第二十五章 图形的相似（复习课件）数学冀教版九年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了图形的相似核心知识，涵盖比例线段、相似三角形判定与性质、相似多边形特征及位似图形等内容，通过清晰的知识框架图将概念、定理与应用有机串联，帮助学生建立从基本定义到综合运用的逻辑链条，强化知识点间的内在联系。 其亮点在于融合“数学眼光”“数学思维”“数学语言”三大核心素养，设计分层练习活动，如利用黄金分割实例引导学生观察现实中的数量关系，借助平行线分线段成比例定理解决实际测量问题，体现数形结合与模型观念。针对不同层次学生设置基础辨析、变式训练和综合探究题型，既夯实基础又提升能力，有效促进知识内化，助力教师精准施教，提升单元复习效率。

单元复习课件 第二十五章 图形的相似 冀教版·九年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.深入理解比例线段的概念，熟练掌握平行线分线段成比例定理及其推论，能准确运用定理分析、推导线段间的比例关系，为相似图形的学习筑牢基础。 3.透彻理解相似多边形的定义与性质，掌握图形位似的概念、性质及作图方法；能在实际场景（如测量物体高度、宽度，图形的缩放等）中，构建相似图形模型，运用相似知识解决问题，体会“数学建模”思想，提升知识应用与实践思维的灵活性。 2. 精准把握相似三角形的定义，熟练运用相似三角形的判定方法判定三角形相似；充分掌握相似三角形的性质，并能灵活运用这些知识求解线段长度、图形面积等问题。 单元学习目标 图形的相似 相似图形 比例线段 相似多边形 概念 定义 性质 角分别相等 边成比例 对应角相等 对应边成比例 概念 定理 比例线段 黄金分割 三角形中平行线分线段成比例 平行线分线段成比例 单元知识图谱 图形的相似 相似三角形性质 相似三角形判定 位似 概念 性质 位似图形上任意一点到位似中心的距离比等于相似比 位似图形的对应边互相平行或共线 两个图形相似，且对应顶点的连线交于一点 对应角相等，对应边成比例 对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比 周长比等于相似比 面积比等于相似比的平方 1.两角对应相等，两个三角形相似 2.两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似 3.三边对应成比例，两个三角形相似 位似图形一定相似，但相似图形不一定位似 单元知识图谱 考点一、相似图形及比例线段 （一）相似图形 在数学上，我们把形状相同的图形成为________________. 要点：(1)相似图形就是指____________，但________不一定相同的图形. (2)“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“_________”且“________”时，两个图形全等. 相似图形 形状相同 大小 形状相同 大小相同 考点串讲 考点一、相似图形及比例线段 （二）相似多边形 如果两个多边形的____________，__________________我们就说它们是相似多边形. 要点：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质。 （2）相似多边形对应边的比称为________。 对应角相等 对应边的比相等 相似比 考点串讲 考点一、相似图形及比例线段 （三）比例线段 对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b = c:d，我们就说这四条线段是_________________，简称________. 要点：（1）若a:b = c:d，则___________；（d也叫___________） （2）若a:b = b:c，则__________（b称为a、c的_________）. 成比例线段 比例线段 ad = bc 第四比例项 b²=ac 比例中项 考点串讲 考点一、相似图形及比例线段 （四）平行线分线段成比例 1．基本事实：_____________________________________________. 符号语言： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 直线l₁⫽l₂⫽l₃ 则 考点串讲 考点一、相似图形及比例线段 （四）平行线分线段成比例 2．推论：__________________________________________________ ______________ 符号语言： 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。 在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，且DE⫽BC， 则 考点串讲 考点二、黄金分割比 （一）黄金分割的定义 点C把线段AB分割成AC和CB两段，如果 ，那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的____________，AC与AB的比叫做___________。 注意：AC = ≈ 0.618AB（ 叫做黄金分割值）。 黄金分割点 黄金比 考点串讲 考点二、黄金分割比 （二）作一条线段的黄金分割点 注意：一条线段的黄金分割点有_____个. 如图，已知线段AB，按照如下方法作图： （1）经过点B作BD⊥AB，使BD = （2）连接AD，在DA上截取DE = DB。 （3）在AB上截取AC = AE。则点C为线段AB的黄金分割点。 两 考点串讲 考点三、相似三角形的定义 定义：____________________________________________________. 符号语言： 三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形 在△ABC和△A'B'C'中， 如果∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，∠C＝∠C' 那么△ABC∽△A'B'C' 考点串讲 考点四、相似三角形的判定 定理1：________________________________________________. 两角分别相等的两个三角形相似 ∠A＝∠A' ∠B＝∠B' △ABC∽△A'B'C' 两角分别相等 两三角形相似 考点串讲 考点四、相似三角形的判定 定理2：________________________________________________. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 ∠B＝∠B' △ABC∽△A'B'C' 两边成比例且夹角相等 两三角形相似 考点串讲 考点四、相似三角形的判定 定理3：________________________________________________. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 △ABC∽△A'B'C' 三边成比例 两三角形相似 考点串讲 考点五、相似三角形的性质 1．相似三角形的__________相等，_____________相等. 2.相似三角形中的重要线段的比等于__________； 相似三角形对应_____，对应__________，对应__________的比等于相似比. 3．相似三角形的周长比等于___________. 4．相似三角形的面积比等于________________. 对应角 对应边的比 相似比 高 中线 角平分线 相似比 相似比的平方 考点串讲 考点六、相似多边形的性质 1．相似多边形的__________相等，_____________相等. 2．相似多边形的周长比等于___________. 3．相似多边形形的面积比等于________________. 对应角 对应边的比 相似比 相似比的平方 考点串讲 考点七、图形的位似 1．位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做__________，这个点叫做_________. 2．位似图形的性质：(1)位似图形的________和________在同一条直线上；（2）位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于_______；（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段_______. 位似图形 位似中心 对应点 位似中心 相似比 平行 考点串讲 题型一、成比例线段、比例的基本性质 例1：下列四组长度的线段中，是成比例线段的是 ( ) A. 4cm，5cm，6cm，7cm B. 3cm，4cm，5cm，8cm C. 3cm，5cm，9cm，15cm D. 1cm，3cm，4cm，8cm C 解：选项A，计算 = 0.8， ≈0.857，0.8≠0.857，不成比例；选项B， = 0.75， =0.625，0.75≠0.625，不成比例；选项C， = 0.6， =0.6，0.6 = 0.6，成比例；选项D， ， =0.5，0.333≠0.5，不成比例。故选C。 题型剖析 一抓定义：明确成比例线段是指四条线段中，两条线段的比等于另外两条线段的比；比例的基本性质为若a:b = c:d，则ad = bc，若a:b = b:c，则b²=ac（b为a、c的比例中项）。 二记特性：成比例线段的比例关系，不会因线段长度的缩放（同倍变化）而改变；比例的基本性质是比例式与等积式相互转化的依据，是解决比例相关问题的关键工具。 题型一、成比例线段、比例的基本性质 题型剖析 变式：下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ） A. a = 1，b = 2，c = 3，d = 4 B. a = 1，b = √2，c = √3，d = √6 C. a = 5，b = 6，c = 7，d = 8 D. a = 4，b = 6，c = 6，d = 8 B 题型一、成比例线段、比例的基本性质 解：对于选项A， ， ，0.5≠0.75，不成比例；对于选项B， ， ，两者相等，成比例；对于选项C， ≈0.833， =0.875，0.833≠0.875，不成比例；对于选项D， ≈0.667， =0.75，0.667≠0.75，不成比例。故选：B。 题型剖析 题型二、黄金分割 例2：如图，点P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，若AB=2，则PA的长度是（ ） A. √5 - 1 B. 3 - √5 C. 2√5 - 4 D. 1 A 分析：本题考查黄金分割点的定义。 黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为 已知点P是线段AB的黄金分割点，且PA > PB，根据黄金分割的定义，PA= AB。因为AB = 2，所以PA= 故选A。 题型剖析 遇线段成比例先看“比例式”，四条线段排整齐；比例性质要记牢，等积式与比例式互化妙；实际问题找相似，对应边比要对齐，黄金分割特殊比， 记心里，成比例线段轻松解。 题型二、黄金分割 题型剖析 变式：已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＜BP，AB=16，则AP=_______. 解：因为点P是线段AB的黄金分割点，且AP < BP，根据黄金分割的定义，BP= AB。 已知AB = 16，则BP= = 又因为AP = AB - BP，所以AP = 16-( )=24 - 题型剖析 题型三、平行分线段成比例 例3：如图，DE⫽BC，AD：DB＝2：3，EC＝6，则AE的长是( ) A.3 B.4 C.6 D.10 B 解：因为 DE⫽BC， 根据平行线分线段成比例定理，有 已知AD:DB = 2:3，EC = 6，代入得 由比例性质，3AE = 2×6，解得AE = 4 故选B. 题型剖析 1.明确定理内容——两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 2.掌握核心思路——识别平行线组，找准被截直线与对应线段，利用比例关系求解线段长度。 题型三、平行分线段成比例 题型剖析 变式：如图，已知 AB ∥ CD，AO = 2，BO = 3，CO = 6，那么 DO＝( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 B 题型三、平行分线段成比例 解：因为 AB⫽CD，根据平行线分线段成比例定理，有 已知 AO = 2，BO = 3，CO = 6，代入得 交叉相乘得 3DO = 2×6，解得 DO = 4。 故选B 。 题型剖析 题型四、相似多边形 例4：如图，下列说法中正确的是（ ） A. 各角分别相等的两个多边形一定是相似多边形 B. 各边成比例的两个多边形是相似多边形 C. 边数相同的两个多边形是相似多边形 D. 边数相同、各角分别相等、各边成比例的两个多边形是相似多边形 D 题型剖析 分析：选项A：各角分别相等的两个多边形，边数不一定成比例，比如矩形和正方形，各角都是90°，但边不一定成比例，所以不一定是相似多边形，A错误。 选项B：各边成比例的两个多边形，角不一定分别相等，比如菱形，边成比例，但角不一定相等，所以不一定是相似多边形，B错误。 选项C：边数相同的两个多边形，角不一定分别相等，边也不一定成比例，所以不一定是相似多边形，C错误。 选项D：根据相似多边形的定义，边数相同、各角分别相等、各边成比例的两个多边形是相似多边形，D正确。 题型四、相似多边形 题型剖析 1.明确相似多边形定义——边数相同、各角分别相等、各边成比例的两个多边形。 2.掌握核心思路——判断两个多边形是否相似，需同时验证边数相同、对应角相等、对应边成比例（或利用特殊图形的相似判定，如三角形相似的传递性等实现多边形相似的推导）。 题型四、相似多边形 题型剖析 变式：下列说法中，错误的是（ ） A. 全等图形一定是相似图形 B. 两面大小不等的标准国旗一定相似 C. 两个等腰直角三角形一定相似 D. 两个直角三角形一定相似 题型四、相似多边形 D 题型剖析 分析：选项A：全等图形是特殊的相似图形，相似比为1，所以全等图形一定是相似图形，A正确。 选项B：两面大小不等的标准国旗，形状相同，所以一定相似，B正确。 选项C：等腰直角三角形的三个角分别是90°，45°，45°，所以两个等腰直角三角形的对应角相等，对应边成比例，一定相似，C正确。 选项D：两个直角三角形，只有一个直角相等，其他的角不一定相等，边也不一定成比例，比如一个直角三角形的三个角是90°，30°，60°，另一个直角三角形的三个角是90°，45°，45°，它们不相似，所以两个直角三角形不一定相似，D错误。 题型四、相似多边形 题型剖析 题型五、相似三角形的判定 例5：如图,如图，下列条件中，不能判定 △ACD ∽ △ABC 的是（ ） A. ∠ADC = ∠ACB B. ∠B = ∠ACD C. D. 分析：选项A：∠A为公共角，∠ADC = ∠ACB，两角分别相等，可判△ACD∽△ABC。 选项B：∠ A为公共角，∠ B = ∠ACD，两角分别相等，可判定△ ACD∽△ABC。 选项C： ，但夹角不是公共角∠ A，不满足相似判定条件，不能判定。 选项D： ，∠A为公共角，两边成比例且夹角相等，可判定△ACD∽△ABC。 C 题型剖析 1.明确相似三角形判定定理——如两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似。 2.掌握核心思路——根据已知条件，匹配相应判定定理，通过找相等的角、成比例的边，结合公共角、对顶角等角的关系，或利用平行线、角平分线等条件推导角相等、边成比例，进而判定三角形相似。 题型五、相似三角形的判定 题型剖析 变式：如△ABC 和 △A'B'C' 符合下列条件，其中使 △ABC 与 △A'B'C' 不相似的是（ ） A. ∠A = ∠A' = 45°，∠B = 26°，∠B' = 109° B. AB = 1，AC = 1.5，BC = 2，A'B' = 12，A'C' = 8，B'C' = 16 C. ∠A = ∠B'，AB = 1.5，AC = ，A'B' = ，B'C' = 2.1 D.BC=a，AC＝b，AB＝c，B'C'＝ ，A'C'＝ ，A'B'＝ . 题型五、相似三角形的判定 D 题型剖析 解析：选项A：先求出△ABC中∠C = 109°，△A'B'C'中∠C =26°，可得∠A= ∠A'，∠B=∠C'，∠C =∠B'，两角分别相等，三角形相似。 选项B：计算三边比例， ，三边成比例，三角形相似。 •选项C：∠A=∠B'， 且两边成比例且夹角相等，三角形相似。 •选项D：三边比例为 ，一般“a、b、c不相等，三边不成比例，三角形不相似。 题型五、相似三角形的判定 题型剖析 题型六、相似三角形的性质 例6：如果两个相似三角形对应角平分线的比是 ，那么它们对应高的比是______． 分析：因已知两个相似三角形对应角平分线的比是 ，则它们的相似比为 ，因此对应高的比也等于相似比，即 题型剖析 1.明确定理内容——相似三角形的对应角相等，对应边成比例；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。 2.掌握核心思路——先确定相似三角形，明确相似比，再根据具体需求，结合对应角、对应边，以及对应高、中线、角平分线、周长、面积与相似比的关系，求解相关量。 题型六、相似三角形的性质 题型剖析 变式：如图，如图，在△ABC中，DE⫽BC，AD = 3，DB = 6，则△ADE∽△ABC的面积之比为______． 题型六、相似三角形的性质 解：由因为DE⫽BC， 所以△ADE∽△ABC。 AD = 3，DB = 6，则AB = 3 + 6 = 9，相似比为 根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得面积之比为 题型剖析 例7：如图，△ABC 中，D 为 AB 上一点，∠ADC = ∠ACB，AD = 6，BD = 3，则 AC = ______. 分析：因为∠A为公共角、∠ADC = ∠ACB，得△ADC∽△ACB，对应边成比例 已知AD = 6，BD = 3，则AB = 6 + 3 = 9， 代入得 解得AC = 题型七、相似三角形的判定与性质 题型剖析 1.明确定理内容——判定：两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例的两个三角形相似；性质：相似三角形对应角相等、对应边成比例，对应高、中线、角平分线的比，周长比都等于相似比，面积比等于相似比的平方。 2.掌握核心思路——判定时，结合已知条件，寻找相等的角或成比例的边，匹配判定定理；性质应用时，先确定相似三角形及相似比，再根据对应角、边，或高、中线、周长、面积与相似比的关系，求解相关量。 题型七、相似三角形的判定与性质 题型剖析 变式：如图，已知 ∠A = ∠D，AC = 1.5，CE = 1，BC = 0.8，则 = ______。 题型七、相似三角形的判定与性质 解：由∠A =∠D、∠ACB =∠DCE（对顶角），得△ ABC∽△DEC，对应边成比例 已知AC = 1.5，DC = AC = 1.5，代入得 题型剖析 题型八、重心的性质 例8：Rt△ABC，∠ACB＝90°，AB＝6，点G为重心，则CG＝_______. 分析：在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AB = 6。 根据直角三角形斜边中线定理， 斜边AB的中线长为 AB = 3。 因为点G是重心，重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，所以CG = ×3 = 2。 2 题型剖析 1.明确定理内容——三角形的重心是三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍；重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 2.掌握核心思路——先确定三角形的重心，明确中线与顶点、对边中点的关系，结合已知线段长度或面积等条件，利用重心到顶点与到对边中点的距离比例关系，或重心分割形成的三角形面积关系，求解相关量。 题型八、重心的性质 题型剖析 变式：在△ABC中，G是重心，点D是BC的中点，若△ABC的面积为36cm²，则△CGD的面积_____。 题型八、重心的性质 解：因为D是BC中点，△ABD和△ACD等底同高，所以 =18cm²。 又因为G是重心，重心分中线为2:1， 即GD= AD，△CGD和△ACD等底同高，故 = 6cm² 6cm² 题型剖析 题型九、图形的位似 例9：如图，已知△ABC，任取一点O，连接AO，BO，CO，并取它们的中点D、E、F、顺次连接得到△ DEF， 下列结论： ①△ ABC与△ DEF是位似图形； ②△ ABC与△ DEF是相似图形； ③△ ABC与△ DEF的周长之比1:2； ④△ ABC与△ DEF的面积之比为2:1． 其中结论正确的个数是（ ） A. 1 B.2 C. 3 D.4 B 题型剖析 分析：结论①：D、E、F是AO、BO、CO中点，故DE⫽AB、EF⫽BC，对应顶点连线过O，符合位似定义，①正确。 结论②：位似图形一定相似，故②正确。 结论③：相似比为AB:DE=2:1，周长比等于相似比，应为2:1，③错误。 结论④：面积比等于相似比平方，应为4:1，④错误。 正确结论有2个，故答案为B. 题型九、图形的位似 题型剖析 1.明确定理内容——如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比。 2.掌握核心思路——识别位似图形，确定位似中心，找出对应点，根据对应点到位似中心的距离之比等于相似比，结合已知线段长度或坐标等条件，求解相关量。 题型九、图形的位似 题型剖析 变式：如图，在平面直角坐标系中△ AOB与△COD是位似图形，以原点O为位似中心，若AC = 2OA，B点坐标为(4,2)，则点D的坐标为（ ） A.(8，4) B.(8，6) C.(12，4) D.(12，6) 题型九、图形的位似 解：由AC=2OA，得OC=OA+AC=3OA， 位似比为OA:OC=1:3。 以原点为位似中心，B(4,2)， 则D坐标为(4×3,2×3)=(12,6)。 D 题型剖析 题型十、相似三角形的实际应用 例10：小明用如图所示的方式测量一幢楼高：线段AB、EF、CD分别表示人、竹、竿、楼房的高度，且A、C、E在一条直线上．测得人和竹竿的水平距离为1.5m，人和楼房的水平距离为20m，人的高度为1.6m，竹竿的高度为2.8m，求这幢楼的高度． 题型剖析 解：过E作EG垂直CD于G，交AB于H。 因为AB⫽CD，所以△AEH∽△CEG。 已知AH = 1.6m，EH = 1.5m，EG = 20m，由相似三角形性质 ，即 ， 解得CG= 楼的高度CD = CG + 1.6= 题型十、相似三角形的实际应用 题型剖析 1.明确定理内容——相似三角形对应角相等，对应边成比例；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。 2.掌握核心思路——从实际问题中抽象出相似三角形模型，确定对应角和对应边，结合已知条件，利用相似三角形的性质（对应边成比例等）建立比例关系，求解实际中的线段长度、高度、距离等问题。 题型十、相似三角形的实际应用 题型剖析 变式：墙壁D处有一盏灯（如图），小明站在A处测得他的影长OA与身长AE相等，都为1.6m，小明向墙壁走1m到B处发现影子刚好落在A点，求灯泡与地面的距离CD． 题型十、相似三角形的实际应用 题型剖析 解:如图所示. 根据题意得 BG = AF = AE = 1.6m ， AB = 1m ， ∵BG⫽ AF⫽ CD， ∴△ EAF∽△ECD，△ABG∽△ACD， ∴ AE: EC = AF: CD， AB: AC = BG: CD ， 设 BC = xm ， CD = ym ，则 CE = (x + 2.6)m ， AC = (x + 1)m ， ∴ 解得：x＝ ，y＝ ∴CD＝ ∴灯泡与地面的距离为 题型十、相似三角形的实际应用 题型剖析 题型十一、相似三角形的综合应用 例11：如图是一块三角形钢材ABC，其中边BC = 60cm，高AD = 40cm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则这个正方形零件的边长是（ ） A. 16 B. 24 C. 30 D. 36 B 题型剖析 解：设正方形边长为x， 因为EF⫽BC， 所以△AEF∽△ ABC。 由相似三角形性质 ， 解得x = 24。 故答案为B. 题型十一、相似三角形的综合应用 题型剖析 1.明确定理内容——相似三角形对应角相等、对应边成比例；对应高、中线、角平分线的比都等于相似比；周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 2.掌握核心思路——识别图形中的相似三角形，结合其他几何知识（如三角形全等、勾股定理、平行线性质等），利用相似三角形性质建立比例关系，综合求解线段长度、图形面积等复杂几何问题。 题型十一、相似三角形的综合应用 题型剖析 1.若线段a = 1，b = 2，线段c是线段a，b的比例中项，则线段c的长度是_______. 分析：如果c是a、b的比例中项，根据比例中项的定义：c²= a×b（c＞0，因为线段长度为正）。 已知a = 1，b = 2，所以c² = 1×2 = 2。 对c²= 2两边同时开平方，可得c = （因为线段长度为正，舍去负根）。 针对训练 2．神奇的自然界处处蕴含着数学知识，动物学家发现蝴蝶身长与双翅张开后的长度之比约为0.618． 这个数据体现了数学中的（ ） A. 平移 B.轴对称 C.旋转 D.黄金分割 D 针对训练 解析：黄金分割的比值约为0.618，题目中蝴蝶身长与双翅张开后的长度之比约为0.618，符合黄金分割的概念。A选项平移、B选项轴对称、C选项旋转均与该比例关系无关。故选D. 针对训练 3．如图，直线a⫽b⫽c，直线m、n与a、b、c分别相交于点A、B、C和点D、E、F。若AB:BC = 2:3，DF = 15。求EF的长。 解：因为直线a⫽b⫽c，根据平行线分线段成比例定理， ， 即DE = 又因为DF = DE + EF = 15， 把DE = 代入， 得 + EF = 15， 即 = 15，解得EF = 9。 针对训练 4．雨过天晴，小李急忙跑到室外呼吸新鲜空气，广场上E处有一处积水，如图，若小李站在D处距积水2米，他正好从水面上看到距他约10米的前方一棵树的顶端A的影子。已知点D、E、B在同一直线上，AB⊥BD，CD⊥BD，小李的眼睛到地面的距离CD为1.6米，求树AB的高。（∠CED=∠AEB，积水水面大小忽略不计） 针对训练 解：因为AB⊥BD，CD⊥BD， 所以∠CDE=∠ ABE = 90°。 又∠CED=∠AEB， 故△CDE∽△ABE。 由相似三角形性质， 因为DE = 2米，DB = 10米， 则BE = 10 - 2 = 8米，CD = 1.6米。 代入得 ，解得AB = 6.4米。 综上，树AB的高为6.4米。 题型十二、方位角问题 题型剖析 5．如图，四边形ABCD是某学校的一块种植实验基地，其中△ABC是水果园，△ACD是蔬菜园。已知AB∥CD，AB=27m，AC=18m，CD=12m。 （1）求证：△ABC∽△CAD； （2）若蔬菜园△ACD的面积为80m²，求水果园△ABC的面积。 针对训练 (1)证明：因为AB⫽CD， 所以∠BAC =∠DCA。 因为AB = 27m，AC = 18m，CD = 12m， 所以 所以 ， 又因为∠BAC =∠DCA， 所以△ABC∽△CAD。 针对训练 (2)由（1）知△ABC∽△CAD， 根据相似三角形面积比等于相似比的平方。 相似比为 ， 所以 已知 ， 即 ， 解得 针对训练 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. ✅ 知识构建：图形的相似 相似图形的概念→相似多边形的性质（对应角相等，对应边成比例）→相似三角形的判定（两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例）→相似三角形的性质（对应角相等，对应边成比例；对应高、中线、角平分线的比等于相似比；周长比等于相似比；面积比等于相似比的平方）→图形的位似→相似的实际应用（测量高度、距离等问题） 课堂总结 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. ✅ 思想方法： 转化与化归（复杂图形转相似基本图形）、类比迁移（与全等三角形类比学习相似）、分类讨论（相似三角形对应关系多种情况）、方程思想（利用相似列方程求解边长等）、数形结合（结合图形分析相似比例关系） 课堂总结 感谢聆听! $