5.2 运动的合成与分解 导学案 -2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

人教版（2019）物理（必修第二册） 目录 第五章 抛体运动 1 第二节 运动的合成与分解 1 【参考答案】 7 专题强化 运动的合成与分解应用实例 9 【参考答案】 13 第五章 抛体运动 第二节 运动的合成与分解 【学习目标】 1．经历蜡块运动的探究过程，体会研究平面运动的方法； 2．通过对合运动和分运动的分析，找出合运动和分运动的关系，会用矢量运算法则计算运动的合成与分解； 3．学会判断合运动的轨迹和性质。 【学习重难点】 重点：利用平行四边形定则分析合运动和分运动。 难点：判断合运动的轨迹和性质。 课本导练 必备知识 一、一个平面运动的实例 1．观察蜡块的运动：如图所示，蜡块的运动 2．建立坐标系 （1）对于直线运动——沿这条直线建立一维坐标系。 （2）对于平面内的运动——建立平面直角坐标系。 例如，蜡块的运动，以蜡块开始匀速运动的位置为原点O，以水平向右的方向和竖直向上的方向分别为x轴和y轴的正方向，建立平面直角坐标系。 3．蜡块运动的轨迹 坐标x＝vxt，坐标y＝vyt，消去t得y＝ 。 4．蜡块运动的速度 （1）大小：v＝___________。 （2）方向：________________。 二、运动的合成与分解 1．合运动与分运动 （1）合运动：____________________；（2）分运动：____________________。 2．运动的合成与分解 ___________叫作运动的合成；反之，___________叫作运动的分解，即： 3．运动的合成与分解所遵循的法则 （1）运动的合成与分解指的是__________________________________这些描述运动的物理量进行合成与分解。 （2）运动的合成与分解遵循______________________________法则。 1．炮筒与水平方向成30°角（图），炮弹从炮口射出时的速度大小是800，这个速度在水平方向和竖直方向的分速度各是多大？ 2．在许多情况下，跳伞员跳伞后最初一段时间降落伞并不张开，跳伞员做加速运动。随后，降落伞张开，跳伞员做减速运动（图）。速度减小到一定值后便不再减小，跳伞员以这一速度做匀速运动，直至落地。无风时某跳伞员竖直下落，着地时速度是5。现在有风，运动员在竖直方向的运动情况与无风时相同，并且风使他以4的速度沿水平方向运动。跳伞员将以多大速度着地？画出速度合成的图示。 讨论展示 小组讨论课本导练内容，并完成下列问题讨论且展示： 1．一艘炮舰沿河由西向东行驶，在炮舰上发炮射击北岸的目标。要击中目标，射击方向应直接对准目标，还是应该偏东或偏西一些？作俯视图，并说明理由。 2．在如图的实验中，假设从某时刻（ ）开始，红蜡块在玻璃管内每1s上升的距离都是10 ，与此同时，玻璃管向右沿水平方向匀加速平移，每1s内的位移依次是4 、12 、20 、28 。在图所示的坐标系中，y表示蜡块在竖直方向的位移，x表示蜡块随玻璃管通过的水平位移， 时蜡块位于坐标原点。请在图中标出t等于1s、2s、3s、4s时蜡块的位置，并用平滑曲线描绘蜡块的轨迹。 3．汽艇以18的速度沿垂直于河岸的方向匀速向对岸行驶，河宽500m。设想河水不流动，汽艇驶到对岸需要多长时间？如果河水流速是3.6，汽艇驶到对岸需要多长时间？汽艇在对岸何处靠岸？ 点评点拨 一、一个平面运动的实例 实验演示 如图所示，蜡块沿玻璃管匀速上升的同时，玻璃管沿水平方向向右匀速移动，蜡块实际运动轨迹是向右上方运动，那么，怎样定量地研究蜡块的运动呢？ （1）建立坐标系：以蜡块开始匀速运动的位置为原点O，以水平向右的方向和竖直向上的方向分别为x轴和y轴的正方向，建立平面直角坐标系．蜡块的位置P可以用它的x、y两个坐标表示，即(x，y)． （2）蜡块运动的轨迹：如图所示，蜡块沿玻璃管匀速上升的速度设为vy，玻璃管向右匀速移动的速度设为vx，从蜡块开始运动的时刻计时，在某时刻t，蜡块运动轨迹上的某位置，由x=vxt，y=vyt，可知 ，由于vx和vy都是常量，所以 也是常量，可见 代表的是一条过原点的直线，也就是说，蜡块的运动轨迹是直线． （3）蜡块的位移：经历时间t，蜡块位移的大小 （4）蜡块的速度：根据位移和速度的关系得① ；②方向tan 例1． (多选)如图所示，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一红蜡块R(R视为质点)。将玻璃管的开口端用橡胶塞塞紧后竖直倒置且与y轴重合，在R从坐标原点以速度v0＝3 cm/s匀速上浮的同时，玻璃管沿x轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动，R的合速度的方向与y轴正方向的夹角为α。则（ ） A．红蜡块R的分位移y的平方与x成正比 B．红蜡块R的分位移y的平方与x成反比 C．tan α与时间t成正比 D．红蜡块R的合速度v的大小与时间t成正比 变式训练1． 如图所示，在一张白纸上放置一根直尺，沿直尺的边缘放置一块直角三角板。甲同学将三角板沿刻度尺水平向右匀速运动，同时，乙同学将一支铅笔从三角板直角边的最下端向上匀速运动，关于铅笔在纸上留下的轨迹，下列选项正确的是（ ） A． B． C． D．   二、运动的合成与分解 思维探究 如图所示，在军事演习中，直升机常常一边匀加速收拢绳索提升士兵，一边沿着水平方向匀速飞行，请思考： (1)士兵在水平方向和竖直方向分别做什么运动？ (2)如何判断士兵做的是直线运动还是曲线运动？做的是匀变速运动还是非匀变速运动？ 对合运动与分运动的理解 物体的实际运动就是合运动，实际运动的位移、速度、加速度就是它的合位移、合速度、合加速度，而分运动的位移、速度、加速度就是它的分位移、分速度、分加速度。 合运动与分运动的四个特性 等时性 各分运动与合运动同时发生和结束，时间相同 等效性 各分运动的共同效果与合运动的效果相同 同体性 各分运动与合运动是同一物体的运动 独立性 各分运动之间互不相干，彼此独立，互不影响 运动的合成与分解 (1)规律 位移、速度、加速度都是矢量，进行合成与分解时可运用平行四边形定则或三角形定则． ①两分运动在同一直线上时，同向相加，反向相减； ②两分运动不在同一直线上，按照平行四边形定则进行合成或分解． (2)曲线运动的合成与分解的注意事项 ①做曲线运动时，物体相对起始点的位移方向不断变化，在表示物体的位移时，尽量用它的位移在坐标轴方向的分量来表示，而位移分量可用该点的坐标表示． ②建立平面直角坐标系时，y轴正方向向下也是可以的，这时处于x轴下方的点的纵坐标不是负值而是正值． 例2． (多选)如图所示为无人机起飞时的照片，假设无人机即将起飞时水平分速度为40 m/s，竖直分速度为0，无人机起飞后在竖直方向上做匀加速直线运动，在水平方向上做匀速直线运动。当无人机运动的水平位移为160 m时，其竖直位移也为160 m，下列说法正确的是（ ） A．无人机的运动轨迹为倾斜的直线 B．此过程无人机运动的时间为4 s C．无人机的加速度大小为20 m/s2 D．此时无人机的竖直分速度大小为120 m/s 变式训练2． 跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图所示，当运动员从直升机由静止跳下后，在下落过程中会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是（ ） A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作 B．风力越大，运动员着地速度越大，有可能对运动员造成伤害 C．运动员下落时间与风力有关 D．运动员着地速度与风力无关 思路总结 “三步走”求解合运动与分运动 （1）根据题意确定物体的合运动与分运动； （2）利用“化曲为直”的思想把曲线运动分解为两个方向上的直线运动，根据平行四边形定则进行矢量的合成或分解； （3）根据所画图形求解合运动或分运动的参量，求解时可以利用勾股定理、三角函数等数学知识。 三、两个互成角度的直线运动的合运动 合运动性质的判断 两个互成角度的直线运动的合运动性质的判断 根据合加速度方向和合初速度方向的关系，判定合运动是直线运动还是曲线运动，具体分为以下几种情况： （1）两个匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动． （2）两个初速度均为零的匀加速直线运动的合运动一定是匀加速直线运动． （3）一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动是匀变速运动，当二者速度方向共线时为匀变速直线运动，不共线时为匀变速曲线运动． （4）两个匀变速直线运动的合运动一定是匀变速运动，可能是直线运动，也可能是曲线运动．若两运动的合初速度方向与合加速度方向在同一条直线上，则合运动是匀变速直线运动，如图甲所示；若合初速度方向与合加速度方向不在一条直线上，则合运动是匀变速曲线运动，如图乙所示． 例3． 质量m＝2 kg的物体在光滑水平面上运动，其分速度vx和vy随时间变化的图像分别如图甲、乙所示。求： （1）物体受到的合力和初速度； （2）t＝8 s时物体的速度； （3）t＝4 s时物体的位移； （4）物体的运动轨迹方程。 变式训练3． 如图所示，某同学在研究运动的合成时做了下述操作：用左手沿黑板推动直尺竖直向上运动，运动中保持直尺水平，同时，用右手沿直尺向右移动笔尖。若该同学左手的运动为匀速直线运动，右手相对于直尺的运动为初速度为零的匀加速直线运动，则关于笔尖相对于黑板的运动，下列说法中正确的是（ ） A．笔尖做匀速直线运动 B．笔尖做匀变速直线运动 C．笔尖做匀变速曲线运动 D．图中笔尖的运动轨迹是一条斜向上的直线 小结小测 一、课堂小结 二、课堂小测 判断题 （1）合速度一定大于分速度。（ ） （2）运动的合成与分解的实质是对描述运动的物理量（位移、速度、加速度）的合成与分解。（ ） （3）两个直线运动的合运动一定是直线运动。（ ） （4）做曲线运动的物体受到的合外力一定是变力。（ ） （5）做曲线运动的物体所受的合外力的方向一定指向轨迹的凹侧。（ ） 【参考答案】 课本导练 必备知识 【答案】 一、一个平面运动的实例 1．观察蜡块的运动：如图所示，蜡块的运动 2．建立坐标系 （1）对于直线运动——沿这条直线建立一维坐标系。 （2）对于平面内的运动——建立平面直角坐标系。 例如，蜡块的运动，以蜡块开始匀速运动的位置为原点O，以水平向右的方向和竖直向上的方向分别为x轴和y轴的正方向，建立平面直角坐标系。 3．蜡块运动的轨迹 坐标x＝vxt，坐标y＝vyt，消去t得y＝ 。 4．蜡块运动的速度 （1）大小：v＝___ ___。 （2）方向：用速度矢量v与x轴正方向的夹角θ来表示，它的正切值为tan θ＝ ___。 二、运动的合成与分解 1．合运动与分运动 （1）合运动：指在具体问题中，物体实际所做的运动。 （2）分运动：指物体沿某一方向具有某一效果的运动。 2．运动的合成与分解 由分运动求合运动叫作运动的合成；反之，由合运动求分运动叫作运动的分解，即： 3．运动的合成与分解所遵循的法则 （1）运动的合成与分解指的是位移、速度、加速度这些描述运动的物理量进行合成与分解。 （2）运动的合成与分解遵循平行四边形定则。 1．【答案】， 2．【答案】，如图 讨论展示 1．【答案】见解析 2．【答案】 见解析 3．【答案】；；0.1km。 点评点拨 例1．【答案】AC 变式训练1．【答案】A   二、运动的合成与分解 【答案】 (1)士兵在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做匀加速直线运动。 (2)士兵受到的合力沿竖直方向，与其合速度不在一条直线上，所以做曲线运动。因士兵加速度恒定，故其做的运动是匀变速运动。 例2．【答案】CB 变式训练2．【答案】B 例3．【答案】 （1）1 N；方向沿y轴正方向；3 m/s；方向沿x轴正方向 （2）5 m/s；方向与x轴的夹角为 （3） m；方向与x轴的夹角为arctan （4） 变式训练3．【答案】C 小结小测 二、课堂小测 【答案】 错误 正确 错误 错误 正确 专题强化 运动的合成与分解应用实例 【学习目标】 1．能利用运动的合成与分解的知识，分析小船渡河问题(重点)。 2．会求渡河的最短时间和最短位移(重难点)。 3．能利用运动的合成与分解的知识，分析关联速度问题(重点)。 4．掌握常见的绳关联模型和杆关联模型的速度分解的方法(重点)。 点评点拨 一、小船渡河模型 1．小船渡河问题 小船的实际运动是合运动，船航行的方向就是实际运动的方向，也就是合速度的方向。船随水流的运动(设为v水)和船相对水的运动(设为v静水，方向为船头指向的方向)是分运动。 2．渡河时间最短问题 _________________________________________________________________________________________________________________________________________ 3．渡河位移最小问题 渡河位移由实际运动轨迹的方向决定，要使渡河位移最小，应使合位移(或合速度)方向尽可能与河岸垂直。 (1)当v水＜v静水时，如图甲，那么渡河的最短位移是多少？此过程时间为多少呢？ _________________________________________________________________________________________________________________________________________ (2)当v水≥v静水时，如图乙，不论船的航向如何，总是会被水冲向下游，此时合速度v与河岸方向的夹角α越大，船渡河位移越小。那么，在什么条件下α角最大呢？最短位移是多少？ _________________________________________________________________________________________________________________________________________ 【注意说明】 (1)小船渡河时间最短与位移最小是两种不同的运动情景，时间最短时，位移不是最小。 (2)求渡河位移最小时，要先弄清船在静水中的速度与水流速度的大小关系，不要盲目地认为最小渡河位移一定等于河的宽度。 (3)最短渡河时间与水流速度的大小无关，只要船头指向与河岸垂直，渡河时间即为最短。 “三模型、两方案、两确定”解决小船渡河问题 例1． 有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河．小明驾着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直．去程与回程所用时间的比值为k，船在静水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为（ ） A． B． C． D． 变式训练1． 一小船渡河，河宽d=180 m，水流速度v1=2.5 m/s。若船在静水中的速度为v2=5 m/s，求： （1）欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？ （2）欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？ 二、关联速度模型 关联速度问题一般是指物拉绳(或杆)和绳(或杆)拉物问题。高中阶段研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长且不可压缩的，即绳或杆的长度不会改变。绳、杆等连接的两个物体在运动过程中，其速度通常是不一样的，但两个物体沿绳或杆方向的速度大小相等，我们称之为关联速度。 1．该类模型的特点 (1)____________________； (2)____________________； (3)____________________。 2．解决关联速度问题的一般步骤 (1)第一步：____________________。 (2)第二步：____________________。 (3)第三步：____________________。 (4)第四步：____________________。 3．速度投影规律 不可伸长的绳(或杆)，各点速度不同，但各点速度沿绳(或杆)方向的投影速度___________。 4．常见的模型 单个物体的绳子末端速度的分解：____________________ 两个物体的绳子末端速度的分解：____________________ 将杆的两个端点A、B的速度沿杆和垂直于杆的方向正交分解，则A、B两点沿杆方向的分速度大小_______。 将圆环A的速度分解成沿绳方向和垂直于绳方向的分速度，B的速度与A沿绳方向的分速度大小___________。 例2． 如图，人沿平直的河岸以速度 行走，且通过不可伸长的绳拖船，船沿绳的方向行进，此过程中绳始终与水面平行．当绳与河岸的夹角为 ，船的速率为（ ） A． B． C． D． 变式训练2． 如图所示，一根长直轻杆AB在墙角沿竖直墙和水平地面滑动，当AB杆和墙的夹角为θ时，杆的A端沿墙下滑的速度大小为v1，B端沿地面的速度大小为v2．则v1、v2的关系是（ ） A．v1＝v2 B．v1＝v2cos θ C．v1＝v2tanθ D．v1＝v2sinθ 小结小测 解答题1． 已知某船在静水中的速度为v1=5m/s，现让船渡过某条河，假设这条河的两岸是理想的平行线，河宽为d=200m，水流速度为v2=4m/s，方向与河岸平行（已知sin53°=0.8，cos53°=0.6，结果可以用根式表示）。 (1)欲使船以最短时间渡河，则最短时间是多少？此时船发生的位移有多大； (2)若船头偏向上游且与河岸间的夹角为53°，此情形下船的过河时间多少。 解答题2． 如图所示，人在岸上拉船，已知船的质量为m，水的阻力恒为f，当轻绳与水平面的夹角为θ时，船的速度为v，此时人的拉力大小为F，则 （1）人拉绳端的速度是多少； （2）船的加速度是多少。 【参考答案】 点评点拨 一、小船渡河模型 【答案】 1．小船渡河问题 小船的实际运动是船随水流的运动(设为v水)和船相对水的运动(设为v静水，方向为船头指向的方向)的合运动。小船的实际运动是合运动，船随水流的运动和船相对水的运动是分运动，船航行的方向就是实际运动的方向，也就是合速度的方向。 2．渡河时间最短问题 渡河时间仅由v静水垂直于河岸的分量v⊥决定，即 (d为河宽)，与v水无关.要使渡河时间最短，应使船在垂直河岸方向的速度最大，如图所示，v静水垂直于河岸时，渡河时间最短，最短时间为 。 3．渡河位移最小问题 渡河位移由实际运动轨迹的方向决定，要使渡河位移最小，应使合位移(或合速度)方向尽可能与河岸垂直。 (1)当v水＜v静水时，渡河的最小位移即河的宽度d。如图甲所示，为了使渡河位移等于河宽d，这时船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ，使船的合速度v的方向与河岸垂直。此时，v水-v静水cos θ=0，即cos ，渡河时间 。 甲　　　　乙 (2)当v水≥v静水时，不论船的航向如何，总是会被水冲向下游，此时合速度v与河岸方向的夹角α越大，船渡河位移越小。那么，在什么条件下α角最大呢？如图乙所示，以v水矢量的末端为圆心，以v静水的大小为半径画圆，当合速度与圆相切时，α角最大。这时船头指向与河岸的夹角θ满足cos ，最小位移 ，渡河时间 = 。 【注意说明】(1)小船渡河时间最短与位移最小是两种不同的运动情景，时间最短时，位移不是最小。 (2)求渡河位移最小时，要先弄清船在静水中的速度与水流速度的大小关系，不要盲目地认为最小渡河位移一定等于河的宽度。 (3)最短渡河时间与水流速度的大小无关，只要船头指向与河岸垂直，渡河时间即为最短。 “三模型、两方案、两确定”解决小船渡河问题 例1．【答案】B 变式训练1．【答案】(1) 船头应朝垂直河岸方向，， ；(2) 船头向上游偏30°， ， 二、关联速度模型 【答案】 关联速度问题一般是指物拉绳(或杆)和绳(或杆)拉物问题。高中阶段研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长且不可压缩的，即绳或杆的长度不会改变。绳、杆等连接的两个物体在运动过程中，其速度通常是不一样的，但两个物体沿绳或杆方向的速度大小相等，我们称之为关联速度。 1．该类模型的特点 (1)绳(或杆)质量忽略不计； (2)绳(或杆)不可伸长； (3)沿绳(或杆)方向的速度分量大小相等。 2．解决关联速度问题的一般步骤 (1)第一步：先确定合运动，即物体的实际运动。 (2)第二步：确定合运动的两个实际作用效果，一是沿绳(或杆)方向的平动效果(改变速度的大小)；二是沿垂直于绳(或杆)方向的转动效果(改变速度的方向).即将实际速度分解为垂直于绳(或杆)和平行于绳(或杆)方向的两个分量。 (3)第三步：按平行四边形定则进行分解，作出运动矢量图。 (4)第四步：根据沿绳(或杆)方向的速度相等列方程求解。 3．速度投影规律 不可伸长的绳(或杆)，各点速度不同，但各点速度沿绳(或杆)方向的投影速度相等。 4．常见的模型 单个物体的绳子末端速度的分解：切勿将绳子速度分解，v⊥一定要分解在垂直于绳子方向，这样v∥的大小就是绳子收缩的速率，即拉绳的速率 两个物体的绳子末端速度的分解：两个物体的速度都需要分解，其中两个物体在沿着绳子方向的分速度相等 将杆的两个端点A、B的速度沿杆和垂直于杆的方向正交分解，则A、B两点沿杆方向的分速度大小相等 将圆环A的速度分解成沿绳方向和垂直于绳方向的分速度，B的速度与A沿绳方向的分速度大小相等。 例2．【答案】C 变式训练2．【答案】C 小结小测 解答题1．【答案】 (1)40s， ； (2)50s 解答题2．【答案】（1）；（2），方向沿船的运动方向 学科网（北京）股份有限公司 $