3.2 勾股定理的逆定理　课件　2025-2026学年苏科版数学八年级上册

四千多年前，古埃及人在建造金字塔时，他们在一根绳子上打上距离相等的结，然后把绳子分成12等份，再分别取3份、4份、5份的长度做边长，用木桩钉成三角形，他们认为其中一个角就是直角，你知道为什么吗？ 新课导入 22251 3.2 勾股定理的逆定理 22251 1.掌握勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形为直角三角形 2.认识勾股数，能判断一组数是否是勾股数，能运用勾股数解决简单的问题． 3.能初步解决简单的勾股定理及其逆定理的综合应用问题 学习目标 22251 逆命题：如果一个三角形的两边平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 勾股定理的内容是什么？它的逆命题是什么？ 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方． 如何判断真假？ 新课讲授 22251 逆命题：如果一个三角形的两边平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 条件 结论 分析：1. 这个命题的条件是什么？结论是什么？ 已知：在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c ，且a2＋b2＝c2． 求证：△ ABC是直角三角形． A b a C B c 新课讲授 22251 已知：在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c ，且a2＋b2＝c2． 求证：△ ABC是直角三角形． 有一个角是直角． 分析：2.直角三角形的判定方法有哪些？ 3. 如何构造一个已知是直角三角形的图形，这个图形的边长与已知三角形的边长有直接关系？ 构造辅助直角三角形与原三角形的边长对应相等． ∟ A′ b a C′ B′ A b a C B c 新课讲授 22251 已知：在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c ，且a2＋b2＝c2． 求证：△ ABC是直角三角形． A b a C B c 证明：作一个△A′B′C′，使∠C′＝90°， B′C′＝a， A′C′＝b． 根据勾股定理，得 A′B′ 2＝a2＋b2. ∟ A′ b a C′ B′ 因为 AB2＝a2＋b2，所以A′B′＝AB 根据“SSS”，可知△ABC ≌△A′ B′ C′ . 于是，∠C＝∠C′＝90°，△ABC是直角三角形． 新课讲授 22251 C A B a b c 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a、b、c，且a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形． 符号语言： 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长 分别为a，b，c，且a2＋b2＝c2． ∴△ABC为直角三角形，且∠C＝90°. 归纳 22251 例1 △ABC的三边长分别是a，b，c且a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1，n＞1．△ABC是直角三角形吗？证明你的结论． 最长边 证明：是直角三角形， ∵a2＋b2＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4－2n2＋1＋4n2＝n4＋2n2＋1． c2＝(n2＋1)2＝n4＋2n2＋1． ∴a2＋b2＝c2. ∴△ABC是直角三角形. 典例精析 22251 运用勾股定理的逆定理判断直角三角形的一般步骤： 找：确定三角形的最长边； 算：分别计算出最长边的平方与另两边的平方和； 比：通过比较来判断最长边的平方与另两边的平方和是否相等； 判：作出结论，若相等，则说明这个三角形是直角三角形，否则不是直角三角形. 归纳 22251 (1) a＝8，b＝15，c＝17；(2) a＝13，b＝14，c＝15． 下面以a，b，c为边长的三角形是不是直角三角形？若是，请指出哪个角是直角． 解：(1) 在△ABC中，∵a2＋b2＝82＋152＝64＋225＝289，c2＝172＝289， ∴ a2＋b2＝c2． ∴△ABC是直角三角形，∠C是直角． (2) 在△ABC中，∵a2＋b2＝132＋142＝365，c2＝152＝225， ∴ a2＋b2≠c2， ∴ △ABC不是直角三角形． 活学活用 22251 判断一个三角形是否是直角三角形的方法 用角判定： 1．两个锐角互余的三角形是直角三角形； 2．有一个角是90°的三角形是直角三角形． 用边判定： 如果已知条件与边有关，则可通过勾股定理的逆定理进行判断． 归纳 22251 你知道古埃及人构造的三角形为什么是直角三角形了吗？ 3份 4份 5份 如图，∵32＋42＝52， ∴这个三角形为直角三角形． 22251 如果三个正整数a，b，c满足关系a2＋b2＝c2，则称a，b，c为勾股数． 勾股数必须同时满足两个条件： 1．三个数都是正整数； 2．两个较小数的平方和等于最大数的平方． 归纳 22251 例2 已知：a，b，c为正整数，且a2＋b2＝c2． 求证：对于任意的正整数k，正整数ka，kb，kc构成勾股数． 证明：∵a2＋b2＝c2， ∴(ka)2＋(kb)2＝k2a2＋k2b2 ＝k2(a2＋b2) ＝k2c2＝(kc)2． ∵a，b，c，k为正整数， ∴ka，kb，kc为正整数. ∴ka，kb，kc构成勾股数. 勾股数的规律：一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数 典例精析 22251 12，16，20是勾股数吗？ 解：∵122＋162＝144＋256＝400，202＝400， ∴ 122＋162＝202． ∴ 12，16，20是勾股数． 24，32，40呢？ 活学活用 因为24，32，40是勾股数12，16，20扩大2倍，所以也是勾股数 22251 例3 如图，AD是△ABC的中线，AD＝24，AB＝26，BC＝20． 求AC的长． A B C D A B D 解：∵AD是△ABC的中线，BC＝20， ∴BD＝DC＝BC＝10． ∵AD＝24，AB＝26， ∴AD2＋BD2＝242＋102＝676， AB2＝262＝676． ∴AD2＋BD2＝AB2． ∴∠ADB＝90°(勾股定理的逆定理)． ∴AD垂直平分BC． ∴AC＝AB＝26 ． 典例精析 22251 活学活用 如图，AD⊥BC，垂足为D. 如果CD＝1，AD＝2，BD＝4，那么∠BAC是直角吗？请说明理由. C A B D ∟ 解：∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝∠ADB＝90°. ∴ 在Rt△ADC中，AC2=AD2＋DC2＝22＋12＝5. 在Rt△ADB中，AB2＝AD2＋BD2＝22＋42＝20. ∵AC2＋AB2＝20＋5＝25，BC2＝52＝25. ∴AC2＋AB2＝BC2. ∴△ABC直角三角形，∠BAC=90°. 1 2 4 22251 勾股定理的逆定理 内容 如果三角形的三边长分别为a、b、c，且a2＋b2＝c2， 那么这个三角形是直角三角形． 勾股数 如果三个正整数a，b，c满足关系a2＋b2＝c2， 则称a，b，c为勾股数． 应用 判定三角形是否为直角三角形． 勾股定理及其逆定理的综合应用． 课堂小结 22251 勾股定理与其逆定理的区别与联系 勾股定理 勾股定理的逆定理 图形 条件 结论 区别 联系 A b a C B ∟ 在Rt△ABC中，∠C＝90° a2＋b2＝c2 “直角三角形”为条件，数量关系a2＋b2＝c2为结论. 是直角三角形的性质. A b a C B c 都与直角三角形有关，都与三边数量关系a2 + b2 = c2有关 在△ABC中，a2＋b2＝c2 ∠C＝90° 数量关系a2＋b2＝c2为条件，“直角三角形”为结论. 是直角三角形的判定. 形 数 课堂小结 22251 1. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且(a＋b)(a－b)＝c2，则(　　) A.∠A为直角 B.∠B为直角 C.∠C为直角 D.△ABC不是直角三角形 A 当堂检测 22251 2.下列各组数是勾股数的是( ) A.6，8，10 B.7，8，9 C.0.3，0.4，0.5 D.52，122，132 A 当堂检测 22251 3.如果线段a，b，c能组成直角三角形，则它们的比可以是( ) A.3∶4∶7 B.5∶12∶13 C.1∶2∶4 D.1∶3∶5 B 当堂检测 22251 4.将直角三角形的三边长扩大同样的倍数，则得到的三角形 ( ) A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形 C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形 A 当堂检测 22251 $