1.3集合的基本运算(学生版)-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦集合的基本运算，系统梳理并集、交集与补集的概念、性质及应用，构建从元素归属到集合关系的逻辑链条，形成“定义—符号—图形—性质—应用”的完整学习支架，为后续不等式、函数定义域等问题提供工具支持。 资料设计亮点突出，体现数学抽象、逻辑推理与数学建模的核心素养。例如通过例题5的韦恩图分析，引导学生用几何直观理解补集运算，强化数形结合思想；实战演练第4题多选题设置，培养学生从现实情境中抽象出集合关系的能力，提升逻辑推理水平。课中便于教师开展探究式教学，课后助力学生查漏补缺，巩固运算规则与解题策略，实现知识内化与能力进阶。

The essence of mathematics lies in its freedom. The essence of mathematics lies in its freedom. 1.3集合的基本运算 本节聚焦 在了解了一个系统中元素间的关系之后,为了对这些东西加以利用,我们自然而然的要规定一些运算,探索这些运算的性质,让它们服务于实际工作. 本节课我们将学习集合的三种基本运算:并,交,补,并研究这些运算的简单性质. 知识精讲 一、并集 1.概念 (1)文字语言:一般地,由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合,称为集合与的并集(union set),记作(读作"并"); (2)符号语言:; (3)图形语言: 2.性质 任何集合与其本身的并集等于集合本身 任何集合与空集的并集等于集合本身 满足交换律 满足结合律 , 任何集合都是该集合与另一集合并集的子集 , 并集关系与子集关系的转化 二、交集 1.概念 (1)文字语言:一般地,由所有属于集合且属于集合的元素组成的集合,称为集合与的交集(intersection set),记作(读作"交"); (2)符号语言:; (3)图形语言: 2.性质 任何集合与其本身的交集等于集合本身 任何集合与空集的交集都为空集 满足交换律 满足结合律 , 满足分配律 , 两个集合的交集是其中任一集合的子集 , 交集关系与子集关系的转化 三、并集 1.概念 (1)文字语言:对于一个集合,由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集(complementary set),记作(读作"的补集"); (2)符号语言:; (3)图形语言: 2.性质 集合与的补集的并集是全集 集合与的补集的交集是空集 集合的补集的补集是集合本身 , 全集的补集是空集,空集的补集是全集 同学们在学习中如果碰到更为复杂的集合关系,可以自己尝试画韦恩图解决. 重点提醒 经典例题 类型一 并集的运算 例1 已知集合,,则_______. 例2 若集合,,则( ) A. B. C. D. 类型二 交集的运算 例3 已知集合,,则( ) A. B. C. D. 例4 已知集合,,则中元素的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 类型三 补集的运算 例5 设全集,,,则图中阴影部分所表示的集合为( ) A. B. C. D. 例6 已知集合,,,则( ) A. B. C. D. 类型四 集合中的综合运算 例7 已知集合,,则( ) A. B. C. D. 例8 已知非空集合,,满足:,.则( ). A. B. C. D. 类型五 集合运算中的求参问题 例9 已知集合,,且,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 例10 已知集合,. (1)若,求的取值范围； (2)若,求的取值范围. 实战演练 1.已知集合,,则集合( ) A. B. C. D. 2.已知集合,,则( ) A. B. C. D. 3.设全集,,,则( ) A. B. C. D. 4.(多选)图中阴影部分用集合符号可以表示为( ) A. B. C. D. 5.设集合,. (1)若,求实数的值； (2)若,求实数的取值范围； (3)若全集,,求实数的取值范围. 学霸笔记 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $The essence of mathematics lies in its freedom. The essence of mathematics lies in its freedom. 1.3集合的基本运算 本节聚焦 在了解了一个系统中元素间的关系之后，为了对这些东西加以利用，我们自然而然的要规定一些运算，探索这些运算的性质，让它们服务于实际工作。 本节课我们将学习集合的三种基本运算：并，交，补，并研究这些运算的简单性质。 知识精讲 一、并集 1.概念 （1）文字语言：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为集合与的并集（union set），记作（读作“并”）; （2）符号语言：; （3）图形语言： 2.性质 任何集合与其本身的并集等于集合本身 任何集合与空集的并集等于集合本身 满足交换律 满足结合律 , 任何集合都是该集合与另一集合并集的子集 , 并集关系与子集关系的转化 二、交集 1.概念 （1）文字语言：一般地，由所有属于集合且属于集合的元素组成的集合，称为集合与的交集（intersection set），记作（读作“交”）; （2）符号语言：; （3）图形语言： 2.性质 任何集合与其本身的交集等于集合本身 任何集合与空集的交集都为空集 满足交换律 满足结合律 , 满足分配律 , 两个集合的交集是其中任一集合的子集 , 交集关系与子集关系的转化 三、并集 1.概念 （1）文字语言：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集（complementary set），记作（读作“的补集”）; （2）符号语言：; （3）图形语言： 2.性质 集合与的补集的并集是全集 集合与的补集的交集是空集 集合的补集的补集是集合本身 , 全集的补集是空集，空集的补集是全集 同学们在学习中如果碰到更为复杂的集合关系，可以自己尝试画韦恩图解决。 重点提醒 经典例题 类型一 并集的运算 例1 已知集合，，则_______． 例2 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 类型二 交集的运算 例3 已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 例4 已知集合，，则中元素的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】 D 【解析】 联立，得,即,故选：D 类型三 补集的运算 例5 设全集，，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A． B． C． D． 例6 已知集合，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】 D 【解析】 ,故 类型四 集合中的综合运算 例7 已知集合,，则( ) A． B． C． D． 【答案】 AD 例8 已知非空集合,,满足：，．则（ ）． A． B． C． D． 【答案】 D 【解析】 作出符合题意的三个集合之间关系的韦恩图(不唯一)，如图所示， 类型五 集合运算中的求参问题 例9 已知集合,，且，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【解析】 ，故 例10 已知集合，. （1）若，求的取值范围； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）（2） 【解析】（1）,应有,解得； （2）若时，应有(只要有一个区间端点不属于即可，即或成立),解得. 实战演练 1.已知集合，，则集合（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【解析】由不等式，可得，即集合， 又由集合， 可得.故选： C 2.已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】 D 【解析】 联立,解得或，故 3.设全集，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【解析】 ,故， 4.（多选）图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】 AD 5.设集合，． （1）若,求实数的值； （2）若，求实数的取值范围； （3）若全集，，求实数的取值范围． 学霸笔记 2 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $