22.3.2二次函数的实际运用-利润最值问题 导学案 2025-2026学年人教版数学九年级上册

22.3.2二次函数的实际运用----利润最值问题 班级 姓名 【学习目标】将生活问题转化为数学问题，运用二次函数的知识求出实际问题的最值，解决销售中的最大利润问题； 【学习重点】会建立二次函数的数学模型，求出最值； 【学习难点】灵活地建立二次函数的数学模型，求出最值。 【学习过程】 课前自学 1.关于销售问题的一些等量关系： — =单件商品利润× =总利润 或 总利润= — . 2. （只列式不计算）某商品进价为40元，售价为60元，卖出300件，则利润为 元 当价格上涨时： ①若价格每上涨1元，销售量减少10件，现价格上涨5元，则销售量为 件，利润为 __ _____元； ②若价格每上涨1元，销售量减少10件，现价格上涨x元，则销售量为 件，利润为 _ __ ____元； ③若价格每上涨1元，销售量减少10件，现价格为x元，则上涨 元，销售量为 件，利润为 _ _____ 元； 当价格降价时： ④若价格每下降1元，销售量增加20件，现价格下降5元，则销售量为 件，利润为 元； ⑤若价格每下降1元，销售量增加20件，现价格下降x元，则销售量为 件，利润为 元； ⑥若价格每下降1元，销售量增加20件，现价格为x元，则降价 元，销售量为 件， 利润为 元. 课中研学 探究活动一：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件。已知商品的进价为每件40元，若设涨价x元。 （1）求销量y（元）与涨价的函数关系式。 （2）求每星期的利润为W元与涨价x的函数关系式。 （3）如何定价才能使利润最大，最大利润为多少元？ 方法指导:先列表，分析题意 售价 进价 单利 销量 总利润 原来价格 变化 涨价后 问题1：每个式子表示的实际含义是什么？ 问题2：自变量x的取值范围如何确定？ 问题3，如何在自变量x的取值范围求利润最值？ 解： 变式1：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格，每降价1元，每星期要多卖出20件。已知商品的进价为每件40元，若设降价x元。 （1）请列出分析题意的表格，并求每星期的利润为W元与涨价x的函数关系式。 售价 进价 单利 销量 总利润 原来价格 变化 降价 （2）如何定价才能使利润最大，最大利润为多少元？ 变式2：将探究活动一中涨价x元变式为，若设现在定价为x元。 （1）求每星期的利润为W元与定价为x元的函数关系式。 （2）如何定价才能使利润最大，最大利润为多少元？ 变式3：将变式1中降价x元变式为，若设现在定价为x元。 （1）求每星期的利润为W元与定价为x元的函数关系式。 （2）如何定价才能使利润最大，最大利润为多少元 探究二 在一定范围内求最值 （1） 探究活动一中，涨价6≤x≤8范围内，则x为何值，才有最大利润？ （2） 若每月利润不少于6000，对探究一和变式一来说，如何控制售价？ 三、拓展延伸 某网店销售一种儿童玩具，每件进价20元，规定单价销售利润不低于10元，且不高于18元，试销售期间发现，当销售定价定为35元时，每天可售出250件，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10件，该网店决定提价销售，设销售单价为x元.网店决定每销售1件玩具就捐赠a元（0＜a≤6）给希望工程，每天扣除捐赠后可获得最大利润为3300元，求a的值. 课后研学 某产品每件成本为20元，经过市场调研，发现这种产品在未来20天内的日销售量m是关于时间t的一次函数 ，调研所获得部分数据如下表： 时间t/天 1 3 10 20 日销售量m/件 98 94 80 60 这20天中，该产品每天的价格y (单位：元/件)与时间t的函数关系式为：(t为整数)，根据以上提供的条件解决下列问题： （1）直接写出m关于t的函数关系式； （2）这20天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？ （3）在实际销售的20天中，每销售一件商品就捐赠a (0＜a＜4)元给希望工程，每天扣除捐赠后可获得最大利润为512元，求a的取值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $