13.3.1 三角形的内角 第1课时 三角形的内角和定理 课件　 2025—2026学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦三角形内角和定理的探究与应用，从直观操作引入，通过作平行线构造平角或同旁内角互补的情境，逐步引导学生完成多角度证明，形成由具体到抽象、由实验到推理的学习支架，有效衔接小学图形感知与初中逻辑论证。 其亮点在于深度融合数学核心素养，体现“几何直观”“推理能力”和“转化思想”的教学实践。例如，例2利用方向角构建三角形模型，让学生在真实情境中发现内角关系，实现数学语言表达现实世界的能力提升；课堂小结提炼辅助线策略与转化思想，帮助学生建立结构化认知体系。此设计既促进学生深度理解定理本质，又为教师提供清晰的教学路径与思维训练范式，增强课堂实效性与思维含量。

13.3.1 三角形的内角 第1课时 三角形的内角和 13.3 三角形的内角与外角 已知： 是△ABC的三个内角， 求证： . 通过推理的方法证明“三角形的内角和等于180°”. 文字语言 符号语言 ∠1，∠2，∠3 ∠1+∠2+∠3=180° 合作探究 问题2 你能从以上的操作过程中受到启发，想出证明“三角形的内角和等于180°”的方法吗？ 合作探究 证明1： 过点A作BC的平行线l. ∵l∥BC， ∴∠4=∠2，∠5=∠3.(两直线平行，内错角相等) ∵∠1+∠4+∠5=180°， ∴∠1+∠2+∠3=180°. 已知：∠1，∠2，∠3是△ABC的三个内角， 求证：∠1+∠2+∠3=180°. 合作探究 证明2： 过点C作AB的平行线l，作射线BC. ∵l∥AB， ∴∠4=∠1，(两直线平行，内错角相等) ∠5=∠2.(两直线平行，同位角相等) ∵∠4+∠5+∠3=180°， ∴∠1+∠2+∠3=180°.(等量代换) 已知：∠1，∠2，∠3是△ABC的三个内角， 求证：∠1+∠2+∠3=180°. 合作探究 证明3： 过点A作BC的平行线AD. ∵AD∥BC， ∴∠4=∠2，(两直线平行，内错角相等) ∠DAC+∠3=180°，(两直线平行，同旁内角互补) ∴∠1+∠4+∠3=180°， ∴∠1+∠2+∠3=180°. 已知：∠1，∠2，∠3是△ABC的三个内角， 求证：∠1+∠2+∠3=180°. 合作探究 证明4：过点D作AC的平行线交AB于点E，过点D作AB的平行线交AC于点F. ∵DF∥AB， ∴∠4=∠2，∠1=∠DFC，(两直线平行，同位角相等.) ∵DE∥AC， ∠5=∠3，(两直线平行，同位角相等) ∠6=∠DFC，(两直线平行，内错角相等) ∴∠6=∠1. ∵∠6+∠4+∠5=180°， ∴∠1+∠2+∠3=180°. 已知：∠1，∠2，∠3是△ABC的三个内角， 求证：∠1+∠2+∠3=180°. 合作探究 【思考】 多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？ 借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角. 探究新知 1 2 C B A E D 1 2 C B A E D F C 2 4 A B 3 E Q D F P G H 1 B G C 2 4 A 3 E D F H 1 同学们按照上图中的辅助线，给出证明步骤. 探究新知 试一试 为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫作辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线. 思路总结 为了证明三个角的和为180°，通过作平行线，利用平行线的性质，把所证问题转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法. 作辅助线 探究新知 例2：下图是 A，B，C 三岛的平面图,C 岛在 A 岛的北偏东 50°方向,B 岛在 A 岛的北偏东 80°方向, C 岛在 B 岛的北偏西 40° 方向. 从 B 岛看 A，C 两岛的视角∠ABC 是多少度？从 C 岛看 A，B 两岛的视角∠ACB 呢？ 北 北 C A B D E 80° 40° ？ 50° ？ 分析：A，B，C 三岛的连线构成△ABC，所求的∠ABC ，∠ACB 是△ABC 的内角. 如果能求出∠CAB，∠ABC，就能求∠ACB. 北 北 C A B D E 80° 40° ？ 50° ？ 北 北 C A B D E 80° 40° 50° 解：∠CAB =∠BAD–∠CAD = 80°– 50°= 30° 由 AD // BE，得 ∠BAD +∠ABE =180° 所以∠ABE =180°–∠BAD=180°–80°=100° ∠ABC=∠ABE–∠EBC=100°–40°=60° 在△ABC 中， ∠ACB=180°–∠ABC–∠CAB =180°–60°–30°=90° 答：从 B 岛看 A，C 两岛的视角∠ABC 是 60°， 从 C 岛看 A，B 两岛的视角∠ACB 是 90°. 所以∠ABC =180°–∠BAD–∠4=180°–80°–40°=60° 由 AD // BE，得 ∠BAD +∠ABE = 180° 答：从 B 岛看 A，C 两岛的视角∠ABC 是 60°， 从 C 岛看 A，B 两岛的视角∠ACB 是 90°. 北 北 C A B D E 80° 40° 50° ∴∠1 = ∠3 ，∠2 = ∠4 解：过点 C 作 CF // AD，则 CF // BE (两直线平行，内错角相等) ∴∠ACB=∠1+∠2=∠3+∠4 =50°+40°=90°(等量代换) 1 2 F 3 4 例3　若△ABC的一个内角∠A是另一个内角∠B的，也是第三个内角∠C的，求△ABC三个内角的度数． 解：由题意，得∠A＝∠B，∠A＝∠C ∴∠B＝∠A，∠C＝∠A. ∵∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∴∠A＋∠A＋∠A＝180°， ∴∠A＝48°，∠B＝72°，∠C＝60°. 变式 在 中， ， ，则 是( ) A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 无法确定 B 1. 在 中，若 ， ，则 的度数为( ) A. B. C. D. C 2. 下面四组角度中，不可能为一个三角形三个内角的度数的是( ) A. ， ， B. ， ， C. ， ， D. ， ， D 3. 如图，在 中， ， ， 分别是 ， 上的点，且 ，则 的度数是( ) A. B. C. D. B （第3题图） 4. 如图， 与 相交于点 ， ， ， ，则 的度数为______. （第4题图） 5. 一块三角形木板的残余部分如图所示，量得 ， ，则这块三角形木板另外一个角 的度数是______. 6. 若 的一个内角度数是另一个内角的 ，是第三个内角的 ，求这个三角形三个内角的度数. 解：设一个内角的度数是 ，则另一个内角的度数是 ，第三个内角的度数是 . 由三角形内角和定理得 ， 解得 ， ， . 三个内角的度数分别为 ， ， . △ABC中，∠A : ∠B : ∠C = 1 : 2 : 3，则∠A=______，∠B = ______，∠C = ______. 90° 30° 60° 1. 巩固练习 2. 如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD，其中∠A=150°，∠B=∠D=40°. 求∠C的度数. 2 3 1 4 解：∵∠1+∠2+∠B= 180°，∠3+∠4+∠D=180°， ∴∠l+∠2+∠B+∠3+∠4+∠D=180°+180°. ∴(∠1+∠4)+(∠2+∠3)+∠B+∠D= 360°. 即∠BCD+∠BAD+40°+40°= 360°. 则∠BCD= 360°－ 150°－80°= 130°. 【课本P13 练习 第2题】 1 本节课学习了哪些主要内容？ 2 为什么要用推理的方法证明“三角形的内角和等于180”？ 3 是如何找到三角形内角和定理的证明思路的？ 课堂小结 三角形内角 和定理 三角形三个内角的和等于180° 命题证明步骤 1.写出已知求证（画出图形） 2.写出证明过程 数学方法 辅助线（虚线） 数学思想 转化 把未知转化为已知 把生疏问题转化为熟悉问题 把复杂问题转化为简单问题 三角形的内角和 A B C l 1 2 3 4 5 毕达哥拉斯的证法 A B C l 1 2 3 4 5 欧几里得的证法 A B C F 1 4 2 3 D E 普罗克拉斯方案 泰勒斯拼图验证 A B C B C （未给出证明） 在数学历史的发展过程中，也是按照这样的方式证明三角形的内角和的. 数学文化 $