1.5全称量词与存在量词(学生版)-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学中全称量词与存在量词的概念、真假判断及命题否定，构建从具体实例到抽象符号表达的学习支架，前后衔接自然，由“含变量语句无法判断真假”引出量词作用，再过渡到符号化表达与逻辑推理，层层递进，帮助学生建立清晰的逻辑框架。 资料设计亮点突出，体现核心素养中的“抽象能力”“推理意识”和“应用意识”。例如例2通过符号化表达现实问题，引导学生用数学语言精准描述数量关系，强化抽象思维；例4设置否定命题为假的判断情境，训练学生合乎逻辑地分析命题真假，提升推理能力；实战演练第5题融合恒成立与存在性问题，贴近高考命题趋势，既可用于课堂精讲突破难点，又便于课后巩固查漏补缺，实现教学评一体化。

The essence of mathematics lies in its freedom. The essence of mathematics lies in its freedom. 1.5全称量词与存在量词 本节聚焦 我们知道,命题是可以判断真假的陈述句.在数学中,有时会遇到一些含有变量的陈述句,由于不知道变量代表什么数,无法判断真假,因此它们不是命题.但是,如果在原语句的基础上,用一个短语对变量的取值范围进行限定,就可以使它们成为一个命题,我们把这样的短语称为量词. 本节将学习全称量词和存在量词,以及如何正确地对含有一个量词的命题进行否定. 知识精讲 一、全称量词与存在量词命题的概念 1.全称量词命题:短语"所有的""任意一个"在逻辑中通常叫做全称量词(universal quantifier),并用符号""表示.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.例如,命题"对任意的是奇数""所有的正方形都是矩形"都是全称量词命题. 通常,将含有变量的语句用,,,表示,变量的取值范围用表示.那么,全称量词命题"对中任意一个,成立"可用符号简记为,. 2.存在量词命题:短语"存在一个""至少有一个"在逻辑中通常叫做存在量词(existential quantifier),并用符号""表示.含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.例如,命题"有的平行四边形是菱形""有一个素数不是奇数"都是存在量词命题. 存在量词命题"存在中元素,成立"可用符号简记为,. 二、真假判断 1.全称量词命题:对于命题"所有的质数都是奇数",这显然是假命题,因为就是一个质数.也就是说,要判定全称量词命题,是真命题,我们要证明对中任意一个,都成立;要判定它是假命题,我们需要找到中的一个,不成立,也就是举一个反例. 2.存在量词命题:对于命题"有一个实数,使",这也是一个假命题,因为一元二次方程的判别式小于0,故此方程没有实根.所以要判定存在量词命题,是真命题,只需要在中找到一个,使成立;要判定它是假命题,可以说明在中,使成立的元素不存在. 三、命题的否定 全称量词命题,的否定为存在量词命题,; 存在量词命题,的否定为全称量词命题,. 对于:,则:; :,则:; 但是对于:,:.碰到集合关系时要提高警惕. 一个命题与它的否定真假相反. 重点提醒 经典例题 类型一 全称量词命题与存在量词命题的判断 例1 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题. (1)梯形的对角线相等; (2)存在一个四边形有外接圆; (3)二次函数的图象都与x轴相交; (4)存在一对实数x,y,使成立. 类型二 全称量词命题与存在量词命题的真假 例2 用符号""与""表示下列含有量词的命题,并判断真假: (1)任意实数的平方大于或等于0; (2)对任意实数a,二次函数的图象关于y轴对称; (3)存在整数x,y,使得; (4)存在一个无理数,它的立方是有理数. 例3 判断下列命题的真假: (1)已知,若,或,则; (2),; (3)若,则方程无实数根; (4)存在一个三角形没有外接圆. 类型三 命题的否定 例4 下列命题的否定为假命题的是( ) A., B., C., D., 例5 判断下列命题的真假,并写出这些命题的否定: (1),; (2)所有可以被5整除的整数,末位数字都是0; (3),; (4)存在一个四边形,它的对角线互相垂直. 类型四 命题真假求参 例6 已知集合,集合,如果命题",使得"为假命题,求实数的取值范围. 例7 从两个符号""""中任选一个填写到①的位置,并完成下面的问题. 已知集合,,若命题:①,则是真命题,求m的取值范围. 实战演练 1.下列命题中,是全称量词命题的有( ) A.至少有一个x使成立 B.对任意的x都有成立 C.对任意的x都有不成立 D.存在x使成立 2.(多选)下列命题错误的是( ) A., B., C., D., 3.已知,,则为( ) A., B., C., D., 4.已知, (1)若",使得"为真命题,求的取值范围; (2)是否存在实数,使""是""必要不充分条件,若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由. 5.已知,命题:,恒成立;命题:存在,使得. (1)若为真命题,求的取值范围; (2)若,有且只有一个真命题,求实数的取值范围. 学霸笔记 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $