2.2平方根与立方根(第1课时)课件2025--2026学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件围绕“算术平方根”这一核心概念展开，从情境引入中图形与数的对应关系出发，逐步引导学生抽象出正数平方与算术平方根的互逆关系，构建起从具体到抽象的知识支架，为后续理解平方根、立方根及实际应用奠定基础。 其亮点在于深度融合数学眼光、数学思维与数学语言三大核心素养，通过真实情境问题（如自由落体公式）激发学生用数学眼光观察现实，借助议一议和思考交流环节培养逻辑推理能力，以符号表达与性质归纳强化数学语言的严谨性。例如例2将物理情境转化为数学模型，体现跨学科应用意识，既提升学生解决问题的能力，又帮助教师高效落实课标要求，实现知识建构与素养发展的双目标。

第二章 实数 2.2 平方根与立方根(1) ---算术平方根 1 1.了解算术平方根的概念及性质，会用根号表示一个正数的算术 平方根。(重点) 2.会求一个非负数的算术平方根，并解决实际问题。(难点) 学习目标 2 x2 = ； y2 = ； z2 = ； w2 = 。 2 3 4 5 情境引入 (1)根据右图填空： (2)x,y,z,w中哪些是有理数？哪些是无理数？ (3)你能表示出x,y和w吗？ z是有理数；x,y,和w是无理数。 3 特别地：0的算术平方根是0，记作 = 0。 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2 = a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。记为“”，读作“根号a”。 算术平方根的定义： 学一学 如：121的算术平方根是11， 记为 = 11。 的算术平方根是 ，记为 = 。 0.64的算术平方根是0.8， 记为 = 0.8。 5的算术平方根记作 。 4 (2)因为12 = 1，所以1的算术平方根是1，即 = 1 ； 求下列各数的算术平方根： (1) 900； (2) 1； (3) ； (4) 14。 解: (1)因为302 = 900，所以900的算术平方根是30，即 = 30 ； (3)因为()2 = ，所以 的算术平方根是 ，即 = ； 例题学习 例1 (4)14的算术平方根是 。 5 随堂练习 1. 求下列各数的算术平方根： (1)36； (2) ； (3)17 ；(4)0.81； (5)10－4． (5)因为(10－2)2 = 10－4，所以10－4的算术平方根是10－2， 即 = 10－2。 (2)因为()2 = ，所以 的算术平方根是 ，即 = ； (3)17的算术平方根是 ； 解:(1)因为62 = 36，所以36的算术平方根是6，即 =6； (4)因为0.92 = 0.81,所以0.81的算术平方根是0.9，即 =0.9； 6 1.负数有算术平方根吗？ 算术平方根具有双重非负性。 (a≥0) 议一议 2.一个数的算术平方根可能是负数吗？ 由x2 = a可知，a是非负数。 所以 x = 成立的条件是a≥0,即负数没有算术平方根。 一个数的算术平方根不可能是负数，只能是正数或零。 总结如下：对于非负数x,若x2 = a,则x = 。 ①a是非负数； ②求出的算术平方根x，也就是必须是非负数。 x≥0 ≥0 x = 7 (1)在上面例1中，一些数的算术平方根的结果没有“”了，例如 = 30 ， = ，这些数900， 有什么特点? 思考·交流 这些数都是某个有理数的平方。 一般地，当a≥0 时， = a 成立。 (2)在上面例1中， = 30 ，也就是 = 30 。一般地，当a≥0 时， = a 成立吗? 当a＜0 时， = a 成立吗? 当a＜0 时， = a 不成立。例如 = 2 ，而－2≠2。 事实上 = |a| = a (a ＞ 0) 0 (a = 0) －a (a ＜ 0)。 (3)()2 = a成立吗？这里的a是什么数？你是怎么理解的？与同伴交流。 ()2 = a 成立，这里的 a ≥ 0。 思考·交流 的性质 当a≥0时， = a ,()2 = a ；当a＜0时， = －a。 习题2.2 3.求下列各式的值。 (5) ； (6) ；(7)()2； (8)(－)2。 (5) = 4； (6) = －(－4)= 4； (7)()2 = 0.8； (8)(－)2 = ()2 = 0.8。 (1) ； (2)； (3)； (4)－。 解：(1) = 7； (2) = ； (3) = 0.3； (4) － = －8； 解：将s = 19.6代入公式 s = 4.9t2， 得t2 = 4， 所以t = = 2。 由静止自由下落的物体下落的距离s(单位：m)与下落时间t(单位：s)的关系为 s = 4.9t2。有一铁球从19.6m高的建筑物上由静止自由下落，到达地面需要多长时间？ 例2 例题学习 因此，铁球到达地面需要2s。 11 随堂练习 2.在△ABC中，∠C = 90°，BC = 3, AC = 5,求 AB 的长。 A C B 解:在Rt△ABC中，由勾股定理得 AB2 = AC2＋BC2 = 32＋52 = 34。 ∴AB = 3.如图，从帐篷支撑杆AB的顶部A向地面拉一根绳子AC固定帐篷。若绳子 的长度为8m，地面固定点C到帐篷支撑杆底部B的距离是6.4m，则帐篷支 撑杆的高是多少？ 随堂练习 解:在Rt△ABC中，由勾股定理得 AC2 = AB2＋BC2 ， ∴AB2 = AC2－BC2 = 82－6.42 = 23.04。 ∴AB = = 4.8 m 。 答：帐篷支撑杆的高是4.8 m。 算术平方根的概念 算术平方根的双重非负性 2.正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0， 负数没有算术平方根。 算术平方根 1. 算术平方根的应用 课堂小结 算术平方根的性质 习题2.2 6.当c = 25 , b = 24时，求 的值。 解：当c = 25 , b = 24时， = = = 7。 习题2.2 16.在某次学校运动会上，324名学生排成一个n×n的方阵，每排有多 少名学生？ 解：由题意得 n2 = 324。 n = = 18 (名)。 所以每排有18名学生？ 习题2.2 24.一个正方形的面积变为原来的4倍，它的边长变为原来的多少倍？面积 变为原来的9倍，它的边长变为原来的多少倍？面积变为原来的100倍呢？ 面积变为原来的n倍呢？ 同理，当正方形的面积变为原来的9倍,它的边长变为原来的=3倍； 解：设原正方形边长为a,则面积为a2 。 当面积变为原来的4倍时，新正方形的面积为4a2 。 此时边长为 = 2a ,则边长是原来的2倍。 当正方形的面积变为原来的100倍，边长变为原来的 = 10倍； 当正方形的面积变为原来的n倍，边长变为原来的 倍。 作 业 教材37页习题2.2第1题 01 1.下列说法中,正确的是(　　)。 A．3是9的算术平方根； B．-2是4的算术平方根； C. (-2)2的算术平方根是-2 ； D．-9的算术平方根是3。 A 随堂检测 2. 的算术平方根是(　　)。 A．2 B．±2 C. D．± C 3. 若 ＋|2a－b＋1|＝0，则 (b－a)2 015的值为(　　)。 A．－1 B．1 C．52 015 D．－52 015 A 19 4.正数的算术平方根是一个 ，0 的算术平方根是 ( )， 负数没有算术平方根。算术平方根是它本身的数只有 。 正数 0 0和1 5. 的算术平方根的相反数和倒数分别是 ________。 6. 的算术平方根的是 ________。 7.已知x，y为有理数，且＋3(y＋2)2＝0，则 = 。 随堂检测 =0 － ，5 8. 求下列各数的算术平方根： (1) 2 ；(2)0.36； (3) 52；(4) (-5)2； (5) ；(6) 。 随堂检测 解:(1) = = ； (2) = 0.6； (3) = = 5； (4) = = 5； (5)∵ = 9， = 3， ∴ 的算术平方根是3。 (6)∵ = ， = 2， ∴的算术平方根是2。 21 9. 已知y ＝ ＋ ＋5，求2x＋y的算术平方根。 【解析】由于只有非负数才有算术平方根，因此本题中x－2≥0且2－x≥0。 求得x的值后从而可得y的值,进而问题得解。 解：由 的意义可知 a≥0 ， ∴x－2≥0 且 2－x≥0, ∴x≥2 且 x≤2, 即x = 2。 当x = 2时，y = 5时， 2x＋y = 2×2＋5 = 9， ∴ = = 3。 随堂检测 再 见 $