13.2.2三角形的中线、角平分线、高 　课件　2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册

13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 你还记得“过一点画已知 直线的垂线”吗? 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 1.理解三角形的中线，角平分线，高等概念. 2.会画三角形的中线，角平分线，高.（重点） 如图，有一块三角形的菜地，现要求分成面积比为1：1：2三块，且图中A处是三块菜地的共同水源处，应该怎么分？ A 三角形的中线 A B C 如图，连接△ABC 的顶点 A 和它所对的边 BC 的中点 D. 所得线段 AD 叫作△ABC 的边 BC 上的中线. D ∵ BD = CD = BC ， ∴ AD 是△ABC 的中线. 几何语言： F 你能画出几条中线？ E 三角形有3条边，所以一个三角形有3条中线. 三角形的三条中线相交于一点，并且这个交点叫作三角形的重心. 画一画：如图，画出直角三角形、钝角三角形的三条中线，并观察它们中线的交点有什么规律？ A B C D F E A B C A B C F D E F D E 图中框架能被手指托起后保持平衡，是因为手指恰好托在了框架的重心上. 一块质地均匀的三角形木板，顶住三条中线的交点，木板会保持平衡，这个平衡点就是这块木板的重心. D C B A 思考 被三角形的中线分成的两个小三角形的面积大小有什么关系？ 相等，因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等. 三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形. 感悟新知 知识点2 三角形高的性质 A B C A B C F C A B E D F O D F E O 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 高的位置 高之间是否相交 高所在的直线是否相交 三条高所在直线的交点位置 三条高在内 一高在内，另两高 在直角边上 一高在内，另两高在外 是 否 是 是 是 是 三角形内 直角顶点上 三角形外 这个交点叫垂心 典例解析 题型1 三角形的高 C 例1在下图中，正确画出△ABC 中边BC 上高的是（ ）． （ A ） （ B ） （ C） （ D ） A D C B A D C B A D C B A D C B 针对训练 1.如图1,在△ABC中,AB边上的高是　 　,BC边上的高是　 　;在△BCF中,CF边上的高是　 　;  CE AD BC 典例解析 题型1 三角形的高 例2.如图，一个直角三角形的三条边分别是3、4、5，求斜边上的高. A B C F 针对训练 2.如图2,△ABC的三条高线交于点H,则有∠HAE=　 , ∠HAF=　 ,∠HBF=　 ;S△ABC=BC·AD =  　 =  　;  ∠HBD　 ∠HCD　 ∠HCE　 AC·BE AB·CF 1.三角形的角平分线定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线. 探究与应用 【探究2】三角形的角平分线定义及性质 ∵AM是△ABC中∠BAC的平分线; ∴∠1=∠2= ∠BAC 思考：三角形的角平分线在三角形的什么部位？它们有交点吗？ 都在三角形的内部 有交点 注意：“三角形的角平分线”是一条线段. 2.分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条角平分线，并观察所作的图形，看看你有什么发现? 探究与应用 【探究2】三角形的角平分线定义及性质 直角三角形 钝角三角形 锐角三角形 三角形的三条角平分线交于同一点. 新课讲解 例 3. 如图，D 是△ ABC 的边AC 上一点，DE ∥ BC 交AB 于点E，若∠ EDB= ∠ EBD，求证：BD 是△ ABC 的角平分线. 思路导引： 证明：∵ DE ∥ BC， ∴∠ EDB= ∠ DBC. 又∵∠ EDB= ∠ EBD， ∴∠ DBC= ∠ EBD. ∴ BD 是△ ABC 的角平分线. 新课讲解 例 4. 如图，∠1=∠2，∠3=∠4，下列结论错误的是（ ） A. BD是△ABC的角平分线 B. CE是△BCD的角平分线 C. ∠3=∠ACB D. CE是△ABC的角平分线 D 新课讲解 练一练 1. 如图，AD，BE，CF分别是△ABC的三条角平分线，请根据图中各角之间的关系填空： D A B C E F 1 2 3 4 （1）∠1=∠（ ）； （2）∠3= （ ）； （3）∠ACB=（ ）∠4. 2 ∠ABC 2 新课讲解 练一练 2. 在△ABC中，已知∠A = 50°，BE，CF分别是∠ABC，∠ACB的平分线，相交于点P.∠ABP = 21°，求∠BCP的度数. 解：因为BE 平分∠ABC，∠ABE ＝ 21°， 所以∠ABC ＝ 2×21°＝ 42° . 因为∠A+∠ABC+∠BCA ＝ 180°，∠A＝50°， 所以∠BCA ＝ 180°-50°-42°＝88° . 因为CF 平分∠BCA， 所以∠BCP＝∠BCA ＝ 44° . 第1题图 1. 如图，在△ ABC 中， BD 是角平分线， 若∠ ABC ＝72°，则∠ ABD ＝ ⁠°. 36　 2. [作图易错]如图，虚线部分是小刚作的辅助线，你认为线段 CD （　C　） A. 是 AC 边上的高 B. 是 BC 边上的高 C. 是 AB 边上的高 D. 不是△ ABC 的高 第2题图 C 3. 在△ABC 中，AB = 18，BC = 16，BD 是 AC 边上的中线，若△ABD 的周长为 41，那么△BCD 的周长 是（ ） A. 39 B. 41 C. 43 D. 无法确定 A 4.[规范作答]如图，已知△ABC. (1) CD 是△ABC 的高， 则∠ADC＝ ＝90°， ∠BDC S△ABC＝ ； (2) CE 是△ABC 的中线，则AE＝ ＝ ， S△BCE＝S△BCE＝ S△ABC； BE AB （3）CF 是△ABC 的角平分线， 则∠ACF＝∠ ＝ ∠ . BCF ACB 5. 如图，已知 AD 是△ ABC 的边 BC 上的中线. （1）[作图通关] 作出△ ABD 的边 BD 上的高； 解：（1）如图， AE 即为所求. （2）若△ ABC 的面积为10， 则△ ADC 的面积为 ⁠；1）如图， AE 即为 5　 （3）若△ ABD 的面积为6，且 BD 边上的高为3，求 BC 的长. 解：（3）∵ AD 是△ ABC 的边 BC 上的中线， △ ABD 的面积为6， ∴△ ABC 的面积为12. ∴ BC · AE ＝12. 由题可知 AE ＝3，∴ BC ＝8. 【点拨】是 的平分线， 是 的平分线， , . （第6题） 新课讲解 7. 如图，是的中线，是 的中点，连接，若 的面积为 40，则图中阴影部分的面积是( ) A A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 【点拨】由是的中线可得 ， 再由是的中点可得 . 新课讲解 27 8.母题教材P22复习题 如图，在 中，是高，平分 ， ， ，求 的 度数. 新课讲解 28 【解】是高， ， . ， . 平分， ， ， . 新课讲解 9. 如图，在中，，为 的中点，延长 交于点，为 上的一点，于点 .下列 判断正确的有( ) A 是 的角平分线; 是边 上的中线; 为边 上的高. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个 新课讲解 30 1.如图，△ABC的BC边上的高是(　B　) A. BE B. AF C. CD D. CF B 2. 如图，在△ABC中，AE是高，BD是角平分线，CF是中线.下列说法不正确的是(　A　) A. ∠ACF＝∠BCF B. ∠ABD＝∠CBD C. ∠AEC＝∠AEB D. AF＝BF A 4.如图，AD、BE、CF是△ABC的三条角平分线，∠2=50°，∠ABC=50°，∠ACB=30°，则∠1=______, ∠3=_______, ∠4=_______. 50° 25° 15° A C B F E D 1 2 3 4 分析：根据三角形角平分线的性质可得：∠1=∠2， ∠ABC=2∠3，∠ACB=2∠4. 3.如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，S△AEC=3cm2，则S△ABC= . 12cm2 5.如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，已知∠BAC=82°，∠C=40°，求∠DAE的大小. 解： ∵ AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°. ∵ ∠ADC+∠C+∠DAC=180°， ∴ ∠DAC=180°－(∠ADC+∠C ) =180°－90°－40°=50°. ∵AE是△ABC的角平分线，且∠BAC=82°， ∴∠CAE=41°， ∴∠DAE=∠DAC－∠CAE=50°－41°= 9°. B A C D E 6. 如图，AD是△ABC的中线. (1)已知AB＝7，AC＝5，则△ABD与△ACD的周长差为 ⁠； 2　 (2)已知AE⊥BC，垂足为E. 若BC＝10，AE＝6，求△ABD的面积. 解：∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝ BC＝ ×10＝5， ∴S△ABD＝ BD·AE＝ ×5×6＝15. $