精品解析：湖南省长沙雅礼中学2023—2024学年上学期八年级选拔数学试卷

2023年初二选拔数学试卷 分值：150分 时间：120分钟 一、填空题（本题共16小题，每小题5分，共80分） 1. 如果代数式当时的值是7，那么当时该式的值是___． 2. 当时，化简的结果是_________． 3. 已知，，则的值为_________． 4. 创新社区在创建全国卫生城市的活动中，随机检查了本社区部分住户五月份某周内“垃圾分类”的实施情况，将他们绘制了两幅不完整的统计图（A．小于5天；B．5天；C．6天；D．7天）若该社区共有1500户居民，请估计社区每天进行垃圾分类的住户约有_________户． 5. 有一正方体，六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同的角度观察的结果如图所示．如果记6的对面的数字为a，2的对面的数字为b，那么的值为________． 6. 如图，王源家的住房平面图呈长方形，被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形．若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为________． 7. 如图，设，则的取值范围是________． 8. 母亲节到了，小红，小莉，小莹到花店买花送给自己的母亲．小红买了3枝玫瑰，7枝康乃馨，1枝百合花，付了14元；小莉买了4枝玫瑰，10枝康乃馨，1枝百合花，付了16元；小莹买上面三种花各3枝，则她应付_________元． 9. 已知方程组有非负整数解，则正整数m的值有______个． 10. 如图，中，，，．，，都是等边三角形，则四边形的面积为_________． 11. 的两条高、所在的直线交于点H，且，则___________度 12. 如图，在中，已知和分别是两边上的中线，并且，，，那么的面积等于______． 13. 如图，在矩形中，已知，，P是边上任意一点，，，E，F分别是垂足，那么_________． 14. 如图，P为△ABC边BC上的一点，且PC＝2PB，已知∠ABC＝45°，∠APC＝60°，则∠ACB的度数是 _____°． 15. 如图，已知，一条光线从点出发后射向边．若光线与边垂直，则光线沿原路返回到点，此时．当时，光线射到边上的点后，经反射到线段上的点，易知若，光线又会沿原路返回到点，此时______ °．若光线从点出发后，经若干次反射能沿原路返回到点，则锐角的最小值______ °． 16. 已知过点的直线（）不经过第一象限，设，则s的取值范围是_________． 二、解答题（本题共6小题，共70分） 17. 观察下列各式：①，②；③，… （1）请观察规律，并写出第④个等式：______； （2）请用含的式子写出你猜想的规律：______； （3）请证明（2）中的结论． 18. （1）已知，，求的值． （2）关于x的方程有三个整数解，求a的值． 19. 如图，在中，，于D，设，，，．求证： （1）； （2）． 20. 端午将至，某超市经销某品牌的两种包装的粽子，进价与售价如下表： 价格 类别 礼盒装 独享装 进价（元/袋） m﹢40 m 售价（元/袋） 78 10 已知购进80袋礼盒装的总价与购进480袋独享装的总价相同 （1）求礼盒装和独享装每袋的进价． （2）若超市用6000元购进了两种包装的粽子，其中独享装的数量不小于盒装的4倍，在两种包装的粽子全部售完的情况下，设两种包装的粽子的总利润为W，求W的最大值． （3）因礼盒装市场反应良好，超市第二次购进的礼盒装与独享装的数量比为1：3，为回馈消费者，超市计划将礼盒装每袋售价降低a元（a为正整数），但礼盒装每袋的利润率需高于独享装每袋的利润率，已知第二次两种包装的粽子全部售完后获得的总利润为3888元，求a的值（利润率＝利润÷成本×100%） 21. 如图，直线分别交 x 轴、 y 轴于A，B两点，直线分别交 x 轴、 y 轴于 C，D，交 于点 E． （1）直接写出点 A，B，D 的坐标； （2）如图 1，若∠BED=45°，求点 C 的坐标； （3）如图 2，在（2）的条件下，过点 P（ m ， m ）作平行于 x 轴的直线交 于 M，作平行于 y 轴的直线交于 N，若 PM≥2PN，求 m 的取值范围． 22. 在正方形中，点是边上任意一点，连接过点作于，交于. 如图1，过点作于.求证:； 如图2，点为的中点，连接，试判断存在什么数量关系并说明理由； 如图3，，连接，点为的中点，在点从点运动到点的过程中，点随之运动，请直接写出点运动的路径长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023年初二选拔数学试卷 分值：150分 时间：120分钟 一、填空题（本题共16小题，每小题5分，共80分） 1. 如果代数式当时的值是7，那么当时该式的值是___． 【答案】－17 【解析】 【详解】试题分析：先根据代数式当时的值是7得到，则，再把代入即可得到结果. 由题意得，解得 则时， 考点：代数式求值 点评：解题的关键是由代数式当时的值是7得到，注意本题要有整体意识. 2. 当时，化简的结果是_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的性质与化简，直接利用二次根式的性质化简得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 3. 已知，，则的值为_________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用、十字相乘法、代数式求值，首先将通过提取公因数3，利用十字相乘法分解因式得．再将、的值作为一个整体代入分解后的代数式求得结果． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：0． 4. 创新社区在创建全国卫生城市的活动中，随机检查了本社区部分住户五月份某周内“垃圾分类”的实施情况，将他们绘制了两幅不完整的统计图（A．小于5天；B．5天；C．6天；D．7天）若该社区共有1500户居民，请估计社区每天进行垃圾分类的住户约有_________户． 【答案】300 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体，先由A类别的户数及其所占百分比可得被调查的总户数，用总户数乘以样本中D类别户数所占比例可得答案． 【详解】解：被调查的总户数为（户）， （户）， 即估计社区每天进行垃圾分类的住户约有300户， 故答案为：300． 5. 有一正方体，六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同的角度观察的结果如图所示．如果记6的对面的数字为a，2的对面的数字为b，那么的值为________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查正方体的特征，熟练掌握正方体的特征是解题的关键；根据题意易得6的对面数字是3，2的对面的数字是4，然后问题可求解． 【详解】解：由图可知：与相邻，与相邻， ∴1的对面数字是5，3的对面数字是6，2的对面的数字是4，即， ∴； 故答案为7． 6. 如图，王源家的住房平面图呈长方形，被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形．若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为________． 【答案】①② 【解析】 【分析】首先设图形①的长和宽分别是a、c，图形②的边长是b，图形③的边长是d，原来大长方形的周长是l，判断出l=2（a+2b+c），a=b+d，b=c+d；然后分别判断出图形①、图形②的周长都等于原来大长方形的周长的，所以它们的周长不用测量就能知道，而图形③的周长不用测量无法知道，据此解答即可． 【详解】解：如图， ， 设图形①的长和宽分别是a、c，图形②的边长是b，图形③的边长是d，原来大长方形的周长是l， 则l=2（a+2b+c）， 根据图示，可得 （1）-（2），可得：a-b=b-c， ∴2b=a+c， ∴l=2（a+2b+c）=2×2（a+c）=4（a+c），或l=2（a+2b+c）=2×4b=8b， ∴2（a+c）=，4b=， ∵图形①的周长是2（a+c），图形②的周长是4b，的值一定， ∴图形①②的周长是定值，不用测量就能知道，图形③的周长不用测量无法知道． ∴分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为①②． 故答案为：①②． 【点睛】此题主要考查了中心对称的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分． 7. 如图，设，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】分别把甲乙两图中的阴影部分的面积表示出来，代入求值，再讨论即可求解． 【详解】解：甲图阴影部分的面积为：a2−b2， 乙图阴影部分的面积为：a2−ab， 则 ， ， ∴， ∴1<k<2， 故答案为：1<k<2． 【点睛】本题主要考查了列代数式，分式的化简，不等式的性质，解答的关键是表示出甲乙两图中的阴影部分的面积及熟悉分式的运算． 8. 母亲节到了，小红，小莉，小莹到花店买花送给自己的母亲．小红买了3枝玫瑰，7枝康乃馨，1枝百合花，付了14元；小莉买了4枝玫瑰，10枝康乃馨，1枝百合花，付了16元；小莹买上面三种花各3枝，则她应付_________元． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查了三元一次方程组在实际中的运用．如果设玫瑰、康乃馨、百合花的单价分别为x元，y元，z元，题中有两个等量关系：3枝玫瑰的价格枝康乃馨的价格枝百合花的价格元；4枝玫瑰的价格枝康乃馨的价格枝百合花的价格元，据此列出两个方程，得到三元一次方程组．在这个方程组中，把y看作常数，用含y的代数式分别表示x和z，再代入，即可求出结果． 【详解】解：设玫瑰、康乃馨、百合花的单价分别为x元，y元，z元， 根据已知条件，列出方程组 ， ②①，得③， 将③代入①，得④， ∴， ∴． 所以，小莹应付30元． 故答案为：30． 9. 已知方程组有非负整数解，则正整数m的值有______个． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组和非负整数解的应用．熟练掌握解二元一次方程组的方法和非负整数解的应用是解题的关键． 首先解含参方程组，得到，的表达式，再根据，是非负整数找出正整数的所有可能取值即可． 【详解】解：解方程组 得， ∵方程组的解是非负整数 ∴ 即， ∵方程组的解是非负整数，且为正整数， ∴和为非负整数， 由为非负整数可知，为8的正约数， ∵为正整数， ∴， ∴可取2，4，8， 解得可取1，3，7， 当时，，符合题意；当时，，符合题意；当时，，不符合题意； 综上，正整数的值有1和3，共2个 故答案为：2． 10. 如图，中，，，．，，都是等边三角形，则四边形的面积为_________． 【答案】24 【解析】 【分析】先证出，，根据全等三角形的性质可得，，则可得四边形是平行四边形，再过点作于点，利用含30度角的直角三角形的性质可得的长，最后利用平行四边形的面积公式求解即可得． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， ∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∵，都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 如图，过点作于点， ∴， ∴四边形的面积为， 故答案为：24． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、平行四边形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理的逆定理等知识，正确找出全等三角形是解题关键． 11. 的两条高、所在的直线交于点H，且，则___________度 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定性质等知识，利用数形结合的思想解决问题是解题关键．分两种情况讨论：当是锐角三角形时和当是钝角三角形时，证明，再结合等边对等角的性质，即可求出的度数． 【详解】解：如图，当是锐角三角形时， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 如图，当是钝角三角形时， 同理可得， ， ， ， 综上可知，的度数为或， 故答案为：或． 12. 如图，在中，已知和分别是两边上的中线，并且，，，那么的面积等于______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，三角形中线的性质，平行四边形的判定及性质，根据题意作出辅助线，构造出平行四边形是解答此题的关键． 连接，过点作，交的延长线于点．根据中位线的性质，，，从而得到四边形是平行四边形，求得，进而求得，由可得到，最后根据三角形中线的性质即可得出的面积． 【详解】解：连接，过点作，交的延长线于点． ∵和分别是两边上的中线 ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴ 故答案为：16 13. 如图，在矩形中，已知，，P是边上任意一点，，，E，F分别是垂足，那么_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查矩形的性质，勾股定理，三角形面积问题，过A作于G，列式表示，，由此推出，勾股定理求出，根据面积相等求出答案． 【详解】如图，过A作于G，如图所示： 则，， ∵， ∴， ∵，， ∴ ， ∴ ， ∴． 故答案是：． 14. 如图，P为△ABC边BC上的一点，且PC＝2PB，已知∠ABC＝45°，∠APC＝60°，则∠ACB的度数是 _____°． 【答案】75 【解析】 【分析】过C作AP的垂线CD，垂足为点D．连接BD，根据三角形内角和定理求出∠DCP＝30°，求证PB＝PD；再根据三角形外角性质求证BD＝AD，再利用△BPD是等腰三角形，然后可得AD＝DC，∠ACD＝45°从而求出∠ACB的度数． 【详解】解：过C作AP的垂线CD，垂足为点D．连接BD， ∵△PCD中，∠CDP＝90°，∠APC＝60°， ∴∠DCP＝90°－∠APC＝30°， ∴PC＝2PD， ∵PC＝2PB， ∴BP＝PD， ∴△BPD是等腰三角形， ∴∠BDP＝∠DBP， ∵∠BDP＋∠DBP＝∠APC＝60°， ∴∠BDP＝∠DBP＝30°， ∵∠ABP＝45°， ∴∠ABD＝∠ABP－∠DBP＝15°， ∵∠BAP＝∠APC﹣∠ABC＝60°﹣45°＝15°， ∴∠ABD＝∠BAD＝15°， ∴BD＝AD， ∵∠DBP＝30°，∠DCP＝30°， ∴BD＝DC， ∴△BDC是等腰三角形， ∵BD＝AD， ∴AD＝DC， ∵∠CDA＝90°， ∴△ADC是等腰直角三角形， ∴∠ACD＝45°， ∴∠ACB＝∠DCP+∠ACD＝75°， 故答案为：75． 【点睛】此题主要考查三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点，添加适当的辅助线是解解决此题的关键． 15. 如图，已知，一条光线从点出发后射向边．若光线与边垂直，则光线沿原路返回到点，此时．当时，光线射到边上的点后，经反射到线段上的点，易知若，光线又会沿原路返回到点，此时______ °．若光线从点出发后，经若干次反射能沿原路返回到点，则锐角的最小值______ °． 【答案】 ①. 76 ②. 6 【解析】 【分析】根据入射角等于反射角得出，再由是的外角即可得度数；如图，当时，光线沿原路返回，分别根据入射角等于反射角和外角性质求出、的度数，从而得出与具有相同位置的角的度数变化规律，即可解决问题． 【详解】解：，， ， ， 如图： 当时，光线沿原路返回， ， ， ， ， 由以上规律可知，， 当时，取得最小值，最小度数为， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查直角三角形的性质和三角形的外角性质及入射角等于反射角，根据三角形的外角性质及入射角等于反射角得出与具有相同位置的角的度数变化规律是解题的关键． 16. 已知过点的直线（）不经过第一象限，设，则s的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的性质，根据图象在坐标平面内的位置关系确定m的取值范围，从而求解． 【详解】解：把，代入中，可得：， 因为过点的直线（）不经过第一象限； 所以可得：，； ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． 故答案为：． 二、解答题（本题共6小题，共70分） 17. 观察下列各式：①，②；③，… （1）请观察规律，并写出第④个等式：______； （2）请用含的式子写出你猜想的规律：______； （3）请证明（2）中的结论． 【答案】（1） （2） （3） 证明：∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查二次根式有关的规律题，根据题意列递推等式，最终找出规律是解题关键． （1）观察等式左右两边的式子结构，即可得出答案． （2）观察等式左右两边的式子结构，即可得出第的式子． （3）将化成，再进行完全平方公式因式分解，并开方即可． 【小问1详解】 解：根据规律，第④个等式为：． 【小问2详解】 解：根据规律，第的式子为：． 【小问3详解】 略 18. （1）已知，，求的值． （2）关于x的方程有三个整数解，求a的值． 【答案】（1）；（2）1 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，含绝对值的一元一次方程． （1）原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，根据已知得，，将所求式子通分后，代入，再变形，再整体代入计算即可求出值； （2）设，画出函数图象，结合函数图象求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴，， ∴原式 ； （2）当时，或， 令， ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴的函数图象如下所示： 由图可得，当时，交点横坐标为整数的只有， ∴关于x的方程有三个整数解时，． 19. 如图，在中，，于D，设，，，．求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：∵的面积为：或， ∴，，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 都大于0， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，完全平方公式的应用． （1）先由三角形的面积得，则，再由勾股定理得，则，，，进而可得结论； （2）利用勾股定理和完全平方公式，证明即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 端午将至，某超市经销某品牌的两种包装的粽子，进价与售价如下表： 价格 类别 礼盒装 独享装 进价（元/袋） m﹢40 m 售价（元/袋） 78 10 已知购进80袋礼盒装的总价与购进480袋独享装的总价相同 （1）求礼盒装和独享装每袋的进价． （2）若超市用6000元购进了两种包装的粽子，其中独享装的数量不小于盒装的4倍，在两种包装的粽子全部售完的情况下，设两种包装的粽子的总利润为W，求W的最大值． （3）因礼盒装市场反应良好，超市第二次购进的礼盒装与独享装的数量比为1：3，为回馈消费者，超市计划将礼盒装每袋售价降低a元（a为正整数），但礼盒装每袋的利润率需高于独享装每袋的利润率，已知第二次两种包装的粽子全部售完后获得的总利润为3888元，求a的值（利润率＝利润÷成本×100%） 【答案】（1）礼盒装的进价为48元/袋，独享装的进价为8元/袋；（2）2850元；（3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意可直接列出一元一次方程求解得出m的值，从而得出结论； （2）可设购进独享装数量为，则购进礼盒装的数量为，然后根据题意列出关于的一次函数表达式，利用一次函数的性质进行求解即可； （3）设超市第二次购进礼盒装与独享装的数量为和，根据题意，列出一元一次不等式以及二元一次方程，然后结合不等式的范围进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）由题意，， 解得：， ∴， ∴礼盒装的进价为48元/袋，独享装的进价为8元/袋； （2）设购进独享装数量为，则购进礼盒装的数量为，其中为正整数， 由题意，， 整理得：（）， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，此时，（元）； （3）设超市第二次购进礼盒装与独享装的数量为和， 由题意，， 整理得：， ∵和均为正整数， ∴当时，， 当时，， ∴或． 【点睛】本题考查一次函数，二元一次方程以及一元一次不等式等的实际应用，理解题意，准确建立一次函数、不等式或方程进行求解是解题关键． 21. 如图，直线分别交 x 轴、 y 轴于A，B两点，直线分别交 x 轴、 y 轴于 C，D，交 于点 E． （1）直接写出点 A，B，D 的坐标； （2）如图 1，若∠BED=45°，求点 C 的坐标； （3）如图 2，在（2）的条件下，过点 P（ m ， m ）作平行于 x 轴的直线交 于 M，作平行于 y 轴的直线交于 N，若 PM≥2PN，求 m 的取值范围． 【答案】（1）A(-2 ，0)，B(0，4)，D(0，2)；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）根据，的解析式求解即可； （2）解法一：过点 D 作 DF⊥DE 交 AB 于 F，分别过点 E，F 作 y 轴的垂线，垂足分别为 M，N，易证△DEM≌△FDB，计算即可；解法二：过点 B 作 BF⊥AB，过点 A 作 AF∥CD，交 BF 于 F，易求得 F（4，2），由 A（-2，0），然后计算即可； （3）由 P（ m ， m ），，，，再根据条件分类讨论； 【详解】（1）∵直线分别交 x 轴、 y 轴于A，B两点， ∴A（ -2 ，0），B（0，4）， 又∵直线分别交 x 轴、 y 轴于 C，D， ∴D（0，2）； ∴A（ -2 ，0），B（0，4），D（0，2）； （2）解法一： 过点 D 作 DF⊥DE 交 AB 于 F， 分别过点 E，F 作 y 轴的垂线，垂足分别为 M，N， 易证△DEM≌△FDB 设 E（ a ， 2a +4 ），易得 F（ 2 a+2 ， 2- a ） 把 F（ 2 +2 a ， 2 -a ）代入得， 解得： 解法二： 过点 B 作 BF⊥AB，过点 A 作 AF∥CD，交 BF 于 F， 易求得 F（4，2），由 A（-2，0） ， （3）由 P（ m ， m ）， ， ∵PM≥2PN，点 P 在第一象限时 ①，解得 ②，解得； 点 P 在第三象限时， ③，解得（不符合题意，舍去） 综上所述，符合条件的 m 的取值范围是； 【点睛】本题主要考查了一次函数综合，准确计算是解题的关键． 22. 在正方形中，点是边上任意一点，连接过点作于，交于. 如图1，过点作于.求证:； 如图2，点为的中点，连接，试判断存在什么数量关系并说明理由； 如图3，，连接，点为的中点，在点从点运动到点的过程中，点随之运动，请直接写出点运动的路径长. 【答案】 （1）证明：如图1中， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠BAD=90°， ∵DG⊥AE，AE⊥BH， ∴∠AFB=∠DGH=90°， ∴∠FAB+∠DAG=90°，∠DAG+∠ADG=90°， ∴∠BAF=∠ADG， ∴△AFB≌△DGA（AAS）， ∴AF=DG，BF=AG， ∴BF-DG=AG-AF=FG． （2）结论：FH+FE=DF． 理由：如图2中，过点D作DK⊥AE于K，DJ⊥BF交BF的延长线于J， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD=∠ADE=90°，AB=AD， ∵AE⊥BH， ∴∠AFB=90°， ∴∠DAE+∠EAB=90°，∠EAB+∠ABH=90°， ∴∠DAE=∠ABH， ∴△ABH≌△DAE（ASA）， ∴AH=AE， ∵DE=EC=CD，CD=AD， ∴AH=DH， ∴DE=DH， ∵DJ⊥BJ，DK⊥AE， ∴∠J=∠DKE=∠KFJ=90°， ∴四边形DKFJ是矩形， ∴∠JDK=∠ADC=90°， ∴∠JDH=∠KDE， ∵∠J=∠DKE=90°， ∴△DJH≌△DKE（AAS）， ∴DJ=DK，JH=EK， ∴四边形DKFJ是正方形， ∴FK=FJ=DK=DJ， ∴DF=FJ， ∴FH+FE=FJ-HJ+FK+KE=2FJ=DF； （3） 【解析】 【分析】（1）如图1中，证明△AFB≌△DGA（AAS）可得结论． （2）结论：FH+FE=DF．如图2中，过点D作DK⊥AE于K，DJ⊥BF交BF的延长线于J，证明四边形DKFJ是正方形，可得结论． （3）如图3中，取AD的中点J，连接PJ，延长JP交CD于R，过点P作PT⊥CD于T，PK⊥AD于K．设PT=b．证明△KPJ是等腰直角三角形，推出点P在线段JR上运动，求出JR即可解决问题． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）如图3中，取AD的中点J，连接PJ，延长JP交CD于R，过点P作PT⊥CD于T，PK⊥AD于K．设PT=b． ∵△ABH≌△DAE， ∴AH=DE， ∵∠EDH=90°，HP=PE， ∴PD=PH=PE， ∵PK⊥DH，PT⊥DE， ∴∠PKD=∠KDT=∠PTD=90°， ∴四边形PTDK是矩形， ∴PT=DK=b，PK=DT， ∵PH=PD=PE，PK⊥DH，PT⊥DE， ∴DH=2DK=2b，DE=2DT， ∴AH=DE=1-2b， ∴PK=DE=-b， JK=DJ-DK=-b， ∴PK=KJ， ∵∠PKJ=90°， ∴∠KJP=45°， ∴点P在线段JR上运动， ∵JR=DJ=， ∴点P的运动轨迹的长为． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，轨迹等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $