13.2.2三角形的中线、角平分线、高线 教学设计 2025-2026学年人教版数学八年级上册

13.2.2三角形的中线、角平分线、高线 教学设计 一、内容与内容解析 （一）教学内容 本节课是人教版初中数学八年级（上册）第十三章“三角形”的第二节。内容包括：三角形的中线（定义、画法、性质：中线分三角形为面积相等的两部分）；三角形的角平分线（定义、画法、性质：角平分线平分三角形的一个内角）；三角形的高线（定义、画法，不同类型三角形高线的位置：锐角三角形三条高线在内部，直角三角形两条高线与直角边重合，钝角三角形两条高线在外部）；三种线段的共性（都是线段，端点分别为三角形顶点和对边或对边延长线的点）与区别。 （二）教学内容解析 地位与作用：本节是三角形基本性质的核心内容，是在“三角形概念”“三边关系”基础上，对三角形“内部特殊线段”的系统研究。三种线段不仅是后续学习三角形全等、相似、面积计算、四边形性质的重要工具（如利用中线求面积、利用角平分线证角相等），也是培养学生几何作图能力和空间想象能力的关键载体，是几何图形“从整体到局部”研究思路的典型体现。 核心要点：重点是三种线段的定义、规范画法及基本性质；难点是钝角三角形两条高线的画法（需延长对边），以及三种线段的性质应用（如中线分面积相等、高线与三角形类型的关联）。 基于以上分析，确定本节课的教学重点为： 【教学重点】会用工具准确画出三角形的中线、角平分线与高. 二、目标与目标解析 （一）教学目标 1、理解三角形中线、角平分线、高线的定义；能规范画出任意三角形的三种线段（含钝角三角形的高线）；掌握三种线段的基本性质，并能解决简单的几何问题（如利用中线求面积、利用角平分线求角的度数）。 2、通过“定义理解—动手作图—观察归纳—性质应用”的过程，培养几何作图能力、空间想象能力，体会“分类讨论”（按三角形类型分析高线位置）和“数形结合”的数学思想。 3、感受几何图形中“特殊线段”的严谨性与实用性，激发对几何细节的探究兴趣，培养规范作图、细致观察的学习习惯。 （二）教学目标解析 1、能准确说出三种线段的定义：如“三角形的中线是连接顶点和对边中点的线段”，明确“对边中点”“顶点”是中线的两个端点；能区分“三角形的角平分线”与“角的平分线”（前者是线段，后者是射线）。 2、能独立完成作图：用直尺和圆规（或刻度尺、量角器）画出锐角、直角、钝角三角形的中线、角平分线、高线，尤其能正确画出钝角三角形中夹钝角两边上的高线（延长对边后再作垂线）。 三、学生学情分析 已掌握三角形的定义、基本要素（边、顶点、角），能识别不同类型的三角形（锐角、直角、钝角三角形）。 具备基本的作图能力：会用直尺画线段、用圆规画弧、用量角器量角，知道“中点”“角平分线”“垂线”的基本概念（如线段中点分线段为相等两部分、角平分线平分角）。 对“线段”“射线”“直线”的区别有一定认知，能初步判断几何图形的类型。 存在困难 概念混淆：易将“三角形的角平分线”与“角的平分线”（前者是线段，后者是射线）、“三角形的高线作图难点：画钝角三角形的高线时，难以理解“需延长对边”的操作，容易直接在三角形内部作垂线，导致作图错误；画中线时，难以准确找到对边的中点（尤其非整数长度的边）。 性质应用：对“中线分三角形为面积相等的两部分”的性质，难以理解“等底等高的两个三角形面积相等”的原理；对三种线段的共性与区别梳理不清，应用时易混淆。基于上述分析，确定本节课的教学难点为： 【教学难点】不同的三角形三条高的位置关系. 四、教学策略分析 1、对比辨析法：通过表格或图形对比“三角形的角平分线”与“角的平分线”、“三角形的高线”与“垂线”的区别（如展示角的平分线（射线）和三角形的角平分线（线段）的图形，标注端点），明确概念边界。 2、 直观演示法：用多媒体动画或实物模型演示钝角三角形高线的画法：先延长钝角的对边，再从顶点向延长线作垂线，标注垂足和高线（线段），拆解“延长—作垂线—取线段”的步骤，帮助学生理解操作逻辑。 3、 动手操作法：组织学生用直尺、圆规、量角器分组作图，先画锐角三角形的三种线段，再画直角、钝角三角形的，通过“先易后难”的实践，掌握作图技巧；用剪刀剪出三角形，沿中线剪开，对比两部分面积，直观感知“中线分面积相等”的性质。 4、 归纳总结法：在学生完成不同三角形的作图后，引导总结三种线段的位置规律（如锐角三角形三条线段都在内部，直角三角形高线有两条与直角边重合，钝角三角形高线有两条在外部），用表格梳理三种线段的定义、端点、性质、画法，强化共性与区别。 五、教学过程分析 （一）复习引入 回顾旧知：1. 什么是三角形？按角可分为哪几类？2. 什么是线段的中点？什么是角的平分线？如何画一条直线的垂线？ • 引出问题：“在三角形中，连接顶点和对边中点的线段叫什么？平分三角形内角且端点在对边上的线段叫什么？从顶点向对边作垂线，顶点和垂足间的线段叫什么？”引发学生思考，导入“三角形的中线、角平分线、高线”主题。 设计意图：通过复习旧知，激活学生已有的知识储备，降低新知识的学习难度。 （二）主动参与、感悟新知 探究一：三角形三边的中线 问题：你能将三角形蛋糕二等份吗？（引出三角形中线） 1．三角形中线的定义： 三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点与它对边的中点的线段，叫做这个三角形的中线． 几何语言： ∵ AD是△ABC的中线 ∴BD=CD=BC 2．做一做： 你能画出三角形的所有中线吗？观察你们所作的图形，你又有哪些发现？与同伴交流． 3.什么叫三角形的重心？实验操作寻找均匀木板的平衡点。 三角形三条中线的交点叫三角形的重心。 探究二：三角形三边的角平分线 1.画△ABC的∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫作△ABC的角平分线. 三角形的三条角平分线相交于一点.三角形三条角平分线的交点叫作三角形的内心. 探究三：三角形三边的高线 从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的高线．三角形的高线简称三角形的高. 三角形的三条高线相交于一点.三角形三条高线的交点叫作三角形的垂心. 探究 分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，你有什么发现？ 锐角三角形的三条高都在三角形的内部. 直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边. 钝角三角形有两条高在三角形的外部，两个垂足落在边的延长线上. 【例1】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为13cm.求AC的长. 【解析】根据中线的定义知CD＝BD.结合三角形周长公式知AC－AB＝5cm. 又∵AC＋AB＝13cm， ∴易求AC的长. 【解】∵AD是BC边上的中线， ∴D为BC的中点， ∴CD＝BD. ∵△ADC的周长－△ABD的周长＝5cm， ∴AC－AB＝5cm. 又∵AB＋AC＝13cm， ∴AC＝9cm. 【例2】如图，CD平分∠ACB，DE∥BC，∠AED＝80°.求∠ECD的度数. 【解析】由平行线的性质可求得∠ACB的度数，再由角平分线的定义可求得∠ECD的度数. 【解】∵DE∥BC， ∴∠ACB＝∠AED＝80°. ∵CD平分∠ACB， ∴∠ECD＝∠ACB＝40°. 【例3】如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，AD，BE分别是边BC，AC上的高，且AD＝6.5，求BE的长. 【解析】根据三角形的面积公式得出BC·AD＝AC·BE，从而求出BE的长. 【解】∵AB＝AC＝8，BC＝6，AD＝6.5， S△ABC＝BC·AD＝AC·BE， ∴×6×6.5＝×8BE， ∴BE＝. （三）课堂总结 1、本节课研究了什么问题？ 2、本节课经历了怎样的研究过程？用到了哪些数学思想？ 3、对今后数学研究的启发？你还有哪些疑惑呢？ 【设计意图】梳理知识脉络，提炼核心方法，帮助学生形成系统的认知，同时加深对代数式价值的理解。 （四）布置作业、巩固提高 1．如图，在周长为20 cm的△ABC中，AD是边BC上的中线，已知CD＝4 cm，AC＝7 cm，则AB的长为（　 　） A．6 cm B．5 cm C．4 cm D．3 cm 2．如图，△ABC中，AD、AE分别为角平分线和高，∠B＝46°，∠C＝64°，则∠DAE＝ °　 ． 第1题图 第2题图 3．如图，在△ABC中，线段BE表示△ABC的边AC上的高的图是（　 　） A． B． C． D． 4．如图，CD、CE、CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（　 　） A．BA＝2BF B．∠ACE∠ACB C．AE＝BE D．CD⊥AB 5.如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高．填空： （1）BE= = BC ； （2）∠BAD= = ∠BAC ； （3）∠AFB= =90°. （4）若BC=8，AF=5，则S△ABC= ，S△ABE= . 6.已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4 cm2，则阴影部分的面积为 cm2． 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $