14.3角的平分线（基础练+提升练+拓展练+达标检测）2025-2026学年人教版八年级上学期数学大单元教学分层优化练

2025学年人教版八年级数学大单元教学分层优化练 14.3角的平分线（基础练+提升练+拓展练+达标检测）(解析版) 知识点1 作已知角的平分线 已知：∠AOB. 求作：∠AOB 的平分线. 作法：(1) 以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N； (2) 分别以点 M、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点 C； (3) 画射线 OC. 则射线 OC 即为所求. 【注意】（1）以小于MN 的长为半径画弧时，两弧没有交点.（2）不能说成“连接OC”. 要点诠释： 适用范围 ：适用于任意角（包括锐角、直角、钝角），需确保作图时半径足够大以保证两弧相交。 工具要求 ：仅使用无刻度的直尺和圆规，避免测量误差 题型1 尺规作角平分线 例1．如图，已知，求作一个锐角等于．要求：用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹，并注明哪个角为所求作的角． 【答案】见详解 【知识点】作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查了尺规作图，利用基本作图，作的角平分线即可． 【详解】解：如图， 即为求作的角． 【变式1-1】．如图，在农田中，农户计划在田埂上安装一个灌溉水泵以提高灌溉效率，现要求灌溉水泵到田埂和田埂的距离相等，请利用尺规找出点的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】作图见解析 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查了角平分线的作法和性质，根据角平分线的作法作出的角平分线，交于，由角平分线的性质可知点到田埂和田埂的距离相等，故点即为所求，掌握角平分线的作法和性质是解题的关键． 【详解】解：如图所示，点即为所求． 【变式1-2】．如图，地块中，边，． (1)尺规作图：现要在地块中修建绿化带，使是的角平分线，请作出，保留作图痕迹； (2)若地块的面积为，求地块的面积． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查角平分线的性质定理，三角形面积公式，解题的关键是掌握角平分线的性质定理，求出． （1）根据角平分线的作图步骤，作的角平分线即可； （2）利用角平分线的性质定理证明，再根据地块的面积为，求出，即可求出的面积． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求； （2）解：作，，垂足分别为，； ∵是的角平分线， ∴， ∵边，，地块的面积为， ∴， 解得：， ∴， ∴的面积为． 【变式1-3】．如图，四边形中，点E在边上，且． (1)实践与操作：请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)应用与计算：若（1）中所作的角平分线与边交于点F，连接．求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查了作图-基本作图，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据角平分线的作法作图即可； （2）由角平分线的性质得到，再证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， （2）证明：平分， ， 又，， ， ． 知识点2 角的平分线的性质 1、性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 2、应用所具备的条件： （1）点在角的平分线上； （2）到角两边的距离(垂直). 3、定理的作用：证明线段相等. 4、角平分线的性质的几何语言： 如图，∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD＝PE 【注意】①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直. 要点诠释： 需明确“距离”为垂线段长度，非任意线段 判定时需同时满足“垂直”和“距离相等”两个条件 题型2利用角平分线的性质求值 例2．如图，在中，AD是角平分线，，，． (1)求的度数． (2)若，求点D到AB的距离． 【答案】(1) (2)3 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，三角形的内角和． （1）由已知和三角形的内角和求出，再根据角平分线以及直角三角形两锐角互余的关系，即可求出的度数； （2）过点D作于点F，根据角平分线的性质定理即可得出． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵AD是的角平分线， ∴． 又∵， ∴， ∴． （2）解：过点D作于点F，如图所示， ∵AD是的角平分线，且，， ∴， 即点D到AB的距离为3． 【变式2-1】．如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，且，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)6 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的高，三角形的面积，熟练掌握:角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． （1）过点作于点于点，先通过计算得出，，根据角平分线的判定与性质得，则．由到角两边距离相等的点在角的平分线上结论得证； （2）根据“的面积的面积的面积”列式求出，得，再求的面积即可． 【详解】（1）证明：，交的延长线于点， ． ， ． ， ． 如图，过点作于点于点， 平分，交的延长线于点， ． ， 平分， ， ． ， 平分； （2）解：的面积的面积的面积， ， ， ， ， ， 的面积． 【变式2-2】．如图，在中，的平分线与的外角的平分线相交于点． (1)若，，求的度数； (2)求证：点到三边所在直线的距离相等． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、角平分线的性质定理 【分析】（）利用角平分线的定义求出和，再根据三角形外角性质解答即可； （）过作于，于，于，由角平分线的性质可得，，即得，进而即可求证； 本题考查了角平分线的定义，三角形的外角性质，角平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵平分，， ∴， ∴； （2）证明：过作于，于，于， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴点到三边所在直线的距离相等． 【变式2-3】．如图，在中，为的平分线，于点E，于点F． (1)若的面积是，求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见详解 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等，得，根据三角形面积公式进行列式，代数计算，即可作答． （2）根据角平分线上的点到角的两边距离相等，得，根据三角形面积公式进行列式，则，即可作答． 【详解】（1）解：∵为的平分线，于点E，于点F． ∴， 则， ∵的面积是， ∴， 解得； （2）解： ∵为的平分线，于点E，于点F． ∴， 则， ∴， 故． 知识点3 角的平分线的判定 角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 几何描述：PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE， 点P在∠AOB的平分线上。 要点诠释： 1.条件要求 点必须位于角的内部（外部或边界点不满足）； 需满足“到角两边距离相等”，即点到两边的垂线段长度相等。 2.几何表达  若点P在∠AOB内部，且PD⊥OA，PE⊥OB，若PD=PE，则点P在∠AOB的平分线上。 3.关键注意事项 垂直条件：距离必须通过垂直线段测量，非任意线段不可替代 题型3 利用角平分线的判定求值 例3．如图，在中，，D、F分别为上的点，连接，过点D作于点E，．求证：平分． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质，角平分线的判定是解题的关键． 先证明，得到，再根据角平分线的判定即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， 在和中， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴平分． 【变式3-1】．如图，在中，，点在边上，且，，的延长线交于点F，连接． (1)求证：； (2)求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了全等三角形．熟练掌握全等三角形的判定和性质，角平分线的判定是解题的关键． （1）由，，，得，即得． （2）过点作，，证明．得．即得平分． 【详解】（1）证明：，，， ， ． （2）证明：如图，过点作，，垂足分别为G，H． 由（1）知，， ，． ， ． ． 平分． 【变式3-2】．如图，，，，，交于点H，连接 (1)求证：； (2)求；用含的式子表示 (3)求证：平分 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的判定定理 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． （1）由，利用，即可证明； （2）由，可得，继而求得； （3）首先作于M，于N，由，可得，即可证得平分 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ； （2）解：， ， 又， ； （3）证明：过点C作于M，于N， ， ，， 平分 【变式3-3】．如图，已知，是的外角的平分线，是的外角的平分线，，相交于点．求证： (1)点到三边，，所在直线的距离相等； (2)点在的平分线上． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)证明过程见解析． 【知识点】角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】本题考查角平分线的性质，角平分线的判定，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质和判定． （1）作，，，由角平分线的性质，即可证得结论； （2）由（1）可知，由角平分线的判定即可证得结论． 【详解】（1）证明：作于点，于点，于点，如图所示： ∵是的平分线，是的平分线，，相交于点， ∴，， ∴， ∴点到三边，，所在直线的距离相等． （2）证明：由（1）可知，， 又∵，， ∴点在的平分线上． 题型4角平分线性质判定的实际应用 例4．如图，要在区建一个电子商品批发市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处，这个电子商品批发市场应建于何处（请在图上标出它的位置，保留作图痕迹，比例尺为）． 【答案】见解析 【知识点】角平分线性质的实际应用、作角平分线(尺规作图)、 图上距离与实际距离的换算 【分析】本题考查了成比例线段的性质，作角平分线；作角平分线，在射线上截取，使得，点即为所求． 【详解】解：依题意， 在射线上截取，使得，如图点为所求， 【变式4-1】．太和中学校园内有一块直角三角形(RtABC)空地，如图所示，园艺师傅以角平分线AD为界，在其两侧分别种上了不同的花草，在ABD区域内种植了月季花，在△ACD区域内种植了牡丹花，并量得两直角边AB＝10m，AC＝6m，分别求月季花与牡丹花两种花草的种植面积． 【答案】， 【知识点】角平分线性质的实际应用 【分析】过点分别作，是垂足，根据角平分线的性质可得，进而根据求得，进而根据三角形面积公式求解可． 【详解】解：过点分别作，是垂足． 由，得，， 是的平分线， ． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，理解角平分线的性质是解题的关键． 【变式4-2】．如图，三条公路两两相交于点A，B，C，现在要在公路边建一所加油站，要求加油站的位置到三条公路的距离都相等，则符合要求的位置有几个？请你找出所有加油站的位置(要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论)． 【答案】4个；图见解析 【知识点】角平分线性质的实际应用、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，角平分线的性质等知识，利用角平分线的性质作出图形即可． 【详解】解：如图所示，即为加油站的位置，共有4个符合要求的位置． 【变式4-3】．如图，要在河流的右侧、公路的左侧区建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉点处的距离为（指图上距离）的地方，则图中工厂的位置应选在哪里？画图并说明理由．    【答案】见解析 【知识点】角平分线性质的实际应用、作角平分线(尺规作图) 【分析】先根据角平分线的尺规作图方法作出图，再根据角平分线的性质即可得到答案． 【详解】解：如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交内部于点，作射线，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则点即为所求，   ， 理由：由作图步骤可知，是的角平分线，角的平分线上的点到角的两边的距离相等， 上的点到的距离相等， ， 工厂应该选在点处． 【点睛】本题主要考查了尺规作图—角平分线，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的尺规作图方法以及角平分线的性质是解题的关键． 题型5 综合利用角平分线的性质判定计算证明 例5．如图，，，于点E，交的延长线于点F． (1)求证：平分． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)15 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，角平分线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）通过证明，再根据其性质得出，再根据角平分线的判定进行证明即可； （2）先证明，再根据全等三角形的性质及线段的和差进行求解即可． 【详解】（1）证明：，， ， ，， ， 在与中，， ， ， 平分； （2）由（1）知平分， ， 在和中， ， ， ， 由（1）知， ， ． 【变式5-1】．如图1，在四边形中，已知，，连接．    (1)求证：平分； (2)点M，N分别是，上的动点，，． ①如图2，若，求的度数； ②如图3，线段，，之间有什么数量关系，请加以证明． 【答案】(1)见详解 (2)①②，理由见详解 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，直角三角形的特征，全等三角形的判定及性质等；掌握角平分线的判定定理，直角三角形的特征，全等三角形的判定及性质，添加恰当的辅助线，构建全等三角形是解题的关键． （1）由角平分线的判定定理，即可得证； （2）①由直角三角形的特征得，，由角的和差得，即可求解； ②延长到E，使，连接，由判定，（），结合全等三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 是的平分线， 平分； （2）解：①，， ， ， ， ， ， 解得：， ； ②， 理由如下： 延长到，使，连接， ， ，， （）， ，， ，， ， ， 即， ， （）， ， ， ． 【变式5-2】．【教材回顾】 证明：三角形的三条角平分线交于一点． （1）补全教材中例题的证明过程． 已知：如图1，的角平分线相交于点P． 求证：点P在的平分线上． 证明：过点P作，，，垂足分别为点F，点M，点N， 平分，，， _______， 同理_______． _______， 点P在的平分线上． 【拓展研究】 问题一：如果一个四边形的四条角平分线交于一点，那么这个四边形会具有怎样的性质？ （2）如图2，在四边形中，，，的平分线相交于点O． 求证：①点O在的平分线上： ； 问题二：满足什么条件的四边形的四条角平分线交于一点？ （3）如图3，在四边形中，如果四条边满足_______时，那么它的四条角平分线交于一点（不需证明）．    【答案】（1）；；；（2）①见解析；②见解析；（3） 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】（1）根据角平分线的性质定理，等量代换，角平分线的判定定理解答即可． （2）①过点O作，，，，垂足分别为点E，点F，点G，点H，根据角的平分线性质定理和判定定理解答即可． 根据角的平分线性质定理，三角形全等的判定和性质解答即可； （3）根据前面的证明解答即可． 本题考查了角的平分线的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：过点P作，，，垂足分别为点F，点M，点N， 平分，，， ， 同理． ， 点P在的平分线上， 故答案为：；；． （2）解：①过点O作，，， 垂足分别为点E，点F，点G，点H，    ∵，，的平分线相交于点O． ∴，，， ∴， ∴点O在的平分线上， 故四边形四个内角的角平分线交于一点． 证明：根据前面的证明，得， ∵， ∴， ∴， 同理可证，，，， ∴， ∴． 故四边形的四条边满足对边之和相等时，四边形的四条角平分线交于一点． （3）解：根据四边形的四条边满足对边之和相等时，四边形的四条角平分线交于一点． 故即可． 故答案为：． 【变式5-3】．【定理】如图1．因为于于，所以___________． 【运用】如图2，在四边形中，，求证：平分． 【答案】【定理】平分；【运用】证明见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的判定定理 【分析】本题考查角平分线的判定定理、全等三角形的判定及性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用角平分线的判定定理，通过于于，即可判定平分； （2）通过作垂线构造全等三角形，得，进而利用角平分线的判定定理，即可完成证明． 【详解】解：定理：于于， 平分， 故答案为：平分； 运用：如图所示，过点作于点，过点作交的延长线于点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 平分． 题型6 尺规作图与角平分线性质判定综合 例6．如图，在中，． (1)利用尺规作图，在边上求作一点P，使得点P到边的距离等于的长；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，过P作，垂足为点D，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质，是解题的关键： （1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得到点P在的角平分线上，利用尺规作角平分线的方法，作图即可； （2）证明，得到，根据线段的和差关系求出的长即可． 【详解】（1）解：由题意，作图如下，点即为所求； （2）作于点D ∵是平分线，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 【变式6-1】．【综合与实践】 数学课上，王老师开展了一节以角平分线为主题的数学活动． 【作图】（1）请你根据所学知识，作出的角平分线．（保留作图痕迹，不写作法） （2）请你通过证明说明，角平分线的画法是根据全等三角形的______判定．（填“”或“”或“”或“”）； 【应用】王老师告诉同学们，利用角平分线作图的原理，我国古代工匠设计出如图的平分角的仪器，其中，，利用它，将仪器放置在上，使点与顶点重合，，分别在，上，沿画一条射线，交于点，是的平分线．此时所得的四边形被称为“筝形”，如图二． 【解惑】（3）快下课时，王老师让同学们利用课余时间连接筝形的两条对角线，如图三，探究这两条对角线，的位置关系，小明认为它们互相垂直，小方认为没有角的度数无法判定，应该是相交，请你运用三角形的知识，判断谁的说法正确并说明理由． 【答案】（）见解析；（）；（）小明的说法正确，理由见解析． 【知识点】垂线的定义理解、全等三角形综合问题、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，尺规作图——作角平分线，垂直的定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意作出角平分线即可求解； （）根据证明，即可求解； （）证明和，然后通过全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：（）如图所示，射线即为所求； （）由作图可知：，， ∵ ∴， ∴， ∴平分； 故答案为：； （）小明的说法正确，理由， 设与交于点， 如图， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故小明的说法正确． 【变式6-2】．．如图，，． (1)延长到E，使，延长到F，使，连接，求证：． (2)在（1）的条件下，作的平分线（尺规作图，保留痕迹），交于点H，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等三角形综合问题、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，作角平分线，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据题意画出图形，证明，得出，则，即可得证； （2）根据题意作的平分线（尺规作图，保留痕迹），交于点H，延长交于点，延长交于点，根据角平分线以及平行线的性质证明，进而证明，即可得证． 【详解】（1）证明：如图所示， ∴ ∴， ∵， ∴ ∵，, ∴ ∴ ∴ ∴ （2）证明：如图所示， 延长交于点，延长交于点， ∵，， ∴， ∴ ∵是的角平分线， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 即， ∴， 又，则， 在中， ， ∴， ∴ 【变式6-3】．．在中，． (1)求作：的角平分线，交于点（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)过点作，交于点（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (3)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等、过直线外一点作已知直线的平行线、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题主要考查了角平分线和平行线的尺规作图，三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可； （2）作交于E，则点E即为所求； （3）由三角形内角和定理可得的度数，由角平分线的定义得到的度数，再由平行线的性质可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：∵在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 例7．如图，在中，点在上，． (1)如图1，，请利用尺规作图作出的角平分线，交于点，交于点；并求出的度数； (2)如图2，若是的角平分线，，求的度数． 【答案】(1)见解析， (2) 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查了尺柜作图，角平分线的定义，三角形外角的性质． （1）根据角平分线的作图方法作图即可；由角平分线的定义得，由直角三角形两锐角互余得，然后根据对顶角相等即可求解； （2）先由三角形内角和求出，然后根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】（1）如图，射线即为所求 ，平分， ， ， ， ， （2）由（1）知， ， ， 又， ， ． 【变式7-1】．．如图，在四边形中，． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） (2)画线段，交于点，若，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查作角平分线，角平分线的定义，平行线的性质和三角形的内角和，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据要求作出图形； （2）利用角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理求解． 【详解】（1）证明：如图所示： 即为求作的角平分线； （2）解：如图， ∵平分，， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ 【变式7-2】．【问题背景】 同学们，我们已经学习过三角形外角的性质：“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．”那么三角形的两个外角与它们不相邻的内角之间有怎样的数量关系呢？四边形的两个外角与它们不相邻的内角之间的数量关系又如何呢？ 【问题初探】 （1）如图1，，是的两个外角． ①，与之间的数量关系是 ； ②请用无刻度的直尺和圆规作，的平分线，相交于点，试探究与之间的数量关系，并证明你的结论； 【问题再探】 （2）如图2，，是四边形的两个外角． ①，与，之间的数量关系是 ； ②如图3，，的平分线，相交于点，若，，则的度数是 °； 【迁移拓展】 （3）如图4，平分，平分，当与满足怎样的数量关系时，直线．请说明理由． 【答案】（1）①；②，见解析；（2）①；②；（3）当时，，见解析 【知识点】内错角相等两直线平行、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，作角平分线，角平分线的定义，平行线的判定，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键； （1）①根据角平分线的定义以及三角形的内角和定理可得，即可得出； ②根据题意作出，的平分线，相交于点，根据角平分线的定义得出，，结合①的结论可得，进而根据三角形的内角和定理，即可求解； （2）①连接，根据三角形的外角的性质可得，，进而可得 ②根据①的结论得出，，即可求解． （3）延长交于点，根据角平分线的定义得出，，根据②的结论得出，即可得出，进而根据得出，根据内错角相等，即可得证 【详解】解：（1）①解：∵，是的两个外角． ∴ ∴； 故答案为：． ②. 证明如下： ∵，分别平分，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴. （2）①如图，连接， ∵，是，的外角 ∴， ∴； 故答案为：． ②∵，， ∴ ∵，的平分线，相交于点， ∴ 由①可得， ∴ 故答案为：； （3）当时，.理由如下： 延长交于点， ∵，分别平分，， ∴，， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴， ∴. 【变式7-3】．【综合实践】根据以下素材，探索完成任务： 小江和小南在做物理实验时发现：当光发生反射时，反射光线与平面镜的夹角总是等于入射光线与平面镜的夹角．于是，他们想进一步探究转动的平面镜对光线反射的影响．如图1，点O为水平放置的平面镜上一点，将一块三角板的直角顶点摆放在O处，满足斜边，．现有一束光线经平面镜反射后沿射出，当光发生反射时，总是等于．若使光线从与重合处开始绕着点O以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒． 【探究1】当时，请用无刻度的直尺和圆规在图2中画出此时入射光线和反射光线所在位置； 【探究2】当，且时，求出满足条件的t的值； 【探究3】若在光线开始转动的同时，平面镜也绕点O以每秒的速度逆时针旋转，当时，请直接写出和之间的数量关系． 【答案】探究1：见解析；探究2：或；探究3：当时，；当时， 【知识点】几何图形中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，平行线的性质，角平分线的尺规作图，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 探究1：作的角平分线，再作，则入射光线和反射光线即为所求 探究2：分，和，三种情况分别用含t的式子表示出的度数，再根据建立方程求解即可； 探究3：分如图3-1，3-2，3-3，3-4四种情况讨论求解即可． 【详解】解：探究1：如图所示，作的角平分线，再作，则入射光线和反射光线即为所求； 由平行线的性质可得，由题意得； 探究2：当时，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得； 当时，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得； 当时，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得（舍去）； 综上所述，或； 探究3：如图3-1所示，当射线恰好经过点B时， 由题意得， ∴，， ∴， 解得； 如图3-2所示，当时， 由题意得， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴； 如图3-3所示，当射线和重合时，则， 解得； 如图3-4所示，当时， 同理可得， ∴， ∵， ∴，， ∴； 综上所述，当时，；当时，． 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．如图,在中,,平分,交于点D,,垂足为E.若,,则( ) A.4 B.5 C.6 D.7 答案：B 解析：∵平分,, ∴. ∵, ∴. 故选：B. 2．如图,在中,平分,若,,则( ) A. B. C. D. 答案：B 解析：平分, 点D到和的距离相等, , 故选：B 3．如图，在中，，平分，，，则的面积是( )    A.10 B.5 C.3 D.2 答案：B 解析：过D点作于E点，如图，    ∵平分，，， ∴， ∴的面积. 故选：B. 4．如图,在中,,的平分线交于点O,点O到边的距离为2,若,则的面积为( ) A.2.5 B.5 C.7.5 D.15 答案：B 解析：如图所示,过点O作交于点E ∵,的平分线交于点O,点O到边的距离为2, ∴ ∵ ∴的面积为. 故选：B. 5．如所示图形中，若，能判断点P在的平分线上的是( ) A.   B.   C.   D.   答案：D 解析：∵到角两边的距离相等的点在角平分线上， ∴符合题意的是D， 故选：D. 6．用尺规作已知角的角平分线,下列作法中,射线是的角平分线的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案：D 解析：第一个图为尺规作角平分线的方法,为的平分线； 第二个图,由作图可知：,, ∴为的平分线； 第三个图,由作图可知：,, ∴, ∵, ∴, ∴, ∵,, ∴, ∴, ∵,, ∴, ∴, ∴为的平分线； 第四个图：由作图可知,, ∴,, ∴ ∴, ∴为的平分线； 故选：D. 7．如图,在中,,,在和上分别截取,,使,分别以点M,点N为圆心,以大于的长为半径作弧,两弧相交于点P,连接射线与相交于点D,过点D作于E.若,则面积为( ) A.10 B.9 C.8 D.7 答案：B 解析：由作图可知：平分, ∵,, ∴点D到,的距离相等,均为的长, ∴； 故选B. 8．如图,在中,和的平分线,相交于点O,交于点E,交于点F,过点O作于D,下列三个结论：①；②若,,则；③当时,.其中正确的是( ) A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 答案：D 解析：①∵和的平分线相交于点O, ,, ∴,故①符合题意； ②过O作于点N,于点M,如图： 和的平分线相交于点, ∴点在的平分线上, , ,故②符合题意； ③∵, ∴, ∵,分别是与的平分线, , ∴, ∴, ∴, 如图,在上取一点H,使,连接, ∵是的角平分线, ∴, 在和中, , ∴, ∴, ∴, ∴, 在和中, , ∴, ∴, ∴,故③符合题意； 故选：D. 二、填空题(每小题4分，共20分) 9．如图,中,是边上的高线,平分,交于点E,,,则的面积等于______. 答案： 解析：过点E作,如图所示： ,平分, , , , 故答案为：. 10．如图,在中,是它的角平分线,其中,则__________________. 答案： 解析：如下图,过点D作,,垂足为M,N, ∵是的角平分线,且,, ∴, ∵,, ∴. 故答案为：. 11．如图,,与的角平分线交于点E,过点E,且与垂直.若点E到的距离为3,则的长为______. 答案：6 解析：∵,, ∴, 作于点F,如图, ∵与的角平分线交于点E, ∴,, ∵点E到的距离为3,即, ∴, ∴； 故答案为：6. 12．把两个同样大小的含角的直角三角板和三角板按如图所示放置，M是与的交点，通过读刻度尺的数据，得的长为，则点M到边的距离是________ . 答案：4.5 解析：由题意可知，，， ∴，即平分， 则由角平分线的性质定理得：点M到边的距离等于的长，即为， 故答案为：4.5. 13．如图,在中,,,与的角平分线相交于点D,点M、N分别在边,上,且,连接,若的周长为4,则的面积为______. 答案： 解析：如图,过D点作于E,于F,于H,在上截取,连接, 平分, , 同理可得, , 在和中, , , , 同理可得, ,,, , ,, ∴, ∴, ∵,, ∴, ∵, ∴, ,(平行线间间距相等), , , 在和中, , , . 的周长 , ∴, 设,, ∵, ∴, ∴； ∵,, ∴, ∴, ∴, ∴的面积为. 故答案为：. 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．如图，已知一块四边形模具，现工人师傅要在边上凿一个孔E，使孔E到边的距离和孔E到边的距离相等．请你利用尺规作图法在边上帮工人师傅找出孔E所在的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图) 【分析】此题考查了角平分线的尺规作图及角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的尺规作图方法． 根据点E到到边的距离和孔E到边的距离相等，作出的角平分线，即可解答． 【详解】解：如图，点E即为所求． 15．如图，是的平分线，，点在上，连接、，分别过点作、的垂线、，垂足分别为、． （1）求证：； （2）求证：．    【答案】（1）见解析；（2）见解析 【知识点】角平分线的判定定理 【分析】（1）根据SAS证明≌即可求解； （2）证明是的平分线，根据角平分线的性质即可求解． 【详解】证明：（1）∵是的平分线 ∴ 在和中 ∴≌ ∴ （2）由（1）可知： ∴ ∴是的平分线 ∵， ∴． 【点睛】此题主要考查角平分线的性质与证明，解题的关键是熟知全等三角形的判定与角平分线的性质． 16．如图，铁路和铁路交于O处，河道与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路，的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置． 【答案】见解析 【知识点】角平分线性质的实际应用、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查了角平分线的性质，角平分线的作法；根据题意作的平分线交于点，点即为水厂的位置． 【详解】解：如图所示，作的平分线交于点，点即为水厂的位置． 17．中，，． (1)如图，若M与C重合，平分，，垂足E在的延长线上，试探究与的数量关系，并证明你的结论； (2)若M在线段上且不与B，C重合，D在线段上，且，，垂足E在的延长线上，则与的数量关系是什么？画图并说明理由． 【答案】(1) (2)，画图和理由见解析 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线性质的实际应用 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理， （1）延长交延长线于N点，根据题意证明出，得到，然后证明出，得到，即可证明出； （2）过M作交延长线于N点，交于Q点，首先证明出，得到，然后证明出，得到，进而求解即可． 解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理：，，，，．全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等． 【详解】（1）， 理由：延长交延长线于N点， ∵，， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵平分， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴； （2）， 理由：过M作交延长线于N点，交于Q点， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴． 18．如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，在方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点的对应点． (1)画出平移后的； (2)画出的角平分线（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【知识点】作角平分线(尺规作图)、平移(作图) 【分析】本题考查的是平移作图，作角平分线，熟练掌握作图步骤是解题的关键； （1）利用点B和的位置确定平移的方向与距离，然后利用此平移规律画出A、C的对应点，，然后顺次连结个对应点即可； （2）以B为圆心以任意长为半径作弧，交，于点E，F，以E，F为半径以大于为半径作弧，两弧交于点G，作射线交于点D，即为所求； 【详解】（1）解：如图所示： 即为所求 （2）解：如图所示：即为所求； 19．【问题提出】工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法：如图1，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即．过角尺顶点的射线便是的平分线，已知角尺的夹角． 【初步思考】试说明工人师傅这样做能得到角平分线的道理； 【变式判断】张明同学认为当时，工人师傅就不需要先在边，上分别取，直接移动角尺，使角尺的两边分别与，相交于点，，且满足，如图2所示，便可以得到平分，你觉得张明的观点对吗？并说明理由； 【拓展探究】如图3，，平分，是射线上的一点，点在射线上运动，过点作，与直线交于点，过点作于点.若，，请直接写出的长． 【答案】[初步思考]见解析；[变式判断]正确，见解析；[拓展探究]5或7 【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了角平分线的性质与判定定理，全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线，掌握全等三角形判定与性质以及角平分线的性质定理是解题的关键． [初步思考]根据证明即可； [变式判断] 过点作于点，作于点，证明，则，再根据角平分线的判定即可说理； [拓展探究] 当点D在点O右侧时，过点P作于点F， 证明，则，再证明，则，那么；当点D在点O左侧时，过点P作于点F， 同理可求，，故． 【详解】[初步思考]，解：在和中 ， ， 即平分； [变式判断]，解：张明的观点正确，理由如下， 过点作于点，作于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴, ∵，， ∴平分， ∴张明的观点正确； [拓展探究]解：当点D在点O右侧时，过点P作于点F，如图 ∵，平分， ∴，， 同上可得，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点D在点O左侧时，过点P作于点F，如图 ∵，平分， ∴，， 同上可得，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上：长为5或7． 20．如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且，满足． (1)求点，坐标； (2)如图1，以为斜边构造等腰直角，请直接写出点的坐标； (3)如图2，已知等腰直角中，，，点是腰上的一点（不与，重合），连接，过点作，垂足为点． ①若是的角平分线，求证：； ②探究：如图3，连接，当点在线段上运动时（不与，重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 【答案】(1)， (2)或 (3)①见解析；②的大小不变，为定值 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、垂线模型(全等三角形的辅助线问题)、角平分线的判定定理 【分析】（1）由绝对值和偶次方的非负性质得，，则，，进而得点，坐标； （2）分两种情况，①点C在第一象限时，②点C在第四象限时，过点C作轴于点G，过点A作于点F，证，得，，即可解决问题； （3）①延长、，相交于点F，证，得，再证，得，则，即可得出结论； ②过点C作于点M，于点N，证，得，则是的角平分线，即可解决问题． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：解：分两种情况： ①如图1，点C在第一象限时，过点C作轴于点G，过点A作于点F， ∴，，， ∴， ∵等腰直角， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点C的坐标为； ②如图1-1，点C在第四象限时，过点C作轴于点G，过点A作于点F， 同①得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点C的坐标为； 综上所述，点C的坐标为或； （3）解：①证明：如图2，延长、，相交于点F， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②解：的大小不变，为定值，理由如下： 如图3，过点C作于点M，于点N， 则， ∵， ∴， 由①可知，，， ∴， ∴， ∴是的角平分线， ∴， 即的大小不变，为定值． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形性质、绝对值和偶次方的非负性质、角平分线的判定、三角形面积以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． C 抓拓展 能力强化拓展练 达标检测 A 夯基础 四大题型提分练 B 抓核心 二大题型提升练 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年人教版八年级数学大单元教学分层优化练 14.3角的平分线（基础练+提升练+拓展练+达标检测） 知识点1 作已知角的平分线 已知：∠AOB. 求作：∠AOB 的平分线. 作法：(1) 以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N； (2) 分别以点 M、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点 C； (3) 画射线 OC. 则射线 OC 即为所求. 【注意】（1）以小于MN 的长为半径画弧时，两弧没有交点.（2）不能说成“连接OC”. 要点诠释： 适用范围 ：适用于任意角（包括锐角、直角、钝角），需确保作图时半径足够大以保证两弧相交。 工具要求 ：仅使用无刻度的直尺和圆规，避免测量误差 题型1 尺规作角平分线 例1．如图，已知，求作一个锐角等于．要求：用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹，并注明哪个角为所求作的角． 【变式1-1】．如图，在农田中，农户计划在田埂上安装一个灌溉水泵以提高灌溉效率，现要求灌溉水泵到田埂和田埂的距离相等，请利用尺规找出点的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式1-2】．如图，地块中，边，． (1)尺规作图：现要在地块中修建绿化带，使是的角平分线，请作出，保留作图痕迹； (2)若地块的面积为，求地块的面积． 【变式1-3】．如图，四边形中，点E在边上，且． (1)实践与操作：请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)应用与计算：若（1）中所作的角平分线与边交于点F，连接．求证：． 知识点2 角的平分线的性质 1、性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 2、应用所具备的条件： （1）点在角的平分线上； （2）到角两边的距离(垂直). 3、定理的作用：证明线段相等. 4、角平分线的性质的几何语言： 如图，∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD＝PE 【注意】①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直. 要点诠释： 需明确“距离”为垂线段长度，非任意线段 判定时需同时满足“垂直”和“距离相等”两个条件 题型2利用角平分线的性质求值 例2．如图，在中，AD是角平分线，，，． (1)求的度数． (2)若，求点D到AB的距离． 【变式2-1】．如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，且，求的面积． 【变式2-2】．如图，在中，的平分线与的外角的平分线相交于点． (1)若，，求的度数； (2)求证：点到三边所在直线的距离相等． 【变式2-3】．如图，在中，为的平分线，于点E，于点F． (1)若的面积是，求的长； (2)求证：． 知识点3 角的平分线的判定 角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 几何描述：PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE， 点P在∠AOB的平分线上。 要点诠释： 1.条件要求 点必须位于角的内部（外部或边界点不满足）； 需满足“到角两边距离相等”，即点到两边的垂线段长度相等。 2.几何表达  若点P在∠AOB内部，且PD⊥OA，PE⊥OB，若PD=PE，则点P在∠AOB的平分线上。 3.关键注意事项 垂直条件：距离必须通过垂直线段测量，非任意线段不可替代 题型3 利用角平分线的判定求值 例3．如图，在中，，D、F分别为上的点，连接，过点D作于点E，．求证：平分． 【变式3-1】．如图，在中，，点在边上，且，，的延长线交于点F，连接． (1)求证：； (2)求证：平分． 【变式3-2】．如图，，，，，交于点H，连接 (1)求证：； (2)求；用含的式子表示 (3)求证：平分 【变式3-3】．如图，已知，是的外角的平分线，是的外角的平分线，，相交于点．求证： (1)点到三边，，所在直线的距离相等； (2)点在的平分线上． 题型4角平分线性质判定的实际应用 例4．如图，要在区建一个电子商品批发市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处，这个电子商品批发市场应建于何处（请在图上标出它的位置，保留作图痕迹，比例尺为）． 【变式4-1】．太和中学校园内有一块直角三角形(RtABC)空地，如图所示，园艺师傅以角平分线AD为界，在其两侧分别种上了不同的花草，在ABD区域内种植了月季花，在△ACD区域内种植了牡丹花，并量得两直角边AB＝10m，AC＝6m，分别求月季花与牡丹花两种花草的种植面积． 【变式4-2】．如图，三条公路两两相交于点A，B，C，现在要在公路边建一所加油站，要求加油站的位置到三条公路的距离都相等，则符合要求的位置有几个？请你找出所有加油站的位置(要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论)． 【变式4-3】．如图，要在河流的右侧、公路的左侧区建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉点处的距离为（指图上距离）的地方，则图中工厂的位置应选在哪里？画图并说明理由．    题型5 综合利用角平分线的性质判定计算证明 例5．如图，，，于点E，交的延长线于点F． (1)求证：平分． (2)若，，求的长． 【变式5-1】．如图1，在四边形中，已知，，连接．    (1)求证：平分； (2)点M，N分别是，上的动点，，． ①如图2，若，求的度数； ②如图3，线段，，之间有什么数量关系，请加以证明． 【变式5-2】．【教材回顾】 证明：三角形的三条角平分线交于一点． （1）补全教材中例题的证明过程． 已知：如图1，的角平分线相交于点P． 求证：点P在的平分线上． 证明：过点P作，，，垂足分别为点F，点M，点N， 平分，，， _______， 同理_______． _______， 点P在的平分线上． 【拓展研究】 问题一：如果一个四边形的四条角平分线交于一点，那么这个四边形会具有怎样的性质？ （2）如图2，在四边形中，，，的平分线相交于点O． 求证：①点O在的平分线上： ； 问题二：满足什么条件的四边形的四条角平分线交于一点？ （3）如图3，在四边形中，如果四条边满足_______时，那么它的四条角平分线交于一点（不需证明）．    【变式5-3】．【定理】如图1．因为于于，所以___________． 【运用】如图2，在四边形中，，求证：平分． 题型6 尺规作图与角平分线性质判定综合 例6．如图，在中，． (1)利用尺规作图，在边上求作一点P，使得点P到边的距离等于的长；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，过P作，垂足为点D，若，求的长． 【变式6-1】．【综合与实践】 数学课上，王老师开展了一节以角平分线为主题的数学活动． 【作图】（1）请你根据所学知识，作出的角平分线．（保留作图痕迹，不写作法） （2）请你通过证明说明，角平分线的画法是根据全等三角形的______判定．（填“”或“”或“”或“”）； 【应用】王老师告诉同学们，利用角平分线作图的原理，我国古代工匠设计出如图的平分角的仪器，其中，，利用它，将仪器放置在上，使点与顶点重合，，分别在，上，沿画一条射线，交于点，是的平分线．此时所得的四边形被称为“筝形”，如图二． 【解惑】（3）快下课时，王老师让同学们利用课余时间连接筝形的两条对角线，如图三，探究这两条对角线，的位置关系，小明认为它们互相垂直，小方认为没有角的度数无法判定，应该是相交，请你运用三角形的知识，判断谁的说法正确并说明理由． 【变式6-2】．．如图，，． (1)延长到E，使，延长到F，使，连接，求证：． (2)在（1）的条件下，作的平分线（尺规作图，保留痕迹），交于点H，求证：． 【变式6-3】．．在中，． (1)求作：的角平分线，交于点（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)过点作，交于点（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (3)求的度数． 例7．如图，在中，点在上，． (1)如图1，，请利用尺规作图作出的角平分线，交于点，交于点；并求出的度数； (2)如图2，若是的角平分线，，求的度数． 【变式7-1】．．如图，在四边形中，． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） (2)画线段，交于点，若，求． 【变式7-2】．【问题背景】 同学们，我们已经学习过三角形外角的性质：“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．”那么三角形的两个外角与它们不相邻的内角之间有怎样的数量关系呢？四边形的两个外角与它们不相邻的内角之间的数量关系又如何呢？ 【问题初探】 （1）如图1，，是的两个外角． ①，与之间的数量关系是 ； ②请用无刻度的直尺和圆规作，的平分线，相交于点，试探究与之间的数量关系，并证明你的结论； 【问题再探】 （2）如图2，，是四边形的两个外角． ①，与，之间的数量关系是 ； ②如图3，，的平分线，相交于点，若，，则的度数是 °； 【迁移拓展】 （3）如图4，平分，平分，当与满足怎样的数量关系时，直线．请说明理由． 【变式7-3】．【综合实践】根据以下素材，探索完成任务： 小江和小南在做物理实验时发现：当光发生反射时，反射光线与平面镜的夹角总是等于入射光线与平面镜的夹角．于是，他们想进一步探究转动的平面镜对光线反射的影响．如图1，点O为水平放置的平面镜上一点，将一块三角板的直角顶点摆放在O处，满足斜边，．现有一束光线经平面镜反射后沿射出，当光发生反射时，总是等于．若使光线从与重合处开始绕着点O以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒． 【探究1】当时，请用无刻度的直尺和圆规在图2中画出此时入射光线和反射光线所在位置； 【探究2】当，且时，求出满足条件的t的值； 【探究3】若在光线开始转动的同时，平面镜也绕点O以每秒的速度逆时针旋转，当时，请直接写出和之间的数量关系． 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．如图,在中,,平分,交于点D,,垂足为E.若,,则( ) A.4 B.5 C.6 D.7 2．如图,在中,平分,若,,则( ) A. B. C. D. 3．如图，在中，，平分，，，则的面积是( )    A.10 B.5 C.3 D.2 4．如图,在中,,的平分线交于点O,点O到边的距离为2,若,则的面积为( ) A.2.5 B.5 C.7.5 D.15 5．如所示图形中，若，能判断点P在的平分线上的是( ) A.   B.   C.   D.   6．用尺规作已知角的角平分线,下列作法中,射线是的角平分线的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7．如图,在中,,,在和上分别截取,,使,分别以点M,点N为圆心,以大于的长为半径作弧,两弧相交于点P,连接射线与相交于点D,过点D作于E.若,则面积为( ) A.10 B.9 C.8 D.7 8．如图,在中,和的平分线,相交于点O,交于点E,交于点F,过点O作于D,下列三个结论：①；②若,,则；③当时,.其中正确的是( ) A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 二、填空题(每小题4分，共20分) 9．如图,中,是边上的高线,平分,交于点E,,,则的面积等于______. 10．如图,在中,是它的角平分线,其中,则__________________. 11．如图,,与的角平分线交于点E,过点E,且与垂直.若点E到的距离为3,则的长为______. 12．把两个同样大小的含角的直角三角板和三角板按如图所示放置，M是与的交点，通过读刻度尺的数据，得的长为，则点M到边的距离是________ . 13．如图,在中,,,与的角平分线相交于点D,点M、N分别在边,上,且,连接,若的周长为4,则的面积为______. 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．如图，已知一块四边形模具，现工人师傅要在边上凿一个孔E，使孔E到边的距离和孔E到边的距离相等．请你利用尺规作图法在边上帮工人师傅找出孔E所在的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 15．如图，是的平分线，，点在上，连接、，分别过点作、的垂线、，垂足分别为、． （1）求证：； （2）求证：．    16．如图，铁路和铁路交于O处，河道与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路，的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置． 17．中，，． (1)如图，若M与C重合，平分，，垂足E在的延长线上，试探究与的数量关系，并证明你的结论； (2)若M在线段上且不与B，C重合，D在线段上，且，，垂足E在的延长线上，则与的数量关系是什么？画图并说明理由． 18．如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，在方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点的对应点． (1)画出平移后的； (2)画出的角平分线（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 19．【问题提出】工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法：如图1，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即．过角尺顶点的射线便是的平分线，已知角尺的夹角． 【初步思考】试说明工人师傅这样做能得到角平分线的道理； 【变式判断】张明同学认为当时，工人师傅就不需要先在边，上分别取，直接移动角尺，使角尺的两边分别与，相交于点，，且满足，如图2所示，便可以得到平分，你觉得张明的观点对吗？并说明理由； 【拓展探究】如图3，，平分，是射线上的一点，点在射线上运动，过点作，与直线交于点，过点作于点.若，，请直接写出的长． 20．如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且，满足． (1)求点，坐标； (2)如图1，以为斜边构造等腰直角，请直接写出点的坐标； (3)如图2，已知等腰直角中，，，点是腰上的一点（不与，重合），连接，过点作，垂足为点． ①若是的角平分线，求证：； ②探究：如图3，连接，当点在线段上运动时（不与，重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． B 抓核心 二大题型提升练 C 抓拓展 能力强化拓展练 达标检测 A 夯基础 四大题型提分练 学科网（北京）股份有限公司 $