专题2全等三角形的九大模型 2025-2026学年人教版八年级上学期数学大单元教学分层优化练

2025学年人教版八年级数学大单元教学分层优化练 专题02 全等三角形的九大模型（解析版） 一、全等三角形的常用模型 模型一：平移模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 平移模型 沿同一直线平移的两个三角形重合 ①加(减)共线部分，得到一组对应边相等； ②利用平行线性质找对应角相等 模型二：翻折(轴对称)模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 翻折(轴对称)模型 两个三角形过公共点所在的直线或公共边折叠，两个三角形重合 ①通过公共角、垂直、对顶角、等腰三角形等条件得对应角相等； ②通过公共边、中点、等边等条件得对应边相等 模型三：手拉手模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 手拉手模型 两个顶角相等的等腰三角形顶角顶点重合，左底角顶点互连，右底角顶点互连所组成的图形 加(减)共顶点的角的共角部分，得到一组对应角相等 模型四：半角模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 半角模型 有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等.通过作辅助线将角的倍分关系 转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形 延长一边，构造全等三角形，从而得到线段之间的数量关系 模型五：一线三等角模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 一线三等角 模型 左图，两个三角形有一条边共线 ； 右图，同一直线上有三个相等的角的顶点，∠1＝∠2＝∠3 利用三角形内角和为180°和内、外角关系，通过等角代换得到一组相等的角，利用AAS 或ASA证明三角形全等 模型六：雨伞模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 雨伞模型 通过延长线段与直线相交，从而构造一对全等三角形，并将已知条件中的线段和角进行转移 AP平分∠BAC，BD⊥AP，垂足为点D，延长BD交AC于点C，证明△ABD≌△ACD，得到AB＝AC，BD＝CD 模型八：平行线中点模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 平行线中点模型 平行线之间夹中点，通过延长过中点的线段与平行线相交，从而构造一对全等三角形，并将已知条件中的线段和角进行转移 如图，已知AB∥CD，点E，F分别在直线AB、CD上，点O为线段EF的中点，延长PO交CD于点Q，证明△POE≌△QOF 模型九：婆罗摩笈多模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 向外作双等腰直角三角形（知中点，证垂直） 条件：AB⊥AD，AC⊥AE，AB＝AD，AC＝AE，F是BC的中点 方法：倍长中线AF 结论：AF⊥DE，DE＝2AF 向外作双等腰直角三角形（知垂直，证中点） 条件：AB⊥AD，AC⊥AE，AB＝AD，AC＝AE，AF⊥BC 方法：作DM⊥AF，EN⊥AF 结论：G是DE的中点，BC＝2AG 向内作双等腰直角三角形（知中点，证垂） 条件：AB⊥AD，AC⊥AE，AB＝AD，AC＝AE，F是BC的中点 方法：倍长中线AF 结论：AF⊥DE，DE＝2AF 向内作双等腰直角三角形（知垂直，证中点） 条件：AB⊥AD，AC⊥AE，AB＝AD，AC＝AE，AF⊥BC 方法：作DM⊥AF，EN⊥AF 结论：G是DE的中点，BC＝2AG 【模型1 平移模型】 例1．如图，将沿射线方向平移得到，连接交于点．求证：． 【答案】证明：由平移得，， ， 在和中， ， ． 【解析】【分析】 本题考查平移、全等三角形的判定．根据，，利用即可证明． 【变式1-1】．已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 【解析】【分析】（1）根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”可得，由线段的和差和等式的性质可得，结合已知，用边角边可证，再根据全等三角形的对应边相等可求解； （2）根据全等三角形的对应角相等可得，在△ACE中，根据三角形的内角和等于180°即可求解． （1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 【变式1-2】．如图，点 在一条直线上， ． （1）求证： ； （2）若 ，求 的大小． 【答案】（1）证明：∵BE=CF， 点 在一条直线上 ∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF， ∵AB=DE，AC=DF，BC=EF， ∴ （SSS）。 （2）解：根据（1）题的证明结果， ∴∠ACE=∠F， ∵ 点 在一条直线上 ，∴AC∥DF， ∴∠EGC=∠D=45°。 【解析】【分析】（1）题首先证明出BC=EF，此时可以利用两个三角形三边相等的性质定理即可证明两个三角形全等； （2）题根据（1）题的结论，利用平行线的判定定理“同位角相等、两直线平行”得出AC∥DF，然后利用“两直线平行、同位角相等”即可求出答案。 【变式1-3】．如图1，△ABC和△DEF是两块可完全重合的三角板， ， .在如图1所示的状态下，△DEF固定不动，将△ABC沿直线a向左平移. （1）当△ABC移到图2位置时，连解AF、DC，求证：AF=DC； （2）若EF=8，在上述平移过程中，试猜想点C距点E多远时，线段AD被直线a垂直平分。并证明你的猜想是正确的。 【答案】（1）解：如图2，连接AF，CD， ∵BC=EF， ∴BC-FC=EF-FC， 即BF=CE， 在△ABF和△DEC中， ， ∴△ABF≌△DEC， ∴AF=DC． （2）解：当点C距点E的距离为4时，线段AD被直线a垂直平分， 证明：如图3， ∵AF=DC，AC=DF， ∴四边形AFDC是平行四边形， 若AD被直线a垂直平分，假设a与AD交于点O， 在Rt△EFD中，∠DEF=30° ∴DF= EF=4， 在Rt△FDO中，∠FDO=30°， ∴OF= DF=2， ∴OC=2， ∴CE=EF-OF-OC=8-2-2=4． 【解析】【分析】（1）连接AF，CD，由BC=EF，得到BF=CE，证明△ABF≌△DEC，得到AF=DC．（2）当点C距点E的距离为4时，线段AD被直线a垂直平分，利用直角三角形的性质，进行解答即可． 【模型2 翻折(轴对称)模型】 例2．如图1，在中，，为上一点，沿直线翻折，点恰好落在直线上处． （1）如图2，当时，过点作于点， ①求的度数； ②求证：； （2）当时，若，，求的周长（用含，的式子表示）． 【答案】（1）解：①∵，， ∴， ∵沿直线翻折，点恰好落在直线上处， ∴， ∴； ②证明：延长、交于点， ， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵沿直线翻折，点恰好落在直线上处， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴． 【解析】【解答】解：(1)①∵，，∴， ∵沿直线翻折，点恰好落在直线上处， ∴， ∴； ②证明：延长、交于点， ， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∴； (2)∵沿直线翻折，点恰好落在直线上处，∴，， ∵，，， ∴，， ∴． 【分析】(1)①已知得∠ACB=45°，由折叠知∠ACD=22.5°，由此得∠EDB的度数； ②由∠CBH=∠CHB得BH=2BE，结合AB=AC，∠ABH=∠ACD得△ABH≌△ACD得BH=CD，即得CD=2BE； (2)由折叠知FC=AC，AD=DF，再等量代换即可得△BDF的周长. 【变式2-1】．根据以下素材，完成探究任务. 如何制作风筝? 素材一 风筝的制作技艺是中国传统工艺，为了让同学们感受传统工艺的魅力，王老师带领同学们进行风筝制作. 素材二 风筝由骨架、风筝面、尾巴、提线、放飞线五部分构成，如图，是小明制作的风筝骨架模型图(为轴对称图形)的一部分，其中直线l为对称轴. 问题解决 任务一 请你画出风筝完整的骨架ABCD； 任务二 连接BD交AC于点O，有以下结论，其中一定正确的有结论有 ▲ ；(填写序号)①AB=AD；②△ABC≌△ADC；③OB=OD；④∠BAC=∠DAC；⑤OA=OC. 任务三 已知竹条AC的长为60cm，与其垂直的竹条长为30cm，若给风筝骨架ABCD的正反两面都粘上绢布形成风筝面，求绢布的面积. 【答案】解：任务一：画出风筝完整的骨架ABCD 如解图①； 任务二：①②③④； 任务三：如解图②，由题可知，AC=60 cm，BD=30cm， 【解析】【解答】 解：任务二：如解图②， 由任务一可知，结论①AB=AD；②△ABC≌△ADC；③OB=OD；④∠BAC=∠DAC 均正确；OA 与OC 不一定相等，故结论⑤不符合题意. 故答案为：①②③④； 【分析】 任务一 、以直线l为对称轴，画出△ABC的对称图形解答即可； 任务二、由轴对称图形的性质可判断①②③④正确，但OA 与OC 不一定相等，由此判断即可解答； 任务三、根据题意得出AC=60 cm，BD=30cm，再根据绢布ABCD的面积等于两个三角形面积之和，利用三角形面积公式计算即可解答； 【变式2-2】．如图，AD＝AE，BD＝CE． （1）求证：∠B＝∠C； （2）若∠A＝40°，∠BEC＝70°，求∠C的度数． 【答案】（1）证明：∵ AD＝AE，BD＝CE ， ∴AD+BD=AE+CE，即AB=AC， 在△ABE和△ACD中， ∴△ABE≌△ACD（SAS）， ∴∠B=∠C. （2）解：∵∠BEC是△ABE的外角， ∴∠A+∠B=∠BEC， ∵ ∠A＝40°，∠BEC＝70°， ∴∠B=30°. ∵∠B=∠C， ∴∠C的度数为30°． 【解析】【分析】（1）利用SAS证明△ABE≌△ACD，即可得到∠B=∠C； （2）利用三角形外角性质可得∠B的度数，从而可得∠C的度数. 【变式2-3】．如图，将△ABC沿AC翻折，点B与点E重合，则图中全等的三角形有（　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【解析】【解答】解：∵△ABC沿AC翻折，点B与点E重合 ∴BC=CE，BD=DE，∠ACB=∠ACE，∠BDC=∠CDE ∴在△ABC和△AEC中 ∴△ABC≌△AEC（SAS） 在△BDC和△EDC中 ∴△BDC≌△EDC（SSS） ∵∠BDC=∠CDE ∴180°-∠BDC=180°-∠CDE ∴∠BDA=∠EDA ∴在△BDA和△EDA中 ∴△BDA≌△EDA（SAS） ∴共有3对全等三角形. 故答案为：C. BC=CE，BD=DE，∠ACB=∠ACE，∠BDC=∠CDE 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，将△ABC沿AC翻折，点B与点E重合可得出：BC=CE，BD=DE，∠ACB=∠ACE，∠BDC=∠CDE，在△ABC和△AEC中，AC为公共边，利用SAS可证得△ABC≌△AEC，在△BDC和△EDC中，DC为公共边，利用SSS可证得△BDC≌△EDC，在△BDA和△EDA中DA为公共边，利用SAS可证得△BDA≌△EDA，故为3对全等三角形，即可得出答案. 【模型3 手拉手模型】 例3．如图1，为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，的延长线与交于点，与交于点． （1）求证：； （2）　 　度； （3）如图2，连接，平分吗？请说明理由． 【答案】（1）证明：线段绕点逆时针旋转得到， ，， 为等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， （2） （3）解：平分．理由如下， 如图，过点作，，垂足分别为，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，平分 【解析】【解答】解：（2）， ， ， ， 故答案为：； 【分析】（1）通过SAS证明△ABD≌△CAE，可得BD＝CE，∠ABD＝∠ACE； (2)由，得，由，； （3）作，，由全等三角形面积相等可得，从而得到AF平分∠BFE． 【变式3-1】．已知：如图，等边中，点E在边BC上，，且． （1）求证：； （2）判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明：∵等边三角形， ∴，. ∵， ∴. ∵， ∴≌； （2）解：是等边三角形．理解如下： ∵≌， ∴，， ∴， 即， ∴是等边三角形． 【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得，，再根据“两直线平行，内错角相等”得，然后根据“SAS”可判断出△ABE≌△ACD； （2）根据全等三角形的对应边相等，对应角相等得，，再说明，从而根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形即可得出是等边三角形． （1）∵等边三角形， ∴，. ∵， ∴. ∵， ∴≌； （2）是等边三角形．理解如下： ∵≌， ∴，， ∴， 即， ∴是等边三角形． 【变式3-2】．．如图①，，，，相交于点M，连接． （1）求证：； （2）用含的式子表示的度数； （3）当时，的中点分别为点P，Q，连接，如图②，判断的形状，并证明． 【答案】（1）证明：如图1，， ， 在和中， ， ， ． （2）解：如图1，∵，， 在中，， = ， 在中， ． （3）解：为等腰直角三角形．证明：如图2，由（1）得， 的中点分别为点P、Q， ， ∵， ， 在与中， ， ， ， 又， ， ， ∴为等腰直角三角形． 【解析】【分析】（1）根据题意，得到，利用，证得，即可证得； （2）根据，得出，在中，利用三角形内角和定理，结合，求得的度数，再在中，结合，即可求解； （3）先证明，得到，利用SAS，证得，得到，再由，得出，即可求解. （1）证明：如图1，， ， 在和中， ， ， ． （2）解：如图1，∵， ， 在中，， = ， 在中， ． （3）解：为等腰直角三角形． 证明：如图2，由（1）得， 的中点分别为点P、Q， ， ∵， ， 在与中， ， ， ， 又， ， ， ∴为等腰直角三角形． 【变式3-3】．．综合与实践 （1）问题发现 如图1，已知△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE，求∠AEB的度数及线段AD，BE之间的数量关系； （2）类比探究 如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE， 填空：①∠AEB的度数为　 　； ②线段CM，AE，BE之间的数量关系为　 　． （3）拓展延伸 在（2）的条件下，若BE=4，CM=3，则四边形ABEC的面积为　 　． 【答案】（1）解：∵△ACB和△DCE是等边三角形， ∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠ACD=∠BCE， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴∠ADC=∠BEC，AD=BE， ∵△CDE是等边三角形， ∴∠CDE=∠CED=60°， ∴∠ADC=180°-∠CDE=120°， ∴∠BEC=120°， ∴∠AEB=∠BEC-∠CED=120°-60°=60°； （2）90°；AE=BE+2CM （3）35 【解析】【解答】解：(2)同（1）的方法得，△ACD≌△BCE（SAS）， ∴∠ADC=∠BEC， ∵△DCE是等腰直角三角形， ∴∠CDE=∠CED=45°， ∴∠ADC=180°-∠CDE=135°， ∴∠BEC=135°， ∴∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°； ②∵△ACD≌△BCE， ∴AD=BE， ∵CD=CE，CM⊥DE， ∴DM=ME， 在Rt△DCE中，CM⊥DE，∠CDM=45°， ∴∠DCM=∠CDM=45°， ∴DM=CM， ∴DM=ME=CM， ∴AE=AD+DE=BE+2CM． (3)由（2）得：∠AEB=90°，AD=BE=4， ∵△DCE均为等腰直角三角形，CM为△DCE中DE边上的高， ∴CM⊥AE，∠CDE=∠CED=45°， ∴∠CDE=∠CED=∠DCM=∠ECM=45°， ∴CM=DM=ME， ∴DE＝2CM＝6， ∴AE＝AD+DE＝4+6＝10， ∴四边形ABEC的面积＝△ACE的面积+△ABE的面积 ＝AE×CM+AE×BE ＝×10×3+×10×4 ＝35； 故答案为：35． 【分析】（1）由条件易证△ACD≌△BCE（SAS），从而得出∠ADC=∠BEC，AD=BE，由△CDE是等边三角形，即可得出答案； （2）①仿照（1）中的解法可求出∠AEB的度数，②证出AD=BE，由等腰直角三角形的性质得出CM=DM=ME，从而得出AE=AD+DE=BE+2CM； （3）由（2）得出∠AEB=90°，AD=BE=4，由等腰直角三角形的性质得出四边形ABEC的面积＝△ACE的面积+△ABE的面积，即可得出答案。 【模型4 半角模型】 例4．操作：如图，△ABC 是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以 D 为顶点作一个60°角，角的两边分别交 AB，AC 边于M，N 两点，连接MN. （1）探究：线段 BM，MN，CN 之间的关系，并加以证明. （2）若点 M，N分别是射线AB，CA 上的点，其他条件不变，再探索线段 BM，MN，NC 之间的关系. 【答案】（1）解：MN=BM+CN. 如图，在AC 延长线上截取 ， 由 Rt△BDM≌Rt△CDM1，得MD=M1D， ∠MDB=∠M1DC， ， 又∠MDN=60°，∴∠NDM1=60°. ∵MD=M1D，∠MDN=∠NDM1=60°，DN=DN， ∴△MDN≌△M1DN，得MN=NM1，从而 MN=BM+CN. （2）∵三角形BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°， ∴∠BCD=∠DBC=30° ∵三角形ABC是边长为3的等边三角形， ∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60° ∴∠DBA=∠DCA=90° ∵顺时针旋转三角形BDM使DB与DC重合， ∴在△DMN和△DNM`中，DM=DM`，∠MDN=∠NDM`=60°，DN=DN ∴△DMN△DNM ∴MN=NM`=NC+BM 即MN=BM+CN 【解析】【分析】(1)此问要探究 线段 BM，MN，CN 之间的关系 ，首先观察图形，找到三段线段的位置，并观察其长度，易得MN最长，BM和CN稍短，所以可猜测三段线段之间是两短线之和等于最长线的关系，即MN=BM+CN，要证明此关系，需在图中寻找与此三线段相等的边进行转换，将三段线段转换到一条直线上即可； (2) 本问依然是问三段线段之间的关系，按照（1）问的思路，延长AC至E，使得CE=BM并连接DE，构造全等三角形，找到MD=DE，∠BDM=∠CDE，BM=CE，再进一步证明△DMN≌△DEN，进而得到MN=BM+NC； 【变式4-1】．．半角模型 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等，通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等或相似三角形，弱化条件，变更载体，而构建模型，可把握问题的本质. （1）问题背景 如图①，在四边形ABCD 中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F 分别是BC，CD 上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD 之间的数量关系. 小王同学探究此问题的方法是，延长FD 到点G，使DG=BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论.他的结论应是　 　. （2）探索延伸 如图②，若在四边形 ABCD 中， ，，E，F 分别是BC，CD 上的点，且 上述结论是否仍然成立，并说明理由. （3）实际应用 如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等.接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离. 【答案】（1）EF=BE+DF （2）解：EF=BE+DF仍然成立， 延长FD至点G，使DG=BE，连接AG， 在△ABE和△ADG中， ∴△ABE≌△ADG(SAS)， ∴AE=AG，∠BAE=∠DAG ∵， ∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF ∴∠EAF=∠GAF， 在△AEF和△GAF中， ∴△AEF≌△AGF(SAS) ∴EF=FG， ∵FG=DG+DF=BE+DF， ∴EF=BE+DF （3）解：如图，连接EF，延长AE，BF 相交于点 C， 在四边形AOBC中， ， 又∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=180°，符合探索延伸中的条件， ∴EF=AE+BF=1.5×(60+80)=210(海里) 【解析】【解答】解：(1)在△ABE和△ADG中， ∴△ABE≌△ADG(SAS)， ∴AE=AG，∠BAE=∠DAG ∵， ∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF ∴∠EAF=∠GAF， 在△AEF和△GAF中， ∴△AEF≌△AGF(SAS) ∴EF=FG， ∵FG=DG+DF=BE+DF， ∴EF=BE+DF； 故答案为：EF=BE+DF. 【分析】(1)延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解题； (2)延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解题； (3)连接EF，延长AE、BF相交于点C，然后求出，判断出符合探索延伸的条件，再根据探索延伸的结论解答即可. 【变式4-2】．如图1，四边形ABCD是正方形，E，F分别在边BC和CD上，且∠EAF＝45°，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法。小明为了解决线段EF，BE，DF之间的关系，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后解决了这个问题。 （1）请直接写出线段EF，BE，DF之间的关系. （2）如图3，等腰直角三角形ABD，∠BAD=90°，AB=AD，点E，F在边BD上，且∠EAF=45°，请写出EF，BE，DF之间的关系，并说明理由. 【答案】（1）解：BE+DF=EF （2）解：BE2+DF2=EF2，理由如下： 将△ABE绕点A逆时针时针旋转90°得△ADG 则BE=DG，AE=AG，∠B=∠ADG=45° ∵∠BAD=90°，∠EAF=45° ∴∠BAE+∠FAD=∠DAG+∠FAD=45° ∴∠GAF=∠EAF 又∵AF=AF ∴△AFE≌△AFG（SAS） ∴FG=EF ∵∠FDG=∠ADG+∠ADB=45°+45°=90° ∴FG2=FD2+DG2 ∴BE2+DF2=EF2. 【解析】【解答】解：（1）BE+DF=EF，理由如下： ∵△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG ∴DF=BG，AF=AG，∠DAF=∠BAG ∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90° ∴∠DAF+∠BAE=∠BAG+∠BAE=∠GAE=45° ∴∠GAE=∠EAF 又∵AE=AE ∴△AGE≌△AFE（SAS） ∴EF=EG=GB+BE=DF+BE ∴BE+DF=EF； 【分析】（1）在以正方形或等腰直角三角形为背景的几何题中，利用旋转使两条相等的边重合是常见解决问题的方法，本题利用旋转巧妙地将BE+DF转化为线段GE，再利用全等证得GE等于EF； （2）将△ABE绕点A逆时针时针旋转90°得△ADG，用SAS证明△AFE≌△AFG，得FG=EF，可求出∠FDG=90°，利用勾股定理列出三边的等量关系，然后根据等量代换，得到BE2+DF2=EF2. 【变式4-3】如图．在四边形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，AB＝AD，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF∠BAD，求证：EF＝BE﹣FD． 【答案】详见解析 【分析】在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．根据SAS证明△ABG≌△ADF得到AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，根据∠EAF∠BAD，可知∠GAE＝∠EAF，可证明△AEG≌△AEF，EG＝EF，那么EF＝GE＝BE﹣BG＝BE﹣DF． 【详解】证明：在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG． ∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°， ∴∠B＝∠ADF． 在△ABG和△ADF中， ， ∴△ABG≌△ADF（SAS）， ∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF． ∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF∠BAD． ∴∠GAE＝∠EAF． 在△AEG和△AEF中， ， ∴△AEG≌△AEF（SAS）． ∴EG＝EF， ∵EG＝BE﹣BG ∴EF＝BE﹣FD． 【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据已知条件作出辅助线求解． 【模型5 一线三等角模型】 例5．如图，在中，，，直线过顶点，过分别作直线的垂线，垂足分别为． （1）求证：； （2）若，，直接写出的面积． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）6 【解析】【解答】（2）解：由（1）可得，，且，， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∴的面积为． 故答案为：6. 【分析】（1）先利用角的运算和等量代换可得，再利用“AAS”证出，利用全等三角形的性质可得，最后利用线段的和差及等量代换可得； （2）先求出，再利用三角形的面积公式求解即可. （1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）可得，，且，， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∴的面积为． 【变式5-1】． 如图，在Rt△ABC中，L BAC=90°，AB=AC，P为斜边BC上的一点(PB<CP)，分别过点B，C作BE⊥AP于点E，CD⊥AP于点D． （1）求证：AD= BE． （2）若AE=2DE=2，求△ABC的面积． 【答案】（1）证明：∵∠BAC=90°， 在和中， ， ； （2）解：， .由(1)知， . 在Rt中，， ， . 【解析】【分析】（1）根据已知可以得出：∠BAE+∠CAE=90°，∠CAE+∠ACD=90°，进而得出：∠BAE=∠ACD。再加上∠ADC=∠BEA=90°，AB=AC即可得到≌，进而得到AD=BE. （2）由 AE=2DE=2 ，可以推出AD=DE=1.由（1）可以知道，AE=CD=2。在△ACD中，根据勾股定理可以求出AC=AB=，再根据三角形面积计算公式即可求出△ABC的面积. 【变式5-2】．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 （1）如图1，，，过点作于点，过点作的延长线于点．由，得．又，，可以推理得到，进而得到______，______．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型． 【模型应用】 （2）如图2，在平面直角坐标系中，点为平面内任一点，点的坐标为，若是以为斜边的等腰直角三角形，求点 A 的坐标． 【深入探究】 （3）如图3，，，，连接、，且于点F，与直线交于点，求证：点是的中点． 【答案】解：（1），. （2）如图，当点A在第一象限时，过作轴于，过作轴于，与相交于， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， 设，则， ， ， ，， 点的坐标； 如图，当点A在第四象限时，过作轴于，过作轴于，与相交于， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， 设，则， ， ， ，， 又此时点在第四象限，点的坐标， 综上所述，点的坐标为或 （3）如图，作于，于， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， 又， ， ，， ， 在与中， ， ， ， 点是的中点． 【解析】【解答】解∶（1）∵， ∴，； 故答案为：，. 【分析】（1）利用全等三角形的性质可得，，从而得解； （2）分类讨论：①当点A在第一象限时，过作轴于，过作轴于，与相交于；②当点A在第四象限时，过作轴于，过作轴于，与相交于，再分别画出图形并利用全等三角形的判定方法和性质分析求解即可； （3）作于，于，先利用“AAS”证出，可得，再结合，利用“AAS”证出，可得，再利用等量代换可得，再结合，利用“AAS”证出，可得，从而可证出点是的中点． 【变式5-3】．“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形． 根据对材料的理解解决以下问题∶ （1）如图1，，．猜想，，之间的关系：　 　 （2）如图2，将（1）中条件改为，，请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （3）如图3，在中，点为上一点，，，，，请直接写出的长． 【答案】（1） （2）解：（1）中结论仍然成立，理由如下： ∵，， ， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∴， ∴（1）中结论仍然成立； （3）解：7 【解析】【解答】解：（1）猜想：DE=AD+BE． 理由：∵AD⊥MN，BE⊥MN， ∴∠ADC=∠ACB=90°=∠CEB， ∴∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠ACD=90°， ∴∠CAD=∠BCE， 在△ADC与△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴CE=AD，CD=BE， ∴DE=CE+CD=AD+BE． 故答案为：DE=AD+BE； （3）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）根据直角三角形中两锐角互余，可得出∠ACD=∠CBE，再根据全等三角形的性质与判定可得CD=BE，CE=AD，即可得出答案； （2）先根据三角形内角和与补角的性质可得∠CAD=∠BCE，再根据全等三角形的性质与判定可得CD=BE，CE=AD，由此可得出答案； （3）先根据三角形外角性质可得∠AED=∠FDB，再根据全等三角形的性质与判定可得AE=BD，AD=BF，由此可得AB=AE+BF，代入数值即可得出答案. 【模型6 雨伞模型】 例6．雨伞的侧面图如图所示，伞背 ，支撑杆 ， ， ，当 点沿 滑动时，雨伞开闭；在雨伞开闭的过程中， 与 有何数量关系？请说明理由. 【答案】解： . 理由： ， ， ， . 在 和 中， ， ， . . . . 【解析】【分析】利用全等三角形的判定方法SSS得出△AEO≌△AFO，根据全等三角形的对应角的得出∠AEO=∠AFO，进而根据等角的补角相等得出∠BEO＝∠CFO. 【变式6-1】．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO=　 　． 【答案】4：5：6 【解析】【解答】首先过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，由OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，根据角平分线的性质，可得OD=OE=OF，又由△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，即可求得S△ABO：S△BCO：S△CAO的值． 过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F， ∵OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线， ∴OD=OE=OF， ∵△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60， ∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=（ AB•OD）：（ BC•OF）：（ AC•OE）=AB：BC：AC=40：50：60=4：5：6． 【分析】根据角平分线的性质可知，角平分线上的点到角两边的距离相等；求出S△ABO：S△BCO：S△CAO的值． 【变式6-2】．如图，在中，，分别平分和，，相交于点P，则下列结论不一定成立的是（　　） A． B．与的面积比等于边与之比 C． D．若，则 【答案】C 【解析】【解答】解：过点P作于点M，作于点N，作于点H， ∵平分，，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分， ∴．故选项A的结论一定成立； ．故选项B的结论一定成立； ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴．故选项D的结论一定成立． 根据题意无法证明选项C的结论一定成立． 故答案为：C. 【分析】过点P作于点M，作于点N，作于点H，利用角平分线的性质及判定判断A选项；利用三角形的面积公式判断B选项，利用三角形的内角和定理判断D选项解题即可． 【变式6-3】．如图，在中，垂直平分线段，平分，于点，交的延长线于点． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：如图，连接，， ∵垂直平分线段， ， 平分，，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：由（1）得，， 在和中， ， ， ， ∵， ， ，， ． 【解析】【分析】（1）连接、，根据线段垂直平分线以及角平分线的性质得到，，然后利用“”证明，根据全等三角形对应边相等的性质即可得证结论； （2）由（1）得，，然后证明，得，从而得，即可求解． （1）证明：连接、， ∵垂直平分线段， ， 平分，，， ， 在和中， ， ， ． （2）证明：在和中， ， ， ， ， ， ． 即， ，， 【模型7 角平分线模型】 例7．课堂上，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，平分交于点D，且，求证：，小明的方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明. （1）小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明.辅助线的画法是：延长至F，使= ▲ ，连接请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线； （2）小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题： 如图3，点D在的内部，分别平分，且.求证：.请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）； （3）小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下： 如果在中，，点D在边上，，那么平分小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的.请你利用图4对这个命题进行证明. 【答案】（1）解：BD；证明：如图1，延长至F，使，连接， 则， ∴， ∵平分 ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴. （2）证明：如图3，在上截取，使，连接 ∵分别平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. （3）证明：如图4：延长至G，使，连接，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，即平分. 【解析】【分析】（1）延长AB至F，使BF＝BD，连接DF，根据等边对等角及三角形的外角性质得到∠ABC＝2∠F，利用SAS证明△ADF≌△ADC，根据全等三角形的性质的对应角相等得∠ACB=∠F，据此即可得出结论； （2）在AC上截取AE，使AE＝AB，连接DE，利用SAS证明△ADB≌△ADE，根据全等三角形的性质得BD=DE，∠ABD=∠AED，从而根据等边对等角及三角形外角的性质即可得出结论； （3）延长AB至G，使BG＝BD，连接DG，利用SSS证明△ADG≌△ADC，根据全等三角形的性质、角平分线的定义证明． 【变式7-1】．在△ABC中，∠ACB＝2∠B，如图①，当∠C＝90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE＝AC，连结DE，易证AB＝AC＋CD. （1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想； （2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明. 【答案】（1）猜想： . 证明：如图②，在 上截取 ，连结 ， ∵ 为 的角平分线时， ∴ ，∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ∵ ，∴ . ∵ ， ∴ ，∴ ， ∴ . （2）解：猜想： . 证明：在 的延长线上截取 ，连结 . ∵ 平分 ，∴ . 在 与 中， ， ， ， ∴ . ∴ ， . ∴ . 又 ， ， . ∴ . ∴ . ∴ . 【解析】【分析】（1）在AB上截取AE=AC，连接DE，根据角平分线的概念可得∠BAD=∠CAD，利用“SAS”证明△ADE≌△ADC，得到∠AED=∠C，ED=CD，结合∠ACB=2∠B可得∠AED=2∠B，结合外角的性质可得∠B=∠EDB，推出EB=ED，据此解答； （2）在BA的延长线上截取AE=AC，连接ED，利用“SAS”可证明△ADE≌△ADC，得到∠AED=∠ACD，ED=CD，推出EB=ED，根据线段的和差关系可得EA+AB=EB=ED=CD，据此解答. 【变式7-2】．如图，为斜边上的高，的平分线分别交，于点E、F，，垂足为点G． （1）求证：； （2）若，，，求的面积． 【答案】（1）证明：∵是的平分线，，， ∴，， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴ 【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质证明即可； （2）由（1）可得FG、FC的长度，在Rt△ABC中利用勾股定理求出AB的长度，再利用三角形面积公式求出△ABF的面积即可． 【变式7-3】．如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． （1）求证：平分． （2）求证：平分． （3）若，，，，求的面积． 【答案】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）证明：如图，过点作于点，于点， 由（1）可得：是的平分线， ， 是的平分线， ， ， 点在的平分线上， 平分； （3）解：设， 由（2）可得：， ，，， ， 即：， 解得：， ， ． 【解析】【分析】（1）由邻补角定义得∠FAD=80°，由直角三角形的两个锐角互余得∠FAE=40°，由角的和差关系得∠DAE=∠FAE=40°，从而根据角平分线定义可得结论； （2）过点E作于点G，于点H，由角平分线的上的点到角两边的距离相等可得EF=EG，EF=EH，则EG=EH，然后由到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上即可得出结论； （3）设EG=x，则EG=EF=EH=x，由S△ACD=S△ADE+S△CDE建立方程，解方程即可求出x的值，从而得到EF的长，然后利用三角形的面积公式列式计算可得△ABE的面积. （1）证明：， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）证明：如图，过点作于点，于点， 由（1）可得：是的平分线， ， 是的平分线， ， ， 点在的平分线上， 平分； （3）解：设， 由（2）可得：， ，，， ， 即：， 解得：， ， ． 【模型8 中点模型】 例8．已知正方形ABCD 与正方形CEFG，M 是AF 的中点，连接DM，EM. （1）如图①，点 E 在CD 上，点 G 在BC 的延长线上，请判断DM，EM 的数量关系与位置关系，并直接写出结论. （2）如图②，点 E 在DC 的延长线上，点G 在BC 上，(1)中结论是否仍然成立?请证明你的结论. （3）将图①中的正方形CEFG 绕点C 旋转，使 D，E，F 三点在一条直线上，若AB=13，CE=5，请画出图形，并直接写出MF的长. 【答案】（1）DM⊥EM； DM =ME （2）解：如图2中， 结论仍然成立. DM⊥EM，DM =EM. 理由：如图2中，延长EM交DA的延长线于H. ∵四边形ABCD是正方形， 四边形EFGC是正方形， ∴∠ADE=∠DEF=90°， AD=CD， ∴AD∥EF， ∴∠MAH=∠MFE， 在△AMH和△FME中， ∴△AMH≌△FME(ASA)， ∴MH = ME， AH = EF = EC， ∴DH = DE， ∵∠EDH = 90°， ∴DM⊥EM， DM= ME （3）解：如图3中， 作MR⊥DE于R. 在 中， 在 中， 如图4中，作 于R. 在 中， 故满足条件的MF的值为 或 【解析】【解答】解：（1）结论： DM⊥EM， DM = EM，理由：如图1中，延长EM交AD于H. ∵四边形ABCD是正方形， 四边形EFGC是正方形， ∴∠ADE=∠DEF =90°， AD =CD， ∴AD∥EF， ∴∠MAH =∠MFE， 在△AMH和△FME中， ∴△AMH≌△FME(ASA)， ∴MH= ME， AH=EF = EC， ∴DH=DE， ∵∠EDH=90°， ∴DM⊥EM， DM =ME 【分析】(1) 结论： 只要证明 推出 推出 因为可得 (2)结论不变，证明方法类似； (3)分两种情形画出图形，理由勾股定理以及等腰直角三角形的性质解决问题即可； 【变式8-1】．八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】：数学课上老师让同学们解决这样的一个问题：如图1，已知是的中点，点在上，且．求证：． 同学们在组内经过合作交流，得到解决方法：延长至点，使得，连结．易证，故对应角，所以，因此可得． 以上解法称之为“倍长中线”法，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线构造全等三角形来解决问题； 【初步感知】： （1）是的中线，若，，设，则的取值范围是 ； 【灵活运用】： （2）如图2，在中，平分，为的中点，过点作，交的延长线于点，交于点．求证：． 【拓展延伸】： （3）如图3，是的中点，，，，三点共线，连结，若，当，时，求的长． 【答案】（1）； （2）证明，如图，延长至点，使得，连接， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：延长至点，使得，连接，过点作于点，设， ∵是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，是的中点， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴． 【解析】【解答】解：（1）延长至点，使得，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【分析】 （1）延长至点，使得，连接，即可得到，进而得到，然后利用三角形三边的关系得到解题； （2）延长至点，使得，连接，可以得到，即可得到，，根据根据平行线和角平分线的定义得到，再根据等角对等边解题； （3）延长至点，使得，连接，过点作于点，设，利用全等三角形的判定得到，即可得到，求出，利用，求出，然后利用勾股定理求出CG长，即可求出求出长解题． 【变式8-2】．如图，在△ABC 和△ADE中，已知 ，，，连接BE，CD，点F为BE的中点，连接AF. 求证： （1）∠ABE+∠AEB=∠CAD. （2）CD=2AF. 【答案】（1）证明：∵∠BAC+∠EAD=180°，∠DAC+∠EAD=180° ∴∠DAC=∠BAC ∵∠BAC是△ABE的外角 ∴∠BAC=∠ABE+∠AEB ∴∠ABE+∠AEB=∠CAD （2）证明：延长AF 至点G，使GF=AF，连接BG， 则AG=2AF ∵F是BE的中点 ∴EF=BF ∴四边形ABGE是平行四边形 ∴BG//CE ∴∠ABG=∠BAC=∠DAC，BG=AE=AD 在△ABG和△CAD中， ∴△ABG≌△CAD(SAS) ∴CD=AG=2AF 【解析】【分析】(1)利用三角形外角性质结合条件可求得； (2)延长AF 至点G，使GF=AF，连接BG，先证明△ABG≌△CAD，进而即可得出结论. 【变式8-3】．如图1，线段，连接，，取的中点E，连接，平分． （1）线段，，之间存在怎样的等量关系？ 请写出并证明你的结论． （2）如图2，如果点C在 的左侧，其他条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？ 如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出新的结论，并给予证明． 【答案】（1）解：． 证明如下：如图，延长，交于点， 平分， ， ∵， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ； （2）解：不成立，新结论为：． 证明：延长，交于点， 平分， ， ∵， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ． 【解析】【分析】（1）延长，交于点，先利用角平分线定义及平行线的性质和等量代换可得，再利用等角对等边的性质可得AB=BF，再利用“AAS”证出，利用全等三角形的性质可得CF=AD，最后利用线段的和差及等量代换可得； （2）延长，交于点，先利用角平分线定义及平行线的性质和等量代换可得，再利用等角对等边的性质可得AB=BF，再利用“AAS”证出，利用全等三角形的性质可得CF=AD，最后利用线段的和差及等量代换可得． （1）解：．证明如下： 如图，延长，交于点， 平分， ， ∵， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ； （2）解：不成立，新结论为：． 证明：延长，交于点， 平分， ， ∵， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ． 【模型9 婆罗摩笈多模型】 例9．如图，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB， BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中∠ABM=∠NBC＝90°，连接MN，则BD与MN的数量关系是　 　. 【答案】2BD=MN 【解析】【解答】解：2BD=MN，理由是： 如图，延长BD到E，使DE=BD，连接CE， ∵点D是BC中点， ∴AD=CD，又DE=BD，∠ADB=∠CDE， ∴△ABD≌△CED， ∴∠ABD=∠E，AB=CE， ∵∠ABM=∠NBC=90°， ∴∠ABC+∠MBN=180°， 即∠ABD+∠CBD+∠MBN=180°， ∵∠E+∠CBD+∠BCE=180°， ∴∠BCE=∠MBN， ∵△ABM和△BCN是等腰直角三角形， ∴AB=MB，BC=BN， ∴CE=MB， 在△BCE和△NBM中， ， ∴△BCE≌△NBM（SAS）， ∴BE=MN， ∴2BD=MN. 故答案为：2BD=MN. 【分析】延长BD到E，使DE=BD，连接CE，证明△ABD≌△CED，得到∠ABD=∠E，AB=CE，证出∠BCE=∠MBN，再证明△BCE≌△NBM得到BE=MN，即可得出结论. 【变式9-1】（22-23八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，，分别以、为一直角边作等腰直角、，连接交的延长线于F，则的面积为 ． 【答案】 【分析】作交的延长线于点H．先证≌，推出，，再证≌，推出，最后利用三角形面积公式即可求出的面积． 【详解】解：如图，作交的延长线于点H． 则， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ． 在和中， ∵， ≌ , ，． 是等腰直角三角形， ，， ． 在和中，   ∵， ≌ , ． ． 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积公式等，解题的关键是作辅助线构造全等三角形． 【变式9-2】已知如图，，，，，、交于点F． (1)求证：； (2)猜想线段、的数量关系并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）利用平行线的性质和等角的余角相等即可得证； （2）作的延长线于G，分别证明，，即可得证． 【详解】（1）证明： ∵，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：． 理由：如图所示：作的延长线于G， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行线的性质，以及全等三角形的判定和性质．熟练掌握平行线的性质以及证明三角形全等是解题的关键． 【变式9-3】新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 初步尝试 （1）如图1，在中，，，P为上一点，当的长为 时，与为偏等积三角形． 理解运用 （2）如图2，与为偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，过点C作，交的延长线于点E，求的长． 综合应用 （3）如图3，已知和为两个等腰直角三角形，其中，，，F为的中点．请根据上述条件，回答以下问题： ①的度数为 ； ②试探究线段与的数量关系，并写出解答过程． 【答案】（1）3； （2）解：与为偏等积三角形， ． ， ． ， ， ，， ， ， ， ． 为正整数， ， ． （3）①180； ②，理由如下：延长至G，使，连接，如图所示： ∵F为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由①得：， ∴． ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴ 【解析】【解答】解：（1）如图，连接 当时，， 与不全等， 与为偏等积三角形， 故答案为：． （3）①∵， ∴． 故答案为：180°； 【分析】（1）根据“ 偏等积三角形 ”的定义可得当为的中点时，满足条件，然后解题即可； （2）由与为偏等积三角形，可得，再得到，可可得到，，然后根据三角形三边关系得到，利用为正整数，解题即可； （3）①根据周角的定义解题即可； ②延长至，使，连接，则可得到，即可得到，然后推理得到， 再根据全等三角形的对应边相等得到解题即可． 二、 题型举一反三 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年人教版八年级数学大单元教学分层优化练 专题02 全等三角形的九大模型 一、全等三角形的常用模型 模型一：平移模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 平移模型 沿同一直线平移的两个三角形重合 ①加(减)共线部分，得到一组对应边相等； ②利用平行线性质找对应角相等 模型二：翻折(轴对称)模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 翻折(轴对称)模型 两个三角形过公共点所在的直线或公共边折叠，两个三角形重合 ①通过公共角、垂直、对顶角、等腰三角形等条件得对应角相等； ②通过公共边、中点、等边等条件得对应边相等 模型三：手拉手模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 手拉手模型 两个顶角相等的等腰三角形顶角顶点重合，左底角顶点互连，右底角顶点互连所组成的图形 加(减)共顶点的角的共角部分，得到一组对应角相等 模型四：半角模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 半角模型 有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等.通过作辅助线将角的倍分关系 转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形 延长一边，构造全等三角形，从而得到线段之间的数量关系 模型五：一线三等角模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 一线三等角 模型 左图，两个三角形有一条边共线 ； 右图，同一直线上有三个相等的角的顶点，∠1＝∠2＝∠3 利用三角形内角和为180°和内、外角关系，通过等角代换得到一组相等的角，利用AAS 或ASA证明三角形全等 模型六：雨伞模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 雨伞模型 通过延长线段与直线相交，从而构造一对全等三角形，并将已知条件中的线段和角进行转移 AP平分∠BAC，BD⊥AP，垂足为点D，延长BD交AC于点C，证明△ABD≌△ACD，得到AB＝AC，BD＝CD 模型八：平行线中点模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 平行线中点模型 平行线之间夹中点，通过延长过中点的线段与平行线相交，从而构造一对全等三角形，并将已知条件中的线段和角进行转移 如图，已知AB∥CD，点E，F分别在直线AB、CD上，点O为线段EF的中点，延长PO交CD于点Q，证明△POE≌△QOF 模型九：婆罗摩笈多模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 向外作双等腰直角三角形（知中点，证垂直） 条件：AB⊥AD，AC⊥AE，AB＝AD，AC＝AE，F是BC的中点 方法：倍长中线AF 结论：AF⊥DE，DE＝2AF 向外作双等腰直角三角形（知垂直，证中点） 条件：AB⊥AD，AC⊥AE，AB＝AD，AC＝AE，AF⊥BC 方法：作DM⊥AF，EN⊥AF 结论：G是DE的中点，BC＝2AG 向内作双等腰直角三角形（知中点，证垂） 条件：AB⊥AD，AC⊥AE，AB＝AD，AC＝AE，F是BC的中点 方法：倍长中线AF 结论：AF⊥DE，DE＝2AF 向内作双等腰直角三角形（知垂直，证中点） 条件：AB⊥AD，AC⊥AE，AB＝AD，AC＝AE，AF⊥BC 方法：作DM⊥AF，EN⊥AF 结论：G是DE的中点，BC＝2AG 【模型1 平移模型】 例1．如图，将沿射线方向平移得到，连接交于点．求证：． 【变式1-1】．已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【变式1-2】．如图，点 在一条直线上， ． （1）求证： ； （2）若 ，求 的大小． 【变式1-3】．如图1，△ABC和△DEF是两块可完全重合的三角板， ， .在如图1所示的状态下，△DEF固定不动，将△ABC沿直线a向左平移. （1）当△ABC移到图2位置时，连解AF、DC，求证：AF=DC； （2）若EF=8，在上述平移过程中，试猜想点C距点E多远时，线段AD被直线a垂直平分。并证明你的猜想是正确的。 【模型2 翻折(轴对称)模型】 例2．如图1，在中，，为上一点，沿直线翻折，点恰好落在直线上处． （1）如图2，当时，过点作于点， ①求的度数； ②求证：； （2）当时，若，，求的周长（用含，的式子表示） 【变式2-1】．根据以下素材，完成探究任务. 如何制作风筝? 素材一 风筝的制作技艺是中国传统工艺，为了让同学们感受传统工艺的魅力，王老师带领同学们进行风筝制作. 素材二 风筝由骨架、风筝面、尾巴、提线、放飞线五部分构成，如图，是小明制作的风筝骨架模型图(为轴对称图形)的一部分，其中直线l为对称轴. 问题解决 任务一 请你画出风筝完整的骨架ABCD； 任务二 连接BD交AC于点O，有以下结论，其中一定正确的有结论有 ▲ ；(填写序号)①AB=AD；②△ABC≌△ADC；③OB=OD；④∠BAC=∠DAC；⑤OA=OC. 任务三 已知竹条AC的长为60cm，与其垂直的竹条长为30cm，若给风筝骨架ABCD的正反两面都粘上绢布形成风筝面，求绢布的面积. 【变式2-2】．如图，AD＝AE，BD＝CE． （1）求证：∠B＝∠C； （2）若∠A＝40°，∠BEC＝70°，求∠C的度数． 【变式2-3】．如图，将△ABC沿AC翻折，点B与点E重合，则图中全等的三角形有（　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【模型3 手拉手模型】 例3．如图1，为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，的延长线与交于点，与交于点． （1）求证：； （2）　 　度； （3）如图2，连接，平分吗？请说明理由． 【变式3-1】．已知：如图，等边中，点E在边BC上，，且． （1）求证：； （2）判断的形状，并说明理由． 【变式3-2】．．如图①，，，，相交于点M，连接． （1）求证：； （2）用含的式子表示的度数； （3）当时，的中点分别为点P，Q，连接，如图②，判断的形状，并证明． 【变式3-3】．．综合与实践 （1）问题发现 如图1，已知△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE，求∠AEB的度数及线段AD，BE之间的数量关系； （2）类比探究 如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE， 填空：①∠AEB的度数为　 　； ②线段CM，AE，BE之间的数量关系为　 　． （3）拓展延伸 在（2）的条件下，若BE=4，CM=3，则四边形ABEC的面积为　 　． 【模型4 半角模型】 例4．操作：如图，△ABC 是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以 D 为顶点作一个60°角，角的两边分别交 AB，AC 边于M，N 两点，连接MN. （1）探究：线段 BM，MN，CN 之间的关系，并加以证明. （2）若点 M，N分别是射线AB，CA 上的点，其他条件不变，再探索线段 BM，MN，NC 之间的关系. 【变式4-1】．．半角模型 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等，通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等或相似三角形，弱化条件，变更载体，而构建模型，可把握问题的本质. （1）问题背景 如图①，在四边形ABCD 中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F 分别是BC，CD 上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD 之间的数量关系. 小王同学探究此问题的方法是，延长FD 到点G，使DG=BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论.他的结论应是　 　. （2）探索延伸 如图②，若在四边形 ABCD 中， ，，E，F 分别是BC，CD 上的点，且 上述结论是否仍然成立，并说明理由. （3）实际应用 如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等.接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离. 【变式4-2】．如图1，四边形ABCD是正方形，E，F分别在边BC和CD上，且∠EAF＝45°，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法。小明为了解决线段EF，BE，DF之间的关系，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后解决了这个问题。 （1）请直接写出线段EF，BE，DF之间的关系. （2）如图3，等腰直角三角形ABD，∠BAD=90°，AB=AD，点E，F在边BD上，且∠EAF=45°，请写出EF，BE，DF之间的关系，并说明理由. 【变式4-3】如图．在四边形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，AB＝AD，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF∠BAD，求证：EF＝BE﹣FD． 【模型5 一线三等角模型】 例5．如图，在中，，，直线过顶点，过分别作直线的垂线，垂足分别为． （1）求证：； （2）若，，直接写出的面积． 【变式5-1】． 如图，在Rt△ABC中，L BAC=90°，AB=AC，P为斜边BC上的一点(PB<CP)，分别过点B，C作BE⊥AP于点E，CD⊥AP于点D． （1）求证：AD= BE． （2）若AE=2DE=2，求△ABC的面积． 【变式5-2】．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 （1）如图1，，，过点作于点，过点作的延长线于点．由，得．又，，可以推理得到，进而得到______，______．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型． 【模型应用】 （2）如图2，在平面直角坐标系中，点为平面内任一点，点的坐标为，若是以为斜边的等腰直角三角形，求点 A 的坐标． 【深入探究】 （3）如图3，，，，连接、，且于点F，与直线交于点，求证：点是的中点． 【变式5-3】．“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形． 根据对材料的理解解决以下问题∶ （1）如图1，，．猜想，，之间的关系：　 　 （2）如图2，将（1）中条件改为，，请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （3）如图3，在中，点为上一点，，，，，请直接写出的长． 【模型6 雨伞模型】 例6．雨伞的侧面图如图所示，伞背 ，支撑杆 ， ， ，当 点沿 滑动时，雨伞开闭；在雨伞开闭的过程中， 与 有何数量关系？请说明理由. . 【变式6-1】．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO=　 　． 【变式6-2】．如图，在中，，分别平分和，，相交于点P，则下列结论不一定成立的是（　　） A． B．与的面积比等于边与之比 C． D．若，则 【变式6-3】．如图，在中，垂直平分线段，平分，于点，交的延长线于点． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【模型7 角平分线模型】 例7．课堂上，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，平分交于点D，且，求证：，小明的方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明. （1）小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明.辅助线的画法是：延长至F，使= ▲ ，连接请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线； （2）小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题： 如图3，点D在的内部，分别平分，且.求证：.请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）； （3）小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下： 如果在中，，点D在边上，，那么平分小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的.请你利用图4对这个命题进行证明. 【变式7-1】．在△ABC中，∠ACB＝2∠B，如图①，当∠C＝90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE＝AC，连结DE，易证AB＝AC＋CD. （1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想； （2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明. 【变式7-2】．如图，为斜边上的高，的平分线分别交，于点E、F，，垂足为点G． （1）求证：； （2）若，，，求的面积． 【变式7-3】．如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． （1）求证：平分． （2）求证：平分． （3）若，，，，求的面积． 【模型8 中点模型】 例8．已知正方形ABCD 与正方形CEFG，M 是AF 的中点，连接DM，EM. （1）如图①，点 E 在CD 上，点 G 在BC 的延长线上，请判断DM，EM 的数量关系与位置关系，并直接写出结论. （2）如图②，点 E 在DC 的延长线上，点G 在BC 上，(1)中结论是否仍然成立?请证明你的结论. （3）将图①中的正方形CEFG 绕点C 旋转，使 D，E，F 三点在一条直线上，若AB=13，CE=5，请画出图形，并直接写出MF的长. 【变式8-1】．八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】：数学课上老师让同学们解决这样的一个问题：如图1，已知是的中点，点在上，且．求证：． 同学们在组内经过合作交流，得到解决方法：延长至点，使得，连结．易证，故对应角，所以，因此可得． 以上解法称之为“倍长中线”法，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线构造全等三角形来解决问题； 【初步感知】： （1）是的中线，若，，设，则的取值范围是 ； 【灵活运用】： （2）如图2，在中，平分，为的中点，过点作，交的延长线于点，交于点．求证：． 【拓展延伸】： （3）如图3，是的中点，，，，三点共线，连结，若，当，时，求的长． 【变式8-2】．如图，在△ABC 和△ADE中，已知 ，，，连接BE，CD，点F为BE的中点，连接AF. 求证： （1）∠ABE+∠AEB=∠CAD. （2）CD=2AF. 【变式8-3】．如图1，线段，连接，，取的中点E，连接，平分． （1）线段，，之间存在怎样的等量关系？ 请写出并证明你的结论． （2）如图2，如果点C在 的左侧，其他条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？ 如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出新的结论，并给予证明． 【模型9 婆罗摩笈多模型】 例9．如图，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB， BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中∠ABM=∠NBC＝90°，连接MN，则BD与MN的数量关系是　 　. 【变式9-1】（22-23八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，，分别以、为一直角边作等腰直角、，连接交的延长线于F，则的面积为 ． 【变式9-2】已知如图，，，，，、交于点F． (1)求证：； (2)猜想线段、的数量关系并证明． 【变式9-3】新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 初步尝试 （1）如图1，在中，，，P为上一点，当的长为 时，与为偏等积三角形． 理解运用 （2）如图2，与为偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，过点C作，交的延长线于点E，求的长． 综合应用 （3）如图3，已知和为两个等腰直角三角形，其中，，，F为的中点．请根据上述条件，回答以下问题： ①的度数为 ； ②试探究线段与的数量关系，并写出解答过程 二、 题型举一反三 学科网（北京）股份有限公司 $