14.1全等三角形及其性质 教案 2025--2026学年人教版八年级数学上册

第十四章 全等三角形 14.1《全等三角形及其性质》   一、教材分析 本节课是人教版《义务教育教科书·数学》八年级上册第十四章 全等三角形的起始课，是在学生学习了三角形的基本概念和性质的基础上展开的. 教材通过具体例子引出本章要研究的主题——全等三角形，让学生通过操作、观察，得出全等形、全等三角形的概念，通过思考栏目，帮助学生建立起了平移、翻折、旋转三种图形的变化与全等形的关系，接着结合具体图形使学生理解对应边、对应角的定义，并让学生从中发现全等三角形的性质． 全等三角形是研究图形全等的起点，也是证明线段相等、角相等的重要工具，为后续学习三角形全等的判定、等腰三角形、四边形等知识奠定了基础，在初中数学知识体系中具有承上启下的作用.   二、教学目标 1.了解全等形的概念、全等三角形的概念和性质，能识别全等三角形的对应点、对应边、对应角. 2.能运用全等三角形的性质解决简单的问题，培养学生解决问题的能力. 3.初步帮助学生建立平移、翻折、旋转三种图形变化与全等形的关系. 4.在图形变换和实际操作的过程中发展空间观念，培养学生的几何直观和核心素养.   三、教学重难点 重点：了解全等形的概念、全等三角形的概念和性质，能识别全等三角形的对应点、对应边、对应角. 难点: 能运用全等三角形的性质解决简单的问题，培养学生解决问题的能力.   四、教学过程 · 本章引入 问题1：你能在下面这些图中找到形状、大小相同的图形吗？ 形状、大小相同的图形是全等形. 本章我们以全等三角形为例研究全等形，重点学习全等三角形的性质和判定三角形全等的方法. 问题2：上一章我们通过推理论证得到了三角形的哪些重要结论？ 答：①三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边； ②三角形三个内角的和等于180°； ③直角三角形的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形. ④三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 在本章推理论证将发挥更大的作用.我们将通过证明三角形全等来证明线段相等或角相等，利用全等三角形证明角的平分线的性质，通过本章的学习，你对三角形的认识会更加丰富，推理能力会进一步提升. 师生活动：教师投影展示问题，与学生共同回忆学习过的三角形重要结论，引出本章的学习内容. 设计意图：让学生对本章有一个整体的感知，利于学生在头脑中建立全章的思维导图，形成体系. · 情境导入 问题3：猜谜语 从前，三角形、圆形、平行四边形和梯形约好一起出去玩，结果到了约定的时间，圆形、平行四边形和梯形都来了，只有三角形没有来，请问这种情形叫什么? 师生活动： 教师提问，学生独立思考并举手回答. 答：全等三角形. 设计意图：通过猜谜语游戏引入，增强学生的参与感，引起学生的兴趣，为后面引出全等三角形的概念作铺垫. · 探究新知 活动一：探究全等图形的定义及性质 问题4：如图，对开的大门、邮票、设计的图案中都有形状、大小相同的图形的形象，你能再举出一些类似的例子吗? 师生活动：教师展示生活中常见的全等图形，如两张相同的邮票、两个完全一样的三角形模具等，引导学生观察这些图形的特点并举出类似的例子，然后提问:“这些图形有什么共同特征?"学生观察后回答，教师适时引出全等三角形的概念. 答：眼镜的两个镜片；自行车的两个轱辘. 追问：如果把他们叠加着放在一起，能发现什么？ 答：发现他们能完全重合. 归纳：能够完全重合的两个图形叫作全等形. 完全重合指的是：①完全重合说明两个图形的周长和面积相等； ②周长或面积相等的两个图形不一定是全等形. 归纳：全等图形性质：如果两个图形全等，它们的形状和大小一定都相等. 设计意图：丰富的图形容易引起学生的注意，使他们能很快地投入到学习的情境中，它反映了现实生活中存在着大量的全等图形，揭示出数学来源于生活.通过观察两个图形是否重合，让学生体会到只有形状相同、大小相等的两个图形才能重合. 活动二：探究全等三角形的定义及性质 问题5：把一块三角尺按在纸板上，画下图形，照图形裁下来的纸板和三角尺的形状、大小完全一样吗?把三角尺和裁得的纸板放在一起能够完全重合吗? 师生活动：学生动手操作、用脑思考、与同伴讨论，得出结论.教师指导学生用剪刀剪出三角形. 答：完全重合. 问题6：你能尝试说出全等三角形的定义吗？ 答：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形. 问题7：如图，把△ABC 沿直线BC平移，得到DEF.图中的两个三角形全等吗? 师生活动：.教师在纸版上任意剪下一个三角形，要求学生手拿一个三角形，做如下运动:平移、翻折、旋转，观察其运动前后的三角形，回答问题. 答：经过平移后的两个三角形全等. 问题8：如图，把△ABC 沿直线BC 翻折 180°，得到△DBC.图中的两个三角形全等吗? 答：经过翻折后的两个三角形全等. 问题9：如图，把 △ABC 绕点 A 旋转，得到 △ADE.图中的两个三角形全等吗? 答：经过旋转后的两个三角形全等. 归纳：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等. 设计意图：拓展学生视野，了解全等变换，为进一步学习和应用复杂的全等三角形奠定基础. 全等三角形的表示方法：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”. 如图，图中的△ABC 和△DEF 全等，记作△ABC≌△DEF.读作△ABC全等于△DEF. 将两个全等三角形重合在一起 · 重合的顶点叫对应顶点； · 重合的边叫对应边； · 重合的角叫对应角 师生活动：学生把两个三角形按上述要求标上字母，并任意放置，与同桌交流:(1)何时能完全重在一起?(2)此时它们的顶点、边、角有何特点?经过同桌交流，实验得出结论. 问题10：观察图形并思考：如图，△ABC 和△DEF全等，当△ABC 和△DEF重合时： ①有哪些对应顶点? ②有哪些对应顶角? ③有哪些对应顶边? 师生活动：教师让学生观察重合的两个全等三角形，并提问，学生通过观察、测量等方法进行探究，然后小组讨论交流.教师巡视指导，倾听学生的想法. 答：①点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点. ②∠A和∠D， ∠B和∠E， ∠C和∠F是对应角. ③AB与DE， AC与DF， BC与EF′是对应边. 设计意图：通过直观的操作活动，让学生亲身感受全等三角形的本质特征，加深对全等三角形概念的理解，为后续的学习奠定基础. 问题11：有公共顶点或公共边或公共角的图形，寻找对应边、对应角有什么规律? 有公共边 有公共点 师生活动：学生分小组讨论并完成作答，并总结规律. 归纳：寻找对应元素的规律： ①有公共边的，公共边是对应边； ②有公共角的，公共角是对应角； ③有对顶角的，对顶角是对应角； ④长边对长边，短边对短边； ⑤大角对大角，小角对小角. 注意：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上. 设计意图：规范全等三角形的表示方法，善于对基本三角形变换出各种图形，观察它们的对应边、对应角的变化，体会当公共边、公共角完全或部分重叠时，如何快速寻找，培养学生的动手操作能力. 问题12：摆一摆：利用平移，翻折，旋转等变换所得到的三角形与原三角形组成各种各样新的图形，你还能拼出什么不同的造型吗？比一比看谁更有创意！ 师生活动：教师提出问题，学生动手操作，小组交流，选代表回答问题，教师补充总结学生的结论. 归纳：常见的全等三角形的类型： 平移型： 旋转型 翻折型 设计意图:让学生善于对基本三角形变换出各种图形，归纳出常见全等三角形的类型，观察它们的对应边、对应角的变化，培养学生的动手操作能力. 问题13：如图，△ABC 和△DEF全等，对应边有什么关系?对应角呢? 师生活动：学生观察，举手回答问题，得出结论，教师进行总结补充.最后，教师引导学生总结出全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等，对应角相等. 答：对应边：AB=DE BC=EF AC=DF 对应角： ∠A=∠D ∠B=∠E ∠C=∠F 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等. 几何语言： ∵△ABC≌△DEF， ∴AB=DE， AC=DF，BC=EF， ∠A=∠D， ∠B=∠E， ∠C=∠F. 问题14：如图，△ABC 和△DEF全等，对应边上的高、中线，对应角的平分线有什么关系？ 答： 对应边上的高、中线，对应角的平分线相等. 追问：全等三角形的面积、周长相等吗？ 答：相等. 设计意图：让学生通过自主探究和合作交流，发现全等三角形的性质，培养学生的观察能力、动手能力和合作探究能力，同时体会从特殊到一般的数学思想. · 应用新知 【教材例题】 师生活动：教师在黑板上展示例题，提示学生仔细审题. 学生思考并尝试解答.教师讲解完后，询问学生是否理解每一步的操作，鼓励学生提出疑问. 例1 如图，△ABC≌△BAD，点A和点B，点C和点D是对应顶点，BAC=65°，ABC=26°，AC，BD的延长线相交于点E. 求CBD，AEB 的度数. 分析：根据全等三角形对应角相等求出ABD的度数，进而可得CBD的度数；利用三角形内角和为180°可得AEB的度数. 解：∵△ABC≌△BAD，∴ABD=BAC=65°. ∴CBD=ABD-ABC=65°-26°=39° 在△AEB 中，AEB+BAE+ABE=180° ∴AEB=180°-BAE-ABE=180°-65°-65°=50°. 【经典例题】 例2 如图所示，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A'B'C，使点A'落在BC的延长线上.已知A=27°，B=40°，则ACB'为_______度.  分析：先根据三角形外角的性质求出 ACA'=A+B=27°+40°=67°. 再由△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A'B'C，得到 △ABC≌△A'B'C， ∴ACB=A'CB'. ∴ACB–B'CA=A'CB'–B'CA， 即BCB'=ACA'. ∴BCB'=67°. ∴∠ACB'=180°–∠ACA'–∠BCB'=180°–67°–67°=46°. 答：46. 例3 如图所示，已知△ABD≌△CFD，AD⟂BC于D. (1)判断CE与AB的位置关系，并说明理由； (2)已知BC=7，AD=5，求AF的长. 分析：(1)根据垂线的定义得到ADC=90°，由全等三角形的性质得到DAB=DCF，据此可利用三角形内角和定理证明AEF=CDF=90°，据此可得结论; (2)根据全等三角形的性质可得BD=FD，AD=CD=5，从而求得BD=FD=2，即可求解. 解：(1)CE⟂AB，理由如下： ∵AD⟂ BD，∴ADC=90° ∵△ABD≌△CFD，∴DAB=DCF. 又∵AFE=CFD， AEF+AFE+EAF=DFC+DCF+CDF=180° ∴AEF=CDF=90°，即CE⟂AB. (2) ∵△ABD≌△CFD， ∴BD=FD， AD=CD. ∵BC=7，AD=CD=5， ∴BD=BC-CD=7-5=2. ∴FD=2 ∴AF=AD-FD=5-2=3. 总结：先找对应边， 再算边长. 设计意图：通过例题的学习，让学生巩固全等三角形的概念和性质，提高学生运用所学知识解决实际问题的能力，同时规范学生的解题格式. · 课堂练习 【教材练习】 1.如图，△ABC≌△BDE，A和EBD，C和E是对应角.说出这两个三角形的对应边和另一组对应角. 解：△ABC与△BDE的对应边为：AC与BE，AB与BD ，BC与DE. △ABC与△BDE的另一组对应角为：ABC和BDE. 2.如图，△OCA≌△OBD，点C和点B，点A和点D是对应顶点，说出这两个三角形中相等的边和角. 解：相等的边：AC=DB ，OC=OB， OA=OD. 相等的角：A=D，C=B ，AOC=DOB. 师生活动：学生先独立作答，再随机选择学生回答. 设计意图：让学生进一步巩固所学知识，加强学生对本节知识的掌握，培养应用意识，锻炼运用能力和解题能力. 【限时训练】 1.如右图，已知△ABD≌△ACE，C=45°，AC = 8， AE = 5，则B = ， DC = . 答：45°；3 2.如图所示，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是( ) A.△ABD 和△CDB 的面积相等 B.△ABD 和△CDB 的周长相等 C.A +ABD =C +CBD D.AD∥BC，且AD = BC 分析：根据全等三角形的性质推出两三角形面积相等， 周长相等.且AD=BC，1=2，所以AD∥BC. 由全等得A=C，ABD=CDB，所以A+ABD=C+CDB≠C+CBD，故选C. 答：C 3.如图，长方形ABCD沿AM折叠，使D点落在BC上的N点处，AD=7cm，DAM=15°，则AN= cm，NAB= . 分析：∵将长方形ABCD沿AM折叠，使点D落在BC边上的点N，∴△ADM≌△ANM. ∴AN=AD=7cm，DAM=NAM=15°. ∴NAB=90°-DAM-NAM=60°故答案为7，60°. 答：7，60°. 4.一个三角形的三边为2，5，a，另一个三角形的三边为b，2，6，若这两个三角形全等，则a+b的值为( ) A.8 B.9 C.10 D.11 分析：由全等三角形的性质得a=6，b=5，∴a+b=11. 答：D 5.如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F. (1)当DE=8，BC=5时，求线段AE的长. (2)已知D=35°，C=60°，求DBC与AFD的度数. 分析：(1)根据全等三角形的性质得到AB=DE=8，BE=BC=5，结合图形计算，即可得到答案. (2)根据全等三角形的性质得到DBE=C=60°，A=D=35°，根据三角形内角和定理求出 ABC，即可求得. 解：(1)∵△ABC≌△DEB，DE=8，BC=5 ∴AB=DE=8，BE=BC=5. ∴AE=AB-BE=8-5=3; (2)∵△ABC≌△DEB，D=35°，C=60. ∴DBE=C=60°，A=D=35°，ABC=DEB. ∴ABC=180°-A-C=180°-35°-60°=85°. ∴DBC=ABC-DBE=85°-60°=25°. ∵ABC=85°，∴DEB=85°.∴AED=180°-DEB=180°-85°=95° ∴AFD=A+AED=35°+95°=130°. 设计意图：布置分层作业，满足不同层次学生的学习需求，巩固本节课的知识，同时培养学生的观察能力和应用意识. · 课堂总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容. 1.本节课你学到了什么？ 2.什么是全等形？什么是全等三角形？ 3.全等三角形的性质是什么？ 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识. · 实践作业 发现生活中的全等三角形 任务：1.观察并寻找生活中至少3组全等三角形的实例. 2.针对每一组全等三角形实例，分析其在实际场景中所发挥的作用. · 要求：用拍照或者手绘的方式记录找到的全等三角形实例，并附上简单的文字说明. · 示例：晾衣架的支撑结构由多个全等三角形组成.作用:利用全等三角形的稳定性，使晾衣架能够稳固地支撑衣物，不易变形摇晃. 学科网（北京）股份有限公司 $