专题02 二次函数【知识梳理+解题方法+专题过关】-2025-2026学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（人教版）

专题02 二次函数 一．二次函数的定义 一般地，形如（a，b，c是常数，）的函数叫做二次函数，其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项． 注意： 任何一个二次函数的解析式都可化为（a，b，c是常数，）的形式，因此，把（a，b，c是常数，）叫做二次函数的一般式．二次项系数a不能为0，而b，c可以为0． 二．二次函数的图象和性质 1．二次函数的图象叫做抛物线，抛物线是轴对称图形，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点，顶点是抛物线的最低点或最高点．抛物线的对称轴是y轴，顶点是原点． 2．二次函数图象的作法： ①列表：一般取5个或7个点，作为顶点的原点是必取的，然后在y轴的两侧各取2个或3个点，注意对称取点； ②描点：一般先描出对称轴一侧的几个点，再根据对称性找出另一侧的几个点； ③连线：按照自变量由小到大的顺序，用平滑的曲线连接所描的点，两端无限延伸． 注意： ①连线时按照自变量由小到大的顺序是为了体会函数的增减性； ②在画函数图象时，图象必须平滑，顶端不能画成尖形的，一般来说，选点越多，图象越精确，但也要具体问题具体分析； ③抛物线是向两方无限延伸的，左右两侧必须保持关于对称轴对称． 3．二次函数的图象和性质： ①开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下． ②对称轴是y轴（或直线）． ③顶点坐标是． ④增减性：当时，在对称轴的左侧（即当时），y随x的增大而减小；在对称轴的右侧（即当时），y随x的增大而增大．当时，在对称轴的左侧（即当时），y随x的增大而增大；在对称轴的右侧（即当时），y随x的增大而减小． ⑤最大（小）值：当时，抛物线有最低点，即当时，；当时，抛物线有最高点，即当时，． 4．a的作用： ①a的正负决定抛物线的开口方向和函数的最值； ②的大小决定抛物线的开口大小：越大，抛物线的开口越小． 5．抛物线和的关系： ①开口大小相同，方向相反； ②两抛物线关于x轴对称，关于原点中心对称． 三．二次函数（a，k是常数，）的图象和性质 二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴是y轴，顶点坐标是，它与的图象形状相同，只是位置不同．函数的图象是由抛物线向上（或下）平移个单位长度得到的． 二次函数与的图象之间的关系如下表所示： 向上平移个单位长度 向下平移个单位长度 当时，抛物线的开口向上，在对称轴的左边（时），抛物线自左向右下降，函数y随x的增大而减小；在对称轴的右边（时），抛物线自左向右上升，函数y随x的增大而增大．顶点是抛物线的最低点，在顶点处函数y取得最小值，即当时，． 当时，抛物线的开口向下，在对称轴的左边（时），抛物线自左向右上升，函数y随x的增大而增大；在对称轴的右边（时），抛物线自左向右下降，函数y随x的增大而减小．顶点是抛物线的最高点，在顶点处函数y取得最大值，即当时，． 四．二次函数（a，h是常数，）的图象和性质 二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴是平行于y轴或与y轴重合的直线，顶点坐标是，它与的图象形状相同，位置不同．函数的图象是由抛物线向右（或左）平移个单位长度得到的． 二次函数与的图象之间的关系如下表所示： 向左平移个单位长度 向右平移个单位长度 当时，抛物线的开口向上，在对称轴的左边（时），抛物线自左向右下降，函数y随x的增大而减小；在对称轴的右边（时），抛物线自左向右上升，函数y随x的增大而增大．顶点是抛物线的最低点，在顶点处函数y取得最小值，即当时，． 当时，抛物线的开口向下，在对称轴的左边（时），抛物线自左向右上升，函数y随x的增大而增大；在对称轴的右边（时），抛物线自左向右下降，函数y随x的增大而减小．顶点是抛物线的最高点，在顶点处函数y取得最大值，即当时，． 五．二次函数（a，h，k是常数，）的图象和性质 二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线，顶点坐标为，是由抛物线向右（左）平移个单位长度，再向上（下）平移个单位长度得到的． 当时，抛物线的开口向上，在对称轴的左边（时），抛物线自左向右下降，函数y随x的增大而减小；在对称轴的右边（时），抛物线自左向右上升，函数y随x的增大而增大．顶点是抛物线的最低点，在顶点处函数y取得最小值，即当时，． 当时，抛物线的开口向下，在对称轴的左边（时），抛物线自左向右上升，函数y随x的增大而增大；在对称轴的右边（时），抛物线自左向右下降，函数y随x的增大而减小．顶点是抛物线的最高点，在顶点处函数y取得最大值，即当时，． 注意：由于从中可以直接看出抛物线的顶点坐标，所以通常把叫做二次函数的顶点式． 六．二次函数的图象和性质 1．抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 当时，抛物线的开口向上，在对称轴的左边（时），抛物线自左向右下降，函数y随x的增大而减小；在对称轴的右边（时），抛物线自左向右上升，函数y随x的增大而增大．顶点是抛物线的最低点，在顶点处函数y取得最小值，即当时，． 当时，抛物线的开口向下，在对称轴的左边（时），抛物线自左向右上升，函数y随x的增大而增大；在对称轴的右边（时），抛物线自左向右下降，函数y随x的增大而减小．顶点是抛物线的最高点，在顶点处函数y取得最大值，即当时，． 2．二次函数的图象特征与a，b，c，的符号之间的关系： 字母的符号 图象的特征 a 开口向上 开口向下 b 对称轴为y轴 （a，b同号） 对称轴在y轴左侧 （a，b异号） 对称轴在y轴右侧 c 图象过原点 图象与y轴正半轴相交 图象与y轴负半轴相交 图象与x轴有唯一一个交点 图象与x轴有两个交点 图象与x轴没有交点 注意：二次函数的图象特征与a，b，c及的符号之间的关系是互逆的，即由字母的符号能确定图象的特征，反之，由图象的特征也能确定字母的符号． 七．用待定系数法求二次函数解析式 1．一般式 2．顶点式 3．交点式 利用待定系数法求二次函数的解析式，一般有以下几种情况： ①顶点在原点，可设为； ②对称轴是y轴（或顶点在y轴上），可设为； ③顶点在x轴上（或抛物线与x轴只有一个交点），可设为； ④抛物线过原点，可设为； ⑤已知顶点时，可设为顶点式； ⑥已知抛物线上三点坐标时，可设为一般式； ⑦已知抛物线与x轴两交点坐标为，时，可设为交点式． 八．二次函数与一元二次方程的关系 函数，当时，得到一元二次方程．那么一元二次方程的根就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此，二次函数的图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况． ①当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程 有两个不相等的实数根； ②当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程 有两个相等的实数根； ③当二次函数的图象与x轴无交点时，，方程无实数根． 注意：求一元二次方程的根也就是求二次函数的值为0时，自变量x的值，即抛物线与x轴的交点的横坐标． 九．二次函数与一元二次不等式的关系 抛物线在x轴上方部分点的纵坐标为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；在x轴下方部分点的纵坐标为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号． 【专题过关】 一．二次函数的概念（共6小题） 1．下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 3．若正方形的边长为6，边长增加x，面积增加y，则y关于x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 4．当 时，函数是二次函数． 5．已知是二次函数，则实数 ． 6．某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设降价后售价为x元，每天利润为y元，则y与x之间的函数关系为 ． 二．二次函数的图象和性质（共5小题） 7．若拋物线的开口向上，则m的值可能为（    ） A．0 B．1 C．3 D． 8．已知抛物线经过，，三点，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 9．抛物线，和共有的性质是（    ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．图象都在某条与x轴平行的直线上方 D．抛物线呈下降趋势 10．抛物线，开口 ，顶点坐标为 ，对称轴为 ； 抛物线，开口 ，顶点坐标为 ，对称轴为 ．相比之下，抛物线 的开口程度较大． 11．如图所示，在同一坐标系中，作出①；② ；③的图象，则图象，，对应的函数解析式依次是 ．（填序号） 三．二次函数的图象和性质（共6小题） 12．抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．x轴 D．y轴 13．若，，则二次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 14．二次函数，当时，y的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．抛物线在y轴右侧部分呈现 的趋势（填“上升”或者“下降”） ． 16．二次函数的图象的顶点坐标是 ． 17．已知，是抛物线上的两点，则和的大小关系是 （填“”、“”或“=”）． 四．二次函数的图象和性质（共6小题） 18．下列图象是二次函数的图象的是（    ） A． B． C． D． 19．已知函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 20．关于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．图象经过原点 B．开口向上 C．对称轴是直线 D．最高点是 21．抛物线的顶点坐标是 ． 22．下面是三位同学对某个二次函数的描述． 甲：图象的形状、开口方向与的相同； 乙：顶点在x轴上； 丙：对称轴是直线． 请写出这个二次函数的表达式： ． 23．二次函数的图象是由抛物线向 平移 个单位长度得到的；此函数图象开口向 ，对称轴是 ，当 时， y有最 值，是 ． 五．二次函数的图象和性质（共5小题） 24．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而增大 25．将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得的抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 26．对于抛物线下列结论：①抛物线的开口向上；②对称轴为直线；③顶点坐标为；④当时，y随x的增大而减小．其中正确的结论是（    ） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④ 27．抛物线的顶点坐标是 ． 28．已知点，都在二次函数的图象上，则与的大小关系是 ． 六．二次函数的平移（共5小题） 29．若将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后的二次函数解析式为（    ） A． B． C． D． 30．将抛物线先向右平移a个单位长度，再向下平移4个单位长度，平移后的抛物线与抛物线重合，则a，b的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 31．将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的解析式为 ． 32．将抛物线向右移1单位，上移2单位所得到的新抛物线解析式为 ． 33．已知是由抛物线向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度得到的，则 ， ， ． 七．二次函数的图象和性质（共6小题） 34．关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，y随x增大而增大 35．关于抛物线，下列说法错误的是（    ） A．开口向上 B．与x轴有一个交点 C．对称轴是直线 D．时，y随x增大而减小 36．抛物线向右平移2个单位后再向下平移3个单位，此时抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 37．将二次函数化为顶点式为 ，对称轴是直线 ． 38．如果当时，二次函数的图象一定不经过第 象限． 39．已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表： … 0 1 2 3 … … 3 0 3 … 有以下几个结论：①抛物线的开口向下；②当时，x的取值范围是或； ③方程的根为0和2；④抛物线的对称轴为直线；其中正确的 ．（填序号） 八．二次函数图象与系数a，b，c的关系（共4小题） 40．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 41．二次函数的图象如图，给出下列五个结论： ①；②；③；④；⑤． 其中正确结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 42．已知二次函数的图象如图所示，对称轴为，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是 ． 43．抛物线如图所示，现有下列四个结论： ①；②；③；④，其中正确的结论有 ． 九．二次函数图象判断（共5小题） 44．在同一平面直角坐标系中，函数与函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 45．在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 46．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 47．函数、在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 48．函数，在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 十．二次函数的对称性（共3小题） 49．二次函数的部分对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 5 0 0 … 二次函数图象的对称轴是（    ） A．直线 B．y轴 C．直线 D．直线 50．下表给出了二次函数的自变量x与函数y的一些对应值，则下列说法正确的是（    ） … 0 1 2 … … 0 3 4 3 … A．对称轴为直线 B．当时， C．当时，y随x的增大而增大 D．此函数有最小值4 51．已知二次函数的图象与y轴交于点A，点A与点B关于抛物线的对称轴对称，且点，在该函数图象上．二次函数中的自变量x与函数值y的部分对应值如表所示： x … 0 1 3 … y … 2 5 5 … 有下列结论：①抛物线的对称轴是直线；②这个函数的最大值大于5； ③点B的坐标是；④当，时，． 其中正确的是（    ） A．①③ B．②③④ C．②④ D．①②④ 十一．二次函数与一元二次方程、不等式的关系（共7小题） 52．已知二次函数的图象与x轴没有交点，则k的取值范围为（    ） A． B．且 C． D．且 53．次函数图象的对称轴，若关于x的一元二次方程在的范围内有实数解，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 54．如表是代数式的部分值的情况． 1.1 1.2 1.3 1.4 －0.59 0.84 2.29 3.76 根据表格中的数据，则关于方程的一个正根的判断正确的是（    ） A． B． C． D． 55．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②方程必有一个根大于2且小于3；③若，是抛物线上的两点，那么；④对于任意实数m，都有，其中正确结论的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 56．如图，二次函数的部分图象与x轴交于点，对称轴为直线，则当函数值时，自变量x的取值范围是 ； 57．二次函数（a，b，c是常数，且）的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是 ． 58．如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③当时，；④其中正确的结论为 （填序号） 十二．待定系数法求二次函数解析式（共4小题） 59．已知抛物线的顶点为，且过，求此二次函数的解析式． 60．已知二次函数的图象经过，，三点．求这个二次函数的表达式． 61．已知二次函数的图象经过点和点． （1）求这个函数的解析式； （2）函数的开口方向、对称轴． 62．已知抛物线的图象经过点，． （1）求这个二次函数的表达式． （2）当时，函数的最大值为m，最小值为n，求的值． 十三．实际问题与二次函数（共4小题） 63．如图，矩形中，厘米，厘米，点P从点A开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发． （1）经过几秒时，的面积等于8平方厘米？ （2）在运动过程中，的面积能否等于矩形的面积的四分之一？若能，求出运动时间；若不能，说明理由． （3）在移动过程中，的最大面积是多少？ 64．如图是某公园的一座抛物线形拱桥，夏季正常水位时拱桥的拱顶到水面的距离为1.8m，秋季水位会下降约0.2m，此时水面宽度约为4.0m． （1）如图1，以的中点O为原点，所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，请求出抛物线的解析式； （2）如图2，国庆节期间为装点节日的气氛，公园决定在拱桥上挂一串小彩灯，这串彩灯在拱桥中间部分与水面接近平行，两边自然垂下且关于抛物线的对称轴对称，彩灯两端的最低点M，N到水面的距离为1.4m，求这串彩灯的最大长度． 65．某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线形．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点A和点B是一个柱形喷泉装置上的两个喷头，A喷头喷出的水流的落地点为C．以O为原点，以所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计） 已知：，，，从A喷头和B喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和． （1）求A喷头喷出的水流的最大高度； （2）一名游人站在点D处，．当围观游人喊声较大时，B喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点D处？ 66．一名大学毕业生响应国家“自主创业”的号召，在松山湖高新区租用了一个门店，聘请了两名员工，计划销售一种产品．已知该产品成本价是20元/件，其销售价不低于30元，且不高于45元/件，员工每人每天的工资为200元，经过市场调查发现，该产品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）求出每天门店的最大纯利润和最小纯利润分别是多少？并求出每件产品对应的销售价．（纯利润销售收入产品成本员工工资） 十四．二次函数综合应用（共3小题） 67．如图，已知点，，在抛物线上． （1）求抛物线解析式； （2）在直线上方的抛物线上求一点P，使面积为1； （3）在抛物线的对称轴上，是否存在一点Q，使是等腰三角形，若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 68．已知抛物线与x轴相交于，两点与y轴交于点C，作直线． （1）求抛物线和直线对应的函数表达式； （2）利用图象求不等式的解集； （3）点P是位于第四象限内抛物线上的一个动点，连接，， ①当的面积最大时，求点P的坐标及的面积 ②在x轴上是否存在一点Q，使得以P，C，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 69．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的表达与轴交于点和点，与y轴交于点A． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上的一动点，过点P作，垂足为点Q，点E，F分别是x轴和直线上一点，当取得最大值时，求此时点P的坐标及的最小值； （3）在（2）的条件下，当取得最大值时，将抛物线沿射线方向平移，使新抛物线经过点Q，点M是新抛物线上一动点，连接，当时，请直接写出所有符合条件的点M的横坐标． 25 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数 一．二次函数的定义 一般地，形如（a，b，c是常数，）的函数叫做二次函数，其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项． 注意： 任何一个二次函数的解析式都可化为（a，b，c是常数，）的形式，因此，把（a，b，c是常数，）叫做二次函数的一般式．二次项系数a不能为0，而b，c可以为0． 二．二次函数的图象和性质 1．二次函数的图象叫做抛物线，抛物线是轴对称图形，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点，顶点是抛物线的最低点或最高点．抛物线的对称轴是y轴，顶点是原点． 2．二次函数图象的作法： ①列表：一般取5个或7个点，作为顶点的原点是必取的，然后在y轴的两侧各取2个或3个点，注意对称取点； ②描点：一般先描出对称轴一侧的几个点，再根据对称性找出另一侧的几个点； ③连线：按照自变量由小到大的顺序，用平滑的曲线连接所描的点，两端无限延伸． 注意： ①连线时按照自变量由小到大的顺序是为了体会函数的增减性； ②在画函数图象时，图象必须平滑，顶端不能画成尖形的，一般来说，选点越多，图象越精确，但也要具体问题具体分析； ③抛物线是向两方无限延伸的，左右两侧必须保持关于对称轴对称． 3．二次函数的图象和性质： ①开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下． ②对称轴是y轴（或直线）． ③顶点坐标是． ④增减性：当时，在对称轴的左侧（即当时），y随x的增大而减小；在对称轴的右侧（即当时），y随x的增大而增大．当时，在对称轴的左侧（即当时），y随x的增大而增大；在对称轴的右侧（即当时），y随x的增大而减小． ⑤最大（小）值：当时，抛物线有最低点，即当时，；当时，抛物线有最高点，即当时，． 4．a的作用： ①a的正负决定抛物线的开口方向和函数的最值； ②的大小决定抛物线的开口大小：越大，抛物线的开口越小． 5．抛物线和的关系： ①开口大小相同，方向相反； ②两抛物线关于x轴对称，关于原点中心对称． 三．二次函数（a，k是常数，）的图象和性质 二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴是y轴，顶点坐标是，它与的图象形状相同，只是位置不同．函数的图象是由抛物线向上（或下）平移个单位长度得到的． 二次函数与的图象之间的关系如下表所示： 向上平移个单位长度 向下平移个单位长度 当时，抛物线的开口向上，在对称轴的左边（时），抛物线自左向右下降，函数y随x的增大而减小；在对称轴的右边（时），抛物线自左向右上升，函数y随x的增大而增大．顶点是抛物线的最低点，在顶点处函数y取得最小值，即当时，． 当时，抛物线的开口向下，在对称轴的左边（时），抛物线自左向右上升，函数y随x的增大而增大；在对称轴的右边（时），抛物线自左向右下降，函数y随x的增大而减小．顶点是抛物线的最高点，在顶点处函数y取得最大值，即当时，． 四．二次函数（a，h是常数，）的图象和性质 二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴是平行于y轴或与y轴重合的直线，顶点坐标是，它与的图象形状相同，位置不同．函数的图象是由抛物线向右（或左）平移个单位长度得到的． 二次函数与的图象之间的关系如下表所示： 向左平移个单位长度 向右平移个单位长度 当时，抛物线的开口向上，在对称轴的左边（时），抛物线自左向右下降，函数y随x的增大而减小；在对称轴的右边（时），抛物线自左向右上升，函数y随x的增大而增大．顶点是抛物线的最低点，在顶点处函数y取得最小值，即当时，． 当时，抛物线的开口向下，在对称轴的左边（时），抛物线自左向右上升，函数y随x的增大而增大；在对称轴的右边（时），抛物线自左向右下降，函数y随x的增大而减小．顶点是抛物线的最高点，在顶点处函数y取得最大值，即当时，． 五．二次函数（a，h，k是常数，）的图象和性质 二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线，顶点坐标为，是由抛物线向右（左）平移个单位长度，再向上（下）平移个单位长度得到的． 当时，抛物线的开口向上，在对称轴的左边（时），抛物线自左向右下降，函数y随x的增大而减小；在对称轴的右边（时），抛物线自左向右上升，函数y随x的增大而增大．顶点是抛物线的最低点，在顶点处函数y取得最小值，即当时，． 当时，抛物线的开口向下，在对称轴的左边（时），抛物线自左向右上升，函数y随x的增大而增大；在对称轴的右边（时），抛物线自左向右下降，函数y随x的增大而减小．顶点是抛物线的最高点，在顶点处函数y取得最大值，即当时，． 注意：由于从中可以直接看出抛物线的顶点坐标，所以通常把叫做二次函数的顶点式． 六．二次函数的图象和性质 1．抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 当时，抛物线的开口向上，在对称轴的左边（时），抛物线自左向右下降，函数y随x的增大而减小；在对称轴的右边（时），抛物线自左向右上升，函数y随x的增大而增大．顶点是抛物线的最低点，在顶点处函数y取得最小值，即当时，． 当时，抛物线的开口向下，在对称轴的左边（时），抛物线自左向右上升，函数y随x的增大而增大；在对称轴的右边（时），抛物线自左向右下降，函数y随x的增大而减小．顶点是抛物线的最高点，在顶点处函数y取得最大值，即当时，． 2．二次函数的图象特征与a，b，c，的符号之间的关系： 字母的符号 图象的特征 a 开口向上 开口向下 b 对称轴为y轴 （a，b同号） 对称轴在y轴左侧 （a，b异号） 对称轴在y轴右侧 c 图象过原点 图象与y轴正半轴相交 图象与y轴负半轴相交 图象与x轴有唯一一个交点 图象与x轴有两个交点 图象与x轴没有交点 注意：二次函数的图象特征与a，b，c及的符号之间的关系是互逆的，即由字母的符号能确定图象的特征，反之，由图象的特征也能确定字母的符号． 七．用待定系数法求二次函数解析式 1．一般式 2．顶点式 3．交点式 利用待定系数法求二次函数的解析式，一般有以下几种情况： ①顶点在原点，可设为； ②对称轴是y轴（或顶点在y轴上），可设为； ③顶点在x轴上（或抛物线与x轴只有一个交点），可设为； ④抛物线过原点，可设为； ⑤已知顶点时，可设为顶点式； ⑥已知抛物线上三点坐标时，可设为一般式； ⑦已知抛物线与x轴两交点坐标为，时，可设为交点式． 八．二次函数与一元二次方程的关系 函数，当时，得到一元二次方程．那么一元二次方程的根就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此，二次函数的图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况． ①当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程 有两个不相等的实数根； ②当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程 有两个相等的实数根； ③当二次函数的图象与x轴无交点时，，方程无实数根． 注意：求一元二次方程的根也就是求二次函数的值为0时，自变量x的值，即抛物线与x轴的交点的横坐标． 九．二次函数与一元二次不等式的关系 抛物线在x轴上方部分点的纵坐标为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；在x轴下方部分点的纵坐标为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号． 【专题过关】 一．二次函数的概念（共6小题） 1．下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D． 【解析】解：A．最高次项为一次，不符合题意； B．当时，不是二次函数，不符合题意； C．不是整式，不符合题意； D．满足二次函数的定义，符合题意； 故选：D． 2．下列函数中是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】解：A．最高次数为3，不是二次函数，不符合题意； B．是一次函数，不是二次函数，不符合题意； C．是二次函数，符合题意； D．原函数化简为：是一次函数，不是二次函数，不符合题意； 故选C． 3．若正方形的边长为6，边长增加x，面积增加y，则y关于x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】解：∵原正方形的边长是6，面积是， ∴增加后的边长是，面积是， ∴增加的面积， 故选：C． 4．当 时，函数是二次函数． 【答案】． 【解析】解：根据函数是二次函数，得且， 解得， 故答案为：． 5．已知是二次函数，则实数 ． 【答案】． 【解析】解：∵是二次函数， ∴且， 解得， 故答案为：． 6．某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设降价后售价为x元，每天利润为y元，则y与x之间的函数关系为 ． 【答案】． 【解析】解：由题意得， ， 故答案为：． 二．二次函数的图象和性质（共5小题） 7．若拋物线的开口向上，则m的值可能为（    ） A．0 B．1 C．3 D． 【答案】C． 【解析】解：∵抛物线的开口向上， ∴， ∴， ∴m的值可能为3． 故选：C． 8．已知抛物线经过，，三点，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D． 【解析】解：∵， ∴抛物线的对称轴为y轴，且开口向上， 则抛物线上的点离对称轴越远，其函数值越大． ∵抛物线经过，，三点， 则，，， ∵， ∴ 故选：D． 9．抛物线，和共有的性质是（    ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．图象都在某条与x轴平行的直线上方 D．抛物线呈下降趋势 【答案】B． 【解析】解：A．抛物线，开口向上，抛物线开口向下，故本选项不符合题意； B．抛物线，和的对称轴都为直线，故本选项符合题意； C．抛物线，的图象都在某条与x轴平行的直线上方，抛物线在某条与x轴平行的直线下方，故本选项不符合题意； D．抛物线既有上升趋势的部分，也有下降趋势的部分，故本选项不符合题意； 故选：B． 10．抛物线，开口 ，顶点坐标为 ，对称轴为 ； 抛物线，开口 ，顶点坐标为 ，对称轴为 ．相比之下，抛物线 的开口程度较大． 【答案】向上，，y轴，向上，，y轴，． 【解析】解：抛物线，开口向上，顶点坐标为，对称轴为y轴； 抛物线，开口向上，顶点坐标为，对称轴为y轴． 相比之下，抛物线的开口程度较大． 故答案为：向上，，y轴，向上，，y轴，． 11．如图所示，在同一坐标系中，作出①；② ；③的图象，则图象，，对应的函数解析式依次是 ．（填序号） 【答案】①③②． 【解析】解：∵①；② ；③ ∴二次项系数a分别为、、， ∵， ∴抛物线②的开口最宽，抛物线①的开口最窄． ∴图象，，对应的函数解析式依次是①③②． 故答案为：①③②． 三．二次函数的图象和性质（共6小题） 12．抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．x轴 D．y轴 【答案】D． 【解析】解：抛物线的对称轴是y轴， 故选：D． 13．若，，则二次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A． 【解析】解：， ∵，， ∴抛物线的开口向上，与y轴交于负半轴， ∵二次函数的对称轴为y轴， ∴二次函数的图象大致是： ． 故选：A． 14．二次函数，当时，y的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A． 【解析】解：∵二次函数的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵， ∴当时，取得最大值，当时，，当时，， ∴当时，y的取值范围是， 故选：A． 15．抛物线在y轴右侧部分呈现 的趋势（填“上升”或者“下降”） ． 【答案】下降． 【解析】解：∵中的，， ∴抛物线开口向下，对称轴为y轴， ∴y轴右侧部分呈现下降的趋势， 故答案为：下降． 16．二次函数的图象的顶点坐标是 ． 【答案】． 【解析】解：二次函数的图象的顶点坐标是； 故答案为：． 17．已知，是抛物线上的两点，则和的大小关系是 （填“”、“”或“=”）． 【答案】． 【解析】解：∵点，在抛物线上， ∴，， ∴． 故答案为：． 四．二次函数的图象和性质（共6小题） 18．下列图象是二次函数的图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】解：函数， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴选项A、B不符合题意， ∵抛物线的顶点坐标为（即顶点在x轴上，且横坐标为），选项C、D的抛物线开口向下，而选项C的抛物线顶点在x的负半轴上；选项D的抛物线顶点在x轴正半轴， ∴符合条件的是选项C， 故答案为：C． 19．已知函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B． 【解析】解：∵函数 ∴抛物线的对称轴为直线，抛物线开口方向向上， 则A、B、C的横坐标离对称轴越近，则纵坐标越小， ∵函数的图象上有三点，，，且 ∴ 故选：B． 20．关于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．图象经过原点 B．开口向上 C．对称轴是直线 D．最高点是 【答案】D． 【解析】解：A．当时，，则图象经过，故A选项错误，不符合题意； B．因为，则抛物线开口向下，故B选项错误，不符合题意； C．对称轴是直线，故C选项错误，不符合题意； D．顶点坐标为且开口向下，即最高点是，故D选项正确，符合题意； 故选：D． 21．抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】． 【解析】解：依题意，的顶点坐标是， 故答案为：． 22．下面是三位同学对某个二次函数的描述． 甲：图象的形状、开口方向与的相同； 乙：顶点在x轴上； 丙：对称轴是直线． 请写出这个二次函数的表达式： ． 【答案】． 【解析】解：∵抛物线的顶点在x轴上，对称轴是直线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的形状、开口方向与的相同， ∴可设二次函数的表达式为． 故答案为：． 23．二次函数的图象是由抛物线向 平移 个单位长度得到的；此函数图象开口向 ，对称轴是 ，当 时， y有最 值，是 ． 【答案】右；4；下；直线；4；大；0． 【解析】解：二次函数的图象是由抛物线向右平移4个单位长度得到的；此函数图象开口向下，对称轴是直线，当时，y有最大值，是0． 故答案为：右；4；下；直线；4；大；0． 五．二次函数的图象和性质（共5小题） 24．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】D． 【解析】解：A．，抛物线的开口向上，所以A选项正确，不符合题意； B．抛物线的对称轴为直线，所以B选项正确，不符合题意； C．抛物线的顶点坐标为，所以C选项正确，不符合题意； D．在对称轴左侧y随x的增大而减小，所以D选项错误，符合题意； 故选：D． 25．将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得的抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】解：抛物线向右平移1个单位长度，再向下移1个单位长度，所得的抛物线解析式为， 故选：C． 26．对于抛物线下列结论：①抛物线的开口向上；②对称轴为直线；③顶点坐标为；④当时，y随x的增大而减小．其中正确的结论是（    ） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B． 【解析】解：抛物线， 开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大， 故①③正确， 故选：B． 27．抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】． 【解析】解：抛物线的顶点坐标为． 故答案为：． 28．已知点，都在二次函数的图象上，则与的大小关系是 ． 【答案】． 【解析】解：当时，， 当时，， ∴． 故答案为：． 六．二次函数的平移（共5小题） 29．若将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后的二次函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】解：∵二次函数的图象向右平移2个单位长度，根据“左加右减”的原则， ∴得到； ∵再将向上平移3个单位长度，根据“上加下减”的原则， ∴平移后的二次函数解析式为． 故选：C． 30．将抛物线先向右平移a个单位长度，再向下平移4个单位长度，平移后的抛物线与抛物线重合，则a，b的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A． 【解析】解：抛物线的表达式为， 平移后的抛物线的表达式为：， ∵平移后的抛物线与抛物线重合， ∴，， 解得，． 故选：A． 31．将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的解析式为 ． 【答案】． 【解析】解：∵抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位， ∴， 故答案为：． 32．将抛物线向右移1单位，上移2单位所得到的新抛物线解析式为 ． 【答案】． 【解析】解：根据“左加右减，上加下减”的法则可知，将抛物线向右移1个单位，再向上移2个单位，那么所得到抛物线的函数关系式是． 故答案为：． 33．已知是由抛物线向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度得到的，则 ， ， ． 【答案】，2，3． 【解析】解：∵抛物线向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度得到抛物线， ∴，，， 故答案为：，2，3． 七．二次函数的图象和性质（共6小题） 34．关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，y随x增大而增大 【答案】C． 【解析】解：抛物线， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴直线，顶点坐标为， ∴当时，y随x的增大而减小，即时，y随x增大而减小， ∴只有C选项正确． 故选：C． 35．关于抛物线，下列说法错误的是（    ） A．开口向上 B．与x轴有一个交点 C．对称轴是直线 D．时，y随x增大而减小 【答案】D． 【解析】解：∵， ∴抛物线开口向上，故A正确； ∵， ∴对称轴直线，顶点坐标为，故C正确； ∴抛物线的顶点在x轴上， ∴抛物线与x轴有一个交点，故B正确； ∴当时，y随x的增大而增大，故D错误． 故选：D． 36．抛物线向右平移2个单位后再向下平移3个单位，此时抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A． 【解析】解：原抛物线可化为顶点式：，其顶点坐标为．向右平移2个单位后，顶点的横坐标变为，纵坐标不变，此时顶点坐标为．再向下平移3个单位后，顶点的纵坐标变为，此时新抛物线的顶点坐标为．则平移后抛物线的解析式为． 故选：A． 37．将二次函数化为顶点式为 ，对称轴是直线 ． 【答案】；． 【解析】解：， ∴二次函数化为顶点式为，对称轴是直线， 故答案为：；． 38．如果当时，二次函数的图象一定不经过第 象限． 【答案】四． 【解析】解：将二次函数化为顶点式， 整理得：， ∴该二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵， ∴二次函数的图象开口向上， 当时，，即函数图象过点， 又∵对称轴为，开口向上，且过点，顶点纵坐标， 当时，，顶点在x轴下方，但函数过且开口向上， 此时顶点在第三象限，在对称轴右侧y随x的增大而增大且过，函数图象不经过第四象限； 当时，，顶点在x轴上或x轴上方， 综合，无论a的取值如何 ，函数图象一定不经过第四象限． 故答案为：四． 39．已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表： … 0 1 2 3 … … 3 0 3 … 有以下几个结论：①抛物线的开口向下；②当时，x的取值范围是或； ③方程的根为0和2；④抛物线的对称轴为直线；其中正确的 ．（填序号） 【答案】②③． 【解析】解：设抛物线的解析式为， 将、、代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 由知抛物线的开口向上，故①错误； 当时，，解得或，故②正确； 当时，，解得或， ∴方程的根为0和2，故③正确； 抛物线的对称轴为直线，故④错误； 故答案为：②③． 八．二次函数图象与系数a，b，c的关系（共4小题） 40．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D． 【解析】解：由图象可知，当时，， ∴， ∴，故A错误，不合题意； ∵，， ∴，， ∴，，故B、C错误，不合题意； ∵二次函数的图象关于对称，且， ∴当时，， ∴， ∴，故D正确，符合题意； 故选：D． 41．二次函数的图象如图，给出下列五个结论： ①；②；③；④；⑤． 其中正确结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C． 【解析】解：∵抛物线开口向下，对称轴为，图象与y轴正半轴相交， ∴，，， ∴， 故①不正确； 由图象可知当时，， ∴， 故②正确； ∵对称轴为，与x轴的一个交点在和之间， ∴与x轴的另一个交点在和之间， ∴当时，， ∴， 故③不正确； ∵对称轴为， ∴，即， 故④正确； ∵，， ∴， 故⑤不正确． ∴正确的个数有2个， 故选：C． 42．已知二次函数的图象如图所示，对称轴为，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是 ． 【答案】④． 【解析】解：由所给函数图象可知，图象开口向上，对称轴为直线，与y轴相交于负半轴， ∴，，， ∴，故①错误； ∵抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴，故②错误； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴ 即． 又∵当时，函数值小于零， ∴， ∴，故③错误； ∵抛物线的对称轴为直线且与x轴的一个交点横坐标比1大， ∴， ∴抛物线与x轴的另一个交点的横坐标比小， 则当时，函数值小于零， ∴，故④正确． 故答案为：④． 43．抛物线如图所示，现有下列四个结论： ①；②；③；④，其中正确的结论有 ． 【答案】①②③． 【解析】解：观察函数图象，得出函数的开口向上， 故， 函数与y轴交于负半轴， ∴， 函数的对称轴位于x轴的正半轴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 故①是正确的； 图象对称轴为直线，观察函数，得出 ∵， ∴， ∴， 故③是正确的； 观察函数图象，当时，则， 即， ∴， 故④是错误的； ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 故②是正确的； 故答案为：①②③． 九．二次函数图象判断（共5小题） 44．在同一平面直角坐标系中，函数与函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A． 【解析】解：若，，则经过一、二、三象限，开口向上，对称轴为，在y轴右侧，故A正确、C错误； 若，，则经过二、三、四象限，开口向下，对称轴为，在y轴右侧，故B、D错误； 故选：A． 45．在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】解：A．观察一次函数的图象得：，，由二次函数的图象得：，矛盾，故本选项不符合题意； B．观察一次函数的图象得：，，由二次函数的图象得：，矛盾，故本选项不符合题意； C．观察一次函数的图象得：，，由二次函数的图象得：，，有可能，故本选项符合题意； D．观察一次函数的图象得：，，由二次函数的图象得：，矛盾，故本选项不符合题意； 故选：C． 46．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A． 【解析】解：A．由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项符合题意； B．由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项不符合题意； C．由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项不符合题意； D．由抛物线可知，，由直线可知，，但图象过点，求得，矛盾，故本选项不符合题意． 故选：A． 47．函数、在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B． 【解析】解：由图象知，函数和函数的开口都向上，所以函数的开口一定向上，故C选项不符合题意； 由图象知，函数的对称轴在y轴的右侧，函数的对称轴也在y轴的右侧， 所以，函数的图象的对称轴也在y轴的右侧，故选项D不符合题意； 函数的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，且前者的绝对值小于后者的绝对值，所以，函数的图象与y轴的负半轴相交，故选项A不符合题意，选项B符合题意． 故选：B． 48．函数，在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A． 【解析】解：设，， 由图象知，，，，，，，， ∴， ∵函数的图象开口大于函数的图象开口， ∴， ∴， ∵， ∴函数的图象是抛物线，开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴上， 故选：A． 十．二次函数的对称性（共3小题） 49．二次函数的部分对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 5 0 0 … 二次函数图象的对称轴是（    ） A．直线 B．y轴 C．直线 D．直线 【答案】D． 【解析】解：根据题意，得和是对称点， 故抛物线的对称轴为直线， 故选：D． 50．下表给出了二次函数的自变量x与函数y的一些对应值，则下列说法正确的是（    ） … 0 1 2 … … 0 3 4 3 … A．对称轴为直线 B．当时， C．当时，y随x的增大而增大 D．此函数有最小值4 【答案】C． 【解析】解：由表格数据可得：当和2时，对应y的值相等， ∴函数的对称轴为：直线，故A错误； ∵，当时，， ∴当时，，故B错误； ∵数据从到1对应的y值不断增大， ∴抛物线开口向下，当时，y随x的增大而增大， ∴当时，y随x的增大而增大，故C正确； ∴函数有最大值4，故D错误． 故选：C． 51．已知二次函数的图象与y轴交于点A，点A与点B关于抛物线的对称轴对称，且点，在该函数图象上．二次函数中的自变量x与函数值y的部分对应值如表所示： x … 0 1 3 … y … 2 5 5 … 有下列结论：①抛物线的对称轴是直线；②这个函数的最大值大于5； ③点B的坐标是；④当，时，． 其中正确的是（    ） A．①③ B．②③④ C．②④ D．①②④ 【答案】C． 【解析】解：将，代入得： ， 解得 ∴, ∴抛物线开口向下,对称轴为直线，顶点坐标为，故①错误，②正确． ∵点A的坐标为， ∴点B的坐标为，故③错误． ∵，， ∴点C到对称轴的距离小于点D到对称轴的距离， ∴，故④正确， 故选：C． 十一．二次函数与一元二次方程、不等式的关系（共7小题） 52．已知二次函数的图象与x轴没有交点，则k的取值范围为（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】C． 【解析】解：∵的图象与x轴无交点， ∴当图象在x轴上方时，， ∴当图象在x轴上方时，， 无解； 当图象在x轴下方时，， ∴， ∴． ∴k的取值范围是， 故选：C． 53．次函数图象的对称轴，若关于x的一元二次方程在的范围内有实数解，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A． 【解析】解：∵抛物线的对称轴， ∴， 则方程，即的解相当于与直线的交点的横坐标， ∵方程在的范围内有实数解， ∴当时，， 当时，， 又∵， ∴抛物线的对称轴为直线，最小值为， ∴当时，则， ∴当时，直线与抛物线在的范围内有交点， 即当时，方程在的范围内有实数解， ∴t的取值范围是， 故选：A． 54．如表是代数式的部分值的情况． 1.1 1.2 1.3 1.4 －0.59 0.84 2.29 3.76 根据表格中的数据，则关于方程的一个正根的判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B． 【解析】解：由表格可知：时，， 当时，， ∴当，存在一个x的值使， ∴关于x的方程的一个解x的范围是； 故选：B． 55．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②方程必有一个根大于2且小于3；③若，是抛物线上的两点，那么；④对于任意实数m，都有，其中正确结论的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A． 【解析】解：∵抛物线开口向上， ∴； ∵对称轴为，即， ∴； ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴； ∴，故①错误． ∵抛物线的一个根与x轴交于和0之间，且对称轴为， ∴另一个根必然大于2小于3，故②正确． ∵对称轴为，点到对称轴的距离为1，点到对称轴的距离为，抛物线开口向上， ∴，故③错误． ∵， ∴， ∴，故④正确． 综上，正确结论为②④，共2个． 故选：A． 56．如图，二次函数的部分图象与x轴交于点，对称轴为直线，则当函数值时，自变量x的取值范围是 ； 【答案】． 【解析】解：∵二次函数的抛物线与x轴交于，对称轴是直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， 故当函数值时，自变量x的取值范围是：． 故答案为：． 57．二次函数（a，b，c是常数，且）的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】． 【解析】解：∵二次函数的图象的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为， ∴二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标为， 设此二次函数解析式为， ∴，， ∴二次函数可表示为， 当时，， 解得，， ∴二次函数与x轴的交点坐标为，， ∵， ∴抛物线开口向上， ∵当时，， ∴关于x的不等式的解集为． 故答案为：． 58．如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③当时，；④其中正确的结论为 （填序号） 【答案】①②③④． 【解析】解：∵二次函数开口向上，与y轴交于y轴负半轴， ∴，， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为， ∴二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标为， ∴当时，， ∴，故②正确； ∵时，， ∴， ∴，即，故④正确； 由函数图象可知，当时，，故③正确； 综上所述，其中正确的结论有①②③④， 故答案为：①②③④． 十二．待定系数法求二次函数解析式（共4小题） 59．已知抛物线的顶点为，且过，求此二次函数的解析式． 【答案】． 【解析】解：设二次函数解析式为：， ∵顶点坐标为， ∴， 将点代入得， 解得：， ∴． 60．已知二次函数的图象经过，，三点．求这个二次函数的表达式． 【答案】． 【解析】解：设抛物线的解析式为， 把，，分别代入得， 解得． ∴． 61．已知二次函数的图象经过点和点． （1）求这个函数的解析式； （2）函数的开口方向、对称轴． 【答案】（1）；（2）函数开口向上，对称轴为：直线． 【解析】（1）解：∵二次函数的图象经过点和点， ∴，解得， ∴函数的表达式为：； （2）解：∵，， ∴函数开口向上，对称轴为：直线． 62．已知抛物线的图象经过点，． （1）求这个二次函数的表达式． （2）当时，函数的最大值为m，最小值为n，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）解：依题意，把，，分别代入， 得， 解得， ∴这个二次函数的表达式为； （2）解：由（1）得， 则， ∵ ∴开口向下， ∴当时，y有最大值4， 当时，， 当时，， ∴当时，， ∴，， ∴． 十三．实际问题与二次函数（共4小题） 63．如图，矩形中，厘米，厘米，点P从点A开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发． （1）经过几秒时，的面积等于8平方厘米？ （2）在运动过程中，的面积能否等于矩形的面积的四分之一？若能，求出运动时间；若不能，说明理由． （3）在移动过程中，的最大面积是多少？ 【答案】（1）经过2秒或4秒时，的面积等于8平方厘米；（2）不存在，理由见解析；（3）的最大面积是9． 【解析】（1）解：设经过t秒时，的面积等于8平方厘米， ∵厘米，厘米，点P从点A开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动， ∴，， ∴， 解得：，； 经过2秒或4秒时，的面积等于8平方厘米； （2）不存在，理由如下： 设经过t秒时，的面积能等于矩形的面积的四分之一，则由题意得： ， 整理得：， ∵， ∴原方程无解， ∴不存在的面积等于矩形的面积的四分之一． （3）设经过t秒时，的面积为S平方厘米， ∴， ∵， ∴当时，S取最大值为9， ∴的最大面积是9． 64．如图是某公园的一座抛物线形拱桥，夏季正常水位时拱桥的拱顶到水面的距离为1.8m，秋季水位会下降约0.2m，此时水面宽度约为4.0m． （1）如图1，以的中点O为原点，所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，请求出抛物线的解析式； （2）如图2，国庆节期间为装点节日的气氛，公园决定在拱桥上挂一串小彩灯，这串彩灯在拱桥中间部分与水面接近平行，两边自然垂下且关于抛物线的对称轴对称，彩灯两端的最低点M，N到水面的距离为1.4m，求这串彩灯的最大长度． 【答案】（1）；（2）这串彩灯的最大长度为2.2米． 【解析】（1）解：设抛物线的解析式为：， 由题意得：拱顶的坐标为，点D的坐标为， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由题意设，点， ∴， ∵彩灯两端的最低点到水面的距离为1.4m，秋季水位会下降约0.2m， ∴彩灯的最低点M，N在直线上， ∴点N为， ∴， 设彩灯的长度为w， ， ∵， ∴时，w最大，， 这串彩灯的最大长度为2.2米． 65．某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线形．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点A和点B是一个柱形喷泉装置上的两个喷头，A喷头喷出的水流的落地点为C．以O为原点，以所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计） 已知：，，，从A喷头和B喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和． （1）求A喷头喷出的水流的最大高度； （2）一名游人站在点D处，．当围观游人喊声较大时，B喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点D处？ 【答案】（1）A喷头喷出的水流的最大高度是；（2）B喷头喷出的水流不会落在该游人所站的点D处，理由见解析． 【解析】（1）解：∵，，，从A喷头和B喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和． ∴，， 令，易得，， 令，得， 可求得， 因此A喷头和B喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和； 函数的对称轴为直线， 把代入，得 因此A喷头喷出的水流的最大高度是； （2）解：依题意，函数， 令，得， 因此B喷头喷出的水流不会落在该游人所站的点D处． 66．一名大学毕业生响应国家“自主创业”的号召，在松山湖高新区租用了一个门店，聘请了两名员工，计划销售一种产品．已知该产品成本价是20元/件，其销售价不低于30元，且不高于45元/件，员工每人每天的工资为200元，经过市场调查发现，该产品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）求出每天门店的最大纯利润和最小纯利润分别是多少？并求出每件产品对应的销售价．（纯利润销售收入产品成本员工工资） 【答案】（1）；（2）当销售价为35元时，每天门店的最大纯利润是1850元；当销售价为45元时，每天门店的最小纯利润是850元． 【解析】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，把、代入， 得， 解得，， 则y与x之间的函数关系式为； （2）解：设每天门店的纯利润为W元，则 ， ∵，，， ∴当时，每天门店的纯利润W最大，最大为1850元， 当时，每天门店的纯利润W最小，最小为850元， 即当销售价为35元时，每天门店的最大纯利润是1850元；当销售价为45元时，每天门店的最小纯利润是850元． 十四．二次函数综合应用（共3小题） 67．如图，已知点，，在抛物线上． （1）求抛物线解析式； （2）在直线上方的抛物线上求一点P，使面积为1； （3）在抛物线的对称轴上，是否存在一点Q，使是等腰三角形，若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）或；（3）Q的坐标为，，，，． 【解析】（1）解：∵点，，在抛物线上， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为， 过P作轴，交于Q， 设，则， ∴， ∴， 当的面积为1时，， 解得，， ∴或， ∴存在点P使得的面积为1． （3）抛物线对称轴为， 设，由，，得 ，， 由是等腰三角形，则 ①当时， ， 即， 解得， 即或． ②当时，， 即， 解得或， 即或． ③当时， ， 即， 解得， 即． 综上，Q的坐标为，，，，． 68．已知抛物线与x轴相交于，两点与y轴交于点C，作直线． （1）求抛物线和直线对应的函数表达式； （2）利用图象求不等式的解集； （3）点P是位于第四象限内抛物线上的一个动点，连接，， ①当的面积最大时，求点P的坐标及的面积 ②在x轴上是否存在一点Q，使得以P，C，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）或；（3）①点P的坐标为，此时的面积最大，为；②点Q的坐标为或． 【解析】（1）解：把，代入得： ，解得： ∴抛物线解析式为：， 当时，， ∴点， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：观察图象得：当或时，抛物线图象位于直线的上方， 此时，即， ∴不等式的解集为或； （3）解：①如图，过点P作轴于点M，交直线于点N， 设点，则， ∴， ∴， ∴当时，的面积最大，为， 此时点P的坐标为； ②∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵以P，C，Q，B为顶点的四边形是平行四边形，且点B，Q均在x轴上， ∴，， ∴点P和点关于对称轴对称， ∴点P的坐标为， ∴， ∵， ∴点Q的坐标为或． 69．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的表达与轴交于点和点，与y轴交于点A． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上的一动点，过点P作，垂足为点Q，点E，F分别是x轴和直线上一点，当取得最大值时，求此时点P的坐标及的最小值； （3）在（2）的条件下，当取得最大值时，将抛物线沿射线方向平移，使新抛物线经过点Q，点M是新抛物线上一动点，连接，当时，请直接写出所有符合条件的点M的横坐标． 【答案】（1）；（2），的最小值；（3）M点的横坐标为或． 【解析】（1）解：∵抛物线的表达与x轴交于点和点， ∴； （2）解：由抛物线的表达式知，当时，， ∴点， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的表达式为， ∴，解得： ∴直线的表达式为， 过点P作轴交于点H，则，则， ∴当取得最大值时，取得最大值， 设点，则点， 则， ∴， 当时，取得最大值，此时点，， 作点O关于直线的对称点，作点Q关于轴的对称点，连接交于点F交x轴于点E，则的最小， 则为最小； （3）解：由（）得，，， 将抛物线沿射线方向平移，向左平移m个单位，则向上平移了m个单位，则新抛物线的表达式为， 将点Q的坐标代入上式得， 解得：（舍去）或， 则新抛物线的表达式为， 由点P、C、Q的坐标得，，， ∵， ∴，如图， ∴， ∴， ∴， 设直线的表达式为， ，解得， ∴直线的表达式为， 如图，同理，直线的表达式为， 联立上式和新抛物线的表达式得， 解得：或（舍去）， ， 解得：或（舍去）， ∴M点的横坐标为或． 53 学科网（北京）股份有限公司 $