6.2反比例函数的图象和性质（2） 课件 2025-2026学年北师大版数学九年级上册

第六章 反比例函数 6.2.1 反比例函数的图象和性质 学习目标 1.理解和掌握反比例函数的性质 2.能够初步应用反比例函数的图象和性质解题 3.理解反比例函数的系数 k 的几何意义，并将其灵活运用于坐标系中图形的面积计算 1.反比例函数是一个怎样的图象？ 2.反比例函数的图象的位置与k有怎样的关系？ 当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内； 当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内. 反比例函数的图象是双曲线． 复习回顾 3.写出反比例函数的表达式:________________. 4.反比例函数的图象是__________. 5.反比例函数 的图象在第_________象限内. 6.反比例函数 经过点(m,2),则m的值为____. 7.反比例函数 的图象经过点(2,-3), 则它的表达式为__________. 双曲线 2 二、四 复习回顾 探究新知 一、反比例函数的性质 观察反比例函数 的图象，你能发现它们共同的特征吗？ 问题（1）：函数图象分别位于哪几个象限内？ 函数的图象都位于一、三象限. 探究新知 一、反比例函数的性质 观察反比例函数 的图象，你能发现它们共同的特征吗？ 问题（2）：当x取什么值时，图象位于第一象限？当x取什么值时，图象位于第三象限？ x>0时，图象位于第一象限；x<0 时，图象位于第三象限． 问题（3）：在每一个象限内，随着x 值的增大，y 的值是怎样变化的？能说明这是为什么吗？ 在每一个象限内，y随x的增大而减小. 探究新知 一、反比例函数的性质 当k=－2，－4，－6时，反比例函数 的图象(如图)，它们有哪些共同特征？ 追问（1）：函数图象分别位于哪几个象限内？ 函数的图象都位于二、四象限. 探究新知 一、反比例函数的性质 追问（2）：在每一个象限内，随着x 值的增大，y 的值是怎样变化的？能说明这是为什么吗？ 在每一个象限内，y随x的增大而增大. 探究新知 一、反比例函数的性质 (1)当k＞0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而减小； (2)当k＜0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而增大． 反比例函数 的增减性： k 的正负决定反比例函数所在的象限和增减性 探究新知 归纳总结 一、反比例函数的性质 探究新知 一、反比例函数的性质 例题讲解： < < > 检测1： 1.下列函数：① ； ② ； ③ ； ④ 中 （1）图象位于二、四象限的有 ； （2）在第二象限内，y 随 x 的增大而增大的有 ； （3）在第一象限内，y 随 x 的增大而减小的有 ． ③ ④ ① ② ③ ④ 一、反比例函数的性质 2. 若函数 的图象在其象限内， y随 x的增大而增大，则 m 的取值范围是 ． 3. 点A（x1，y1），B（x2，y2），都在反比例函数 的 图象上，若x1< x2 <0， 则y1，y2的大小关系是 ． 一、反比例函数的性质 4.点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)在反比例函数 y= - 的图象上,且x1<0<x2<x3,则有 (　　) A. y1<y2<y3　　　　　 B. y2<y3<y1 C. y1<y3<y2 D. y3<y2<y1 B 检测1： 在反比例函数 的图象上分别取点P，Q 向 x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形，填写下面表格： 5 1 2 3 4 -1 5 x y O P S1 S2 P (2，2) Q (4，1) S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想 S1，S2 与 k的关系 4 4 S1=S2 S1=S2=k -5 -4 -3 1 4 3 2 -3 -2 -1 Q -2 探究新知 二、反比例函数中K的几何意义 若在反比例函数 中也用同样的方法分别取 P，Q 两点，填写表格： 1 2 3 4 y x O P Q S1 S2 P (-1，4) Q (-2，2) S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想 S1，S2 与 k的关系 4 4 S1=S2 S1=S2=－k 2 1 -2 -1 -1 -2 3 4 探究新知 二、反比例函数中K的几何意义 Q 思考： 在一个反比例函数y = 图象上任取两点P、Q，过点P 分别做x 轴、y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1；过点Q 分别做x 轴、y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S2。S1， S2有什么关系？ P S1 S2 探究新知 二、反比例函数中K的几何意义 探究新知 二、反比例函数中K的几何意义 y x O M S A B B N A ∵点P、Q在函数 的图象上， ∴ ab=k,cd=k ∵S1=ab ,S2=(-c).(-d)=cd ∴ S1=S2=k (a,b) (c,d) (c,d) (a,b) ∵点M、N在函数 的图象上， ∴ ab=k,cd=k ∵S1=-ab ,S2=c.(-d)=-cd ∴ S1=S2=-k=|k| k>0 k<0 对于反比例函数 ， 点 Q 是其图象上的任意一点，作 QA 垂直于 y 轴，作 QB 垂直于 x 轴.与坐标轴围成的矩形 的面积与 k 的关系是: S矩形= |k| . Q A B y x O 探究新知 二、反比例函数中K的几何意义 归纳总结 推理：△QAO与△QBO的面积和k的关系是S△QAO=S△QBO= A.SA >SB>SC B.SA<SB<SC C.SA =SB=SC D.SA<SC<SB A B C C y x O 1.如图，在函数 的图像上有三点A、B 、 C，过这三点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与x轴、 y轴围成的矩形的面积分别为SA ，SB，SC，则（ ） 二、反比例函数中K的几何意义 检测1： 二、反比例函数中K的几何意义 y x O P A ﹣12 3.如图,过反比例函数 图象上的一点P,作PA⊥x轴于A.若△POA的面积为6,则k= . 2.已知反比例函数y=的图象如图所示,若矩形OABC的面积为3,则k的值是(　) A.3 B.-3 C.6 D.-6 B 检测1： 课堂小结 反比例函数的性质 性质 反比例函数图象中比例系数k的几何意义 当k＞0时，在每一象限内，y的值随x 的增大而减小. 当k<0时，在每一象限内，y的值随x 的增大而增大. 当堂训练 一、选择题 1.反比例函数图象的一支如图,△POM的面积为2,则该函数的解析式是 (　 　) A.y= B.y= C.y=- D.y=- D 2.如果反比例函数y=的图象在所在的每个象限内y都是随着x的增大而减小,那么m的取值范围是 (　 　) A.m>　　　　 　B.m< C.m≤ D.m≥ 3.点A(-3, y1),B(-1,y2),C(2,y3)都在反比例函数y=的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是 (　 　) A.y1<y2<y3 B.y3<y2<y1 C.y3<y1<y2 D.y2<y1<y3 B C ◆ 基础训练◆ ◆ 能力提升◆ 1.已知函数y=-的图象经过点P1(x1,y1),P2(x2,y2),如果x2<0<x1,那么 (　 　) A.0<y2<y1 B.y1>0>y2 C.y2<y1<0 D.y1<0<y2 解析:∵-k2-1<0,∴函数y=-的图象在二、四象限, ∵x2<0<x1,∴点P2(x2,y2)在第二象限,点P1(x1,y1)在第四象限, ∵y2>0,y1<0.故选D. D 2.如图,在平面直角坐标系中,过x轴正半轴上任意一点P作y轴的平行线,分别交函数y=(x>0),y=-(x>0)的图象于点A,点B.若C是y轴上任意一点,则△ABC的面积为 (　 　) A.9　 　 B.6　 　 C.　 　 D.3 C ◆ 能力提升◆ 3.一次函数y1=-x+b与反比例函数y2=(x>0)的图象如图所示,当y1<y2时,自变量x的取值范围是　 　.  ◆ 能力提升◆ 0<x<2或x>4 如图，双曲线经过Rt△BOC斜边上的点A，且满足 ，与BC交于点D，S△BOD＝21，则反比例函数解析式为 　　． ◆ 走进中考◆ 作业布置 1.完成课本153页第1、2、3题 2.完成原创新课题对应练习 下课！ $