1.1集合的概念及表示（学生版）讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学第一章第一节“集合的概念及表示”，系统构建从元素与集合的定义出发，逐步延伸至集合三要素、元素关系符号、常用表示法及典型应用的完整知识链，为后续函数、不等式、逻辑推理等内容奠定坚实基础。 资料设计紧扣新课标核心素养，突出“抽象能力”“逻辑推理”和“数学表达”三大亮点。例如通过例题引导学生从现实情境中抽象出集合对象（如“游泳能手”是否构成集合），强化数学眼光；在例7中分类讨论参数取值问题，体现严谨逻辑推理；用描述法表示点集时规范书写格式，训练数学语言表达能力。课中可辅助教师精准讲解难点，课后便于学生查漏补缺，巩固概念本质，提升解题思维品质。

The essence of mathematics lies in its freedom. The essence of mathematics lies in its freedom. 1.1集合的概念及表示 本节聚焦 为什么我们要在真正开始学习高中数学之前,花费时间认识一堆陌生的符号,熟悉数种新鲜的运算?实际上,高中阶段所学习的集合论相当于各个行业内的"黑话",只需花费少量的时间便可降低后续课程中的阅读成本,增加学习效率。 本节课我们将学习什么是集合,元素与集合之间的关系以及常用的集合表示法。 知识精讲 一、集合的概念 1.含义:一般地,我们把所研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集). 2.集合相等:只要构成两个集合的元素是一样的,即这两个集合中的元素完全相同,就称这两个集合相等. 集合中的元素必须满足如下性质(集合三要素): 1.确定性:指的是作为一个集合中的元素,必须是确定的,即一个集合一旦确定,某一个元素属于或不属于这个集合是确定的,要么是该集合中的元素,要么不是,二者必居其一. 2.互异性:集合中的元素必须是互异的,就是说,对于一个给定的集合,它的任何两个元素都是不同的. 3.无序性:集合中的元素是没有顺序的,比如集合{1,2,3}与{2,3,1}表示同一集合. 重点提醒 二、元素与集合的关系 关系 概念 记法 读法 属于 如果是集合中的元素,就说属于集合 属于集合 不属于 如果不是集合中的元素,就说不属于集合 不属于集合 符号""和""只能用于元素与集合之间,并且这两个符号的左边是元素,右边是集合,具有方向性,左右两边不能互换. 重点提醒 三、集合的表示法 1.自然语言表示法:用文字语言形式来表示集合的方法.例如:小于3的实数组成的集合. 2.字母表示法:用一个大写拉丁字母表示集合,如A,B,C等,用小写拉丁字母表示元素,如a,b,c等. 常用数集的表示: 名称 非负整数集 (自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R 3.列举法:把集合的元素一一列举出来,并用花括号""括起来,如. 4.描述法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的特征,如或(这个集合表示直线上的所有点)等. 经典例题 类型一 集合的概念 例1 下列说法中正确的是( ) A.与定点,等距离的点不能构成集合 B.由"title"中的字母构成的集合中元素的个数为5 C.一个集合中有三个元素,,,其中,,,都大于0,则不可能是等边三角形 D.高中学生中的游泳能手能构成集合 类型二 集合的表示 例2 集合,用列举法可以表示为( ) A. B. C. D. 例3 用适当的方法表示下列集合: (1)方程组的解集; (2)方程的实数根组成的集合; (3)平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合; (4)二次函数的图象上所有的点组成的集合; (5)二次函数 的图象上所有点的纵坐标组成的集合. 类型三 元素与集合的关系 例4 已知,,为非零实数,代数式的值所组成的集合是,则下列判断正确的是( ) A. B. C. D. 例5 已知集合,则中元素的个数为( ) A.1 B.5 C.6 D.无数个 类型四 确定集合中的元素 例6 由实数所组成的集合,最多可含有( )个元素 A.2 B.3 C.4 D.5 类型五 利用集合的性质求参数 例7 已知集合,且,则实数的值为________. 实数的值不确定,同时,1到底是哪个元素也不能确定,故理论上有多种情况,应该分类讨论. 重点提醒 类型六 新定义问题 例8 设是一个数集,且至少含有两个元素.若对任意的,都有(除数),则称是一个数域,例如有理数集Q是一个数域,有下列说法正确的是( ) A.数域必含有两个数; B.整数集是数域; C.若有理数集Q,则数集必为数域; D.数域必为无限集. 对于假设"任意的",我们可以理解为随便挑选集合中的2个元素,即使挑选到了2个相同的元素也是可以的. 难点突破 实战演练 1.判断下列说法是否正确,并说明理由. (1)大于5小于12的所有自然数构成一个集合; (2)直角坐标平面内第一象限的一些点组成一个集合; (3)方程(x－2)2(x＋3)＝0所有解组成的集合有3个元素. 2.方程组的解集可表示为( ) A. B. C. D. 3.已知集合,则下列四个元素中属于M的元素的个数是( ) ①;②;③;④ A.4 B.3 C.2 D.1 4.已知集合,则A中元素的个数为( ) A.9 B.8 C.5 D.4 5.若集合,,则中所含元素的个数为( ) A.4 B.6 C.7 D.10 6.已知集合中有且仅有一个元素,那么的可能取值为( ) A. B. C. D. 7.若集合,且,则实数________. 8.已知集合中的元素均为整数,对于,如果且,那么称是的一个"孤立元".给定集合,由中的3个元素构成的所有集合中,不含"孤立元"的集合共有________个. 学霸笔记 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $