高考考点专项集训01：一元二次函数、方程与不等式--2026届高三数学一轮复习

2026年高考考点专项集训01一元二次函数、方程与不等式 考点一不等式与不等关系 1.(2025山西临汾·二模)若3≤a≤5，-2≤b≤1，则2a-b的范围是() A.[8,9] B.[4,8] c.[5,8] D.[5,12] 2.(2025·吉林高三九师联盟：联考预测)已知红<P<” ,则2a-2P的取值范围是() 2 兀兀 A.22 n.( C.（-π，π) D.（-兀，0) 3.（2025云南玉溪·二模)已知x>0,x2-2y+=2=0,x2<yz,则() A.y>=>x B.x>y>z C.y>x>z D.z>x>y 4.(2025-福建福州模拟预测集合与不等式)设集合M={x=2n-1,neZ,若a,dceM,d,eeR,且3d+e=b e=c,则() a A.b2<12ac B.3d∈R,e=0 C.b≤ac D.d∈Z,eeZ 5.(2024浙江金华.一模新情景辩论赛活动)某高中高三(15)班打算下周开展辩论赛活动，现有辩题A、B可供 选择，每位学生都需根据自己的兴趣选取其中一个作为自己的辩题进行资料准备，已知该班的女生人数多于男生人 数，经过统计，选辩题A的人数多于选辩题B的人数，则() A.选辩题A的女生人数多于选辩题B的男生人数 B.选辩题A的男生人数多于选辩题B的男生人数 C.选辩题A的女生人数多于选辩题A的男生人数 D.选辩题A的男生人数多于选辩题B的女生人数 6.（2024广西来宾·模拟预测·方案问题)黄金不仅可以制成精美的首饰佩戴，还因其价值高，并且是一种稀少的资 源，长久以来也是一种投资工具小李计划投资黄金，根据自身实际情况，他决定分两次进行购买，并且制定了两种 不同的方案：方案一是每次购入一定数量的黄金：方案二是每次购入一定金额的黄金己知黄金价格并不稳定，所以 他预设两次购入的单价不同.现假设他两次购入的单价分别为4,42，且4≠4，，则下列说法正确的是() A.当且仅当4>4时，方案一的平均购买成本比方案二更低 B.当且仅当a>a,时，方案二的平均购买成本比方案一更低 C.无论4,4的大小关系如何，方案一的平均购买成本比方案二更低 D.无论4,4，的大小关系如何，方案二的平均购买成本比方案一更低 7.(2025浙江六校联考·模拟预测)若负实数t满足：对于任意a∈[-4，t],总存在b,c∈[4，]，使得ab+c=1,则t 的范围是() c.「5引 D.「-V5,-4 8.(2025湖北武汉华师一中.模拟预测·多选)使关于4，b的不等式ab+1>a+b成立的充分不必要条件是() A.a>1且b>1B.a<1且b<1 C.a<1且lbl<1D.d>1且bl>1 9.(2025河南洛阳三调模拟多选)设实数a,b满足1≤bs4,4≤≤9，则() A.2≤4≤6B.1≤bl≤3 C.4≤b≤144 D.1≤ab3≤4 10.(2025辽宁抚顺模拟预测多选)已知a2+1≥b≥2a≥√2b>0,则() A.a≥1 B.b≥a+1 C.b2≥2(a+am2）D.b≥V2a2-1+1 考点二基本不等式 1.（2025山西高三部分学校5月月考齐次化“1”的妙用)已知正实数a,b满足a+b=1,则+1+2的最小 'b ab a 值为() A.2+2W2 B.4+2W2 C.4 D.7 12.（2025山东烟台市、德州市·二模)若实数x,y,z满足x+y+=0,且x>y>z,则 +京的取值范围为() s. B. c.（ D.（-1,1) B.（025广东省大湾区=按)行0>0，且+)，则弓的最小位为《) A.2 B.2W2 C.3 14.（2025河南天一大联考·模拟预测)若m2+42=5,且m>0,n>0,则- 3的最大值为() A.号 B.1 C.√2 D 15.(2025辽宁沈阳第二十中学模拟预测)已知2+9=12，x,y>0,则+2-3x的最小值为() y+1 A.-6 B.-2 C.1 D.-1 16.(2025·陕西省咸阳市武功县普集高级中学.模拟预测·新定义)记nx{a,b}表示实数a,b中的较大的数，已知x, 3、 y,z均为正数，则maxx,+maxy,}+max{z,)的最小值为() A.2√2 B.3 C.4W2 D.6 17.(2025辽宁.三模·多选)已知a>0,b>0,则下列结论正确的是（) A.若a+b=1,则a2+42≥ 4 B.若a+b=1,则Va+b的最大值为√2 C.若a+b=2,则m+b 的最小值为1 a+1b+1 a2+1+的最大值为1+2 D.若a+b=2,则1+，1 2 18.（2025·福建漳州·四检模拟多选)已知正实数x,y满足x+2y=1,则() 1 A.w≤g B.rry c. D.x+- 122 1-2y 19.(2025浙江北斗星联盟·三模·多选)已知a>0,b>0,则下列说法正确的是() A.若b=a+b+3,则ab≥9 B.a+a车的最小值为1 C.若a+b=9,则36+2的最小值为8 D.若√a+√5b≤k√a+b恒成立，则k的最小值为V5 20.（2025河北秦皇岛·三模.多选)下列选项正确的是（) A.若正实数x,y满足x+y=2,则+9+的最小值为10 B.函数y=x34的值域是-0 37 C.若正实数mn满足m+n=1,则√m+√n的最大值为√2 D.若正实数a,b满足2a+b+ab-1=0,则a+b的最小值为23-3 21.（2025福建厦门二模·基本不等式与几何)1,12,1是同一平面内的三条平行直线，1,13位于1，两侧，与1， 的距离为1,12与的距离为2，点A,B,C分别在，12，I上运动.若BA=BC,则VABC面积的最小值为 22.（2025·重庆·一模·基本不等式与数列)已知各项均为正数的等比数列{a}满足4，=4。+24，若存在两项 am,a.使得√ama=16a1，则m2+2的最小值为 考点三二次函数与一元二次不等式、方程 23.(2025·黑龙江省大庆实验中学实验二部·得分训练二)若关于x的不等式m2+bx-2>0的解集是 合习，则a的 取值范围是() B.( c.〔o D.（ouo) 24.（2025·陕西渭南·二模整数解问题)若关于x的不等式2ax2-4x<m-2有且只有一个整数解，则实数a的取值 范围是() A.(1,2] B.[1,2) C.(0,2) D.(0,2] 25.(2025·山东新高考质量联合测评·开学考试)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0@,b,c∈R)的解集为(-4,1)，则 c2+9的取值范围为(） a+b A.[-6,+) B.(-0,6) C.(-0,-6] D.(-6,+m) 262025山东菏泽郅城县第二中学4月月考)若关于x的不等式之+>心一4m+2恒成立，则m的取值范围 为() A.(2-V3,2+3) B.（-2,2) C.（5,5) D.(1-V3,1+V3 27.(2025陕西部分学校高三上阶段练习四)若m≠0，且不等式(2x2+x+n)nx≥0对任意x>0恒成立，则-n 的最小值是() A.-4 B.-3 C.-2 D.-1 28.(2025高三全国专题练习)已知关于x的不等式a≤3x-3x+4≤b,下列结论正确的是(). 4 A.当a<b<1时，不等式a≤32-3x+4≤b的解集非空 B.当a=2时，不等式a≤3x-3x+4≤b的解集可以写为c≤r≤d的形式 C.不等式a≤23x+4sb的解集恰为xa≤t≤b},那么b兰 D.不等式a≤2-3x+4≤b的解集恰为x1a≤x≤，那么b-a=4 4 29.(2025湖南郴州·三模)设正实数x,y满足8(x+y)=x3y+y3,则() A.x+y≥4 B.x2y2≥16 33 C.x2+y2≥4W2 D.y(x+y)≤16 30.(2025·山东青岛·联合测评)已知关于x的不等式(m+a)x2+(-2b)x-1>0(a>0,b>0)的解集为 则下列结论正确的是() A.2a+b=1 B.√a+2Wb的最大值为V 44 C. a+1b+1 的最小值为3+2√2 D.+b的最小值为月 31.(2025·重庆市第八中学.5月月考)已知a,b,c∈R,满足a2+b2+c2=4,且(a-2)(b-2)(c-2)=abc,则下列 结论正确的有（) A.a+b+c=2 B.ab+bc+ac=1 C.a的最大值为2 2 D.a的最小值为 32.（2025河北石家庄.一模绝对值方程)已知方程4x2-2+1+2-x=0有且仅有两个不相等的正实数根，则 实数a的取值范围是 33.(2025·上海延安中学2月月考)若不等式(x-1)(x2-x-1)≥0对任意x∈(0，+0)恒成立，则实数m的值为 34.(2025·重庆·高三12月月考新定义类型)若4，b,c是VABC的三条边，且a≤b≤c,记 6侧则当a=1时，k的取值范国是 naxfab exminfa k max b'c'a 注：maxM表示数集M中最大的数，minM表示数集M中最小的数. 35.(2025·江苏宿迁·二模·高次方程解法)设函数(x)=(x-a)(x-b)(x-c),其中a<b<c.若f(1+x)f(2-x)≤0 对任意的x∈R恒成立，则a+b+c=· 2026年高考考点专项集训01 一元二次函数、方程与不等式 考点一 不等式与不等关系 1．（2025·山西临汾·二模）若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·吉林高三九师联盟·联考预测）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·云南玉溪·二模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·福建福州·模拟预测·集合与不等式）设集合，若，，且，，则（   ） A． B．， C． D．， 5．（2024·浙江金华·一模·新情景·辩论赛活动）某高中高三（15）班打算下周开展辩论赛活动，现有辩题A、B可供选择，每位学生都需根据自己的兴趣选取其中一个作为自己的辩题进行资料准备，已知该班的女生人数多于男生人数，经过统计，选辩题A的人数多于选辩题B的人数，则（   ） A．选辩题A的女生人数多于选辩题B的男生人数 B．选辩题A的男生人数多于选辩题B的男生人数 C．选辩题A的女生人数多于选辩题A的男生人数 D．选辩题A的男生人数多于选辩题B的女生人数 6．（2024·广西来宾·模拟预测·方案问题）黄金不仅可以制成精美的首饰佩戴，还因其价值高，并且是一种稀少的资源，长久以来也是一种投资工具.小李计划投资黄金，根据自身实际情况，他决定分两次进行购买，并且制定了两种不同的方案：方案一是每次购入一定数量的黄金：方案二是每次购入一定金额的黄金.已知黄金价格并不稳定，所以他预设两次购入的单价不同.现假设他两次购入的单价分别为，且，则下列说法正确的是（    ） A．当且仅当时，方案一的平均购买成本比方案二更低 B．当且仅当时，方案二的平均购买成本比方案一更低 C．无论的大小关系如何，方案一的平均购买成本比方案二更低 D．无论的大小关系如何，方案二的平均购买成本比方案一更低 7．（2025·浙江六校联考·模拟预测）若负实数满足：对于任意，总存在，使得，则的范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·湖北武汉华师一中·模拟预测·多选）使关于的不等式成立的充分不必要条件是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 9．（2025·河南洛阳·三调模拟·多选）设实数满足，则（    ） A． B． C． D． 10．（2025·辽宁抚顺·模拟预测·多选）已知，则（   ） A． B． C． D． 考点二 基本不等式 11．（2025·山西高三部分学校·5月月考·齐次化“1”的妙用）已知正实数，满足，则的最小值为（     ） A． B． C．4 D．7 12．（2025·山东烟台市、德州市·二模）若实数x，y，z满足，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 13．（2025·广东省大湾区·二模）若，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 14．（2025·河南天一大联考·模拟预测）若，且，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 15．（2025·辽宁沈阳第二十中学·模拟预测）已知，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 16．（2025·陕西省咸阳市武功县普集高级中学·模拟预测·新定义）记表示实数a，b中的较大的数，已知x，y，z均为正数，则的最小值为（   ） A． B．3 C． D．6 17．（2025·辽宁·三模·多选）已知，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则的最大值为 C．若，则的最小值为1 D．若，则的最大值为 18．（2025·福建漳州·四检模拟·多选）已知正实数，满足，则（   ） A． B． C． D． 19．（2025·浙江北斗星联盟·三模·多选）已知，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．的最小值为1 C．若，则的最小值为8 D．若恒成立，则的最小值为 20．（2025·河北秦皇岛·三模·多选）下列选项正确的是（    ） A．若正实数满足，则的最小值为10 B．函数的值域是 C．若正实数满足，则的最大值为 D．若正实数满足，则的最小值为 21．（2025·福建厦门·二模·基本不等式与几何），，是同一平面内的三条平行直线，，位于两侧，与的距离为1，与的距离为2，点A，B，C分别在，，上运动.若，则面积的最小值为 . 22．（2025·重庆·一模·基本不等式与数列）已知各项均为正数的等比数列 满足 ，若存在两项 使得 ，则的最小值为 . 考点三 二次函数与一元二次不等式、方程 23．（2025·黑龙江省大庆实验中学实验二部·得分训练二）若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 24．（2025·陕西渭南·二模·整数解问题）若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 25．（2025·山东新高考质量联合测评·开学考试）已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 26．（2025·山东菏泽鄄城县第一中学·4月月考）若关于的不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 27．（2025·陕西部分学校高三上·阶段练习四）若，且不等式对任意恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 28．（2025高三·全国·专题练习）已知关于的不等式，下列结论正确的是（   ）． A．当时，不等式的解集非空 B．当时，不等式的解集可以写为的形式 C．不等式的解集恰为，那么 D．不等式的解集恰为，那么 29．（2025·湖南郴州·三模）设正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 30．（2025·山东青岛·联合测评）已知关于x的不等式的解集为，则下列结论正确的是（   ） A． B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 31．（2025·重庆市第八中学·5月月考）已知，满足，且，则下列结论正确的有（   ） A． B． C．的最大值为2 D．的最小值为 32．（2025·河北石家庄·一模·绝对值方程）已知方程有且仅有两个不相等的正实数根，则实数的取值范围是 . 33．（2025·上海延安中学·2月月考）若不等式对任意恒成立，则实数m的值为 34．（2025·重庆·高三12月月考·新定义类型）若是的三条边，且，记，则当时，的取值范围是 . 注:表示数集中最大的数，表示数集中最小的数. 35．（2025·江苏宿迁·二模·高次方程解法）设函数，其中．若对任意的恒成立，则 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考考点专项集训01 一元二次函数、方程与不等式 考点一 不等式与不等关系 1．（2025·山西临汾·二模）若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质即可求解. 【详解】由可得， 故， 故选：D 2．（2025·吉林高三九师联盟·联考预测）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用不等式的性质，线性运算即可求出的取值范围. 【详解】因为，所以， 则，又，所以， 从而． 故选：B． 3．（2025·云南玉溪·二模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由原式可得，然后由作差法分别比较与，与的大小关系，即可得到结果. 【详解】由，且可得，即， 则， 又，即，化简可得， 即，其中， 所以，即，所以， 所以，所以， 又，所以， 综上所述，. 故选：A 4．（2025·福建福州·模拟预测·集合与不等式）设集合，若，，且，，则（   ） A． B．， C． D．， 【答案】D 【分析】本题考查集合的性质，利用不等式作差比较大小可判断A选项，从而判定C选项，B选项取特值即可，D选项对当为奇数，为奇数和，为整数，且其中至少有一个为偶数进行分类讨论，导出矛盾. 【详解】由，，则，， 则 又实数，，所以，即，A选项错误； 当，，此时，B选项错误； 由A选项知，，故当时，，C选项错误； D选项：1.当为奇数，为奇数时，为偶数．又，因为为奇数，所以必为偶数，这与为奇数矛盾． 2.当，为整数，且其中至少有一个为偶数，则必为偶数．又，且为奇数，所以必为偶数，这与为奇数矛盾．故，不可能都为整数，即，，选项D正确． 故选：D. 5．（2024·浙江金华·一模·新情景·辩论赛活动）某高中高三（15）班打算下周开展辩论赛活动，现有辩题A、B可供选择，每位学生都需根据自己的兴趣选取其中一个作为自己的辩题进行资料准备，已知该班的女生人数多于男生人数，经过统计，选辩题A的人数多于选辩题B的人数，则（   ） A．选辩题A的女生人数多于选辩题B的男生人数 B．选辩题A的男生人数多于选辩题B的男生人数 C．选辩题A的女生人数多于选辩题A的男生人数 D．选辩题A的男生人数多于选辩题B的女生人数 【答案】A 【分析】根据不等式的性质以及简单的逻辑推理，找出正确的选项即可. 【详解】设选辩题A的男生有x人，选辩题A的女生有y人，选辩题B的男生有m人，选辩题B的女生有n人. 已知该班女生人数多于男生人数，即；又知选辩题A的人数多于选辩题B的人数，即. 将这两个不等式相加得到：，两边同时消去得到，即. 这就意味着选辩题A的女生人数多于选辩题B的男生人数. 故选：A. 6．（2024·广西来宾·模拟预测·方案问题）黄金不仅可以制成精美的首饰佩戴，还因其价值高，并且是一种稀少的资源，长久以来也是一种投资工具.小李计划投资黄金，根据自身实际情况，他决定分两次进行购买，并且制定了两种不同的方案：方案一是每次购入一定数量的黄金：方案二是每次购入一定金额的黄金.已知黄金价格并不稳定，所以他预设两次购入的单价不同.现假设他两次购入的单价分别为，且，则下列说法正确的是（    ） A．当且仅当时，方案一的平均购买成本比方案二更低 B．当且仅当时，方案二的平均购买成本比方案一更低 C．无论的大小关系如何，方案一的平均购买成本比方案二更低 D．无论的大小关系如何，方案二的平均购买成本比方案一更低 【答案】D 【分析】根据题意，分别计算出方案一与方案二的平均购买成本，然后作差比较大小，即可判断. 【详解】方案一：设每次购入的黄金数量为，则平均购买成本； 方案二：设每次购入的黄金金额为，则平均购买成本为 ， 所以， 且，则，即， 无论的大小关系如何，方案二的平均购买成本比方案一更低. 故选：D 7．（2025·浙江六校联考·模拟预测）若负实数满足：对于任意，总存在，使得，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件得到，求得的范围，由的取值范围是的子集，构造不等式求解即可. 【详解】由题可知：对于任意，总存在， 使得， 所以的取值范围是的子集即可， ， 注意到， ， 因为，所以 故选：B 8．（2025·湖北武汉华师一中·模拟预测·多选）使关于的不等式成立的充分不必要条件是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】ABC 【分析】先化简不等式，再根据充分不必要条件判断即可. 【详解】不等式等价于， 则与同正或同负，即或， 对于A，由且能推出或，但由或不能推出且，故A符合题意； 对于B，由且能推出或，反之不能，故B符合题意； 对于C，且等价于且， 故且能推出或，反之不能，故C符合题意； 对于D，且等价于或且或， 故且不能推出或，故D不符合题意. 故选：ABC. 9．（2025·河南洛阳·三调模拟·多选）设实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据不等式的性质，变形求解. 【详解】，两式相乘得，所以，A正确； 由题得，又，两式相乘得，所以，B错误； 因为，所以两式相乘得，C正确； 因为，所以两式相乘得，D错误． 故选：AC 10．（2025·辽宁抚顺·模拟预测·多选）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用不等式的性质分析运算判断即可得解. 【详解】解：对于选项A，由，得，所以，即，故A项正确； 对于选项B，∵，∴，则，∴，故B项正确； 对于选项C，，是一组满足条件的数，但， 不满足C项中的不等式，故C项错误； 对于选项D，由得，由得，所以， 两式相加得，即， 所以，故D项正确． 故选：ABD． 考点二 基本不等式 11．（2025·山西高三部分学校·5月月考·齐次化“1”的妙用）已知正实数，满足，则的最小值为（     ） A． B． C．4 D．7 【答案】D 【分析】对于，利用以值代参，求解基本不等式. 【详解】 ， 当且仅当,即取等号． 故选：D． 12．（2025·山东烟台市、德州市·二模）若实数x，y，z满足，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将换成用表示,从而将平方表示成，由,求出，进而求出范围. 【详解】因为, 所以且, 故且, 所以, 故, , 所以, 所以, 故选：A． 13．（2025·广东省大湾区·二模）若，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】由条件可得，然后由基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，即，即， 且，则， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B 14．（2025·河南天一大联考·模拟预测）若，且，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】对目标式合理变形，再利用基本不等式求解即可． 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故选：B. 15．（2025·辽宁沈阳第二十中学·模拟预测）已知，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】对进行变形，结合，运用基本不等式计算即可. 【详解】, 由于， 当且仅当，即取等号. 则. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题关键是对进行变形，然后结合进行配凑放缩，即可求出最值. 16．（2025·陕西省咸阳市武功县普集高级中学·模拟预测·新定义）记表示实数a，b中的较大的数，已知x，y，z均为正数，则的最小值为（   ） A． B．3 C． D．6 【答案】C 【分析】本题分两种情况讨论，当和时的两种情况，然后根据基本不等式的性质求出最小值. 【详解】设， 当时，， 因为均为正数，所以 ， 当且仅当，，时，等式成立； 当时，， 当且仅当，，时，等式成立. 综上可知，t的最小值为. 故选：C. 17．（2025·辽宁·三模·多选）已知，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则的最大值为 C．若，则的最小值为1 D．若，则的最大值为 【答案】BCD 【分析】通过消元转化为二次函数求最值判断A选项,通过平方后用基本不等式判断B选项,通过变形将转化为再利用基本不等式求最值, 变形，转化为为整体的一元函数最值问题求解,利用基本不等式或双勾函数求最值即可. 【详解】由题意得，A项错误； ，所以（当且仅当时取等号），B项正确； ，当且仅当时取等号，C项正确； ， 又因为， 所以， 设， 则，当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为，D项正确． 故选:BCD． 18．（2025·福建漳州·四检模拟·多选）已知正实数，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，直接利用基本不等式即可判断；对于B，消元法可求出的范围，即可判断；对于C，利用常值代换法，利用基本不等式即可求解；对于D，消元后利用基本不等式求得的范围即可判断. 【详解】对于A，因，则，即得，当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B ，因，由可得，故在时取得最小值，，故B错误； 对于C，由，当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D，因，由，当且仅当时等号成立，由上分析，故有，即D正确. 故选：ACD. 19．（2025·浙江北斗星联盟·三模·多选）已知，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．的最小值为1 C．若，则的最小值为8 D．若恒成立，则的最小值为 【答案】AC 【分析】利用基本不等式求解A，利用基本不等式的取等条件判断B，利用基本不等式结合“1”的代换判断C，先分离参数，再对平方后利用换元法和判别式法求解最值，得到的最小值判断D即可. 【详解】对于A，，当且仅当时取等号， 即，得到，解得．故A正确； 对于B，， 当且仅当，即时取等号，显然的值不存在，故B错误； 对于C，因为，所以， 由基本不等式得， 当且仅当时取等，此时解得， 则的最小值为8，故C正确， 对于D，因为恒成立，且，， 所以恒成立，而 ， 令，则可化为， 令，则， 化简得， 而该一元二次方程一定有实数根，得到， 解得，当时，， 故，故即， 得到，则的最小值为，故D错误. 故选：AC 20．（2025·河北秦皇岛·三模·多选）下列选项正确的是（    ） A．若正实数满足，则的最小值为10 B．函数的值域是 C．若正实数满足，则的最大值为 D．若正实数满足，则的最小值为 【答案】AC 【分析】根据基本不等式分式分离，结合“1”的巧用，求解的最值，即可判断A；根据基本不等式和为定值，求解的最值，从而得函数的取值范围，即可判断B；利用基本不等式根据和为定值求和式最值，即可判断C；由已知等式凑乘积为定值的式子，结合基本不等式求的最小值，即可判断D. 【详解】对于A，因为， 当且仅当，即时，等号成立，故选项A正确； 对于B，因为，当且仅当时，等号成立，所以函数的值域为，故选项B错误； 对于C，由正实数满足，由，得， 当且仅当，即时，等号成立，故选项C正确； 对于D，由，得，所以， 当且仅当，即时等号成立，而，最小值取不到，故选项D错误． 故选：AC． 21．（2025·福建厦门·二模·基本不等式与几何），，是同一平面内的三条平行直线，，位于两侧，与的距离为1，与的距离为2，点A，B，C分别在，，上运动.若，则面积的最小值为 . 【答案】 【分析】根据相似可得则，即可根据基本不等式得，即可根据求解. 【详解】过作于, 由于,所以是中点，故则， 所以， 又则， 故，当且仅当时，的面积的最小值为， 故答案为： 22．（2025·重庆·一模·基本不等式与数列）已知各项均为正数的等比数列 满足 ，若存在两项 使得 ，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先根据等比数列的性质整理可得公比，再利用通项公式代入中，可得出与的关系，最后结合基本不等式即可求解。 【详解】由题，因为，， 所以， 因为各项均为正数，所以，则，解得或（舍去）， 又，则， 所以，即，则， 所以， 当且仅当时，可得的最小值为. 故答案为： 考点三 二次函数与一元二次不等式、方程 23．（2025·黑龙江省大庆实验中学实验二部·得分训练二）若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知根据解集的形式判断二次函数的开口方向和方程根的大小关系，即可求解. 【详解】因为关于的不等式的解集是， 所以且， 解得，所以的取值范围是. 故选：. 24．（2025·陕西渭南·二模·整数解问题）若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，解得：，不满足条件； 故，关于的不等式可得， 所以，即， 方程的两根为， 当时，不等式可化为，， 解集为：，不满足条件； 当时，不等式可化为， 当时，则，即，不等式的解集为：， 要使不等式有且只有一个整数解，则，又因为，不满足条件； 当时，则，即，不等式的解集为空集， 当时，则，即，不等式的解集为， 要使不等式有且只有一个整数解，则，解得：， 故实数的取值范围是：. 故选：B. 25．（2025·山东新高考质量联合测评·开学考试）已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据韦达定理可得，即可代入化简，利用基本不等式求解即可. 【详解】由于的解集为，故是方程的两个实数根， 故，即， 因此， 由于，则，故，当且仅当取等号， 故， 故选：C 26．（2025·山东菏泽鄄城县第一中学·4月月考）若关于的不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由基本不等式，得到，转化为恒成立，结合一元二次不等式的解法，即可得到答案. 【详解】由基本不等式，可得，当且仅当时，即时，等号成立， 因为不等式恒成立，即恒成立， 又由不等式，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 27．（2025·陕西部分学校高三上·阶段练习四）若，且不等式对任意恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对分，和讨论，再利用二次函数根的分布得到不等式，解出的范围，再计算得，即可得到其最小值. 【详解】当时，，则需， 当时，恒成立， 当时，，则需. 设，则， 解得或， 所以，当时，取得最小值，且最小值为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是对的分类讨论，从而得到一元二次方程根的分布情况，得到相关不等式和等式，再换元计算即可. 28．（2025高三·全国·专题练习）已知关于的不等式，下列结论正确的是（   ）． A．当时，不等式的解集非空 B．当时，不等式的解集可以写为的形式 C．不等式的解集恰为，那么 D．不等式的解集恰为，那么 【答案】D 【分析】利用一元二次不等式的解法求解不等式，即可判断选项A；在同一直角坐标系中，作出函数的图象以及直线、直线，由图象分析，即可判断选项B；由题意得到，且，求出的值，分析或两种情况是否符合题意，即可判断选项C、D. 【详解】令，则． 选项A：因为，所以，所以的解集为，故A错误； 选项B：在同一平面直角坐标系中作出函数的图象以及直线、直线.由图可知，当时，不等式的解集为的形式，故B错误； 选项C：由不等式的解集恰为，可知，即，因此，.当时，解得或. 当时，，解得或，不满足，不符合题意，故C错误； 选项D：当时，，解得或，满足，此时，故D正确. 故选：D.    29．（2025·湖南郴州·三模）设正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A：设，整理可得得，结合运算求解；对于BD：利用基本不等式分析判断；对于C：先证，即可得结果. 【详解】对于选项A：因为正实数满足， 设，则， 因为， 即，整理可得得， 将其看为关于的一元二次方程，则，解得， 即，故A正确； 对于选项D：因为，且，， 则，当且仅当时，等号成立， 所以，故D正确； 对于选项B：因为，则， 当且仅当时，等号成立， 则，得，当且仅当时，等号成立，故B错误； 对于选项C：因为 ， 因为，则，， 可得，当且仅当时，等号成立， 即，可得， 即，当且仅当时，等号成立 所以，故C正确； 故选：ACD. 30．（2025·山东青岛·联合测评）已知关于x的不等式的解集为，则下列结论正确的是（   ） A． B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】BC 【分析】 由已知结合二次不等式与二次方程的关系可得，然后结合基本不等式的乘“1”法可判断C，利用向量的性质可求解B，根据二次函数的性质可判断D． 【详解】因为关于的不等式，的解集为, 所以，所以，， 所以，A错误； 因为，，所以，当且仅当时取等号，故，由于设，由于，故，当且仅当时等号成立，故B正确； ，当且仅当，即时取等号，C正确； ，当且仅当时取等号，故最小值为，D错误． 故选：BC． 31．（2025·重庆市第八中学·5月月考）已知，满足，且，则下列结论正确的有（   ） A． B． C．的最大值为2 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】根据完全平方公式即可判断AB；构造以为两根的一元二次方程，结合即可判断CD． 【详解】， 所以， 解得，故A正确； 所以，即，故B错误； 由得，， ， 构造以为两根的一元二次方程， 则，故CD正确； 故选：ACD． 32．（2025·河北石家庄·一模·绝对值方程）已知方程有且仅有两个不相等的正实数根，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据的正负以及的正负分类讨论，结合图象确定的取值范围. 【详解】（1）当时，方程化为：，此时无解，舍去； （2）当时，考虑方程正实数根情况，只需研究当时方程解的情况， 即此时方程化为， 若此时方程有两个不相等的正实数根，则需 （3）当时，因为， 所以方程化为， 若此时方程有两个不相等的正实数根，则需 （4）当时，函数与轴有两个零点 函数与轴有两个零点 因为，所以即 作出函数与函数图象，    由图可知两图象有两个不同交点，且交点横坐标大于零，从而方程有两个不相等的正实数根， 综上，满足条件的取值范围为或，即 故答案为： 33．（2025·上海延安中学·2月月考）若不等式对任意恒成立，则实数m的值为 【答案】/ 【分析】通过二次函数的性质和方程的根，列出不等式求出结果. 【详解】解：若，则当趋于时，趋于，不满足题意； 当时，是方程的一个根， 不等式对任意恒成立， 且方程的两根不相等， 所以是方程的根， ， ，得， 此时原不等式等价于，显然时恒成立， 实数m的值为， 故答案为：． 34．（2025·重庆·高三12月月考·新定义类型）若是的三条边，且，记，则当时，的取值范围是 . 注:表示数集中最大的数，表示数集中最小的数. 【答案】 【分析】首先求出，然后分类讨论，利用三角形两边之和大于第三边和不等式的性质进行推导，联立不等式求解即可得. 【详解】因为且， 所以， 当，即时，， 所以， 又，所以，且， 又是的三条边，所以， 当时，，因为， 所以，解得，又，所以， 当时，，符合题意， 所以， 当，即时，， 所以， 又 是的三条边，可得且， ，即， 综上：当时，的取值范围是， 故答案为： 35．（2025·江苏宿迁·二模·高次方程解法）设函数，其中．若对任意的恒成立，则 ． 【答案】 【分析】令，求出方程、的根，假设，结合穿根法可得出，进而得出，分析可知对任意的恒成立，可求出的值，由此可得出的值. 【详解】因为，则， 令，可得或或， 由于，则， ， 令， 令可得或或， 由于，则， 由可得， 若，取，，， 当时，，，此时，， 当时，由穿根法可知，，矛盾， 所以，，即，则， 所以， 因为对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立，则，解得， 因此，. 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $