专题03 圆锥曲线 6大高频考点（期中真题汇编，安徽专用）高二数学上学期

专题03 圆锥曲线 6大高频考点概览 考点01 椭圆 考点02 双曲线 考点03 抛物线 考点04 直线与圆锥曲线的位置关系 考点05 轨迹问题 考点06 新定义问题 地 城 考点01 椭圆 一、单选题 1．(24-25高二上·安徽铜陵第一中学·期中)已知椭圆的离心率为且过点，，分别是椭圆在轴上的左、右焦点，过的直线与过的直线交于点，线段的中点为，线段的垂直平分线与的交点第一象限在椭圆上，且交轴于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出椭圆的方程，画出简图，结合图象，得到，设点，由两点间的距离公式，以及相似三角形转化为的表达式，然后求解取值范围，即可求解． 【详解】设椭圆方程为， 由题意有，由此解得， 椭圆方程为， 结合题意画出图象，如下图所示， 为的垂直平分线，所以， 又为中点，为中点， 由中位线定理可得，． 设点，点在椭圆上， ，即，且， 由两点间的距离公式， 得 ， 同理可得， 线段的垂直平分线与的交点第一象限在椭圆上， ， ， ，，， ， 又，， ， 令， 由复合函数的单调性可知，在上单调递增， ，， 故的取值范围为． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是利用，构造函数，再利用其单调性可得答案． 2．(24-25高二上·安徽淮南凤台县第一中学·期中)中心为原点，焦点在轴上，且长轴长与短轴长之比为，焦距为的椭圆方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依据题干信息得出的值即可得椭圆方程. 【详解】设椭圆方程为，则且，得，故椭圆方程为. 故选：A. 3．(24-25高二上·安徽A10联盟·期中)已知点P在椭圆C：上（点P不是椭圆的顶点），，分别为椭圆C的左、右焦点，交y轴于点G，且，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，结合椭圆上点到同侧焦点和准线的距离比为离心率得，根据角平分线的性质有，列方程求，即可得结果. 【详解】根据对称，不妨设，. 由题意得，，，，则离心率， 左准线方程为，所以， 因为，所以由角平分线定理得， 即，解得，所以. 故选：C 4．(24-25高二上·安徽卓越县中联盟＆皖豫名校联盟·期中)已知椭圆的右焦点为，过点且斜率为1的直线与交于两点，若（为坐标原点，表示面积），则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设直线方程再联立方程组，结合韦达定理及面积关系列式求出离心率即可. 【详解】设椭圆的半焦距为，则直线的方程为， 设，由 得，因为点在的内部，所以， 又，所以， 将代入，可得， 再将代入，可得，又，所以， 故的离心率． 故选：D. 5．(24-25高二上·安徽A10联盟·期中)已知椭圆C：（且），直线与椭圆C相交于A，B两点，若是线段的中点，则椭圆的焦距为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】根据点差法求解中点弦问题求解即可. 【详解】设，，则， 将A，B的坐标代入椭圆方程得：，， 两式相减，得：， 变形为， 又直线的斜率为，所以，即， 因此椭圆的焦距为， 故选：B. 二、多选题 6．(24-25高二上·安徽卓越县中联盟＆皖豫名校联盟·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为是上一点，若是直角三角形，则的面积可以是（   ） A． B． C． D．1 【答案】BD 【分析】根据给定条件，按直角顶点位置的不同分类求出焦点三角形面积. 【详解】在椭圆中，，半焦距，， 由是直角三角形，得（）或， 若（），由，得，则点到轴距离为， 的面积，B正确； 当是的上顶点或下顶点时，，的面积，D正确. 故选：BD 三、填空题 7．(24-25高二上·安徽淮南凤台县第一中学·期中)已知椭圆的左焦点为，右焦点为，若椭圆上存在一点，满足线段与以椭圆的短轴为直径的圆相切，切点为线段的中点，则该椭圆的离心率为 . 【答案】/ 【分析】设线段的中点为，连接，求出、，利用勾股定理可得出关于、、的齐次等式，即可解得该椭圆的离心率的值. 【详解】设线段的中点为，连接， 由题意知，， 因为为的中点，所以，是的中位线，则， 由椭圆的定义知， 又，， 在直角三角形中，由勾股定理得：，即， 又，可得，故有， 由此可求得离心率， 故答案为：. 8．(24-25高二上·安徽马鞍山第二中学·期中)已知中心在原点，焦点坐标为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，则该椭圆的方程为 ． 【答案】 【分析】将直线方程和椭圆方程联立得方程组，消元，根据韦达定理和中点坐标公式可得，再根据焦点坐标得出，联立可得，，可得椭圆的方程． 【详解】由题意设椭圆的标准方程为， 联立，消元得， 设两个交点分别为，，则弦中点横坐标为， 则结合韦达定理得，即①， 因为焦点，所以有②， 由①②得， 所以椭圆方程为， 故答案为： 9．(24-25高二上·安徽黟县中学·期中)中心在坐标原点、焦点在轴上的椭圆，它的离心率为，与直线相交于、两点，若以为直径的圆经过坐标原点，则椭圆方程为 ． 【答案】 【分析】由离心率可得，将直线方程代入椭圆方程，又由于，有，结合韦达定理，可求出，即得． 【详解】设椭圆方程， ，， ，即． 椭圆方程为． 把直线方程代入化简得． 设、， 则， ，， 即 解得，． 椭圆方程为，即． 故答案为：． 10．(24-25高二上·安徽A10联盟·期中)已知椭圆：，，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，满足，则椭圆的离心率的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据已知条件列方程，求得的取值范围，由此列不等式，由此求得离心率的取值范围. 【详解】，即， ， 当且仅当时等号成立. ， 由于，所以当或时， 有最小值为， 所以，则，即， 即，解得. 故答案为： 11．(24-25高二上·安徽卓越县中联盟＆皖豫名校联盟·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与交于，两点，则三点能构成边长为的正三角形时，的方程为 ． 【答案】 【分析】根据题意画出图形，分析图意，根据椭圆和三角形对称性，结合椭圆的定义计算. 【详解】设，由题意知当时是边长为的正三角形， 如图． 由椭圆和正三角形的对称性，可知，所以， 又，所以， 由，得，故椭圆的方程为． 故答案为：. 12．(24-25高二上·安徽淮南淮南第二中学·期中)已知椭圆 的左右焦点分别为 ，过点 的直线与椭圆 交于 两点，若 ，且 ，则椭圆 的离心率为 . 【答案】/ 【分析】设，根据已知条件及椭圆定义表示其他边长，利用勾股定理得出和的关系，分别在和直角中表示，建立等量关系求椭圆离心率. 【详解】设，则, 由椭圆的定义得，， 由得，, 即， 整理得，解得或（舍去）， 所以，故点在轴上. 如图，在直角中，, 在中，， 化简得， 所以椭圆的离心率为. 故答案为：. 13．(24-25高二上·安徽黄山八校联盟·期中)已知椭圆：的焦点在轴上，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由焦点在x轴上椭圆特征可得答案. 【详解】由题可知. 故答案为： 四、解答题 14．(24-25高二上·安徽淮南凤台县第一中学·期中)已知椭圆的右顶点为，上顶点为. (1)求椭圆的方程； (2)椭圆的右焦点为，点为椭圆上不同于顶点的一点，若直线，与轴相交，交点分别为，，且，求点的横坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意求，即可求椭圆方程； （2）方法一：首先设点，其中且，并表示直线和，并求点的坐标，根据条件列式，即可求解；方法二：首先设直线的方程为，联立椭圆方程，利用斜率表示点的坐标，并表示直线，利用斜率表示点的坐标，根据条件列式，即可求解. 【详解】（1）由题意可得，， 所以椭圆的方程为； （2）如图    法一：设，其中且， 因为直线，与轴相交，所以直线，斜率都存在， 直线方程为， 令，得， 直线方程为， 令，得， 所以， 又因为，所以， 代入中，可得， 整理得，即， 所以或， 又因为，，所以， 所以点的横坐标为； 法二：由题意直线斜率存在，且不为0， 设直线的方程为， 令，得， 由，得， 易知， 设，其中且，则， 所以，即， 直线的方程为， 令，得， 所以， 所以（舍）或， 代入中，得， 满足，， 所以点的横坐标为. 15．(24-25高二上·安徽江淮名校·期中)已知椭圆的离心率为，点是椭圆上一点，过点作斜率之积为的两条直线与椭圆的另一交点分别为． (1)求椭圆的方程； (2)求证：直线恒过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据离心率以及顶点坐标即可求解， （2）联立直线与椭圆方程可得韦达定理，即可根据两点斜率公式化简得，即可求解. 【详解】（1）由题意知：， 故椭圆的标准方程为：． （2）由题意可知，直线的斜率不为0，故可设直线的方程为： ．联立： 所以 由 即（舍去）或 所以直线的恒过一定点． 地 城 考点02 双曲线 一、单选题 1．(24-25高二上·安徽阜阳第一中学·期中)已知双曲线的左、右顶点分别为、，左、右焦点分别为、．现有如下命题：①右支上存在点满足为等腰三角形，，且；②右支上不存在点满足为等腰三角形，，且．那么下列判断正确的是（    ） A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题 【答案】D 【分析】由①中，求得，即重合，即可判断真假；由②，且求得，即重合，即可判断真假. 【详解】若，且，设，则， 由，则， 此时为双曲线的右顶点，即重合，与为等腰三角形矛盾，①为假命题； 若，则，又，即，则， 此时，结合双曲线的性质知重合，与为等腰三角形矛盾，②为假命题；    故选：D 2．(24-25高二上·安徽鼎尖教育·期中)已知双曲线的一个顶点为，左、右焦点分别为，，直线经过，且与交于，两点.若，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，利用双曲线的定义表示，，由勾股定理可得关系进而可得离心率． 【详解】由题意知，，且A，B都在双曲线的右支上． 设，则，，． 在中，，得， 则，. 在中，， 即，得． 所以双曲线C的离心率为. 故选：B 3．(23-24高二上·太和中学·)已知椭圆的左，右焦点分别为，，为椭圆内一点，对称中心在坐标原点，焦点在轴上的等轴双曲线E经过点，点在上，若椭圆上存在一点，使得，则的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求出双曲线的方程为，由及椭圆的性质可知，再根据点在上和为椭圆内一点，求出的取值范围进而即可得到离心率的取值范围. 【详解】因为等轴双曲线经过点，所以将代入可得双曲线的方程为， 由点在上，得， 所以椭圆的左焦点的坐标是，    因为，所以，即， 又，当且仅当共线时等号成立， 所以，解得①， 又因为点在椭圆内，所以，即， 解得（舍去）或②， 由①②得，， 所以， 故选：B 4．(24-25高二上·阜阳A层高中)已知分别为双曲线的左､右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的半径为的内切圆的半径为，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】过分别作的垂线，垂足分别为，作出图形，结合双曲线的定义推到出，再由三角形相似可得，最后得到，再由离心率的定义解出即可； 【详解】 过分别作的垂线，垂足分别为， 则， ，则， 又，则， ，即在直线上， ， 则 ， 又，则，即， ，故离心率为， 故选：B. 5．(24-25高二上·太和中学月考)已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】由双曲线的定义即可求解. 【详解】因为为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点， 所以，故， 由于， 所以. 故选：B 6．(24-25高二上·阜南实验中学)双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由方程已知a、b，再结合求c，代入离心率． 【详解】∵双曲线，则 可得： ∴ 故选：D． 二、多选题 7．(23-24高二上·亳州涡阳蔚华中学·期中)已知关于，的方程表示的曲线是，则曲线可以是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】ABC 【分析】根据圆以及双曲线，以及椭圆的性质即可分类讨论求解. 【详解】当时，，方程可以化简为，曲线是圆； 当，且时，或，曲线是椭圆； 当时，或，曲线是双曲线． 故选:ABC． 三、填空题 8．(23-24高二上·蚌埠市怀远中学·期中)已知双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再表示出渐近线方程，利用圆心到直线的距离等于半径即可得到，即可求出离心率. 【详解】圆即，圆心为，半径， 双曲线的渐近线方程为， 依题意，即，又，所以， 所以离心率. 故答案为： 9．(24-25高二上·安徽阜南实验中学·)已知、是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，，则C的离心率为 ． 【答案】 【分析】根据给定的条件，利用双曲线定义结合余弦定理计算作答. 【详解】令双曲线C的半焦距为c，即，又，，则， 中，，由余弦定理得， 即，整理得， 所以C的离心率． 故答案为： 四、解答题 10．(24-25高二上·安徽滁州定远县第二中学·)已知双曲线：（，）的离心率是，焦距为6. (1)求的方程； (2)若直线：与相交于，两点，且（为坐标原点），求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意求出、，即可求出，从而求出方程； （2）设，，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，再根据数量积的坐标表示得到方程，代入，求出的值. 【详解】（1）因为双曲线：（，）的离心率是，焦距为6， 所以，，其中，解得，， 所以. 所以的方程为. （2）设，， 联立方程消去得， 因为直线：与相交于，两点， 所以，即且， 由韦达定理得，， 又，， 所以， 所以， 将韦达定理代入上式，得， 即，解得，满足且. 11．(24-25高二上·安徽鼎尖教育·期中)已知双曲线的离心率为，，分别为其左、右焦点，为双曲线上任意一点，且的最小值是. (1)求双曲线的方程； (2)记双曲线的左、右顶点分别为，，直线与的右支交于，两点. （i）求实数的取值范围； （ii）若直线，的斜率分别为，，证明：是定值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）是定值. 【分析】（1）设，，，由数量积的定义可得，由二次函数的性质求出的最小值，可求出，再由得到答案； （2）（i）设，直线，联立双曲线方程，得到两根之积小于即可求解；（ii）对进行配凑得，代入计算即可. 【详解】（1）由题意可得：，设，，， ， 所以， 因为在双曲线上，所以， 所以， 所以， 因为，所以当时，的最小值是， 所以，又，又因为， 所以，所以双曲线的方程为：. （2）（i）设，直线， 由，消元得. 则，且， 则，解得：. （ii）,, ， 所以是定值.    12．(23-24高二下·太和中学·期中)已知双曲线过点且，，分别是的左、右焦点. (1)求的标准方程； (2)设点是上第一象限内的点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合已知，将双曲线上的点代入计算即可求得； （2）设，则有，然后利用数量积的坐标运算化简整理为二次函数，利用函数性质求解范围即可. 【详解】（1）由双曲线过点且，故， 故，故的标准方程为； （2）设，则， 因为点在第一象限，所以，且，， 所以， 所以的取值范围是. 地 城 考点03 抛物线 一、单选题 1．(24-25高二上·安徽淮北实验中学·)抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将抛物线的方程化为标准形式后可求其焦点坐标. 【详解】抛物线的标准方程为：，故其焦点坐标为， 故选：D. 2．(24-25高二上·安徽阜南实验中学·)经过抛物线y2＝2x的焦点且平行于直线3x－2y＋5＝0的直线l的方程是（　　） A．6x－4y－3＝0 B．3x－2y－3＝0 C．2x＋3y－2＝0 D．2x＋3y－1＝0 【答案】A 【分析】求出抛物线的焦点坐标和直线3x－2y＋5＝0的斜率，由点斜式方程即可求出答案. 【详解】因为抛物线y2＝2x的焦点坐标为， 直线3x－2y＋5＝0的斜率为， 所以所求直线l的方程为， 化为一般式，得6x－4y－3＝0. 故选：A. 3．(24-25高二上·安徽滁州定远县第二中学·)在平面直角坐标系中，动点到直线的距离比它到定点的距离小2，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义即可求解. 【详解】由题意知动点到直线的距离与它到定点的距离相等， 由抛物线的定义知，点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以，点的轨迹方程为. 故选：B. 二、多选题 4．(24-25高二上·安徽滁州定远县第二中学·)已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，准线为直线，直线与交于两点，则下列说法正确的是（   ） A．点到直线的距离是4 B．若的方程是，则的面积为3 C．若的中点到直线的距离为3，则 D．若点在直线上，则 【答案】BD 【分析】A选项，根据抛物线的定义即可求得；B选项，联立直线与抛物线方程，求出交点即可求得面积；C选项，依据抛物线的定义进行转化即可求得；D选项，设直线方程与抛物线联立，借助韦达定理设而不求求解. 【详解】对于选项A，由题意可知抛物线的焦点为，准线的方程为，所以点到直线的距离是2，故A错误； 对于选项B，由得，解得或， 所以6，又与轴的交点为，所以，所以的面积为，故B正确； 对于选项C，因为的中点到直线的距离为3，所以，即，所以，故C错误； 对于选项D，设：，，， 由得，，，， 因为，所以，故D正确. 故选：BD. 5．(24-25高二上·安徽阜南实验中学·)在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为为抛物线上一点，，为垂足.若直线的斜率，则（    ） A．准线方程为 B．焦点的坐标为 C．点的坐标为 D．的长为3 【答案】BC 【分析】根据抛物线方程即可得焦点和准线方程，即可判断AB；根据题意可得直线的方程为，可求点的坐标，即可判断C；根据抛物线的定义判断D 【详解】因为抛物线方程为， 可知焦点的坐标为，准线方程为，A错误，B正确. 又因为直线的斜率为，则直线的方程为， 当时，，即， 因为为垂足，则，解得， 所以点的坐标为，C正确. 根据抛物线的定义可知，故D错误. 故选：BC. 6．(23-24高二上·安徽滁州·期末)已知抛物线的焦点为，且，B，C三点都在抛物线上，则下列说法正确的是（    ） A．点的坐标为 B．若直线过点F，O为坐标原点，则 C．若，则线段的中点到轴距离的最小值为 D．若直线，是圆的两条切线，则直线的方程为 【答案】ABD 【分析】对于A，将点代入抛物线，得到方程后再求解即可.对于B，联立方程组后，运用平面向量的坐标运算求解即可，对于C，运用焦半径公式结合基本不等式求解即可，对于D，运用几何法，设切线，求解方程即可. 【详解】因为在抛物线上，所以，解得，所以，故A正确； 显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，，， 由得，所以，所以， 所以，故B正确； 因为（大于通径长）， 当且仅当B，C，F三点共线时，等号成立，所以，所以， 即线段的中点到轴距离的最小值为，故错误； 直线的斜率为，所以直线的方程为， 即，又直线与圆相切， 所以，整理得， 即.同理可得， 所以直线的方程为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 7．(24-25高二上·安徽鼎尖教育·期中)已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与相交于，两点，且，若，则直线的斜率为 . 【答案】 【分析】设，设直线：，联立直线与抛物线的方程，由根与系数的关系得到，由抛物线的定义可得，由此求出，代入，化简即可得出答案. 【详解】设，，由题意设直线：， 联立可得：， ， 由抛物线的定义可得：， 所以 ， 所以，又因为， 所以，解得：. 故答案为：. 8．(24-25高二上·安徽滁州定远县第二中学·)已知直线：，抛物线：的准线是，点是上一点，若点到直线，的距离分别是，，则的最小值是 . 【答案】 【分析】由点到直线的距离公式可得点到直线的距离，再结合抛物线的定义，代入计算，即可得到结果. 【详解】抛物线的焦点是，准线是：， 设点到直线的距离为，则， 所以，当且仅当且在与之间时等号成立， 所以的最小值是. 故答案为：. 四、解答题 9．(24-25高二下·安徽省阜南实验中学·期中)已知抛物线的准线与轴的交点为. （1）求的方程； （2）若过点的直线与抛物线交于，两点.求证：为定值. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据抛物线的准线求参数p，即可写出抛物线方程； （2）设直线为，、，联立抛物线方程，应用韦达定理求，，由，，代入目标式化简，即可证结论. 【详解】（1）由题意，可得，即， ∴抛物线的方程为. （2）证明：设直线的方程为，，， 联立抛物线有，消去x得，则， ∴，，又，. ∴ . ∴为定值. 地 城 考点04 直线与圆锥曲线的位置关系 一、单选题 1．(24-25高二上·安徽阜阳第三中学·调研)已知是抛物线上异于原点的两点，且以为直径的圆过原点，过点向直线作垂线，垂足为，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据以为直径的圆过原点可求得直线恒过定点，由四点共圆可知的最大值为该圆直径，进而求得结果. 【详解】设点，点，其中，， 以为直径的圆过原点，，解得：， 易知直线的斜率不为，不妨设直线的方程为：， 由化简整理得：，，解得：， 直线恒过定点， ，，四点共圆， 即点在以为直径的圆（除原点外）上运动，此时该圆直径为， 的最大值为该圆的直径，即. 故选：B． 2．(24-25高二上·安徽合肥一六八中学·期中)已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上，当的面积为2时，等于（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据三角形面积得到点的纵坐标，代入椭圆方程可得点的横坐标，利用数量积的坐标表示即可求出结果. 【详解】 由题意可得：，则. 设，由题意可得：，解得， 代入方程可得，解得， ∵， ∴. 故选：A. 3．(24-25高二上·安徽部分学校·期中)已知椭圆的右焦点为，过点的直线与交于两点，若直线的斜率为正数，且，则直线在轴上的截距是（    ） A．1 B．－1 C． D． 【答案】D 【分析】设出直线的横截式方程，联立直线与椭圆方程，利用弦长公式求解出值，则结果可求. 【详解】设， 联立，消去化简整理得， 所以， 于是 ， 解得， 故直线的方程为， 令，解得，所以直线在轴上的截距为， 故选：D. 4．(24-25高二上·安徽阜阳第一中学·期中)已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，若，则线段中点的横坐标为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】设联立抛物线并应用韦达定理、面积公式列方程得，进而求线段中点的横坐标. 【详解】由题设，令，联立抛物线得，显然， 所以，，则， 所以，可得， 又，故线段中点的横坐标为4. 故选：B 5．(24-25高二上·安徽六安第二中学·期中)已知椭圆的其中一个焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设椭圆的方程为，利用点差法结合已知条件能求出椭圆方程． 【详解】设椭圆的方程为， 由题意知，且直线的斜率， 设，则， 两式相减得， 由的中点坐标为，知， 所以， 所以，即， 又，所以 ， 故椭圆C的方程为． 故选：C． 二、多选题 6．(24-25高二上·安徽A10联盟·期中)已知椭圆C：的左、右焦点分别是，，左、右顶点分别是A，B，M是椭圆C上的一个动点（不与A，B重合），则（   ） A．离心率 B．的周长与点M的位置无关 C． D．直线与直线的斜率之积为定值 【答案】BCD 【分析】根据椭圆方程得到、、，即可求出离心率，从而判断A，根据椭圆的定义判断B，根据椭圆的性质判断C，设，表示出斜率，即可判断D. 【详解】因为椭圆C：，则，，，则离心率，故A错误； ∵M是椭圆C上的动点（不与A，B重合）， ∴，故B正确； 因为，即，故C正确； 不妨设，，，则， 所以，故D正确. 故选：BCD. 7．(24-25高二上·安徽江淮名校·期中)已知椭圆左右焦点分别为，点是椭圆上任意一点，，则下列结论正确的是（    ） A．的内切圆半径的最大值为 B． C． D．的内心在一定圆上 【答案】ABC 【分析】根据椭圆的定义、焦点三角形的性质、三角函数的和差公式等知识，运用椭圆的性质求出焦点三角形的一些关系，再利用三角函数知识对每个选项进行分析判断. 【详解】椭圆，，，则，，. 分析选项A，设，，.根据椭圆的定义. 设的内切圆半径为，根据三角形面积（为点纵坐标）. ，因为在椭圆上，，所以，故选项A正确. 分析选项B，在中，根据正弦定理. ，故选项B正确. 分析选项C，设离心率为，则， 由正弦定理可得， 即， 又，而，即， 因为， ， 所以，即， 化简得，即， 所以，故选项C正确. 分析选项D，令，则． 的面积：， 其中为内切圆的半径，解得. 另一方面，由内切圆的性质及焦半径公式得： 从而有．消去得到点的轨迹方程为：. 本题中：，代入上式可得轨迹方程为：. 所以的轨迹是以为长轴的椭圆去掉点，选项D错误.   故选：ABC. 8．(24-25高二上·安徽合肥一六八中学·期中)已知椭圆的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为是椭圆上异于的一个动点，则下列说法正确的有（    ） A．椭圆的离心率为 B．若，则 C．直线的斜率与直线的斜率之积为定值 D．符合条件的点有且仅有2个 【答案】AC 【分析】由椭圆的定义、方程和性质，结合直线的斜率公式和向量数量积的性质，对选项分析即可得到结论． 【详解】由题知，因为，即，解得，所以离心率，故A正确； 若，连接，在中，由勾股定理得，      又因为点在椭圆上，所以，所以， 又，解得，所以，故B错误； 设，    则， 又因为点在椭圆上，所以， 因为，所以，从而 ， 所以为定值，故C正确； 因为，所以点在以为直径的圆上，半径为，    又因为， 所以该圆与椭圆无交点，所以同时在圆上和在椭圆上的点不存在，即不存在符合条件的点，故D错误. 故选：AC. 三、解答题 9．(24-25高二上·安徽卓越县中联盟＆皖豫名校联盟·期中)已知椭圆的右顶点为，左、右焦点分别为，离心率为，为上任意一点，且． (1)求的方程． (2)设过点的直线与有两个不同的交点（均不与点重合）． （ⅰ）若以线段为直径的圆恒过点，求的值； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，若直线的斜率存在且线段的中点为，求证：直线与直线（是坐标原点）的斜率之积为定值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）由椭圆的定义可求出，再由的离心率求出，结合，求出； （2）（ⅰ）设直线的方程为，联立直线与椭圆的方程，将韦达定理代入中，化简即可求出的值； （ⅱ）先表示出点坐标，进而求出直线的斜率和直线的斜率即可证明其斜率之积为定值. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为． 由题意得． 因为的离心率，所以，结合，得， 所以的方程为． （2）（ⅰ）设直线的方程为， 由消去，得， 所以， ， 所以， , 因为以线段为直径的圆恒过点， 所以，即， 所以，即， 即，解得或（舍去），满足，故． （ⅱ）由题可知． 结合（ⅰ）可知， 所以， 所以直线的斜率， 又直线的斜率，所以，为定值，证毕． 10．(24-25高二上·安徽A10联盟·期中)已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率，短轴长为4. (1)求E的标准方程； (2)过点的直线交E于P，Q两点，若以为直径的圆过E的右焦点，求直线的方程； (3)两条不同的直线，的交点为E的左焦点，直线，分别交E于点A，B和点C，D，点G，H分别是线段和的中点，，的斜率分别为，，且，求面积的最大值（O为坐标原点）. 【答案】(1) (2)或. (3). 【分析】（1）根据离心率与短轴长，结合的关系式，建立方程组，可得答案； （2）分直线斜率是否存在进行分析，设出直线方程，联立方程，利用韦达定理与圆的性质，可得答案； （3）设出直线方程，联立方程，利用韦达定理，结合三角形面积公式，可得答案. 【详解】（1）由题意得，，所以. 因为短轴长为4，所以，解得，所以， 所以E的标准方程为. （2）    由（1）知，. 当直线的斜率不存在时，则，， 此时以为直径的圆的圆心为，半径为，而， 则以为直径的圆不经过点，不符合题意，因此直线的斜率必存在. 设直线的方程为，，， 联立，消去y得，， ，且，. 因为以为直径的圆经过点，所以. 所以，即， 所以， 整理得， 即， 化简得，即， 即直线的方程为或. （3）    由（1）知，，则直线的方程为，直线的方程为， 设，，，， 联立，消去得，， 由，所以， 所以，， 即，同理可得， 因为，所以，则， 记的中点为，则. 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以的面积最大值为. 11．(24-25高二上·安徽阜阳第一中学·期中)如图，已知抛物线，直线依次与，轴交于点，直线依次与，轴交于点，其中，． (1)若，且，求； (2)若，点关于轴的对称点为，证明： ①；②． 【答案】(1)2 (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）利用平行关系，将面积比转化为线段比，分别联立两直线与抛物线方程，利用弦长公式用参数分别表达弦长，建立的方程求解可得； （2）①由转化为坐标等量关系，结合抛物线方程证明横坐标相等即可得证； ②设，由直线与抛物线相交于可用表示点坐标，结合①可得，由对称关系可得，由直线与抛物线相交于，可用点坐标表示坐标，即也可用点表示坐标，由此分别表示，从而证明相等关系即可. 【详解】（1）由直线，直线，可知， 如图，设两平行线之间的距离为， 则点到边的距离与点到边的距离都等于. 所以，由，得. 联立直线与抛物线，设， 由，消得， ，由，可知. 由韦达定理知， 则 ， 由直线，， 同理可得 ， 则，解得，又，则. （2）设，由题意可得， ①由，得， 则，即，所以， 由都在抛物线上， 得，，故； ②由①知，， 由，则，且. 由（1）可知，，， 则，； 同理可得，. 所以 由点即关于轴的对称点的坐标为， 则， 故； 同理可得，，； 所以. 又由，则， 所以， 则，得证. 12．(24-25高二上·安徽黄山八校联盟·期中)已知椭圆，其左、右焦点分别为，上顶点为A，O为坐标原点，且的面积为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若，求椭圆上的点到直线距离的最大值. 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）由得，再由、求出可得答案； （2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，令得，结合图形可得答案. 【详解】（1）在Rt中，， ， ， ， ， 又， ， 联立，解得或， 椭圆的标准方程为或； （2）， 椭圆的标准方程为， 直线的方程为，即， 设直线的方程为， 联立， 得， 令得或， 结合图形可知，当时，直线与椭圆的公共点到直线的距离最大， 此时直线的方程为． 距离的最大值为. 13．(24-25高二上·安徽合肥一六八中学·期中)已知动点到定点的距离和它到直线的距离的比是常数，点的轨迹称为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若倾斜角为的直线与曲线交于两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）设，根据等量关系建立方程，化简即可得到结果. （2）设直线方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式表示即可求出结果. 【详解】（1）设，则， 整理得， 所以曲线的方程为. （2）由题意设直线，将代入方程， 整理得：， 设，由，得， 所以， 则， 整理得：，满足，所以， 即直线方程为或. 14．(24-25高二上·安徽部分学校·期中)法国数学家蒙日在研究椭圆时发现：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上.这个圆称为该椭圆的蒙日圆，此结论一般称为蒙日圆定理. (1)求椭圆的蒙日圆方程； (2)对于椭圆，是椭圆的中心，点是椭圆的蒙日圆上一点，，分别切椭圆于点，，且切点弦所在的直线方程是. （i）证明：平分切点弦； （ii）若延长，，分别交椭圆的蒙日圆于点，，证明：. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据蒙日圆的定义求蒙日圆即可； （2）（i）利用点差法或韦达定理得到，然后结合的直线方程得到，即可证明； （ii）根据圆的性质得到，，然后结合等腰三角形的性质证明平行即可. 【详解】（1）考虑边与椭圆长轴和短轴分别平行的矩形知，其对角线之半就是蒙日圆的半径，即，因此椭圆的蒙日圆方程为. （2） （i）设点是切点弦的中点，，. 当，都存在时， 两个方程相减得，， 所以，即，.     （或：设所在的直线方程是，联立消去得，，，.所以点的坐标是.于是.） 而，所以，，，，三点共线， 平分切点弦.     当，有一个不存在时，显然成立. （ii）显然线段是蒙日圆的直径，经过原点，所以，. 于是，，因此，故. 【点睛】关键点点睛：（i）本题的解题关键在于利用点差法或韦达定理得到，然后结合的斜率得到，利用斜率相等证明三点共线，从而得到平分切点弦. 15．(24-25高二上·安徽江淮名校·期中)如图，过椭圆的左､右焦点分别作长轴的垂线交椭圆于，将两侧的椭圆弧删除再分别以为圆心，线段的长度为半径作半圆，这样得到的图形称为“椭圆帽”．夹在之间的部分称为椭圆帽的“帽体段”，两侧的部分称为椭圆帽的“帽檐段”．已知左右两个帽檐段所在的圆方程分别为． (1)求“帽体段”的方程； (2)过的直线交“帽体段”于点，交“帽檐段”于点，点在轴的上方．设与的面积分别为： ①求的最大值； ②求使得取得最小值时的弦长． 【答案】(1) (2)① ；② 【分析】（1）由圆的方程求得坐标，由此求得椭圆的得椭圆方程； （2）①设，由余弦定理求得，结合可求得范围，然后可计算，结合基本不等式得最大值； ②在①基础上计算，令，平方化简并以为整体可求得最小值，从而得弦长． 【详解】（1）由帽檐段所在的圆的方程可得， 即， 所以“帽体段”的方程为； （2）①在中，设，则， 若设，且， ， ， 所以 ， 因为，当且仅当时，“”成立， 所以， 即； ②由①可得： ，令， 则 令，则 由, 所以， 当时，最小， 此时. 16．(24-25高二上·安徽六安第二中学·期中)已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为，. (1)求椭圆的方程； (2)设斜率为且过的直线与椭圆交于，两点，求弦长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由椭圆的基本性质得到的值，写出椭圆方程即可； （2）写出直线方程，联立方程组，由韦达定理得到，利用弦长公式即可求解． 【详解】（1）由题意可知，则， 因为，所以，得到， 所以椭圆的方程为． （2）因为，直线过且斜率为，所以直线， 联立方程组，得， 设，则， 所以． 地 城 考点05 轨迹问题 一、多选题 1．(24-25高二上·安徽十校联考合肥一中·期中)已知正方体棱长为2，M为棱CG的中点，P为底面EFGH上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．存在点P，使得； B．存在唯一点P，使得； C．当，此时点P的轨迹长度为； D．当P为底面EFGH的中心时，三棱锥的外接球表面积为 【答案】ABD 【分析】建立空间直角坐标系，设P点坐标为，利用空间向量逐一求解即可. 【详解】以D为原点，DA，DC，DH所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系 ，，设P点坐标为，，， 为求的最小值，找出点A关于平面EFGH的对称点， 设该点为，则点坐标为， ，故A选项正确； 由可得，故B选项正确； 时，即，而，， 得到， 点P轨迹是连接棱EF中点与棱EH中点的线段，其长度为线段HF的一半，即长为，故C选项错误； 当P为底面EFGH的中心时，由B选项知，显然，， 三棱锥的外接球球心为棱AM的中点，从而求得球半径为，，故D选项正确. 故选：ABD. 2．(24-25高二上·安徽阜阳第一中学·期中)已知曲线，其中，则（    ） A．曲线关于原点对称 B．曲线上存在横坐标大于1的点 C．若，曲线与轴围成的面积大于 D． 【答案】ACD 【分析】A将代入曲线方程验证；B根据对称性，研究部分曲线，有，结合二次函数性质知方程在上有解，推出矛盾；D分析研究部分曲线，有，知时，或，化为求、与曲线交点纵坐标判断，C结合圆，判断其上下左右边界与曲线在且部分的位置关系即可. 【详解】A：曲线任取一点，其关于原点对称的点， 代入曲线，得，即， 所以曲线关于原点对称，对； B：由对称性，只需研究部分曲线，此时， 所以，对应关于的二次函数开口向上，对称轴， 若存在横坐标大于1的点，即方程在上有解， 所以，即，与矛盾，错； D：结合对称性，只需研究部分，且， 当时，或， 所以为与曲线交点纵坐标，是与曲线交点纵坐标， 联立与曲线，得，即， 将代入左侧，得，即； 联立与曲线，得，即， 将代入左侧，得，即， 综上，，对； C：由对称性，只需研究且的曲线部分，其上界满足， 当时，当时， 所以，而，显然， 对于圆，其面积为，上界高于曲线的上界，下界高于曲线的下界， 且，上述圆与已知曲线均过，即它们的左右边界重合， 易知该部分曲线围成的图形面积大于，对； 故选：ACD 二、填空题 3．(24-25高二上·安徽卓越县中联盟＆皖豫名校联盟·期中)如图，在棱长为3的正方体中，，点是底面内（包括边界）的动点，且满足，则符合条件的点形成的轨迹的长度为 ． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，设，利用可得关于，的方程，进而求解. 【详解】 根据题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设， 则． 因为，所以，得， 所以点的轨迹是一条线段，当时，，此时点的坐标为， 当时，，此时点的坐标为， 所以符合条件的点形成的轨迹的长度为． 故答案为： 4．(24-25高二上·安徽江淮名校·期中)已知定直线，点分别是上的动点，且，则的中点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】设，设线段中点，由中点坐标公式得，再利用两点间距离公式，代入化简即可. 【详解】由题：， 设，设线段中点， 则，即， 而 ， 所以，化简为. 故答案为： 5．(20-21高二上·安徽合肥十中·期中)如图所示，在平行四边形中，为中点，，，.沿着将折起，使到达点的位置，且平面平面.若点为内的动点，且满足，则点的轨迹的长度为 . 【答案】 【分析】根据给定条件探求出PB，PC在平面的射影PE，PD的关系，再在平面内建立平面直角坐标系，探讨出动点P在内的轨迹即可作答. 【详解】因平面平面，平面平面，，于是得平面，而，则平面， 从而得PE，PD分别是PB，PC在平面内的射影，如图，， ，而，则， 在所在平面内以点E为原点，射线ED、分别为x，y轴非负半轴建立平面直角坐标系，如图， 则，设，于是得，整理得， 从而得点P的轨迹是以为圆心，4为半径的圆，圆M交分别于Q，N， 显然，圆M在内的部分是圆心角所对的弧，弧长为， 所以点的轨迹的长度为. 故答案为： 三、解答题 6．(24-25高二上·安徽省阜阳三中·期中)设直线．点和点分别在直线和上运动，点为的中点，点为坐标原点，且． (1)已知直线 ：经过定点P，直线经过点P，且，求直线的方程. (2)求点的轨迹方程； (3)当直线的斜率存在时，设点关于直线的对称点为，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）先将直线的方程变形求出定点的坐标，再根据两直线垂直斜率之积为求出直线的斜率，进而得到直线的方程. （2）设，，，利用中点坐标公式，以及已知条件来求点的轨迹方程. （3）先求出直线的方程，再根据对称点的性质求出点的坐标，最后求出直线的方程并证明其过定点. 【详解】（1）对于直线，将其变形为. 令，解方程组： 将其代入，得到. 那么，所以定点. 已知直线，其斜率， 因为，两直线垂直斜率之积为，所以直线的斜率. 由点斜式可得直线的方程为，整理得. （2）设，则， 所以从而 因为，所以，即． 则，化简得． 所以点的轨迹方程为． （3）设，则， 当直线的斜率存在，易得 且， 则直线的方程为， 注意到，化简得． 点与关于直线对称， 设，则由， 解得， 又，所以 ， 从而， 令，得，因此直线过定点． 7．(23-24高二上·安徽省蚌埠市怀远中学·期中)已知P是圆C：上一动点，过P作x轴的垂线，垂足为Q，点M满足，记点M的轨迹为E． (1)求E的方程； (2)若A，B是E上两点，且线段AB的中点坐标为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，利用，得出的坐标，在利用P在圆C：上，即可求出M的轨迹方程. （2）利用点差法求出直线AB，再联立直线和椭圆方程，利用弦长公式即可求解. 【详解】（1）设，则， 因为，则， 因为P在圆C上，所以， 故E的方程为． （2）设，， 若A，B是E上两点，则， 两式相减得，即． 因为线段AB的中点坐标为，所以， 所以，则直线AB的方程为． 联立方程组，整理得，其中， 则，， ． 地 城 考点06 新定义问题 一、填空题 1．(24-25高三上·彭埠市A层中学联考·)椭圆的离心率e满足，则称该椭圆为“黄金椭圆”．若是“黄金椭圆”，则 ；“黄金椭圆”两个焦点分别为、（），P为椭圆C上的异于顶点的任意一点，点M是的内心，连接PM并延长交于N，则 ． 【答案】 【分析】根据离心率可得关于的方程，从而可求其值，根据角平分线的形状结合椭圆的定义可得的值. 【详解】因为是“黄金椭圆”，故，故， 连接，因为为内心，故为角平分线， 由角平分线性质，有，故， 故答案为：，. 二、解答题 2．(24-25高二上·安徽省六安第二中学·期中)定义：若椭圆上的两个点，满足，则称A，B为该椭圆的一个“共轭点对”，记作．已知椭圆C：上一点． (1)求“共轭点对”中点B所在直线l的方程． (2)设O为坐标原点，点P，Q在椭圆C上，且，（1）中的直线l与椭圆C交于两点． ①求点，的坐标； ②设四点，P，，Q在椭圆C上逆时针排列，证明：四边形的面积小于． 【答案】(1) (2)①，；②证明见解析 【分析】（1）设，根据“共轭点对”得直线方程为，化简即可； （2）①联立直线和椭圆的方程，解出即可；②设点，，利用点差法得，设过点P且与直线l平行的直线的方程为，计算直线与椭圆相切时的值，再检验证明此时不满足，则证明出面积小于. 【详解】（1）设中点B的坐标为， 对于椭圆C：上的点，由“共轭点对”的定义， 可知直线l的方程为，即l：． （2）①联立直线l和椭圆C的方程，得解得或， 所以直线l和椭圆C的两个交点的坐标为，． ②设点，，则， 两式相减得． 又，所以，所以， 即，线段PQ被直线l平分． 设点到直线的距离为d， 则四边形的面积． 由，，得． 设过点P且与直线l平行的直线的方程为，则当与C相切时，d取得最大值． 由消去y得． 令，解得， 当时，此时方程为，即，解得， 则此时点P或点Q必有一个和点重合，不符合条件， 故直线与C不可能相切， 即d小于平行直线和（或）的距离． 故.    3．(24-25高二上·安徽太和中学·期中)极点与极线是法国数学家吉拉德・迪沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述的.对于椭圆，极点（不是坐标原点）对应的极线为.已知椭圆的长轴长为，左焦点与抛物线的焦点重合，对于椭圆，极点对应的极线为，过点的直线与椭圆交于，两点，在极线上任取一点，设直线，，的斜率分别为，，（，，均存在）. (1)求极线的方程； (2)求证：； (3)已知过点且斜率为2的直线与椭圆交于，两点，直线，与椭圆的另一个交点分别为，，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析；定点 【分析】（1）由长轴长与抛物线焦点得，进而求出椭圆方程； （2）设直线，联立椭圆方程，由韦达定理可得，，利用将斜率坐标化，利用韦达定理代入坐标关系化简求证可得. （3）设，由（2）结论可先证三点共线得到，用表示，由点斜式方程得，再证明不受的影响恒过定点可得. 【详解】（1）由椭圆的长轴长为， 则，解得， 又因为椭圆的左焦点与抛物线的焦点重合， 所以，解得. 所以椭圆的方程为. 由题意可知，对于椭圆， 极点对应的极线的方程为，即. （2）证明：设，由题意知过的直线的斜率必存在， 故设直线，， 联立方程，消去得， ， ，即， 所以，， 则 . 又，所以，得证.    （3）当中有横坐标为时，纵坐标为， 则或， 直线或与椭圆相切，不符合题意，所以的斜率都存在. 由（2）得，，又， 所以，所以是和的交点. 因为，所以，设， 则，所以，直线的方程为， 即， 令得，所以恒过定点.    4．(24-25高二上·安徽黄山八校联盟·期中)若椭圆：上的两个点满足，则称M，N为该椭圆的一个“共轭点对”，点M，N互为共轭点.显然，对于椭圆上任意一点，总有两个共轭点.已知椭圆，点是椭圆上一动点，点的两个共轭点分别记为. (1)当点坐标为时，求； (2)当直线斜率存在时，记其斜率分别为，其中，求的最小值； (3)证明：的面积为定值. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）将点坐标代入椭圆方程，再根据共轭点的条件得到满足的方程，进而求出. （2）斜率公式和共轭点条件表示出，再利用均值不等式求的最小值. （3）利用三角形面积公式，结合前面求出的关系来证明面积为定值. 【详解】（1）的共轭点分别记为， ， 直线的方程为， 联立得， ， ； （2）点在椭圆上， ，即， 由（1）知，直线的方程为，即， 当时，直线的方程为，代入， 得，即， ， ， 当时，易知，对应共轭点为， 此时，故也成立， ，当且仅当时等号成立； （3）由（2）知，对任意点，都有， ， 点到直线的距离为， 的面积， 故的面积为定值. 5．(24-25高二上·安徽合肥一六八中学·期中)定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”，记作.已知椭圆的离心率为，且椭圆过点. (1)求椭圆的方程； (2)求“共轭点对”中点所在直线的方程； (3)设为坐标原点，点在椭圆上， ，（2）中的直线与椭圆交于两点，且点的纵坐标大于，设四点在椭圆上逆时针排列.证明：四边形的面积小于. 【答案】(1) (2). (3)证明见解析 【分析】（1）根据条件列出的方程组，由此求解出的值，则椭圆方程可知； （2）代入坐标于，得到点坐标的关系式，由此可知点所在直线的方程； （3）根据条件先分析出与的位置关系，然后将四边形的面积通过点到直线的距离以及弦长表示出来，根据点的临界位置分析出面积的临界值，从而完成证明. 【详解】（1）依题意，，解得 所以椭圆的方程为. （2）因为，所以，所以， 所以点所在的直线的方程为. （3）由（2）知，直线， 联立，解得或，则， 设点，则，两式相减得， 又 ，于是，所以，所以， 所以线段的中点在上，故线段被直线平分， 设点到直线的距离为，则四边形的面积， 而，故， 设过点且与直线平行的直线的方程为，则当与相切时，最大， 由，消去得， 令，解得， 当时，此时方程为，即，解得， 则此时点或点必有一个和点重合，不符合条件 ，从而直线与不可能相切， 即小于平行直线和（或）的距离， 所以，得证.    试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 专题03圆锥曲线 ☆6大高频考点概览 考点01椭圆 考点02双曲线 考点03抛物线 考点04直线与圆锥曲线的位置关系 考点05轨迹问题 考点06新定义问题 目目 考点01 椭圆 一、单选题 1.(24-25高二上·安徽铜陵第一中学·期中)己知椭圆C的离心率为 2且过点(2,30，F1,F分别是椭圆 C在x轴上的左、右焦点，过F1的直线l1与过F的直线l交于点N,线段F,N的中点为M,线段F,N的垂 平分线MP与的交点P第一象限在桶圆上，且MP交X轴于点G,则MGV:GPYc元C 272+1 A. B. 0,22+1 C.0,V2+1 D.0,2+1 2.(24-25高二上·安徽准南凤台县第一中学期中)中心为原点，焦点在y轴上，且长轴长与短轴长之比为 2:1,焦距为4V3的椭圆方程为() A.+=1B.+ -=1 -+y2=1 -=1 416 164 C. 4 D.x 4 3.(24-25高二上·安徽A10联盟期中)已知点P在椭圆C: +=1止（点P不是椭圆的顶点），F 43 F2分别为椭圆C的左、右焦点，PF2交y轴于点G,且∠PF,G=∠GF,F2,则线段PF1的长为() A.2 B.3 c. D.37 4 4.(24-25高二上安徽卓越县中联盟&皖豫名校联盟：期中)已知椭圆C:女+之 :+发=1(a>b>0)的右熊点为p 1/17 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 过点F且斜率为1的直线与C交于A,B两点，若S△o4=2 SAOBF(O为坐标原点，S表示面积)，则C的离 心率为() 3 2 B. 2 D. 2 2 c.3 3 3 5.(24-25高二上·安徽A10联盟·期中)已知椭圆C: 丈+y-1(m>0且m≠6)，直线x+3y-4=0与椭 6 m 圆C相交于A,B两点，若1,1是线段AB的中点，则椭圆的焦距为() A.2 B.4 C.22 D.2 二、多选题 6.2425高二上安酸卓越县中联盟&院豫名税联显期已知树圆C:受+y=1的左、右焦点分别为 F1,F2,P是C上一点，若△F,PF2是直角三角形，则△F,PF的面积可以是() B. 2 2 c.3 D.1 2 三、填空题 气5高上安微准高风台县第一中学期中已知椭圆等+0>b>0两随为P,右货点法为 F2,若椭圆上存在一点P,满足线段PF2与以椭圆的短轴为直径的圆相切，切点为线段PF2的中点，则该 椭圆的离心率为 8.(24-25高二上·安徽马鞍山第二中学·期中)已知中心在原点，焦点坐标为0，±52的椭圆被直线 1 3x一y-2=0截得的弦的中点的横坐标为2，则该椭圆的方程为一· 7与直线 9.24-25高二上安徽影县中学期中)中心在坐标原点、焦点在X轴上的箱圆，它的离心率为3， x+y-1=0相交于M、N两点，若以MN为直径的圆经过坐标原点，则椭圆方程为· 425高二上·安徽A10联监：中已C之+2=1Q>b>0'F’E,分别是椭圆一的左、右 2/17 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 1 1=1 焦点F,FF2C,若精圆上存在点P满足PRPF。则椭圆C的离心率的取值范围为一 机.245膏三士安藏超丝中联级统降名税联盟携中尼知椭国C:哥芳=1a>功0防左、有能忘 分别为F1,F2,过点F2的直线与C交于A,B两点，则A,B,F1三点能构成边长为4的正三角形时，C的方 程为一 2巧高南第甲学期中吧知稀测C苍+长10>6>0的左右焦点金 F,F,过点F,的直线与椭圆C交于A,B两点，若∠AE,B=90,且AF=引F,, 则椭圆C的离心率为一 13.24-25高二上安徽黄山八校联盟期中)已知椭圆：父 :一Y=1的焦点在x轴上，则实数m的取值 m+2'4-m 范围为一 四、解答题 14.(2425高二上安徽准南凤台县第一中学·期中)已知椭圆c:士+少 。+长=10>b>0的右顶点为A20”上 顶点为B0,3 (1)求椭圆C的方程： (2)椭圆C的右焦点为F,点P为椭圆C上不同于顶点的一点，若直线AP,FP与y轴相交，交点分别为M, N,且oM-ON=子求点P的横整标 5.2425高三上安微江雅名校期中已知椭圆×+X=1Q>b>0的离心率为，点M2,0是椭圆上 a b2 点，过点M2,0作斜率之积为-1的两条直线l1、12,1、12与椭圆的另一交点分别为A、B. (1)求椭圆的方程： 3/17 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 (2)求证：直线AB恒过定点N. 目目 考点02 双曲线 一、单选题 1.2425高=上安徽阜阳第-中学期中已知双曲线C:兰-上=1a>0,b>0的左、右顶点分别为A、 a b2 A2,左、右焦点分别为F1、F2.现有如下命题：①右支上存在点P满足△PA1A2为等腰三角形， ∠PF,A,-子且SaA=:@右支上不存在点P浩足△PAA,为等腰三角形，&PFVi4a,且 3b2 e=3.那么下列判断正确的是() A.①②都是真命题 B.①是真命题，②是假命题 C.①是假命题，②是真命题 D.①②都是假命题 2.(24-25高二上，安徽鼎尖教育·期中)已知双曲线C: C:X-X=1(a>0,b>0)的-个顶点为2,0，左、右 焦点分别为F,F2,直线经过F2,且与C交于A,B两点若B京2=A,A京，·A京2=0，则C的离心 率为() A.10 B. V10 D.25 3 2 c.5 2 3 224商三上太和中学已知精圆C。+Q>b0的左，石焦点分别为，F,A2 椭圆C内一点，对称中心在坐标原点，焦点在x轴上的等轴双曲线E经过点3,1，点Qa,b在E上，若 椭圆C上存在一点P,使得乙PAV+PF2V元4，则C的离心率的取值范围是() 2222 222 A. 5,3 B 5,2 D.0,2 4/17 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 4.24-25高二上：阜阳A层高中已知F1、F,分别为双曲线丈-二=1a>0,b>0的左、右焦点，过点F,的 a b2 直线与双曲线的右支交于A、B两点，记△AF1F2的内切圆I1的半径为r1,△BF1F2的内切圆I2的半径为 r'若，r,=a2则双曲线的离心率为（） A·2 B.2 C.2 D.3 5.24-25高二上太和中学月考)已知点M为双曲线C:X-=1左支上的一点，F1,F,分别为C的左.右 916 焦点，则MF+F,F2-MF=元() A.2 B.4 C.6 D.8 45可上单实验中学双种线X1的离心率为 A. 2V6 V26 B.5 c.25 D. 30 5 5 5 二、多选题 7.(23-24高二上：毫州祸阳蔚华中学期中)已知关于X,y的方程，+y =1表示的曲线是E,则曲线 4-m'm-2 E可以是() A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 三、填空题 832离三上年市怀医中学期+)已无双有线号芳=10>0，b>0的高近线与因 x+y-6x+8=0相切，则双曲线的离心率为 9.(24-25高二上·安徽阜南实验中学)已知F1、F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且 5/17 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 ∠FPF2=60,|PF=3PF则C的离心率为 四、解答题 10.2425高=上安徽滁州定远县第三中学)已知双曲线E:兰=1(a>0,b>0)的离心率是385 a2 b2 , 焦距为6. (1)求E的方程： 2若直线1：y=k+1与E相交于A,B两点，且Oi·OB=5(O为坐标原点)，求k的值 3 2425高上交类数台期已知双面线C:答-为三10>0,6>0的商心率为，F, 别为其左、右焦点，P为双曲线C上任意一点，且PF,·PF2的最小值是-1. (1)求双曲线C的方程： 2)记双曲线C的左、右顶点分别为A,A,直线：X=my+与C的右支交于M,N两点. (i)求实数m的取值范围： (ii)若直线A1M,A2N的斜率分别为k1,k2,证明： 是定值 k 12.2324商二下太和中学期中)已知双曲线C:兰。=1过点-43321且b=6,F,下，分别是C, a2 b2 的左、右焦点。 (1)求C1的标准方程； (2)设点P是C1上第一象限内的点，求PF,·PF的取值范围. 目目 考点03 抛物线 一、单选题 6/17 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 1.(24-25高二上·安徽淮北实验中学·)抛物线y=4x2的焦点坐标是（) A.1,0 B.0,1 co D.0,i6 2.(24-25高二上·安徽阜南实验中学)经过抛物线y2=2x的焦点且平行于直线3x一2y+5=0的直线1的方 程是() A.6x-4y-3=0 B.3x-2y-3=0 C.2x+3y-2=0 D.2x+3y-1=0 3.(24-25高二上·安徽滁州定远县第二中学)在平面直角坐标系xOy中，动点PX,y到直线x=-1的距离 比它到定点3,0的距离小2，则点P的轨迹方程为() A.y2=6x B.y2=12x C.y2=-6x D.y2=-12x 二、多选题 4.(24-25高二上·安徽滁州定远县第二中学)已知O为坐标原点，抛物线C:y=4x的焦点为F,准线为直 线L,直线PQ与C交于P,Q两点，则下列说法正确的是() A.点F到直线l的距离是4 B.若PQ的方程是2x-y-4=0,则△FPQ的面积为3 C.若PQ的中点G到直线的距离为3，则FP+FQ=8 D.若点4,0在直线PQ上，则OP⊥OQ 5.(24-25高二上·安徽阜南实验中学·)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=6x的焦点为F,准线为l,P为 抛物线上一点，PA⊥1，A为垂足.若直线AF的斜率k=-3,则() VA =6x A.准线方程为X=-3 B.焦点F的坐标为 0 C.点P的坐标为 9 33 7/17 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 D.PF的长为3 6.(23-24高二上·安徽滁州期末)已知抛物线y=2px的焦点为F,且A(2,2),B,C三点都在抛物线上， 则下列说法正确的是() A.点F的坐标为 B.若直线BC过点F,0为坐标原点，则OB·OC=-3 4 C,若BCV84.则线段BC的中点到y轴距离的最小值为号 D.若直线AB,AC是圆（(x-22+y2=1的两条切线，则直线BC的方程为3x+6y+4=0 三、填空题 7.(24-25高二上·安微鼎尖教育·期中)己知抛物线C:y2=2Px(p>0)的焦点为F,过焦点F的直线l与C相 交于P,Q两点， 11-2 且P丽FQ专若PQ=54,则直线的斜率为一 8.(24-25高二上·安徽滁州定远县第二中学)已知直线11：X-y-3=0,抛物线C:x=6y的准线是l2,点 P是C上一点，若点P到直线l1,l2的距离分别是d1,d2,则d1+d2的最小值是 四、解答题 9.(24-25高二下·安徽省阜南实验中学·期中)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线与x轴的交点为 A(-1,0). (1)求C的方程： (2)若过点M(2,0)的直线与抛物线C交于P,Q两点.求证： 1 1 iPM82tQMa为定值 目目 考点04 直线与圆锥曲线的位置关系 一、单选题 1.(24-25高二上·安徽阜阳第三中学·调研)己知A,B是抛物线C:y2=4x上异于原点的两点，且以AB为 8/17 品学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 直径的圆过原点，过点M0,4向直线AB作垂线，垂足为H,则OH的最大值为() A.4 B.42 C.43 D.8 2.2425商二上安徽合肥一六八中学期中已知箱因士+芝=1的左，右焦点分别为F,,点P在精圆上， 62 当△F,PF的面积为2时，PF·PF,等于() A.0 B.1 C.2 D.2 3.(24-25高二上·安徽部分学校期中)已知椭圆C:X+ 之+y=1的右焦点为R,过点F的直线I与C交于A,B两 点，若直线的斜率为正数，且AB= 3V 2，则直线在y轴上的截距是() A.1 V2 B.-1 D.2 4.(24-25高二上·安徽阜阳第一中学·期中)己知O为坐标原点，抛物线E:y2=4x的焦点为F,过点F的直 线与E交于A,B两点，若SAOAB=10,则线段AB中点的横坐标为() A.3 B.4 C.5 D.6 5.(24-25高二上·安徽六安第二中学·期中)己知椭圆C的其中一个焦点为F0,一4，过点F的直线交椭圆C 于A,B两点，若AB的中点坐标为1，-1，则C的方程为() B.+-1 420 248 D.+y=1 824 204 二、多选题 6、425黄三上安微A10联理期中已知酷圆C:千+y=1的左、石焦点分别是R。F,左、右顶点分 别是A,B,M是椭圆C上的一个动点（不与A,B重合），则(） A.离心率e=2 1 B.△MF,F,的周长与点M的位置无关 9/17 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 C.2-V3<MF<2+V3 D.直线MA与直线MB的斜率之积为定值 7.2425商二上安徽江推名校期中已知椭圆+上=1左右焦点分别为F、F,点P是椭圆上任意一点， 43 ∠PF,F2=Q,∠PF2F1=B,则下列结论正确的是() A.△PF,F,的内切圆半径的最大信为 3 B sina+β)-1 sina+sin B 2 c.tam号a anB=1 23 D.△PF1F的内心在一定圆上 区Q425商上安合肥六学期甲尼知骑肉E+1Q>b>0的左石焦点分别为F, 左、右顶点分别为A,B,BF=2AF,P是椭圆E上异于A,B的一个动点，则下列说法正确的有() A,椭圆E的离心率为 B若PF1FF,s∠PFR,=号 C.直线PA的斜率与直线PB的斜率之积为定值 D.符合条件PF,·PF,=0的点P有且仅有2个 三、解答题 又伦425商怎三上安效布越县车联数&能隆名秋联整制中已知6苦+长=1a>b0尚有顶点为M, 2 左、右焦点分别为P,P,离心率为号，P为E上任意一点，且PB+PPF4, (1)求E的方程. 10/17