13.2.1 三角形的边 课件-2025-2026学年人教版数学八年级上册

13.2 与三角形有关的线段 13.2.1 三角形的边 1.掌握三角形的三边关系. 2. 理解“三角形中任意两边的和大于第三边”的含义，并能运用它解决简单的实际问题. 学习目标 3. 掌握实数的运算法则，熟练地利用计算器去解决有关实数的运算问题. A B C 路线1：从A到C再到B的路线走； 路线2：沿线段AB走. 请问：路线1、路线2哪条路程较短，你能说出根据吗？ 解：路线2较短；两点之间线段最短. 由此可以得到： 探究一 三角形的三边关系 三角形两边的和大于第三边. 三角形两边的差小于第三边. 1.在同一个三角形中,任意两边之和与第三边有什么 大小关系? 2.在同一个三角形中,任意两边之差与第三边有什么 大小关系? 3.三角形三边有怎样的不等关系? 通过动手实验同学们可以得到哪些结论?理由是什么？ 想一想 技巧点拨 只要满足较小的两条线段之和大于第三条线段，或较长线段与最短线段之差小于中间线段，便可构成三角形;若不满足，则不能构成三角形. 以下列长度的三条线段(或满足三条线段的比)为边，能构成三角形的有哪些？ (1)6 cm，8 cm，10 cm； (2)5 cm，8 cm，2 cm； (3)三条线段之比为4∶5∶6； (4)a＋1，a＋2，a＋3(a>0). 例 1 知1－练 解题秘方：快速判断三条线段能否构成三角形的方法：只要满足三条线段中较短的两条线段之和大于第三条线段的条件，或者只要满足最长线段与最短线段的差小于第三条线段的条件就能构成三角形，否则不能. 知1－练 (1)6 cm，8 cm，10 cm； (2)5 cm，8 cm，2 cm； 解：∵ 6 cm＋8 cm>10 cm， ∴长度为6 cm，8 cm，10 cm 的三条线段能构成三角形. 知1－练 ∵ 5 cm＋2 cm<8 cm， ∴长度为5 cm，8 cm，2 cm的三条线段不能构成三角形. (3)三条线段之比为4 ∶ 5 ∶ 6； 解：设这三条线段的长分别为4x，5x，6x(x>0). ∵ 4x＋5x>6x，∴长度之比为4∶5∶6的三条线段能构成三角形. 知1－练 (4)a＋1，a＋2，a＋3(a>0). 解：∵ a＋1＋a＋2＝2a＋3 ，当a>0 时，2a＋3 >a＋3， ∴长度为a＋1，a＋2，a＋3(a>0)的三条线段能构成三角形. 综上可知，能构成三角形的有(1)(3)(4)． 知1－练 1．三角形的三边关系： 三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边． 2．如果三条线段中任意两条线段的和大于第三条线段，那么这三条线段能组成三角形；如果三条线段中有两条线段的和小于或等于第三条线段，那么这三条线段不能组成三角形． 3．三角形是具有稳定性的图形． 新课讲解 知识点2 三角形的稳定性 如图，将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？ 可以发现，三角形的三条边长确定后，三角形的形状就确定了，因此三角形木架的形状不会改变，这就是说，三角形是具有稳定性的图形. 探究 新课讲解 三角形的稳定性有着广泛的应用，下图表示其中一些例子. 起重机 钢架桥 帐篷的支撑结构 自行车车架 新课讲解 如图，将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？ 探究 会改变，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变. 如图，四边形木架上再钉一根木条，将它的一对不相等的顶点连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状会改变吗？为什么？ 探究 斜钉了一根木条后，四边形变成了两个三角形，由于三角形具有稳定性，所以四边形木架的形状不会改变. 新课讲解 盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，大家想一想为什么要这样做呢? 四条边及四条边以上的图形都不具有稳定性，为保证其稳定性，常在图形中构造三角形. “只要三角形三条边的长度固定，这个三角形的形状和大小也就完全确定，三角形的这种性质叫做“三角形的稳定性”. 这就是说，三角形的稳定性不是“拉得动、拉不动”的问题，其实质应是“三角形边长确定，其形状和大小就确定了” 总结 新课讲解 四边形的不稳定性是我们常常需要克服的，那么四边形的不稳定性在生活中有没有应用价值呢？你能举出一些现实生活中的应用了四边形不稳定性的例子吗？ 1. 下列长度的各组线段能组成一个三角形的是 (　　) A. 1cm,2cm,3cm B. 3cm,8cm,5cm C. 4cm,5cm,10cm D. 4cm,5cm,6cm D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2. 如图,人字梯中间一般会设计“拉杆”,这样做所蕴含的数学原理是 (　　) A. 三角形的稳定性 B. 两点确定一条直线 C. 垂线段最短 D. 两点之间线段最短 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3. 已知线段AB=9cm,AC=5cm.有下列说法:① 线段BC的长可能为4cm; ② 线段BC的长可能为14cm;③ 线段BC的长不可能为3cm;④ 线段BC的长可能为9cm.其中,正确的是 (　　) A. ①② B. ③④ C. ①②④ D. ①②③④ 4. 如图,为估计池塘两岸点A,B之间的距离,小王在池塘一侧选取了一点M,测得MA=15m,MB=9m,那么点A,B之间的距离不可能是 (　　) A. 6m B. 10m C. 15m D. 20m D A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5. 已知三条线段的长度比如下:① 2∶3∶4;② 1∶2∶3;③ 2∶4∶6;④ 3 ∶3∶6;⑤ 6∶6∶10;⑥ 6∶8∶10.其中,能构成三角形的共有 (　　) A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 6. 如图,将五边形ABCDE沿虚线裁去一个角得到六边形ABCDGF,则该六边形的周长一定比原五边形的周长　　　　(填“大”或“小”),理由是　　  . C 小 EF+ EG>FG 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对应中考 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 1.（2025·江苏连云港·中考真题）下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（ ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，8 D．4，5，10 [详解]A.1、2、3:1＋2＝3，不满足两边之和大于第三边，不符合题意; B、2、3、4:2＋3＝5＞4，满足条件，能构成三角形，符合题意; C.3、5、8:3＋5＝8，不满足两边之和大于第三边，不符合题意; D，4、5、10:4＋5＝9＜10，不满足条件，不符合题意; 故选:B. 对应中考 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 2.（2024·青海西宁·中考真题）2 . 若长度分别为3，6，a的三条线段能组成一个三角形，则整数a的值可以是______．（写出一个即可） [分析]本题主要考查三角形的三边关系，能根据三角形的三边关系求出第三边a的取值范围是解答的关键 根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行求解即可. [详解]解:由题意知:6－3＜a＜6＋3，即3＜a＜9, 所以整数a可取4、5、6、7、8中的一个， 故答案为:4(答案不唯一). 对应中考 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 3.（2024·江苏镇江·中考真题）. 等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为______． [详解]解:当6为一腰长时，则另一腰长为6，底边长为2， ∵6＋6＞2. ∴能构成三角形， ∴第三边长为6; 当2为一腰长时，则另一腰长为2，底边长为6， ∵2＋2＜6 ∴不能构成三角形，舍去; 综上，第三边长为6， 故答案为:6. 课堂小结 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 我亲历了什么 我知道了什么 我会什么 口诀：两短边相加超最长，才有资格组三角 判断是否构成三角形 理解三角形三边关系 课堂小结 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 三角形三边的关系 三角形两边的和大于_________； （可用来判断三条线段能否组成三角形） 第三边 第三边 三角形两边的差小于________. 进而得到，三角形第三边的取值范围 两边的差＜第三边＜两边的和 但通常不需一一验证，其简便方法是将较短两边之和与较长边比较。 口诀：“两短边相加超最长，才有资格组三角” 当堂达标 1. 用木棒钉成一个三角架，两根小棒长分别是 7 cm 和 10 cm，第三根小棒长可取 ( ) A. 2 cm B. 3 cm C. 11 cm D. 20 cm C 2. 如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是（ ） A.两点之间线段最短 B.三角形两边之和大于第三边 C.长方形的四个角都是直角 D.三角形的稳定性 D 3. 已知等腰三角形的两边长分别为 5 cm，3 cm，则这个三角形的周长为 . 13 cm或11cm 注：等腰三角形中常要用到分类讨论思想，在涉及周长问题时要养成检验三边关系的好习惯哦！ 4. 若三角形的两边长分别是 3 和 8，第三边长为奇数，求第三边的长. 解：设第三边长为 x，根据三角形的三边关系，可得 8 - 3＜x＜8 + 3，即 5＜x＜11 又因为 x 为奇数，所以 x = 7 或 9， 即第三边的长为 7 或 9. 5. 已知 a、b、c 为三角形的三边长， 化简：|b + c - a| + |b - c - a| - |c - a - b| - |a - b + c|. ∴ 原式 = |(b+c)-a| + |b-(c+a)| - |c-(a+b)| - |(a+c)-b| = b + c - a + a + c - b - a - b + c + b - a – c = 2c - 2a． 解：∵ a、b、c 为三角形三边的长， ∴ a + b＞c，a + c＞b，b + c＞a． 解：有三条路可以走，走中间的路最近，理由是两点之间线段最短，或三角形的两边之和大于第三边. 6.如图所示，观察小明上学的示意图，有几条路可以走?你会选哪条路?请说说你选择的依据? $