13.3.2 三角形的外角 同步课件 2025-2026学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦三角形外角的概念、性质及其应用，从复习内角和定理自然过渡到外角的定义与识别，通过邻补角关系引出外角大小的计算方法，再借助平行线构造完成外角等于不相邻两内角和的推理过程，形成清晰的知识链条，为后续综合运用打下坚实基础。 其亮点在于紧扣新课标核心素养，突出“几何直观”与“推理能力”，如在探究外角性质时设计作辅助线证明环节，引导学生用数学语言表达逻辑关系，体现“会用数学的思维思考现实世界”。例题中结合角平分线与外角关系推导∠P与∠A的关系，强化模型意识与运算能力。教学内容由浅入深，结构完整，既利于学生构建知识体系，又便于教师高效开展课堂活动，提升教学实效性。

13.3.2三角形的外角 第十三章——三角形 CONTENTS 理解三角形的外角的概念； 理解并掌握三角形的外角的性质； 能够在图形中找到三角形的外角； 01 02 03 04 了解三角形的外角和. 教学目标 2.在△ABC中，∠A=85°, ∠B=44°,则∠C= . 3.在△ABC中，∠A=22°, ∠B=76°,则∠C= . 82 ° 51 ° 1.什么是三角形的内角？三角形内角和定理是什么？ 三角形相邻两边组成的角叫作三角形的内角 三角形三个内角的和等于180° 复习导入 剪刀 尝试应用三角形内角和定理求△ABC 中∠ACB的度数. 60° 70° B A C ∠ACB = 180°-∠A -∠B = 50° D 若延长边BC，得到∠ACD，你能求出∠ACD的大小吗？ ∠ACD= 180°-∠C = 130° 邻补角的性质 复习导入 B D C A O ● 40 ° 70 ° ？ ● ● ● 问题：发现懒羊羊独自在O处游玩后，灰太狼打算用迂回的方式，先从A前进到C处，然后再折回到B处截住懒羊羊返回羊村的去路，红太狼则直接在A处拦截懒羊羊，已知∠BAC=40° ， ∠ABC=70°.灰太狼从C处要转多少度角才能直达B处？ 利用“三角形的内角和为180°”来求∠BCD，你会吗？ 思考：像∠BCD这样的角有什么特征吗？猜想它的性质. 这节课让我们一起来探讨吧. B D C A O ● 40 ° 70 ° ？ ● ● ● 由三角形内角和易得∠BCA=180°－∠A－∠CBA=70°， 所以∠BCD=180°－∠BCA=110°. 三角形的外角的概念 一 定义 如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. ∠ACD是△ABC的一个外角 C B A D 问题1 如图，延长AC到E,∠BCE是不是△ABC的一个外角？∠DCE是不是△ABC的一个外角？ E 在三角形每个顶点处都有两个外角. ∠ACD 与∠BCE为对顶角，∠ACD =∠BCE； C B A D ∠BCE是△ABC的一个外角，∠DCE不是△ABC的一个外角. 问题2 如图，∠ACD与∠BCE有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？ A B C 画一画 画出△ABC的所有外角，共有几个呢? 每一个三角形都有6个外角． 每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角. 三角形的外角应具备的条件： ①角的顶点是三角形的顶点； ②角的一边是三角形的一边； ③另一边是三角形中一边的延长线. ∠ACD是△ABC的一个外角， C B A D 每一个三角形都有6个外角． 总结归纳 学习代数应用不仅需要记忆公式，更需要掌握平衡的技巧。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。在平行线判定的学习过程中，相离是最具挑战性的环节之一。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。在特殊直角三角形的探究活动中，学生需要自主程序化。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。在圆外切四边形的学习过程中，改进化是最具挑战性的环节之一。 三角形的外角 A C B D 相邻的内角 不相邻的内角 三角形的外角的性质 如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角∠ACB有什么关系？ ∠BCD与∠ACB互补. 知识点 2 探究新知 如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A，∠B)有什么关系？ 三角形的外角 A C B D 相邻的内角 不相邻的内角 ∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠BCD+∠ACB=180°， ∴∠A+∠B=∠BCD. 你能用作平行线的方法证明此结论吗？ 探究新知 D 证明：过C作CE平行于AB， A B C 1 2 ∴∠1= ∠B， （两直线平行，同位角相等） ∠2= ∠A ， （两直线平行，内错角相等） ∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B. E 已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B. 探究新知 学习代数应用不仅需要记忆公式，更需要掌握平衡的技巧。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。在平行线判定的学习过程中，相离是最具挑战性的环节之一。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。在特殊直角三角形的探究活动中，学生需要自主程序化。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。在圆外切四边形的学习过程中，改进化是最具挑战性的环节之一。 三角形内角和定理的推论 A B C D ( ( ( 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 应用格式： ∵ ∠ACD是△ABC的一个外角. ∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B. 探究新知 说出下列图形中∠1和∠2的度数： A B C D ( ( ( 80 ° 60 ° ( 2 1 (1) A B C ( ( ( ( 2 1 50 ° 32 ° (2) ∠1=40 °， ∠2=140 ° ∠1=18 °， ∠2=130 ° 巩固练习 例 如图，在△ABC中，若外角∠CBE与外角∠BCF的平分线交于点P，∠P=50°，求∠A的度数. 解：∵BP平分∠CBE(已知)， ∴∠CBP= ∠CBE= (∠A+∠ACB)(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)， 同理可得：∠BCP = (∠A+∠ABC). ∵∠P+∠CBP+∠BCP=180°， ∠A+∠ABC+∠ACB=180°(三角形的内角和等于180°)， A B C P E F 情境串新知 ∴∠P=180°-∠CBP-∠BCP(等式的性质) =180°- (∠A+∠ACB)- (∠A+∠ABC) =180°- (∠A+∠ACB+∠A+∠ABC) =180°- (∠A+180°) =90°- ∠A， 又∵∠P=50°(已知)， ∴∠A=80°. A B C P E F 情境串新知 变式 如图，在△ABC中，∠ABC 的平分线BP与外角∠ACD的平分线CP相交于点P，试找出∠P与∠A之间的关系. 解：∵∠ACD是△ABC的外角(已知)，∠PCD是△PBC的外角(已知)， ∴∠ACD=∠A+∠ABC，∠PCD=∠P+∠PBC(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和)， ∴∠A=∠ACD-∠ABC，∠P=∠PCD-∠PBC(等式的性质)， ∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACD(已知)， ∴∠PBC= ∠ABC，∠PCD= ∠ACD， ∴∠P= ∠ACD- ∠ABC= (∠ACD-∠ABC)= ∠A(等量代换). A B C D P 情境串新知 (1)如图，在△ABC中，外角∠CBE与外角∠BCF的平分线交于点P，那么∠P =90°- ∠A； (2)如图，在△ABC中，∠ABC 的平分线BP与外角∠ACD 的平分线相交于点P，∠P = ∠A. 归纳总结 情境串新知 3. 在△ABC 中，∠B 比∠A 大 10°，∠C 比∠B 大 10°. 求△ABC 各内角的度数. 【教材P16习题13.3 第3题】 解：由题意可知∠B =∠A + 10°， ∠C =∠B + 10° =∠A + 20°， 又∠A +∠B +∠C = 180°， ∴∠A +∠A + 10° +∠A + 20°= 180°， 即 3∠A + 30°= 180°. ∴∠A = 50°， ∠B =∠A + 10° = 60°，∠C =∠B + 10° =70°. 课堂练习 4. 如图，在△ABC 中，AD⊥BC，垂足为 D，∠1 =∠2，∠C = 65°. 求∠BAC 的度数. 【教材P16习题13.3 第4题】 课堂练习 解：∵ AD ⊥ BC，∴∠ADB =∠ADC = 90°. ∵∠1 =∠2， ∴∠2 =∠1 = ×(180° −∠ADB) = × 90° = 45°. ∴∠BAC = 180° − (∠2 +∠C) = 180° − (45° + 65°) = 70°. 课堂练习 综合运用 5. 如图，AB // CD，∠A = 40°，∠D = 45°. 求∠1 和∠2 的度数. 【教材P17习题13.3 第5题】 解：∵ AB // CD， ∴ ∠1 = ∠A = 40°. ∴∠2 =∠1 +∠D = 40° + 45° = 85°. 课堂练习 6. 如图，AB // CD，AE 与 CD 相交于点 O，∠A = 45°，∠C =∠E. 求∠C 的度数. 【教材P17习题13.3 第6题】 解：∵ AB // CD，∴ ∠DOE =∠A = 45°. 又∠DOE =∠C +∠E，且∠C =∠E， ∴∠C = ∠DOE = ×45°= 22.5°. 课堂练习 对照练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结   1.说出下列各图形中∠1和∠2的度数： ∠1 = 40° ∠2 = 140° ∠1 = 110° ∠2 = 70° ∠1 = 50° ∠2 = 140° （1） （2） （3） 对照练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结   1.说出下列各图形中∠1和∠2的度数： （4） （5） （6） ∠1 = 55° ∠2 = 70° ∠1 = 80° ∠2 = 40° ∠1 = 60° ∠2 = 30° 对照练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 2.如图，是一个五角星，求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E 的度数. 解：∵∠AFG =∠B +∠D， ∠AGF =∠C +∠E， ∠A +∠AFG +∠AGF =180°， ∴∠A +∠B +∠C +∠D +∠E = 180°. 对照练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 3.如图，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度数. A B C D ( ( ( 51 ° 20 ° 30 ° 解一：连接BC. ∵ ∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,∠A= 51°, ∴ ∠ABC+∠ACB =180°-51°=129°. ∵∠ABD=20°,∠ACD=30°, ∴ ∠DBC+∠DCB = ∠ABC+∠ACB-(∠ABD+ ∠ACD )=129°-50°=79°. ∴ ∠BDC=180°-(∠DBC+∠DCB) =180°- 79°=101°. 对照练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 3.如图，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度数. A B C D ( ( ( 51 ° 20 ° 30 ° 解二：延长BD交AC于点E. ∠1=∠A+∠B， ∠BDC=∠1+∠C. ∴∠BDC=∠A+∠B+∠C =51°+20°+30°=101°. E $