1.2集合间的基本关系(学生版)-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦集合间的基本关系，系统梳理子集、真子集、集合相等与空集的概念脉络，从元素归属出发构建集合间的包含逻辑，再通过性质归纳和典型例题深化理解，形成由定义到应用的学习支架。 资料设计突出数学抽象与逻辑推理素养，以例题为载体引导学生用符号语言表达集合关系，如例3中利用元素个数快速求非空真子集个数，体现运算能力与模型意识；例7通过集合包含关系求参数值，强化推理意识与严谨思维。课中便于教师分层讲解，课后可辅助学生查漏补缺，巩固概念辨析与解题策略，提升数学表达与问题解决能力。

The essence of mathematics lies in its freedom. The essence of mathematics lies in its freedom. 1.2集合间的基本关系 本节聚焦 在定义了集合之后,我们将研究集合之间的关系,就像我们小学时刚接触自然数时那样. 本节课我们将认识集合间的基本关系,学会用图象表示这些关系,并且研究这些关系衍生出的简单性质. 知识精讲 一、子集与真子集相关概念 1.子集:一般地,对于两个集合,,如果集合中任意一个元素都是集合中的元素,就称集合为集合的子集(subset),记作或,读作"包含于"或"包含". 2.集合相等:一般地,对于两个集合,,如果集合中任意一个元素都是集合中的元素,同时,集合中任意一个元素都是集合中的元素,那么集合和集合相等,记作.即,若且,则.这也是我们在证明集合相等时常用的手段. 3.真子集:若,但存在元素且,则称集合为集合的真子集(proper subset),记作或,读作"真包含于"或"包含". 4.空集:一般地,我们把不含任何元素的集合叫做空集(empty set),记为,并规定:空集是任何集合的子集. 与的区别在于前者两集合可能相等,而后者一定不相等. 上述概念我们总结如下: 重点提醒 二、子集的性质(可类比数量关系) 1.任何一个集合是它本身的子集,即. 2.对于集合,,, (1)若,,则; (2)若,,则; (3)若,,则; (4)若,,则. 经典例题 类型一 判断集合间关系 例1 (多选)下列四个选项中正确的是( ) A. B. C. D. 与的含义不同,前者是包含空集的集合,这个集合不空;而后者本身就是空集,一个集合内的元素可以是数,可以是函数,可以是集合,可以是任何东西. 重点提醒 例2 能正确表示集合和集合的关系的韦恩图的是( ) A. B. C. D. 类型二 确定集合的子集、真子集 例3 定义集合,设,则集合的非空真子集的个数为( ) A.12 B.14 C.15 D.16 对于含有个元素的有限集(含有有限个元素的集合),其子集个数为. 重点提醒 例4 已知集合,,,则满足条件的集合的个数为( ) A.7 B.8 C.15 D.16 类型三 两集合相等问题 例5 下列集合中表示同一集合的是( ) A., B., C., D., 例6 已知集合,,,若,则( ) A. B. C. D. 类型四 已知集合关系求参 例7 已知集合,集合.若,则实数等于( ) A. B. C. D. 例8 设集合,,若,求实数的值. 实战演练 1.已知集合M＝{x|y2＝2x,y∈R}和集合P＝{(x,y)|y2＝2x,y∈R},则两个集合间的关系是( ) A. B. C. D.,互不包含 2.下列关系中,正确的个数是( ). ①；②；③；④. A.1 B.2 C.3 D.4 3.若集合,,则( ) A. B. C. D. 4.满足的集合共有( ). A.6个 B.7个 C.8个 D.15个 5.(多选)下列选项中的两个集合相等的是( ) A., B., C., D., 6.已知,,,若,求实数的值. 7.已知集合,是否存在实数,使得.若存在,求出实数的取值范围；若不存在,请说明理由. 学霸笔记 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $The essence of mathematics lies in its freedom. The essence of mathematics lies in its freedom. 1.2集合间的基本关系 本节聚焦 在定义了集合之后，我们将研究集合之间的关系，就像我们小学时刚接触自然数时那样。 本节课我们将认识集合间的基本关系，学会用图象表示这些关系，并且研究这些关系衍生出的简单性质。 知识精讲 一、子集与真子集相关概念 1.子集：一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，就称集合为集合的子集（subset），记作或,读作“包含于”或“包含”。 2.集合相等：一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，同时，集合中任意一个元素都是集合中的元素，那么集合和集合相等，记作。即，若且,则。这也是我们在证明集合相等时常用的手段。 3.真子集：若，但存在元素且，则称集合为集合的真子集（proper subset），记作或，读作“真包含于”或“包含”。 4.空集：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集（empty set），记为，并规定：空集是任何集合的子集。 与的区别在于前者两集合可能相等,而后者一定不相等. 上述概念我们总结如下: 重点提醒 二、子集的性质(可类比数量关系) 1.任何一个集合是它本身的子集，即。 2.对于集合，，, (1)若，，则; (2)若，，则; (3)若，，则; (4)若，，则. 经典例题 类型一 判断集合间关系 例1 （多选）下列四个选项中正确的是（ ） A． B． C． D． 与的含义不同，前者是包含空集的集合，这个集合不空;而后者本身就是空集，一个集合内的元素可以是数，可以是函数，可以是集合，可以是任何东西。 重点提醒 【答案】CD 【解析】对于A选项，集合的元素是，集合的元素是，故没有包含关系，A选项错误.对于B选项，集合的元素是点的坐标，集合的元素是，故两个集合不相等，B选项错误.对于C选项，两个集合是相等的集合，故C选项正确.对于D选项，空集是任何集合的子集，故D选项正确. 故选CD. 例2 能正确表示集合和集合的关系的韦恩图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】，故选B. 类型二 确定集合的子集、真子集 例3 定义集合，设，则集合的非空真子集的个数为（ ） A．12 B．14 C．15 D．16 对于含有个元素的有限集(含有有限个元素的集合)，其子集个数为. 重点提醒 【答案】B 【解析】，所以集合的非空真子集的个数为，故选：B. 例4 已知集合，，，则满足条件的集合的个数为（ ） A．7 B．8 C．15 D．16 【答案】C 【解析】，， ，则集合M中一定包含元素0、1， 满足条件的集合M有： ，共15个. 故选：C 类型三 两集合相等问题 例5 下列集合中表示同一集合的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】选项A，集合，为点集，而点与点为不同的点，故A错；选项C，集合为点集，集合为数集，故C错；选项D，集合为数集，集合为点集，故D错；选项B，集合，表示的都是“大于的实数”，为同一个集合．故选：B 例6 已知集合，，，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵集合，，且， ∴，或， 先考虑，解得， 此时，，满足题意， ∴；再考虑，解得， 此时，，不满足题意， 综上，故选：D 类型四 已知集合关系求参 例7 已知集合，集合.若，则实数等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】集合A＝{－1，3，2m－1}，集合B＝{3，m2}. 若B⊆A，则，且，又∵,∴无解， ∴,解得，经检验符合元素的互异性，故选：C. 例8 设集合，，若，求实数的值． 【答案】a≤－1或a＝1. 【解析】∵A＝{0，－4}，B⊆A，于是可分为以下几种情况． (1)当A＝B时，B＝{0，－4}， ∴由根与系数的关系，得解得a＝1. (2)当时，又可分为两种情况． ①当时，即B＝{0}或B＝{－4}， 当x＝0时，有a＝±1；当x＝－4时，有a＝7或a＝1. 又由Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，此时B＝{0}满足条件； ②当时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，解得a<－1. 综合(1)(2)知，所求实数a的取值为a≤－1或a＝1. 实战演练 1.已知集合M＝{x|y2＝2x，y∈R}和集合P＝{(x，y)|y2＝2x，y∈R}，则两个集合间的关系是( ) A． B． C． D．，互不包含 【答案】D 【解析】由于集合M为数集，集合P为点集，因此M与P互不包含，故选D. 2.下列关系中，正确的个数是（ ）. ①；②；③；④. A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】对于①，是集合中的元素，即，故正确； 对于②，空集是任何非空集合的真子集，故⫋，故正确； 对于③，集合中的元素为，，集合中的元素为，故错误； 对于④，集合中的元素为，集合中的元素为，故错误.故选：B 3.若集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，时，取得所有奇数， ，时，取得整数因此．故选：B． 4.满足的集合共有（ ）. A.6个 B.7个 C.8个 D.15个 【答案】B 【解析】集合M 中必含元素a，且为的真子集，可按元素个数分类依次写出集合M为，，，，，，，共7个.故选：B. 5.（多选）下列选项中的两个集合相等的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AC 【分析】 对于A、C：直接解出集合P、Q，即可判断； 对于B：取特殊值1，由，而，即可判断； 对于D：由集合P、Q的类别不一样，即可判断. 【详解】 对于A，，，所以P和Q都只含有两个元素1，2，所以；故A正确； 对于B，，而，所以；故B错误； 对于C，，，所以；故C正确； 对于D，集合P是数集，而集合Q是点集，所以． 故选：AC． 6.已知,，，若，求实数的值. 【答案】或 【解析】，或或或； 若，无解； 若，无解； 若，； 若，；综上：或. 7.已知集合，是否存在实数，使得.若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】存在；或或. 【解析】∵，而集合A与a的取值范围有关. ①当时，，显然. ②当时，， ∵，如图1所示，∴∴. ③当时，， ∵，如图2所示，∴∴. 综上可知，所求实数a的取值范围为或或. 学霸笔记 2 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $