1.1.2 空间向量的数量积运算　课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.1.2 空间向量的数量积运算 学习目标 核心素养 1.类比平面向量数量积的概念及其物理意义，理解并计算空间向量的数量积（重点） 数学抽象 2.理解并掌握空间向量数量积的性质，并能运用性质进行相关的判断和计算（难点） 数学运算 导 导 复习引入 回顾平面向量夹角和数量积的定义： 类比平面向量的知识，空间向量的夹角和数量积又将如何定义呢？ 新知形成 探究1：类比平面向量，如何得出空间向量夹角的概念？ 1、空间向量的夹角及其表示 b a . O B α A 学 O A B O A B O A B 新知形成 向量夹角范围为 学 例1 （2）如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，求向量 分别与向量 ， ， ， ， 的夹角. ＜ ， ＞＝＜ ， ＞＝45°， ＜ ， ＞＝180°－＜ ， ＞＝135°， ＜ ， ＞＝∠D'AC＝60°， ＜ ， ＞＝180°－＜ ， ＞＝180°－60°＝120°， ＜ ， ＞＝＜ ， ＞＝90°. 展+评 典型例题 题型一　向量夹角 训练1　（1）对于空间任意两个非零向量a，b，“a∥b”是 “＜a，b＞＝0”的（　B　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 B 练 （2）在正四面体ABCD中， 与 的夹角等于 ； 与 的夹角等于 ⁠. 120° 60° 新知形成 探究2：类比平面向量，如何得出空间向量数量积定义？ 学 知识点2：空间向量的数量积 2、定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos<a，b>叫做a，b的数量积，记作a·b. 特别地，零向量与任意向量的数量积为0. 即a·b=|a||b|cos<a，b>. 结果为数值 思考：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？ 数量积符号由cos的符号所决定。 学 设 是非零向量，它们的夹角是θ， 是与 方向相同的单位向量，则： 3、向量数量积的性质 学 4. 运算律： （1）（λa）·b＝ ，λ∈R； （2）交换律：a·b＝ ⁠； （3）分配律：（a＋b）·c＝ ⁠. 　　提醒：不满足结合律和消去律 λ（a·b）　 b·a　 a·c＋b·c　 展+评 典型例题 例2 如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，E，F分别是AB，AD的中点，计算： 题型二　数量积的运算 ① · ； ② · ； ③ · ； ④ · . 解：① · ＝ · ＝ ｜ ｜·｜ ｜· cos ＜ ， ＞＝ ×1×1× cos 60°＝ . ② · ＝ · ＝ ｜ ｜·｜ ｜· cos ＜ ， ＞＝ ×1×1× cos 0°＝ . ③ · ＝ · ＝ ｜ ｜·｜ ｜· cos ＜ ， ＞＝ ×1×1× cos 120°＝－ . ④ · ＝ （ ＋ ）· （ ＋ ） ＝ [·（－ ）＋ ·（－ ）＋ · ＋ · ] ＝ [－ · － · ＋（ － ）· ＋ · ] ＝ ×（ － － ＋ － ＋ ）＝－ . 训练2　（1）（2025·扬州月考）如图，在棱长为 的正方体ABCD- A1B1C1D1中， · ＝（　A　） A. 2 B. 1 C. 2 D. A （2）若a，b，c为空间中两两夹角为 的单位向量， ＝2a－2b， ＝b－c，则 · ＝ ⁠. －1 问题3　如图，在平面向量中，我们学习了向量的投影向量，类似地，对于空间任意两个非零向量a，b，怎样得到向量a在向量b上的投影向量呢？ 　 新知形成 学 作法 图形表示 符号表示 向量a在向量b上的投影向量 将向量a，b（直线l）平移到同一个平面α内，利用平面上向量的投影，得到与向量b（直线l的方向向量）共线的向量c c＝｜a｜· cos ＜a，b＞ 向量a在直线l上的投影向量 新知形成 学 作法 图形表示 符号表示 向量a在 平面β上 的投影向 量 分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A'，B'，得到向量 新知形成 学 【例3】已知向量a，b，｜a｜＝6，｜b｜＝8，＜a，b＞＝120°， 则a在b上的投影向量为 ，b在a上的投影向量为 ⁠. － b － a 典型例题 题型三　投影向量 展+评 训练3　如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，CB⊥AB， AB＝BC＝a，PA＝b. （1）确定 在平面ABC上的投影向量； 解：因为PA⊥平面ABC， 所以 在平面ABC上的投影向量为 . （2）确定 在 上的投影向量. 解：因为PA⊥平面ABC，AB⊂平面ABC， 可得PA⊥AB，所以 · ＝0. 因为CB⊥AB，所以 · ＝0， 所以 · ＝（ ＋ ＋ ）· ＝ · ＋ · ＋ · ＝0＋a2＋0＝a2， 又｜ ｜＝a，所以 在 上的投影向量为 ｜ ｜· cos ＜ ， ＞· ＝｜ ｜· · ＝ · ＝ · ＝ . 【例4】(1)已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中， AA1＝AB＝AD＝1，且这三条棱彼此之间的夹角都是60°，则AC1的长为（　B　） A. 6 B. C. 3 D. B 展+评 典型例题 题型四　用数量积求夹角和模 （2）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，＜ ， ＞＝（　B　） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° B 【例5】　如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都为a， M，N分别是AB，CD的中点.证明：MN⊥AB. 典型例题 题型五　用数量积证明垂直问题 证明：由题意可知，｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜＝a，且向量 ， ， 两两的夹角均为60°，连接AN（图略）， 则 ＝ － ＝ （ ＋ ）－ ， 所以 · ＝ （ · ＋ · － ） ＝ （a2 cos 60°＋a2 cos 60°－a2）＝0， 所以 ⊥ ，即MN⊥AB. 训练4　（1）已知空间四边形OABC各边及对角线长都等于2，E，F分别 为AB，OC的中点，则异面直线OE与BF所成角的余弦值为 ⁠； 解析：由已知得 ＝ （ ＋ ）， ＝ － ＝ － ， 因此｜ ｜＝ ｜ ＋ ｜＝ ＝ ， ｜ ｜＝｜ － ｜＝ ＝ . 因为 · ＝ ( ＋ )·( － )＝ ×2－ ×2＋ ×2－2＝－2， 所以 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝－ . 故异面直线OE与BF所成角的余弦值为 . ​ （2）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，D1D的中 点，正方体的棱长为1.求证： ⊥ . 证明： ＝ ＋ ＝ － ＋ ， ＝ ＋ ＝－ （ ＋ ）， 所以 · ＝－ （ · ＋ · － － · ＋ · ＋ ） ＝－ ×（0＋0－1－0＋0＋1）＝0， 所以 ⊥ . 1. 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45° 的是（　　） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 √ 2. 已知空间向量｜a｜＝ ,｜b｜＝5,且a与b夹角的余弦值为－ ，则a在b上的投影向量为（　　） A. － b B. b √ C. b D. － b 3. 在三棱锥P-ABC中，∠PAB＝∠ABC＝ ，＜ ， ＞＝ ， PA＝2，AB＝1，BC＝3，则｜ ｜＝（　　） A. B. 2 C. D. 1 √ 4. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是 C1D1的中点，则 与 所成角的大小为 ； · ＝ ⁠. 60° 1 课堂小结 1.理清单 （1）空间向量的夹角； （2）空间向量的数量积； （3）投影向量； （4）空间向量数量积的应用. 2.应体会 （1）求空间向量的夹角、数量积及投影向量时常用到数形结合思想； （2）空间向量数量积的应用中注意转化与化归思想的应用. 3.避易错 当a≠0时，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0. 展+评 典型例题 题型三　用数量积求长度 例3　如图，已知▱ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，并且PA＝6，则PC的长为________． 7 练 随堂检测 6.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长． 解析：因为＝， 所以＝)2＝)． 因为∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°， 所以＝1＋4＋9＋2×(1×3×cos 60°＋2×3×cos 60°)＝23. 因为＝|2，所以|2＝23， 则|＝，即AC1＝. $