(1，+∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴 5对于形如f(x=x (其中m∈N,n∈Z,m与n互质)的暴函数 (1)当n为偶数时，x为偶函数，图象关于y轴对称； (2)当m,n都为奇数时，()为奇函数，图象关于原点对称； ③当m为偶数时，x>0(或之0)，八是非奇非偶函数，图象只在第一象限（或第 一象限及原，点处) 第1页共13页 题型一幂函数概念及性质 1） 例1现有下列画数：①y=r；②’=2； ③y=4x2;④y=x+1;⑤y=(x-1；⑥ y=；⑦y=a(a>),其中幕函数的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 例2（多选).下列说法不正确的是（) A.幂函数的图象都通过(0,0)，1,1两点 B,当n<0时，幂函数y=x”的值在定义域内随x的增大而减小 C.幂函数的图象不可能出现在第四象限 D.当幂函数y=x”的图象是一条直线时，n=0或1 例3.（多选）如果幂函数y=m2-3m+3)x-2的图象不过原点，则实数m的取值为( A.0B.2C.1D.无解 第2页共13页 的4己都层西条山的国条过个明则-2的无义有《) A.a2B.（0 C.(0,2 D.时 例5.已知幂函数f(x)=x“的图像过，点(8,4)，则f(x)=x的值域是（） A.(-o,0）B.(-o,0U(0,+∞）C.(0,+∞）D.[0,+oj 例6，幂函数y=f(x)的图象过点2，V2),则函数y=x-∫(x的值域是() A网B.(4c[D.（年 题型二：幂函数图象的判断及应用 第3页共13页 例7幂函数y=x2,y=x,y=x3,y=x2在第一象限内的图象依次是如图中的曲线 () C2 A. B.C C.CC C.C C:CC D.G C.C:C 例8.已知幂函数y=x9（p,g∈Z且p与q互质)的图像如图所示，则() 卫<0 卫0 A.p、q均为奇数且9 B.p为奇数，q为偶数且9 卫>0 卫<0 C.p为奇数，g为偶数且9 D.p为偶数，9为奇数且9 第4页共13页 例9.给定一组函数解析式： ①y=x4;②y=x；③y=x2;④y=x3;⑤y=x2；⑥y=x5;⑦y=x3 如图所示一组函数图象，图象对应的解析式号码顺序正确的是() VA VA -10 (1) (2) (3) (4) y 6 (6) (7) A.⑥③④②⑦①⑤ B.⑥④②③7①D5 C.⑥④③②⑦①⑤ D.⑥④③②⑦⑤① 例10.函数y=x4的图像可能是（) 第5页共13页 ò 题型三比较大小 例11.设a= -.-. 则a,b,c的大小关系是() A.a>c>b B.a>b>cC.c>a>b D.b>c>a 2 例12.已知a=33,b=24,c=4,则() A.c<a<bB.b<c<a C.b<a<c D.c<b<a 第6页共13页 州ae-[目b信e-明ae的大小关系是《) A.c<a<bB.c<b<a C.a<c<b D.b<c<a 例14.已知家高数f树=m-m-rmZ到在0m上单调造浅，若a- 2, 号e-(目，划下列不号关系玉角的是() 1 b<a<c B.c<b<a C.c<a<b D b<c<a 第7页共13页 题型四：幂数的单调性与奇偶性综合 例15.（多选)已知幂函数f(x)=x“图像经过，点(”9)，则下列命题正确的有() A.函数f(x)为增函数 B.函数f()为偶函数 ,） C.若x>1,则f(x)>1D.若0<x<x2,则2 例16.当x∈(0，+∞)时，幂函数y=(m2-m-1刂xm3为减函数，则实数m的值为() Am-2B1C。克0-2D.观215 2 第8页共13页 例17.已知暴函数f(x)=x-2-3(kEN*)的图象关于y轴对称，且在区间(0，+o∞)上 是减函数，求函数f(x)的解析式 例18.已知幂函数f(x)=m+3m-3到在(0，+o∞)上是减函数，m∈R· (1)求(x)的解析式； (2)若(5-am>(2a-1)m,求。的取值范围. 第9页共13页 例19.已知幂函数f(x=(m-1x-m2在(0，+o∞)上单调递增，函数 gx=2-a,x∈[l,5)时，总存在x2∈1,5)使得fx)=gx2),则a的取值范围是（) A.☑B.a≥7或a≤1C.a>7或a<1 D.1,7] 例20.已知军通数D的围象经过点2，子. (I)求函教八) 的解析式； (I)判断函数) 在区间(0，+∞)上的单调性，并用单调性的定义证明. 第10页共13页