1.2空间向量基本定理(1)课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.2 空间向量基本定理 济 南 市 钱 学 森 高 级 中 学 1.理解空间向量基本定理及其意义并会简单应用(数学抽象、逻辑推理). 2.会用基底表示空间向量(数学抽象). 3.初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的方法(数学运算、逻辑推理). 学习目标 导 回顾：平面向量基本定理 若是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任一向量， 有且只有一对实数，使＝＋ 若, 不共线，则把{，}叫做表示这一平面内所有向量的基底． 平面内任一向量可用2个不共线的向量表示 空间中任一向量可用3个不共面的向量表示吗？ 类比推广 空间向量基本定理 1.定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p， 存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使得 p＝xa＋yb＋zc． 2.基底：我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，基向量：a，b，c 都叫做基向量． 不能. 零向量与任意两个向量a，b都共面． 思考：零向量可以作为基向量吗？ 思考：构成空间向量的基底唯一吗？ 不同的基底下同一向量的表达式可能不同. 一组基底选定后，空间中所有的向量均可由这组基底唯一表示. 不唯一,空间的基底有无数个 学 （特殊情况）空间中任一向量可用3个两两垂直且不共面的向量表示吗？ a P Q i j k O 3.单位正交基底{}：基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1. 4.正交分解：把任意一个空间向量分解为三个两两垂直的向量， 即＝x＋y＋z． 学 定理 内容 基底 空间向量基本定理 平面向量基本定理 向量共线充要条件 {a，b，c} {e1，e2} 二维 三维 一维 {a} 向量 a ( a ≠ 0)与向量 b共线的充要条件是：存在唯一一个实数 λ，使 b＝λa. 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2． 如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使得 p＝xa＋yb＋zc． 由向量共线定理、平面向量基本定理及空间向量基本定理的一致性和 连贯性，我们对比共线定理、平面向量基本定理及空间向量基本定理 学 【例1】（1）判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） ①只有两两垂直的三个向量才能作为空间的一个基底.（　×　） ②若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量. （　√　） ③已知向量 ， ， 不能构成空间中的一个基底， 则O，A，B，C四点共面.（　√　） × √ √ 展+评 （2）已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且 ＝e1＋2e2－e3， ＝－3e1＋e2＋2e3， ＝e1＋e2－e3，试判断{ ， ， }能否构成空间的一个基底？ 解：假设 ， ， 共面， 由向量共面的充要条件知存在实数x，y，使 ＝x ＋y 成立. ∴e1＋2e2－e3＝x（－3e1＋e2＋2e3）＋y（e1＋e2－e3） ＝（－3x＋y）e1＋（x＋y）e2＋（2x－y）e3. ∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底，∴e1，e2，e3不共面 ∴ 此方程组无解，即不存在实数x，y，使 ＝x ＋y 成立. ∴ ， ， 不共面.故{ ， ， }能构成空间的一个基底. 展+评 【规律方法】 判断基底的基本思路 （1）判断一组向量能否构成空间的一个基底，实质是判断这三个向量是 否共面，若不共面，就可以构成一个基底； （2）判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几 何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基底，并在此基 础上构造其他向量进行相关的判断. 展+评 训练1　（1）〔多选〕设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a， 且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组，其中可以构成空间的一个基底的向量组是（　BCD　） A. {a，b，x} B. {x，y，z} C. {b，c，z} D. {x，y，a＋b＋c} BCD （2）已知{a，b，c}是空间的一个单位正交基底，p＝a－2b＋3c，若 p＝x（a＋b）＋y（a－b）＋zc，则x＋y＋z＝ ⁠. 4 展+评 【例2】如图，在三棱柱ABC-A'B'C'中，已知 ＝a， ＝b， ＝c，点M，N分别是BC'，B'C'的中点，试用基底{a，b，c}表示向量 ， . 解：因为M为BC'的中点，N为B'C'的中点， 所以 ＝ ＋ ＝ ＋ （ ＋ ） ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ （ － ）＋ ＝ ＋ ＋ ＝ （a＋b＋c）. 连接A'N（图略），所以 ＝ ＋ ＝ ＋ （ ＋ ） ＝ ＋ （ ＋ ）＝a＋ b＋ c. 展+评 变式　若把本例中的“ ＝a”改为“ ＝a”，其他条件不变， 则结果是什么？ 解：因为M为BC'的中点，N为B'C'的中点， 所以 ＝ （ ＋ ）＝ a＋ b. 连接AB'（图略），所以 ＝ （ ＋ ）＝ （ ＋ ＋ ）＝ ＋ ＋ ＝ ＋ （ － ）＋ ＝ ＋ － ＝a＋ b－ c. 展+评 【规律方法】 用基底表示向量的步骤 展+评 训练2　（1）如图，四棱锥P-OABC的底面是矩形，PO⊥底面OABC. 设 ＝a， ＝b， ＝c，E是PC的中点，则（　B　） B A. ＝－ a－ b＋ c B. ＝－a－ b＋ c C. ＝－a＋ b＋ c D. ＝－ a－ b－ c 解析： ＝ － ＝ （ ＋ ）－（ ＋ ） ＝－ － ＋ ＝－a－ b＋ c.故选B. 展+评 （2）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别在棱B1B和 D1D上，且BE＝ BB1，DF＝ DD1，若 ＝x ＋y ＋z ，则x ＋y＋z＝ ⁠. ​ 解析：在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，因为BE＝ BB1，DF＝ DD1， 所以 ＝ ＋ ＋ ＋ ＝－ － ＋ ＋ ＝－ － ＋ ＋ ＝－ ＋ ＋ .因为 ＝x ＋y ＋ z ，所以x＝－1，y＝1，z＝ ，所以x＋y＋z＝－1＋1＋ ＝ . 展+评 角度3　求距离（长度） 【例5】　已知正四面体ABCD的棱长为a，M，N分别是棱AB，CD上的 点，且MB＝2AM，CN＝ ND，则｜MN｜＝ 　 a　. 解析：∵ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋（ － ）＋ （ － ） ＝－ ＋ ＋ ，∴｜ ｜2＝（ － ＋ ＋ ）2＝ ＋ ＋ － · － · ＋ · ＝ a2＋ a2＋ a2 － a2－ a2＋ a2＝ a2，故｜ ｜＝ a. a 展+评 1. 已知{a，b，c}是空间的一个基底，则可以与向量p＝a＋b，q＝a －b构成基底的向量是（　　） A. a B. b C. a＋2b D. a＋2c 解析：　能与p，q构成基底，则与p，q不共面.∵a＝ ，b＝ ，a＋2b＝ p－ q，∴A、B、C都不符合题意.∵{a，b，c}为基 底，∴a＋2c与p，q不共面，可构成基底. √ 练 2. 在棱长为1的正四面体ABCD中，AB与CD（　　） A. 相交 B. 平行 C. 垂直 D. 无法判断位置关系 解析：因为 ＝ － ，所以 · ＝ ·（ － ）＝ · － · ＝1×1× －1×1× ＝0，故 ⊥ ，即AB与CD 垂直. √ 练 3. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点O为空间内任意一 点，设 ＝a， ＝b， ＝c，则向量 可用a，b，c表示为 ＝ ⁠. 解析： ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ － ）＝ a－ b ＋c. a－ b＋c 练 4. 如图，M，N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，P，Q是MN 的三等分点（点P靠近点N），若 ＝a， ＝b， ＝c，｜a｜ ＝｜b｜＝1，｜c｜＝2，∠OAB＝∠OAC＝ ，∠CAB＝ ，求｜ ｜ 的值. 练 解： ＝ ＋ ＝－ ＋ （ ＋ ＋ ） ＝－ a＋ ［－ a＋b＋ （c－b）］ ＝－ a＋ b＋ c. ｜ ｜2＝ a2＋ b2＋ c2－ a·b－ a·c＋ c·b ＝ ＋ ＋ － ×1×1× － ×1×2× ＝ ， 所以｜ ｜＝ . 练 课堂小结 1.理清单 （1）空间向量基本定理； （2）用基底表示空间向量； （3）空间向量基本定理的应用. 2.应体会 在空间向量基本定理及应用中常用到数形结合思想和转化与化归思想. 3.避易错 （1）基向量理解错误，忽视基向量的条件； （2）利用基向量表示向量时，没有转化目标. 结 $