14.2全等三角形的判定四（基础练+提升练+拓展练+达标检测）2025-2026学年人教版八年级上学期数学大单元教学分层优化练

该初中数学导学案聚焦于直角三角形全等判定（HL）的核心知识点，通过“基础练+提升练+拓展练+达标检测”的分层设计，构建从概念理解到实际应用的学习支架。以生活情境引入，如测量池塘距离、滑梯安全角度等，自然衔接旧知（SAS、ASA、AAS）与新知，引导学生在观察中抽象出“斜边和一条直角边对应相等”这一独特条件，形成几何直观与逻辑推理的双重支撑。 资料亮点突出，体现核心素养导向：一是“观察能力”强，借助图形变化与现实问题激发学生发现数量关系与空间结构的能力；二是“推理意识”深，例题与变式层层递进，注重书写规范与逻辑链条完整，强化学生用数学语言表达论证过程的习惯；三是“应用意识”实，融合测量、建筑、运动等真实场景，让学生体会数学源于生活又服务于实践，真正实现从知识掌握到能力迁移的跨越。

2025学年人教版八年级数学大单元教学分层优化练 14.2全等三角形的判定四（基础练+提升练+拓展练+达标检测） 知识点1 直角三角形的判定（HL） 在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备. ①斜边和一条直角边对应相等（HL） ②证明两个直角三角形全等同样可以用SAS,ASA和AAS. 要点诠释： 1.适用范围 仅适用于直角三角形，是直角三角形特有的全等判定方法。 2.判定条件  需满足：两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等。 3.定理本质 可转换为“SSS”判定：已知直角三角形三边满足勾股定理（下册将学到） 本质是“边边角”（SAS）的特殊情况，因直角确保了夹角相等。 4.证明步骤 先通过“HL”证明两个直角三角形全等，再利用全等三角形的性质（如对应边相等）完成后续证明。 5.注意事项 书写时需明确标注“Rt”以强调直角条件。 不能与一般三角形的“SSA”混淆，后者在非直角三角形中不可判定全等 题型1 添加条件能够运用HL证全等 例1．如图所示，点F、C在线段上，、相交于点G，，且，若用“”判定和全等，则需添加的条件是_______. 【变式1-1】．如图，已知，若要用“”证明，则还需补充条件________. 【变式1-2】．如图,在的两边上,分别取,再分别过点M、N作、的垂线,交点为P,画射线,则平分的依据是( ) A. B. C. D. 【变式1-3】．如图，能用“”判定和全等的条件是( ) A. B. C. D. 题型2利用HL证明三角形全等 例2．如图，在四边形中，，E是上的一点，且，连接，，.求证：. 【变式2-1】．如图,在点C,F,B,E在同一直线上,,,.求证：. 【变式2-2】．如图,在中,D为的中点,,,点E、F为垂足,且.求证：. 【变式2-3】．如图，在四边形中，，E是上的一点，且，，求证：. 知识点2 综合运用三角形的判定定理进行证明和计算 . 确定全等三角形对应元素的方法 （1） 符号对应法：用全等符号表示的，可根据对应字母的位置来找对应边，对应边所对的角就是对应角。 （2） 位置特征法：①公共边（角）是对应边（角）②对顶角是对应角③一对最长边（最大角）是对应边（角），一对最短边（最小角）是对应边（角） 要点诠释： 证明与计算要点 1.条件转化 通过旋转、中位线等性质构造全等三角形，如将线段中点连接转化为SAS条件； 利用外角性质、平行线性质辅助证明角度相等。 2.逻辑推理 从已知条件出发，逐步推导出全等条件（如通过角平分线、中线性质）； 结合三角形内角和、外角和定理辅助证明。 3.计算应用 全等后对应边相等、对应角相等，用于线段长度计算或角度求解；  题型3 选择方法证明三角形全等 例3．如图1，，，，P，Q分别为线段，上任意一点. (1)若P为的中点，点Q与点D重合，试说明与全等； (2)如图2，若，，求，，之间的数量关系； (3)如图3，将“，”改为“（α为锐角）”，其他条件不变.若，，判断(2)中的数量关系是否会改变？并说明理由. 【变式3-1】．如图，已知，，请你从以下条件中选择一个，使得. ①；②；③；④. (1)你添加的条件是_______.（填序号，只填一个） (2)请利用你所添加的条件证明：. 【变式3-2】．等腰直角三角形与等腰直角三角形如图放置，，，，，点G是的中点，连接且延长交于H，连接且延长于F，连接.求证： (1). (2). 【变式3-3】．（1）如图，，为直角，AC与BD相交于点E，，试说明. 追问：（2）连接EF，问EF平分吗？试说明理由. （3）连接AD，试判断AD与BC的位置关系，并说明理由. 题型4利用HL证明三角形全等的实际应用 例4．为了测量无法直接测量的池塘两端A,B的距离,小王同学设计了一个测量A,B距离的方案.如图,先确定直线,过点B作直线,在直线上找可以直接到达点A的一点D,连接,作,交直线于点C,可以说明,最后测量的长即得.那么判断的原理是( ) A. B. C. D. 【变式4-1】．墙面上贴有规格相同的矩形瓷砖.如图,矩形瓷砖与矩形瓷砖之间用三角形瓷砖与三角形瓷砖拼接,点B,C,E与点B,D,G分别在同一直线上.小雅发现与全等,她的依据是( ) A. B. C. D. 【变式4-2】．如图,某游乐园有两个长度相等的滑梯与,滑梯的高与滑梯水平方向的长度相等,.国家部门针对滑梯类儿童游乐设备进行了安全范围内的考量,并作出了严格的安全界限：在滑行方向上,要求整体滑行区与水平面的夹角应不大于.请问滑梯与滑梯是否符合国家规定？请说明理由. 【变式4-3】．在中，，，，两点分别在线段上和过点A且垂直于的射线上运动，且点运动到上什么位置时，才能和全等. 题型5 利用全等三角形的判定确定全等三角形个数 例5．如图，在四边形中，与相交于点，则图中的全等三角形一共有 对． 【变式5-1】．如图，点A，F，B共线，E为上一点，，，相交于点O，且，，，则图中全等三角形有 对． 【变式5-2】．如图，已知，，，则图中共有 对全等三角形． 【变式5-3】．如图，，D为的中点，于E，于F，图中全等三角形共有 对． 题型6 双垂直线与多次全等 例6．三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等三角形所需角的相等条件，利用全等三角形解决问题． (1)已知：如图，在中，，直线经过点直线直线，垂足分别为．求证：．    (2)如图，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．    (3)如图，将（1）中的条件改为：三点都在直线上，且有，其中为任意锐角．那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．    【变式6-1】．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型认知】如图①，点A在直线l上． ， 过点B作于点C， 过点D作．于点E． 易得， 又，可以推理得到． 进而得到结论： ．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型． 【模型运用】如图②，在 中，点D是上一点， 于点E， 且点E为中点，， 请求出 的面积． 根据“一线三直角”模型，以下是部分解题过程： 解：如图③，过点 C 作的延长线于点F， ∵， 过程缺失 请你补全缺失的解题过程． 【拓展提升】如图④，点A在直线l上， 连结，且． 于点F，与直线l交于点G．若． 则 ． 【变式6-2】．如图1，在中，，，分别过两点作过点A的直线l的垂线，垂足为； (1)如图1，当两点在直线的同侧时，猜想，三条线段有怎样的数量关系？并说明理由． (2)如图（2），将（1）中的条件改为：在中，，三点都在直线m上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． (3)如图3，，，．点P从B点出发沿路径向终点C运动；点Q从C点出发沿路径向终点B运动．点P和Q分别以每秒2和3个单位的速度同时开始运动，各自到达终点时停止运动；在运动过程中，分别过P和Q作于F，于G．问：点P运动多少秒时，与全等？（直接写出答案） 【变式6-3】．【问题呈现】 如图，平分，点在上，分别是上的点，．与相等吗？为什么？ 解：． 理由如下：如图1，平分，． 又，，≌，； (1)如图2，在四边形中，，的平分线和的平分线交于边上点，与相等吗？为什么？ 【拓展提升】 (2)如图3，在中，，当时，外角的平分线交延长线于点，线段有怎样的数量关系？请写出你的猜想并说明理由． 例7．如图，在 中， 点在的延长线上，于点，，平分 (1)求证：； (2)若是的中点，，，求的面积． 【变式7-1】．【方法学习】 数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． 小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）， ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【问题解决】 (1)如图1，请写出的取值范围是 ； (2)如图2，已知中，平分，且，求证：． 【变式7-2】．（1）阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小曲在组内做了如下尝试：如图1，是的中线，延长至点，使，连接．利用全等将边转化到．在这个过程中小曲同学证三角形全等，用到的全等判定方法是 ，另外他还得到了和的位置关系是 ； （2）问题解决：如图2，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； （3）问题拓展：如图3，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，求和的数量关系． 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．如图，，，，要根据“”证明，则还需要添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在和中，，，则的理由是（   ） A． B． C． D． 3．下列各条件能判定两个直角三角形全等的是（   ） A．一对锐角相等 B．一组锐角和斜边分别相等 C．一组对应边相等 D．两对锐角相等 4．如图，，垂足为，是上一点，且，．若，，则的长为（   ）． A．2 B． C．3 D． 5．已知和按如图所示的位置放置，已知，，且，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图所示，已知，点E在上，，，则下列结论不成立的是（   ） A．平分 B． C． D． 7．如图，在中，，于点，．如果，那么（ ） A． B． C． D． 8．如图，，能保证成立条件有（   ） ； ； ； A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．如图，已知，证明，则应添加的条件是 ． 10．如图，，，，线段，P、Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，问P点运动到 位置时，才能使与全等． 11．如图，在四边形中，，连接为上一点，连接且．若，则的长为 ． 12．如图，，点分别在直线和上，点在上，，则 ． 13．如图，在中，边上的高，点E为边上的点，且，若，则图中阴影部分面积为 ． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．如图，点是线段的中点，在线段的同侧作，，过点作于点，过点作于点，已知． (1)求证：； (2)求证：． 15．如图，，，且，求证：． 16．如图，数学活动实践课上，小浩在旗杆 与某栋楼之间选定一点 (点B，，D在同一水平线上)，于点D，于点B，他在点处用智能测量仪测得，，求楼的高度． 17．如图，A，B两点分别位于池塘两侧，池塘旁边有一水房D，在公路上的C处有一棵树，小明从A点出发，沿走到E（A，C，E在一条直线上），并使，连接、，测得，这样就量出E到水房D的距离就是点A到点B的距离（即）．你能说出小明这样做的道理吗？ 18．如图，已知与相交于点F，连结．图中还有几对全等三角形，请你一一列举；并选一对进行证明． 19．在中，，点在的内部，，． (1)如图1，线段的延长线交于点，且，线段，，之间的数量关系是______． (2)如图2，点在线段的延长线上，连接交射线于点，且为的中点，求证：． 20．【问题提出】 学习了三角形全等的判定方法（即“”“ ”“ ”“ ”）和直角三角形全等的判定方法（即“”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究． 【初步思考】 我们不妨将问题用符号语言表示为：在和中，，，，然后对进行分类，可以分为“是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． 【深入探究】 第一种情况：当为直角时，． （1）如图①，在和中，，，，根据_________，可以知道． 第二种情况：当为钝角时，． （2）如图②，在和中，，，，且，都是钝角，求证：． 第三种情况：当为锐角时，和不一定全等． （3）如图③，在和中，，，，且，都是锐角，请你用尺规在图中作出，和不全等．（不写作法，保留作图痕迹）． （4）还要满足什么条件，就可以使得，请直接填写结论： 在和中，，，，且，都是锐角，若_________，则． B 抓核心 二大题型提升练 C 抓拓展 能力强化拓展练 A 夯基础 四大题型提分练 达标检测 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年人教版八年级数学大单元教学分层优化练 14.2全等三角形的判定四（基础练+提升练+拓展练+达标检测）（解析版） 知识点1 直角三角形的判定（HL） 在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备. ①斜边和一条直角边对应相等（HL） ②证明两个直角三角形全等同样可以用SAS,ASA和AAS. 要点诠释： 1.适用范围 仅适用于直角三角形，是直角三角形特有的全等判定方法。 2.判定条件  需满足：两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等。 3.定理本质 可转换为“SSS”判定：已知直角三角形三边满足勾股定理（下册将学到） 本质是“边边角”（SAS）的特殊情况，因直角确保了夹角相等。 4.证明步骤 先通过“HL”证明两个直角三角形全等，再利用全等三角形的性质（如对应边相等）完成后续证明。 5.注意事项 书写时需明确标注“Rt”以强调直角条件。 不能与一般三角形的“SSA”混淆，后者在非直角三角形中不可判定全等 题型1 添加条件能够运用HL证全等 例1．如图所示，点F、C在线段上，、相交于点G，，且，若用“”判定和全等，则需添加的条件是_______. 答案： 解析：∵， ∴， ∴， ∵， 当添加条件时，， 故答案为：. 【变式1-1】．如图，已知，若要用“”证明，则还需补充条件________. 答案：或 解析：补充， 在和中， ， ， 补充， 在和中， ， . 故答案为：或. 【变式1-2】．如图,在的两边上,分别取,再分别过点M、N作、的垂线,交点为P,画射线,则平分的依据是( ) A. B. C. D. 答案：D 解析：∵,, ∴, 在和中, , ∴, ∴, ∴是的平分线. 故选：D. 【变式1-3】．如图，能用“”判定和全等的条件是( ) A. B. C. D. 答案：A 解析：A. ∵， ∴，故此选项符合题意； B. ，结合，能运用“”判定和，故此选项不符合题意； C. ∵，， ∴，故此选项不符合题意； D. ∵，， ∴，故此选项不符合题意； 故选：A. 题型2利用HL证明三角形全等 例2．如图，在四边形中，，E是上的一点，且，连接，，.求证：. 答案：证明见解析 解析：∵， ∴和均为直角三角形， 在和中， ∵， ∴. 【变式2-1】．如图,在点C,F,B,E在同一直线上,,,.求证：. 答案：见解析 解析：证明：∵, ∴和为直角三角形. ∵, ∴, 即, 在和中, , ∴, ∴. 【变式2-2】．如图,在中,D为的中点,,,点E、F为垂足,且.求证：. 答案：见解析 解析：证明：,,点E、F为垂足, , 和均为直角三角形. 为的中点, . 在和中, , . 【变式2-3】．如图，在四边形中，，E是上的一点，且，，求证：. 答案：见解析 解析：∵， ∴. 又 ∴在和中， ， ∴， ∴. ∵，， ∴. 知识点2 综合运用三角形的判定定理进行证明和计算 . 确定全等三角形对应元素的方法 （1） 符号对应法：用全等符号表示的，可根据对应字母的位置来找对应边，对应边所对的角就是对应角。 （2） 位置特征法：①公共边（角）是对应边（角）②对顶角是对应角③一对最长边（最大角）是对应边（角），一对最短边（最小角）是对应边（角） 要点诠释： 证明与计算要点 1.条件转化 通过旋转、中位线等性质构造全等三角形，如将线段中点连接转化为SAS条件； 利用外角性质、平行线性质辅助证明角度相等。 2.逻辑推理 从已知条件出发，逐步推导出全等条件（如通过角平分线、中线性质）； 结合三角形内角和、外角和定理辅助证明。 3.计算应用 全等后对应边相等、对应角相等，用于线段长度计算或角度求解；  题型3 选择方法证明三角形全等 例3．如图1，，，，P，Q分别为线段，上任意一点. (1)若P为的中点，点Q与点D重合，试说明与全等； (2)如图2，若，，求，，之间的数量关系； (3)如图3，将“，”改为“（α为锐角）”，其他条件不变.若，，判断(2)中的数量关系是否会改变？并说明理由. 答案：(1)证明见解析 (2) (3)不会改变，理由见解析； 解析：(1)由题意可知. ∵，， ∴，， ∴. 又∵P为的中点， ∴， ∴； (2)由(1)可知. ∵， ， ∴. 又∵， ∴， ∴，， ∴， 即，，之间的数量关系为； (3)不会改变；   理由：∵， ， ∴. 又∵，， ∴， ∴，， ∴， 即(2)中的数量关系不会改变. 【变式3-1】．如图，已知，，请你从以下条件中选择一个，使得. ①；②；③；④. (1)你添加的条件是_______.（填序号，只填一个） (2)请利用你所添加的条件证明：. 答案：(1)①（或③或④） (2)见解析 解析：(1)可以添加的条件是①或③或④； 故答案为：①（或③或④）. (2)∵， ∴， 即， ∵， ∴添加的条件①时， ∵在和中， ∴； 添加的条件③时， ∵在和中， ∴； 添加的条件④时， ∵在和中， ∴. 【变式3-2】．等腰直角三角形与等腰直角三角形如图放置，，，，，点G是的中点，连接且延长交于H，连接且延长于F，连接.求证： (1). (2). 答案：(1)见解析；(2)见解析. 解析：(1)∵，， ∴，. 在和中， ， ∴. ∴. ∵， ∴. ∵， ∴. (2)∵， ∴，. 在和中， ， ∴. ∴. ∵， ∴. 在和中， ， ∴. ∴. ∴. 【变式3-3】．（1）如图，，为直角，AC与BD相交于点E，，试说明. 追问：（2）连接EF，问EF平分吗？试说明理由. （3）连接AD，试判断AD与BC的位置关系，并说明理由. 答案：（1）证明见解析 （2）平分，理由见解析 （3），理由见解析 解析：（1）因为，为直角， 所以. 在和中， 所以， 所以， 所以，即. 在和中， 所以. 追问：（2）EF平分. 理由如下：因为，所以，. 在和中， 所以， 所以，所以EF平分. （3）. 理由如下：由（1）可知，，， 所以，所以， 所以. 因为，所以. 在和中， 所以， 所以. 因为，所以，所以. 题型4利用HL证明三角形全等的实际应用 例4．为了测量无法直接测量的池塘两端A,B的距离,小王同学设计了一个测量A,B距离的方案.如图,先确定直线,过点B作直线,在直线上找可以直接到达点A的一点D,连接,作,交直线于点C,可以说明,最后测量的长即得.那么判断的原理是( ) A. B. C. D. 答案：A 解析：由题意,可知：,, 又∵, ∴, ∴. 故选A. 【变式4-1】．墙面上贴有规格相同的矩形瓷砖.如图,矩形瓷砖与矩形瓷砖之间用三角形瓷砖与三角形瓷砖拼接,点B,C,E与点B,D,G分别在同一直线上.小雅发现与全等,她的依据是( ) A. B. C. D. 答案：C 解析：∵矩形瓷砖与矩形瓷砖,且规格相同, ∴,, ∴, ∵, ∴, 故选：C. 【变式4-2】．如图,某游乐园有两个长度相等的滑梯与,滑梯的高与滑梯水平方向的长度相等,.国家部门针对滑梯类儿童游乐设备进行了安全范围内的考量,并作出了严格的安全界限：在滑行方向上,要求整体滑行区与水平面的夹角应不大于.请问滑梯与滑梯是否符合国家规定？请说明理由. 答案：滑梯符合国家规定,滑梯不符合国家规定,理由见解析 解析：在和中, , , , . ∵,, ∴滑梯符合国家规定,滑梯不符合国家规定. 【变式4-3】．在中，，，，两点分别在线段上和过点A且垂直于的射线上运动，且点运动到上什么位置时，才能和全等. 答案：根据三角形全等的判定方法可知: ①当P运动到时， ， 和是直角三角形 在与中，， ， 即， 当时，能和全等； ②当P运动到与C点重合时，即时，. 在与中，， ， 即， 当点P与点C重合时，能和全等. 综上所述，当P运动到或点P与点C重合时，才能和全等. 解析： 题型5 利用全等三角形的判定确定全等三角形个数 例5．如图，在四边形中，与相交于点，则图中的全等三角形一共有 对． 【答案】3/三 【知识点】全等三角形综合问题、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、用HL证全等（HL） 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴在和中， ， ∴； 在和中， ， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， 故图中的全等三角形一共有3对， 故答案为：3． 【变式5-1】．如图，点A，F，B共线，E为上一点，，，相交于点O，且，，，则图中全等三角形有 对． 【答案】3 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 利用即可证明、、，即可得出答案． 【详解】解：在和中， ， ； 在和中， ， ； 在和中， ， ； 图中全等三角形有3对， 故答案为：． 【变式5-2】．如图，已知，，，则图中共有 对全等三角形． 【答案】3 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质，由平行线的性质可得，再利用全等三角形的判定与性质证明即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， 综上所述，图中共有对全等三角形， 故答案为：． 【变式5-3】．如图，，D为的中点，于E，于F，图中全等三角形共有 对． 【答案】3 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，先证明，再证明，即可． 【详解】解：D是的中点，则， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，D是的中点， ∴， 在和中，，，， ∴， ∴， 在和中，， ∴． 综上，共3对， 故答案为：3． 题型6 双垂直线与多次全等 例6．三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等三角形所需角的相等条件，利用全等三角形解决问题． (1)已知：如图，在中，，直线经过点直线直线，垂足分别为．求证：．    (2)如图，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．    (3)如图，将（1）中的条件改为：三点都在直线上，且有，其中为任意锐角．那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．    【答案】(1)见解析 (2)成立，见解析 (3)不成立，见解析 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等三角形综合问题 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出，，即可得结论； （2）证明，由全等三角形的性质得出，，即可得结论； （3）证明，由全等三角形的性质得出，，进而可以解决问题． 【详解】（1）证明：直线直线， ． ． ， ． ． 在和中， ． ． （2）成立． 证明：， 在和中， ． ． ． （3）不成立． 理由：， ． ， ． 在和中， ． ． ． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质的综合应用，证明是解题的关键． 【变式6-1】．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型认知】如图①，点A在直线l上． ， 过点B作于点C， 过点D作．于点E． 易得， 又，可以推理得到． 进而得到结论： ．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型． 【模型运用】如图②，在 中，点D是上一点， 于点E， 且点E为中点，， 请求出 的面积． 根据“一线三直角”模型，以下是部分解题过程： 解：如图③，过点 C 作的延长线于点F， ∵， 过程缺失 请你补全缺失的解题过程． 【拓展提升】如图④，点A在直线l上， 连结，且． 于点F，与直线l交于点G．若． 则 ． 【答案】模型认知：；模型运用：16； 拓展提升∶ 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握一线三直角模型是解答本题的关键． 模型认知：根据证明，利用全等三角形的对应边相等可得结论； 模型运用：过点 C 作的延长线于点F，由，且点E为中点得，，证明得，然后根据三角形面积公式求解即可； 拓展提升∶ 过点D作于点P，过点E作于点Q，同模型认知证明：，得出，，可求出，证明得，求出，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】模型认知：进而得到结论：． 故答案为：； 模型运用：过点 C 作的延长线于点F， ∵， ∵于点E， 且点E为中点， ∴，， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 拓展提升∶ 过点D作于点P，过点E作于点Q，如图所示： 同模型认知证明：， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为：． 【变式6-2】．如图1，在中，，，分别过两点作过点A的直线l的垂线，垂足为； (1)如图1，当两点在直线的同侧时，猜想，三条线段有怎样的数量关系？并说明理由． (2)如图（2），将（1）中的条件改为：在中，，三点都在直线m上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． (3)如图3，，，．点P从B点出发沿路径向终点C运动；点Q从C点出发沿路径向终点B运动．点P和Q分别以每秒2和3个单位的速度同时开始运动，各自到达终点时停止运动；在运动过程中，分别过P和Q作于F，于G．问：点P运动多少秒时，与全等？（直接写出答案） 【答案】(1)，理由见解析 (2)成立，理由见解析 (3)当t等于或或时，与全等 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、全等三角形综合问题 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用及分类讨论的思想，解决这类问题要注意类比思想方法的运用． （1）根据，，可得，根据等角的余角相等得，然后再根据可证得，则，，于是； （2）利用，则，，得出，进而得出即可求解； （3）由题意可知，，只需，就可得到与全等，然后只需根据点P和点Q不同位置进行分类讨论即可解决问题． 【详解】（1）解：，理由如下： ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ； （2）成立，理由如下： ， ， 又， ， 在和中， ， ， ，， ， ； （3）设点运动的时间为， 当点在上，点在上，如图1， 则，，，， 与全等， ，即， 解得， 即运动4秒时，与全等； 当点都在上，即点与点重合时，与全等， 此时， 解得， 当点在上，点在上，如图2， 则，， 与全等， ，即, 解得，（不符合题意，舍去）； 当点停在点处，点在 由得， 解得， 综上所述，当t等于或或时，与全等． 【变式6-3】．【问题呈现】 如图，平分，点在上，分别是上的点，．与相等吗？为什么？ 解：． 理由如下：如图1，平分，． 又，，≌，； (1)如图2，在四边形中，，的平分线和的平分线交于边上点，与相等吗？为什么？ 【拓展提升】 (2)如图3，在中，，当时，外角的平分线交延长线于点，线段有怎样的数量关系？请写出你的猜想并说明理由． 【答案】(1)，证明见解析； (2)，理由见解析 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、全等三角形综合问题 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、三角形外角的性质以及角平分线的定义等． （1）在上取点，使得，连接，证明，，即可证明； （2）在取点，使，连接，再证明，可得，，进而得出，再根据，结合三角形外角的性质和等角对等边得出答案． 【详解】（1）解：， 证明：在上取点，使得，连接，如图2， 平分， 在和中， ， ， ， ，，， ， 平分， ， 又， ， ， ； （2），理由如下： 如图3，在取点，使，连接， 平分， ，， ， ，， ， 是的外角， ， ， ， ． 例7．如图，在 中， 点在的延长线上，于点，，平分 (1)求证：； (2)若是的中点，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)15 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据，，得，再根据平分得，由此可依据“”判定和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）连接，根据点是的中点得，依据“”判定和全等得，由此即可得出的面积． 【详解】（1）根据，， 得， 平分， ， ， 在和中， ， ， ； （2）连接，如图所示： 点是的中点，， ， 在△和△中， ， ， ， ． 【变式7-1】．【方法学习】 数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． 小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）， ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【问题解决】 (1)如图1，请写出的取值范围是 ； (2)如图2，已知中，平分，且，求证：． 【答案】(1)； (2)见解析． 【知识点】确定第三边的取值范围、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形三边关系，等腰三角形的判定等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由三角形三边关系可得出答案； （2）延长到点E，使，连接，证明，得出，，证出，则可得出结论． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 故答案为：； （2）证明：如图，延长到点E，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式7-2】．（1）阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小曲在组内做了如下尝试：如图1，是的中线，延长至点，使，连接．利用全等将边转化到．在这个过程中小曲同学证三角形全等，用到的全等判定方法是 ，另外他还得到了和的位置关系是 ； （2）问题解决：如图2，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； （3）问题拓展：如图3，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，求和的数量关系． 【答案】（1）；；（2）见解析；（3） 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，倍长中线法证全等，正确添加辅助线是解题的关键． （1）根据已知条件证明，得出，则； （2）延长至点，使，同（1）可得，，证明，进而证明，即可得证； （3）延长至点，使，由（1）可得，，证明，进而证明，即可得证． 【详解】解：（1）∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；； （2）证明：如图所示，延长至点，使， 同（1）可得 ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：如图所示，延长至点，使， 由（1）可得， ∴，， ∴， ∵， ， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．如图，，，，要根据“”证明，则还需要添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】本题考查了用“”证明三角形全等，掌握相关知识是解决问题的关键．由已知条件可知，两三角形是直角三角形，且有一条直角边相等，若用“”证明全等，需再有斜边对应相等，据此可解答． 【详解】解：如图，，，， 要根据“”证明， 需再有斜边对应相等， 即． 故选：D． 2．如图，在和中，，，则的理由是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法即可直接得出答案． 【详解】解：由全等三角形的判定方法可知，的理由是， 故选：． 3．下列各条件能判定两个直角三角形全等的是（   ） A．一对锐角相等 B．一组锐角和斜边分别相等 C．一组对应边相等 D．两对锐角相等 【答案】B 【知识点】用HL证全等（HL）、灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】根据全等三角形的判定定理：AAS、SAS、ASA、SSS及直角三角形的判定定理HL对个选项逐个分析，然后即可得出答案． 【详解】解：A、一对锐角相等，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意； B、一组锐角和斜边分别相等，能判定两直角三角形全等，故此选项符合题意； C、一组边对应相等，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意； D、两对锐角相等，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意； 故选：B. 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握判定定理是解题关键． 4．如图，，垂足为，是上一点，且，．若，，则的长为（   ）． A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，可证明，得到，由线段的和差关系得到的长，即可得到的长，进而可得的长． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 5．已知和按如图所示的位置放置，已知，，且，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了三角形内角和性质，全等三角形的判定与性质，先根据三角形内角和性质列式计算得，结合，，，证明，则，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴ ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 故选：B． 6．如图所示，已知，点E在上，，，则下列结论不成立的是（   ） A．平分 B． C． D． 【答案】D 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．利用全等三角形的判定证明，得出，，推出平分，再根据直角三角形的性质得到，则有，结合选项即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中 ∴， ∴，， ∴平分， ∵， ∴， ∴， 由题意无法证明， 结合选项可知，选项A、B、C结论成立，不符合题意；选项D结论不成立，符合题意； 故选：D． 7．如图，在中，，于点，．如果，那么（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟悉掌握判定方法是解题的关键． 证出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴在和中， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 8．如图，，能保证成立条件有（   ） ； ； ； A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】本题考查直角三角形全等的判定条件，掌握直角三角形全等的判定条件是解答本题的关键． 根据直角三角形全等的判定条件逐个判断即可解答． 【详解】解： 根据直角三角形全等的判定条件“”，即斜边和一条直角边对应相等， 和满足定理“”， ①满足AAS定理可证明 故选：C． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．如图，已知，证明，则应添加的条件是 ． 【答案】答案不唯一，如． 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、用HL证全等（HL）、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题关键是掌握全等三角形的判定．根据全等三角形的判定求解． 【详解】解：∵， ∴， 又， 添加条件，可根据证明； 添加条件，可根据证明； 添加，可根据证明； 添加，可根据证明， 故答案为：答案不唯一，如． 10．如图，，，，线段，P、Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，问P点运动到 位置时，才能使与全等． 【答案】中点或点C 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由题意可得，再分两种情况：当时，当时，分别利用全等三角形的判定定理证明即可得解，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， 当时， 在和中， ， ∴， 当时， 在和中， ， ∴， 综上所述，P点运动到中点或点C位置时，才能使与全等， 故答案为：中点或点C． 11．如图，在四边形中，，连接为上一点，连接且．若，则的长为 ． 【答案】10 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定，根据“”证即可得解． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：10． 12．如图，，点分别在直线和上，点在上，，则 ． 【答案】9 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质以及平行线的性质．先判定，从而得出，则． 【详解】解：，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故答案为：9． 13．如图，在中，边上的高，点E为边上的点，且，若，则图中阴影部分面积为 ． 【答案】18 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，证明得到，进而得到即可求解． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：18． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．如图，点是线段的中点，在线段的同侧作，，过点作于点，过点作于点，已知． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】用HL证全等（HL）、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查全等三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，进行解答，即可． （1）根据题意，则，等量代换得，根据，，则，根据，则，即可； （2）由（1）可得，，则，根据，即可． 【详解】（1）解：证明如下： ∵点是线段的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．如图，，，且，求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了垂直的定义、全等三角形的判定与性质等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键． 由，得，而，即可根据“”证明，则． 【详解】证明：， ， 在和中， ， ， ． 16．如图，数学活动实践课上，小浩在旗杆 与某栋楼之间选定一点 (点B，，D在同一水平线上)，于点D，于点B，他在点处用智能测量仪测得，，求楼的高度． 【答案】 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查全等三角形的应用，理解题意，熟练掌握利用全等三角形的性质测高是解答的关键．证明 得到，进而求解即可． 【详解】解：∵， ， 在和中， ， ， ， ， ， 答：楼的高度为． 17．如图，A，B两点分别位于池塘两侧，池塘旁边有一水房D，在公路上的C处有一棵树，小明从A点出发，沿走到E（A，C，E在一条直线上），并使，连接、，测得，这样就量出E到水房D的距离就是点A到点B的距离（即）．你能说出小明这样做的道理吗？ 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质的应用．利用证明，从而可得结论． 【详解】解：在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴E到水房D的距离就是点A到点B的距离． 18．如图，已知与相交于点F，连结．图中还有几对全等三角形，请你一一列举；并选一对进行证明． 【答案】有4对，分别是；见解析 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】根据，，，，分别证明，，，． 【详解】解：有4对，分别是． 选与： ∵，， ∴， ，，，， 在与中， ， ∴； 选与： ∵， ∴， ∴， 在与中， ； 选与： ∵， ∴，， 又， ∴， 即， ∵， ∴， 在与中， ， ； 选与： ∵， ∴， 在与中， ， ． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，，，，，解题关键是掌握三角形全等的判定． 19．在中，，点在的内部，，． (1)如图1，线段的延长线交于点，且，线段，，之间的数量关系是______． (2)如图2，点在线段的延长线上，连接交射线于点，且为的中点，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用HL证全等（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，由全等三角形的性质得出，，则可得出结论； （2）过点作，交的延长线于点，过点作于点，过点作，交的延长线于点，过点作于点，证明，得出，证明，得出，证明，由全等三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ，， ； 故答案为： ． （2）证明：过点作，交的延长线于点，过点作于点，过点作，交的延长线于点，过点作于点， ，，， ， ， 又， ， ， ， ， 为的中点， ， ，， ， ， ， ， ． 20．【问题提出】 学习了三角形全等的判定方法（即“”“ ”“ ”“ ”）和直角三角形全等的判定方法（即“”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究． 【初步思考】 我们不妨将问题用符号语言表示为：在和中，，，，然后对进行分类，可以分为“是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． 【深入探究】 第一种情况：当为直角时，． （1）如图①，在和中，，，，根据_________，可以知道． 第二种情况：当为钝角时，． （2）如图②，在和中，，，，且，都是钝角，求证：． 第三种情况：当为锐角时，和不一定全等． （3）如图③，在和中，，，，且，都是锐角，请你用尺规在图中作出，和不全等．（不写作法，保留作图痕迹）． （4）还要满足什么条件，就可以使得，请直接填写结论： 在和中，，，，且，都是锐角，若_________，则． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见详解；（4） 【知识点】用HL证全等（HL）、灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】（1）根据可以知道． （2）过点C作交的延长线于G，过点F作交的延长线于H．先根据证明，则可得．再根据证明，则可得．最后根据即可证明． （3）根据题目要求作图即可． （4）由前面（1）（2）（3）的结论可得时， 【详解】解：（1）如图①，在和中，，，，根据可以知道． 故答案为： （2）证明：如图，过点C作交的延长线于G，过点F作交的延长线于H． ∵，且、都是钝角， ∴，即． ∵在和中， ， ∴， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴． ∵在和中， ， ∴． （3）如图，在和中，，，，，且，都是锐角，但和不一定全等．即为所求； （4）由(1)(2)(3)的结论可知：在和中，，，，且，都是锐角，若，则． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，以及学生归纳总结的能力．熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． C 抓拓展 能力强化拓展练 达标检测 A 夯基础 四大题型提分练 B 抓核心 二大题型提升练 学科网（北京）股份有限公司 $