13.3.1 三角形的内角 第1课时 三角形的内角和定理 课件　 2025—2026学年人教版数学八年级上册

新课标 人教版 八年级上册 2025-2026学年度上学期人教版精品课件 第十三章三角形 13.3.1三角形的内角（第一课时） 学习目标 1.探索并证明三角形内角和定理. 2.会运用三角形内角和定理进行计算. 3.能运用三角形内角和定理解决简单实际问题 复习提问 我的形状最小，那我的内角和最小. 我的形状最大，那我的内角和最大. 不对，我有一个钝角，所以我的内角和才是最大的. 一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧. 探究新知 我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°.与三角形的形状、大小无关，所以它们的说法都是错误的. 思考 除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢? 折叠 还可以用拼接的方法，你知道怎样操作吗？ 方法 剪拼图形. 图1 图2 图3 图4 图5 5 这些“验证” 不是“数学证明” 需要通过推理的方法来证明： 任意一个三角形的三个内角的和等于180°. 结合下图，写出已知、求证. 已知：△ABC. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 试一试： A B C 7 方法 剪拼图形. 图1 图2 图3 图4 图5 将三个角拼合到一起的目的是什么呢？ 为了得到平角, 即180°. 8 从这个操作过程中，你受到怎样的启发？你能发现证明的思路吗？ 直线l 与边BC 有什么位置关系？ 想一想： B C A l 图1 9 三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角. 三角形的内角和定理的证明 在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起. 还有其他的拼接方法吗？ 探究新知 三角形三个内角的和等于180°. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 已知：△ABC. 证法1：过点A作l∥BC， ∴∠B=∠1.(两直线平行，内错角相等) ∠C=∠2.(两直线平行，内错角相等) ∵∠2+∠1+∠BAC=180°， ∴∠B+∠C+∠BAC=180°. 1 2 探究新知 证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA， ∴ ∠A=∠1 .(两直线平行，内错角相等) ∠B=∠2.(两直线平行，同位角相等) 又∵∠1+∠2+∠ACB=180°， ∴∠A+∠B+∠ACB=180°. C B A E D 1 2 探究新知 C B A E D F 证法3：过D作DE∥AC，作DF∥AB. ∴ ∠C=∠EDB，∠B=∠FDC. (两直线平行，同位角相等) ∠A+∠AED=180°， ∠AED+∠EDF=180°， (两直线平行，同旁内角相补) ∴ ∠A=∠EDF. ∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°， ∴∠A+∠B+∠C=180°. 同学们还有其他的方法吗？ 探究新知 思考：多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？ 借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角. C A B 1 2 3 4 5 l A C B 1 2 3 4 5 l P 6 m A B C D E C 2 4 A B 3 E Q D F P G H 1 B G C 2 4 A 3 E D F H 1 试一试：同学们按照上图中的辅助线，给出证明步骤？ 在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线. 思路总结 为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法. 作辅助线 概念归纳 三角形内角和定理的“三个应用” 1.已知两个角的度数求第三个角的度数. 2.已知一个角的度数求另外两个角度数的和. 3.已知三个角的度数关系，求这三个角的度数. 三角形的内角和定理的应用 新知探究 例1 如图，在△ABC中， ∠BAC=40 °, ∠B=75 °,AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数. A B C D 解：由∠BAC=40 °, AD是△ABC的角平分线，得 ∠BAD= ∠BAC=20 °. 在△ABD中， ∠ADB=180°-∠B-∠BAD =180°-75°-20°=85°. 典例剖析 【变式题】如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度数． 解：∵∠A＝50°，∠B＝70°， ∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°. ∵CD是∠ACB的平分线， ∴∠BCD＝ ∠ACB＝30°. ∵DE∥BC， ∴∠EDC＝∠BCD＝30°， 在△BDC中，∠BDC＝180°－∠B－∠BCD=80°. 知识点2 三角形内角和定理与平行线的综合 6.［2025河南周口期中］如图所示，以下描述错误的是( ) C A.点位于点北偏西 方向 B.点位于点北偏东 方向 C.点位于点北偏西 方向 D. 【解析】如图.由题意得， ， ， ， . A选项，点位于点 北偏西 方向，故A不符合题意； B选项，点位于点北偏东 方向，故B不符合题意； C选项，点位于点北偏西 方向，故C符合题意； D选项， ，故D不符合题意.故选C. 20 7.［2025广东深圳期中］如图， 的两边被一张长方形纸片遮挡 部分，若 ， ，则 ____. 【解析】如图，由题意可得 ， ， .故答案为 . 21 8.如图，是的高，的两条角平分线， 相交于点， ， . （1）求 的度数； 提升题 解：是 的高， . 又 ， ， . 是的角平分线， ， . . 22 （2）求 的度数. 解： ， ， ， ， ，是 的角平分线， ， . ， . 返回 8.如图，是的高，的两条角平分线， 相交于点， ， . 23 9.材料阅读：如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规.我们不妨把这样 的图形叫作“规形图”. 拓展题 （1）观察图①，试探究与，， 之间的数量关系，并说明理由. 解： . 理由：连接,由三角形的内角和是 ，得 , ， . , , ， . . 24 （2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题： Ⅰ.如图②，把一块三角尺放置在 上，使三角尺的两条直角边， 恰好分别经过点，，若 ，则 ____ ； 50 Ⅱ.如图③，平分，平分，若 ， ，求 的度数. [解析] 由（1）得 ， ， . 又平分，平分 ， . . 25 $