专题03 点电荷及电场的叠加问题模型-（讲义）物理人教版2019必修第三册

本讲义聚焦点电荷及电场叠加问题模型，系统构建等量同种与异种电荷的电场分布规律，厘清连线与中垂线上场强变化特征，并延伸至电偶极子、带电体电场计算等复杂情境，形成从基础到综合的知识进阶路径。 资料设计突出物理观念的深化与科学思维的培养，通过对比异种与同种电荷电场线差异强化运动和相互作用观念，借助“对称法”“填补法”等策略训练模型建构能力，以典型例题引导学生进行科学推理与论证。如变式探究中利用对称性分析摩擦力做功，体现科学探究中的证据意识，课中可辅助教师精准突破难点，课后帮助学生查漏补缺，提升解题迁移能力。

专题03 点电荷及电场的叠加问题模型 【模型1　点电荷 等量同种（异种）电荷】 【模型构建】 点电荷的 “等量同种电荷” 与 “等量异种电荷” 模型是静电场中的核心基础模型，其电场分布、电势规律及受力特点具有典型性，是解决静电场问题（如粒子运动、电场能量、静电平衡）的关键框架 【模型剖析】 一、等量异种点电荷与等量同种点电荷的电场线比较 等量异种点电荷 等量同种(正)点电荷 电场线 分布图 连线上电场强度大小 O点最小，从O点沿连线向两边逐渐变大 O点为零，从O点沿连线向两边逐渐变大 中垂线上电场强度大小 O点最大，从O点沿中垂线向两边逐渐变小 O点为零，从O点沿中垂线向两边先变大后变小 场强最大点B的连线和连线的夹角的正切值 关于O点对称的点A与A′、B与B′的电场强度 等大同向 等大反向 二、电偶极子系统（距离远大于间距）中的匀速圆周运动 1.带电粒子在等量异号电荷的电场中某点P引入负电荷q，其受到负点电荷的库仑斥力和正点电荷的库仑引力，若满足 且 则给负电荷q一合适的垂直纸面方向的初速度，它就可以以O为圆心、以OP为半径在垂直于纸面的平面内做匀速圆周运动。 2.如图所示，竖直平面内有两个固定的点电荷，电荷量均为＋Q，与其连线中点O的距离均为h，质量为m、电荷量为－q的试探电荷以O为圆心垂直两固定的点电荷的连线做匀速圆周运动，圆周上的两点A、B与O在同一直线上，A、B两点各自和两个正点电荷连线与AB连线的夹角均为θ＝30°，已知静电力常量为k，重力忽略不计， 以试探电荷为研究对象，其做匀速圆周运动，两正点电荷对其静电力的合力提供向心力，做匀速圆周运动所需的向心力大小为 由 可得负点电荷做匀速圆周运动的角速度 【题目示例】 用电场线能直观、方便地比较电场中各点电场强度的强弱。如图甲是等量同种正点电荷形成电场的电场线，图乙是电场中的一些点。已知两点电荷带电量均为，两电荷间距离为，是两电荷连线的中点，、是两电荷连线中垂线上的两点，，、和、均是两电荷连线上相对对称的点，，下列说法正确的是（　　） A．、两点处没有电场线，则场强均为零 B．、两点电场强度大小相等，方向相反 C．点和点电场强度相同 D．点电场强度大小大于点电场强度大小 【推理过程】 【答案】BD 【详解】A．根据等量同种电荷电场分布特点可知B、C两点的场强不为零，故A错误； B．根据对称性可知，A、D两处的电场线疏密程度相同，则A、D两处的电场强度相等，由甲图可看出A、D两处的电场的方向相反，故B正确； C．根据对称性可知，G、F两处的电场线疏密程度相同，则G、F两处的电场强度相等，由甲图可看出G、F两处的电场的方向相反，故C错误； D．两电荷在G处产生的场强均为 根据电场的叠加法则可知 两电荷在A处产生的合场强均为 所以A点电场强度大小大于G点电场强度大小，故D正确。 故选BD。 【变式探究】 如图所示，水平面上相距为d的A、B两点固定有异种电荷，电荷量均为Q，其中A处电荷带正电、B处电荷带负电，在A、B两点连线的竖直中垂线上固定一根内壁粗糙的绝缘细管，细管的上、下两端管口关于AB对称。现使一质量为m，电荷量为q的带正电小圆柱体（圆柱体直径略小于细管的内径）从上端管口由静止开始下落，结果小圆柱体到达两电荷的连线中点О时的加速度为零，且此时小圆柱体的速度大小为v。已知重力加速度大小为g，静电力常量为k，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．在管内下滑过程中，电场力对小圆柱体先做正功，后做负功 B．О点的电场强度大小为 C．小圆柱体和管壁间的动摩擦因数为 D．小圆柱体到达下端管口时的速度大小为 【答案】BD 【详解】A．在管内下滑过程中，小圆柱体所受电场力方向始终与细管垂直，电场力对小圆柱体不做功，故A错误； B．单个电荷在O点产生的电场，其电场强度大小为 根据矢量的合成法则可得：O点的电场强度大小为 故B正确； C．圆柱体到达两电荷的连线中点O时的加速度为零，则小圆柱体到达O点时竖直方向所受合力为零，有 由小圆柱体水平方向受力平衡可知，此时管壁对小圆柱体的弹力大小为 解得小圆柱体和管壁间的动摩擦因数 故C错误； D．设小圆柱体从上端管口运动到O点的过程中克服摩擦力所做的功为W，由动能定理得 因小圆柱体下落过程中电场强度大小关于O点对称，则小圆柱体所受摩擦力大小关于O点对称，所以摩擦力做功大小关于O点对称，设小圆柱体到达下端管口时的速度大小为，由动能定理得 解得 故D正确。 故选BD。 【再次升华】 1、先定 “对称点”：以两电荷连线中点O和中垂线为对称轴，利用对称性简化分析（如对称点场强大小相等、电势相等）； 2、分区域讨论：重点突破 “连线” 和 “中垂线” 两个特殊区域，再推广到空间任意点，避免混乱； 3、对比记忆：通过 “异种电荷有零势面、同种电荷无零势面”“异种连线中点场强最大、同种连线中点场强为零” 等核心差异，强化规律区分； 【模型2　电场叠加问题】 【模型构建】 电场叠加问题是电场强度计算的核心题型，其本质是基于电场强度的矢量性，遵循 “矢量叠加原理”（即多个点电荷在空间某点产生的合电场强度，等于每个点电荷单独在该点产生的电场强度的矢量和） 【模型剖析】 1. 基础规律：点电荷电场强度公式 任意点电荷在空间某点产生的电场强度，是叠加问题的 “基本单元”，其计算公式为： 公式中：（静电力常量），Q 为场源电荷的电荷量（正电荷取正，负电荷取负，直接反映电场方向），r 为该点到场源电荷的距离。 方向判断：正电荷产生的电场，方向沿 “场源电荷→该点”（背离正电荷）；负电荷产生的电场，方向沿 “该点→场源电荷”（指向负电荷）。 2. 叠加规则：矢量合成法则 多个点电荷在某点产生的合场强，需对每个点电荷的分场强进行矢量合成 具体遵循： 同一直线叠加：若分场强方向共线，取某一方向为正方向，用 “代数加减” 计算合场强（方向与正方向相同则为正，相反则为负）。 非共线叠加：若分场强方向不共线（如夹角为θ，需用平行四边形定则（或三角形定则）合成，可通过 “正交分解法” 将分场强分解到 x、y轴，再分别求轴上合场强，最终用勾股定理求总合场强大小与方向。 3.求解非点电荷带电体的电场强度的“四种巧法” 对称法 利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题大为简化 填补法 将有缺口的带电圆环补为完整圆环，或将半球面补为完整球面，然后再应用对称的特点进行分析，有时还要用到微元思想 微元法 将带电体分成许多电荷元，每个电荷元看成点电荷，先根据点电荷电场强度公式求出每个电荷元的电场强度，再结合对称性和电场强度叠加原理求出合电场强度 带点圆环 等效法 在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景 等效于 【题目示例】 如图所示，半径为的水平固定绝缘圆环上均匀分布着正电荷，点为圆环的圆心，点位于点正上方处。若从圆环上的点处取走长为的小圆弧，剩余电荷分布不变，则剩余电荷在点产生电场的电场强度与竖直向上方向夹角的正切值为（　　） A． B． C． D． 【推理过程】 【答案】C 【详解】由几何关系可知，与的夹角满足 解得 设整个圆环的电荷量为Q，每一段长为小圆弧的电荷量为，由于圆环上的电荷均匀分布，可知，每一段长为小圆弧在M处产生的电场强度沿方向的分量为 被取走的A处弧长为的小圆弧在M处产生的电场强度沿垂直OM方向的分量为 故可知当从圆环上的点处取走长为的小圆弧，剩余电荷场强沿OM方向的分量为 沿垂直OM方向的分量与等大反向，故剩余电荷在点产生电场的电场强度与竖直向上方向夹角的正切值为 故选C。 【一题多变】 均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图所示，在半球面AB上均匀分布正电荷，电荷量为Q，球面半径为R，CD为通过半球顶点与球心O的轴线，轴线上CO=DO=3R。一质量为m、电荷量为q的小球（用绝缘细线悬挂于悬点），受半球面产生的电场影响偏转θ角度静止于C点，（若球C与半球面AB彼此不影响对方的电量分布）则半球面AB在D点产生的场强大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设半球面AB在D点产生的场强大小为E1，在C点产生的场强大小为E2，根据平衡条件得 补齐右半球，D点的合场强为 解得 故选D。 1. 如图所示，有一个均匀带负电的绝缘细圆环，半径为，总带电量为。点A、B、C将圆环三等分，现在移除A、B两处各一小段长度为的圆弧。的延长线交圆环于点，静电力常量为。关于圆心O点的电场强度，下列说法正确的是（　　） A．O点的电场强度方向沿OD方向 B．O点的电场强度大小为零 C．O点的电场强度大小与的大小无关 D．O点的电场强度大小与的大小成正比 【答案】D 【详解】由于圆环所带电荷量均匀分布，故长度为的小圆弧所带电荷量为 根据对称性，没有取走电荷时圆心O点的电场强度为零，取走A、B两处的电荷后，圆环剩余电荷在O点产生的电场强度大小等于A、B处弧长为的小圆弧所带负电荷在O点产生的合场强大小，方向相反，则A、B处弧长为的小圆弧所带负电荷在O点产生的合场强沿沿OD方向，则 取走A、B两处的电荷后，O点的电场强度沿OC方向。 故选D。 2. 如图所示，一带正电绝缘球体（球心为）半径为，所带电荷量为且均匀分布，现将其中半径为与相切的小球体（球心为）部分的电荷量变为等量负电（球其他部分电荷量分布情况不变），静电力常量为，则在连线上，与距离为的点的电场强度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】半径为的均匀带电球的电量为 带的带电球在P点产生的场强为 方向向左。假设半径为的球均匀带正电Q，其在P点产生的场强为 方向向右。所以将其中半径为与相切的小球体（球心为）部分的电荷量变为等量负电，此时在P点产生的场强为 故选A。 3. 均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处的点电荷产生的电场。如图所示，在绝缘球球面上均匀分布正电荷，总电荷量为q；在剩余球面AB上均匀分布负电荷，总电荷量是。球半径为R，球心为O，CD为球面的对称轴，在轴线上有M、N两点，且，。已知球面在M点的场强大小为E，静电力常量为k，则N点的场强大小为（　　） A．E B．2E C． D． 【答案】C 【详解】将AB部分补上，使球壳变成一个均匀带正电的完整的球壳，完整球壳带电荷量为 为保证电荷量不变，球面AB带负电荷量为q，则该球壳带正电的部分在M点产生的场强为 根据对称性可知：①带正电的部分完整球壳在N点产生的场强大小 ②球面AB带负电荷量为q，在N点产生的场强大小为2E，两者方向相反； 则N点的场强大小为 故选C。 4. 如图，在（a，0）和（0，a）位置分别放置一个电荷量为的负点电荷，若在某点处放置正点电荷，使得点的电场强度为，方向水平向左。则的位置为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据库仑定律和电场强度的定义可知（a，0）位置的负电荷在处产生的电场 方向竖直向下，（0，a）位置的负电荷在处产生的电场 方向水平向左，所以两电荷在点的合场强为 方向斜向左下，与夹角为，在某点处放置正点电荷要使得点的电场强度为，方向水平向左，根据矢量合成法则： 解得，方向斜向左上，方向与方向成，结合题意，由几何知识得点电荷应在位置，故选B。 5. 如图所示，有一带电荷量为的点电荷与均匀带电圆形薄板相距为，此点电荷到带电薄板的垂线通过板的圆心。若图中点处的电场强度为零，则图中点处的电场强度大小是（　　） A． B． C．0 D． 【答案】A 【详解】因图中点处的电场强度为零，可知点电荷q与带电薄板在a点的场强等大反向，即带电薄板在a点的场强大小为，由对称性可知带电薄板在b点的场强大小也为，方向向左，则图中点处的电场强度大小是。 故选A。 6. 电场线能直观、方便地反映电场的分布情况。图甲是等量异种点电荷形成电场的电场线，图乙是场中的一些点；O是电荷连线的中点，E、F是连线中垂线上相对O对称的两点，B、C和A、D也相对O对称。则下列说法不正确的是（　　） A．E、F两点电场强度相同 B．A、D两点电场强度相同 C．B、O、C三点，O点电场强度最小 D．从E点向O点运动的电子所受静电力逐渐减小 【答案】D 【详解】A．等量异种点电荷连线的中垂线是一条等势线，电场强度方向与等势线垂直，因此E、F两点电场强度方向相同，由于E、F是连线中垂线上相对O对称的两点，则其电场强度大小也相等，故A正确，不符合题意； B．根据对称性可知，A、D两点处电场线疏密程度相同，则A、D两点电场强度大小相同，由题图甲看出，A、D两点电场强度方向相同，故B正确，不符合题意； C．由题图甲看出，B、O、C三点比较，O点的电场线最稀疏，电场强度最小，故C正确，不符合题意； D．由题图甲可知，电子从E点向O点运动过程中，电场线逐渐变密，则电场强度逐渐增大，电子所受静电力逐渐增大，故D错误，符合题意。 故选D。 7. 如图所示，匀强电场（图中未画出）方向与边长为a的正方形ABCD所在平面平行，在A、C两点分别放置电荷量为的等量异种电荷，已知B点的电场强度为0，静电力常量为k，下列说法正确的是（　　） A．匀强电场方向垂直于AC B．匀强电场的场强大小为 C．B、D连线上的电场强度处处为零 D．B、D连线中点的电场强度大小为 【答案】B 【详解】A．两点电荷在点产生的合场强方向平行于，根据点电场强度为0，匀强电场的方向为指向，故A错误； B．两点电荷在点产生的场强均为，点的电场强度为0，根据矢量叠加，匀强电场的大小为，故B正确； C．两电荷在连线上产生的场强大小不等，因此在与匀强电场叠加后场强不是处处为零，故C错误； D．连线中点的电场强度大小为 故D错误。 故选B。 8. 在真空中静止的两个等量正点电荷，O点为两电荷连线的中点，a点在连线的中垂线上，若在a点由静止释放一个电子，如图所示，仅在静电力作用下，关于电子的运动，下列说法正确的是（　　） A．电子在从a点到O点运动的过程中，加速度可能先增大后减小，速度一定越来越大 B．电子在从a点到O点运动的过程中，加速度越来越小，速度越来越大 C．电子运动到O点时，加速度为零，速度也为零 D．电子通过O点后，速度越来越大 【答案】A 【详解】AB．在等量同种正电荷连线中垂线O点上方，电场强度方向O→a，电子从a点到O点运动的过程中，电场力方向a→O，电子的速度会越来越大，但电场线可能一直变稀疏，也可能先变密再变稀疏，因此加速度可能越来越小，也可能先增大后减小，故B错误，A正确； C．电子运动到O点时电场力为零，加速度为零，再向下将会减速，因此O点对应速度最大，故C错误； D．根据电场线的对称性可知，越过O点后，电子做减速运动，速度越来越小，故D错误。 故选A。 9. 两个等量正点电荷，O点为两电荷连线的中点，a点在连线的中垂线上，若在a点由静止释放一个电子，如图所示，关于电子的运动，下列说法正确的是（电子重力不计）（　　） A．电子在从a向O运动的过程中，加速度越来越大，速度越来越大 B．电子在从a向O运动的过程中，加速度越来越小，速度越来越大 C．电子运动到O时，加速度为零，速度最大 D．电子通过O后向下运动过程中，速度越来越小，加速度可能一直增大 【答案】CD 【详解】AB．在等量同种电荷连线中垂线上电场强度方向，电子从a点到O点运动的过程中，电场力方向，故加速度向下，与速度同向，速度越来越大；但电场线的疏密情况不确定，O点上方的电场强度最大点位置不确定，故电场强度大小变化情况不确定，则电荷所受电场力大小变化情况不确定，加速度变化情况无法判断，故AB错误； C．越过O点后，电子做减速运动，则点电荷运动到O点时速度最大，电场力为零，加速度为零，故C正确； D．根据电场线的对称性可知，越过O点后，电子做减速运动，加速度的变化情况无法判断，所以加速度可能一直增大，故D正确。 故选CD。 10. 物理中电偶极子模型可视为竖直固定的等量异种点电荷，电量大小均为q、间距为2d、如图所示粒子（质量为m，电量为2e，重力不计）从两电荷垂直平分线上某点a开始水平向右运动，轨迹如图中实线所示，，则下列说法中正确的是（　　） A．粒子在C点时电势能比A位置时大 B．粒子从A到C过程中速率先增大后减小 C．粒子在C点时加速度大小为 D．要使粒子沿着虚线做匀速直线运动，可以加一垂直纸面向里的匀强磁场物 【答案】C 【详解】AB．A到C过程电场力做正功，动能增加，电势能减小，故C点电势能比A位置时小，速率一直增加,故AB错误； C．C点时场强 则加速度 故C正确； D．根据等量异种电荷的电场分布可知，虚线上电场强度大小是变化的，所以粒子受到的电场力是变化的，要使粒子沿着虚线做匀速直线运动，需要加的磁场不可能是匀强磁场，故D错误。 故选C。 11. 电偶极子是由一对等量异种电荷组成的。如图，固定在x轴上、带等量异种电荷的带电体M、N，它们连线的中点为O，a、b是过O点的中垂线上与O点对称的两点，c、d是x轴上关于O点对称的两点。下列说法正确的是（　　） A．a、b两点的电场强度大小相等，方向相同 B．a、b两点的电场强度大小相等，方向不同 C．电子在c点的电势能小于其在d点的电势能 D．若将电子在d点由静止释放，当电子只受电场力作用时，将在c、d间来回运动 【答案】AC 【详解】AB．根据等量异种电荷的电场线分布的特点可知，a、b两点的电场强度大小相等，方向相同，故A正确，B错误； C．由于沿着电场线的方向电势是降低的，c点的电势高于d点的电势，电子带负电，所以电子在c点的电势能小于电子在d点的电势能，故C正确； D．若将电子在d点由静止释放，当电子只受电场力作用时，电子将越过c点向左加速，故D错误。 故选AC。 12. 电磁学中将两相距很近的等量异号点电荷所组成的带电系统称为电偶极子。如图所示的电偶极子模型，带电量为q的两异号点电荷相距为。以两者连线为x轴，以两者连线的中垂线为y轴建立坐标系。坐标轴上有两点和，其中，，静电力常量为，则（    ） A．点电场强度方向沿x轴正向 B．点电场强度的大小约为 C．点电场强度方向沿轴正向 D．点电场强度的大小约为 【答案】B 【详解】AB．由图可知，点与正电荷的距离大于与负电荷的距离，根据 可知正电荷在点的电场强度小于负电荷在点的电场强度，则点电场强度方向沿x轴负方向，根据场强叠加原则，，可知点电场强度 故A错误B正确； C．根据等量异种电荷的电场分布可知，在两电荷连线的垂直平分线上的点电场强度方向沿x轴正向，故C错误； D．根据场强叠加可知点电场强度大小为 故D错误。 故选B。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 点电荷及电场的叠加问题模型 【模型1　点电荷 等量同种（异种）电荷】 【模型构建】 点电荷的 “等量同种电荷” 与 “等量异种电荷” 模型是静电场中的核心基础模型，其电场分布、电势规律及受力特点具有典型性，是解决静电场问题（如粒子运动、电场能量、静电平衡）的关键框架 【模型剖析】 一、等量异种点电荷与等量同种点电荷的电场线比较 等量异种点电荷 等量同种(正)点电荷 电场线 分布图 连线上电场强度大小 O点最小，从O点沿连线向两边逐渐变大 O点为零，从O点沿连线向两边逐渐变大 中垂线上电场强度大小 O点最大，从O点沿中垂线向两边逐渐变小 O点为零，从O点沿中垂线向两边先变大后变小 场强最大点B的连线和连线的夹角的正切值 关于O点对称的点A与A′、B与B′的电场强度 等大同向 等大反向 二、电偶极子系统（距离远大于间距）中的匀速圆周运动 1.带电粒子在等量异号电荷的电场中某点P引入负电荷q，其受到负点电荷的库仑斥力和正点电荷的库仑引力，若满足 且 则给负电荷q一合适的垂直纸面方向的初速度，它就可以以O为圆心、以OP为半径在垂直于纸面的平面内做匀速圆周运动。 2.如图所示，竖直平面内有两个固定的点电荷，电荷量均为＋Q，与其连线中点O的距离均为h，质量为m、电荷量为－q的试探电荷以O为圆心垂直两固定的点电荷的连线做匀速圆周运动，圆周上的两点A、B与O在同一直线上，A、B两点各自和两个正点电荷连线与AB连线的夹角均为θ＝30°，已知静电力常量为k，重力忽略不计， 以试探电荷为研究对象，其做匀速圆周运动，两正点电荷对其静电力的合力提供向心力，做匀速圆周运动所需的向心力大小为 由 可得负点电荷做匀速圆周运动的角速度 【题目示例】 用电场线能直观、方便地比较电场中各点电场强度的强弱。如图甲是等量同种正点电荷形成电场的电场线，图乙是电场中的一些点。已知两点电荷带电量均为，两电荷间距离为，是两电荷连线的中点，、是两电荷连线中垂线上的两点，，、和、均是两电荷连线上相对对称的点，，下列说法正确的是（　　） A．、两点处没有电场线，则场强均为零 B．、两点电场强度大小相等，方向相反 C．点和点电场强度相同 D．点电场强度大小大于点电场强度大小 【推理过程】 【答案】BD 【详解】A．根据等量同种电荷电场分布特点可知B、C两点的场强不为零，故A错误； B．根据对称性可知，A、D两处的电场线疏密程度相同，则A、D两处的电场强度相等，由甲图可看出A、D两处的电场的方向相反，故B正确； C．根据对称性可知，G、F两处的电场线疏密程度相同，则G、F两处的电场强度相等，由甲图可看出G、F两处的电场的方向相反，故C错误； D．两电荷在G处产生的场强均为 根据电场的叠加法则可知 两电荷在A处产生的合场强均为 所以A点电场强度大小大于G点电场强度大小，故D正确。 故选BD。 【变式探究】 如图所示，水平面上相距为d的A、B两点固定有异种电荷，电荷量均为Q，其中A处电荷带正电、B处电荷带负电，在A、B两点连线的竖直中垂线上固定一根内壁粗糙的绝缘细管，细管的上、下两端管口关于AB对称。现使一质量为m，电荷量为q的带正电小圆柱体（圆柱体直径略小于细管的内径）从上端管口由静止开始下落，结果小圆柱体到达两电荷的连线中点О时的加速度为零，且此时小圆柱体的速度大小为v。已知重力加速度大小为g，静电力常量为k，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．在管内下滑过程中，电场力对小圆柱体先做正功，后做负功 B．О点的电场强度大小为 C．小圆柱体和管壁间的动摩擦因数为 D．小圆柱体到达下端管口时的速度大小为 【答案】BD 【详解】A．在管内下滑过程中，小圆柱体所受电场力方向始终与细管垂直，电场力对小圆柱体不做功，故A错误； B．单个电荷在O点产生的电场，其电场强度大小为 根据矢量的合成法则可得：O点的电场强度大小为 故B正确； C．圆柱体到达两电荷的连线中点O时的加速度为零，则小圆柱体到达O点时竖直方向所受合力为零，有 由小圆柱体水平方向受力平衡可知，此时管壁对小圆柱体的弹力大小为 解得小圆柱体和管壁间的动摩擦因数 故C错误； D．设小圆柱体从上端管口运动到O点的过程中克服摩擦力所做的功为W，由动能定理得 因小圆柱体下落过程中电场强度大小关于O点对称，则小圆柱体所受摩擦力大小关于O点对称，所以摩擦力做功大小关于O点对称，设小圆柱体到达下端管口时的速度大小为，由动能定理得 解得 故D正确。 故选BD。 【再次升华】 1、先定 “对称点”：以两电荷连线中点O和中垂线为对称轴，利用对称性简化分析（如对称点场强大小相等、电势相等）； 2、分区域讨论：重点突破 “连线” 和 “中垂线” 两个特殊区域，再推广到空间任意点，避免混乱； 3、对比记忆：通过 “异种电荷有零势面、同种电荷无零势面”“异种连线中点场强最大、同种连线中点场强为零” 等核心差异，强化规律区分； 【模型2　电场叠加问题】 【模型构建】 电场叠加问题是电场强度计算的核心题型，其本质是基于电场强度的矢量性，遵循 “矢量叠加原理”（即多个点电荷在空间某点产生的合电场强度，等于每个点电荷单独在该点产生的电场强度的矢量和） 【模型剖析】 1. 基础规律：点电荷电场强度公式 任意点电荷在空间某点产生的电场强度，是叠加问题的 “基本单元”，其计算公式为： 公式中：（静电力常量），Q 为场源电荷的电荷量（正电荷取正，负电荷取负，直接反映电场方向），r 为该点到场源电荷的距离。 方向判断：正电荷产生的电场，方向沿 “场源电荷→该点”（背离正电荷）；负电荷产生的电场，方向沿 “该点→场源电荷”（指向负电荷）。 2. 叠加规则：矢量合成法则 多个点电荷在某点产生的合场强，需对每个点电荷的分场强进行矢量合成 具体遵循： 同一直线叠加：若分场强方向共线，取某一方向为正方向，用 “代数加减” 计算合场强（方向与正方向相同则为正，相反则为负）。 非共线叠加：若分场强方向不共线（如夹角为θ，需用平行四边形定则（或三角形定则）合成，可通过 “正交分解法” 将分场强分解到 x、y轴，再分别求轴上合场强，最终用勾股定理求总合场强大小与方向。 3.求解非点电荷带电体的电场强度的“四种巧法” 对称法 利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题大为简化 填补法 将有缺口的带电圆环补为完整圆环，或将半球面补为完整球面，然后再应用对称的特点进行分析，有时还要用到微元思想 微元法 将带电体分成许多电荷元，每个电荷元看成点电荷，先根据点电荷电场强度公式求出每个电荷元的电场强度，再结合对称性和电场强度叠加原理求出合电场强度 带点圆环 等效法 在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景 等效于 【题目示例】 如图所示，半径为的水平固定绝缘圆环上均匀分布着正电荷，点为圆环的圆心，点位于点正上方处。若从圆环上的点处取走长为的小圆弧，剩余电荷分布不变，则剩余电荷在点产生电场的电场强度与竖直向上方向夹角的正切值为（　　） A． B． C． D． 【推理过程】 【答案】C 【详解】由几何关系可知，与的夹角满足 解得 设整个圆环的电荷量为Q，每一段长为小圆弧的电荷量为，由于圆环上的电荷均匀分布，可知，每一段长为小圆弧在M处产生的电场强度沿方向的分量为 被取走的A处弧长为的小圆弧在M处产生的电场强度沿垂直OM方向的分量为 故可知当从圆环上的点处取走长为的小圆弧，剩余电荷场强沿OM方向的分量为 沿垂直OM方向的分量与等大反向，故剩余电荷在点产生电场的电场强度与竖直向上方向夹角的正切值为 故选C。 【一题多变】 均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图所示，在半球面AB上均匀分布正电荷，电荷量为Q，球面半径为R，CD为通过半球顶点与球心O的轴线，轴线上CO=DO=3R。一质量为m、电荷量为q的小球（用绝缘细线悬挂于悬点），受半球面产生的电场影响偏转θ角度静止于C点，（若球C与半球面AB彼此不影响对方的电量分布）则半球面AB在D点产生的场强大小为（　　） A． B． C． D． 1. 如图所示，有一个均匀带负电的绝缘细圆环，半径为，总带电量为。点A、B、C将圆环三等分，现在移除A、B两处各一小段长度为的圆弧。的延长线交圆环于点，静电力常量为。关于圆心O点的电场强度，下列说法正确的是（　　） A．O点的电场强度方向沿OD方向 B．O点的电场强度大小为零 C．O点的电场强度大小与的大小无关 D．O点的电场强度大小与的大小成正比 2. 如图所示，一带正电绝缘球体（球心为）半径为，所带电荷量为且均匀分布，现将其中半径为与相切的小球体（球心为）部分的电荷量变为等量负电（球其他部分电荷量分布情况不变），静电力常量为，则在连线上，与距离为的点的电场强度大小为（　　） A． B． C． D． 3. 均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处的点电荷产生的电场。如图所示，在绝缘球球面上均匀分布正电荷，总电荷量为q；在剩余球面AB上均匀分布负电荷，总电荷量是。球半径为R，球心为O，CD为球面的对称轴，在轴线上有M、N两点，且，。已知球面在M点的场强大小为E，静电力常量为k，则N点的场强大小为（　　） A．E B．2E C． D． 4. 如图，在（a，0）和（0，a）位置分别放置一个电荷量为的负点电荷，若在某点处放置正点电荷，使得点的电场强度为，方向水平向左。则的位置为（　　） A． B． C． D． 5. 如图所示，有一带电荷量为的点电荷与均匀带电圆形薄板相距为，此点电荷到带电薄板的垂线通过板的圆心。若图中点处的电场强度为零，则图中点处的电场强度大小是（　　） A． B． C．0 D． 6. 电场线能直观、方便地反映电场的分布情况。图甲是等量异种点电荷形成电场的电场线，图乙是场中的一些点；O是电荷连线的中点，E、F是连线中垂线上相对O对称的两点，B、C和A、D也相对O对称。则下列说法不正确的是（　　） A．E、F两点电场强度相同 B．A、D两点电场强度相同 C．B、O、C三点，O点电场强度最小 D．从E点向O点运动的电子所受静电力逐渐减小 7. 如图所示，匀强电场（图中未画出）方向与边长为a的正方形ABCD所在平面平行，在A、C两点分别放置电荷量为的等量异种电荷，已知B点的电场强度为0，静电力常量为k，下列说法正确的是（　　） A．匀强电场方向垂直于AC B．匀强电场的场强大小为 C．B、D连线上的电场强度处处为零 D．B、D连线中点的电场强度大小为 8. 在真空中静止的两个等量正点电荷，O点为两电荷连线的中点，a点在连线的中垂线上，若在a点由静止释放一个电子，如图所示，仅在静电力作用下，关于电子的运动，下列说法正确的是（　　） A．电子在从a点到O点运动的过程中，加速度可能先增大后减小，速度一定越来越大 B．电子在从a点到O点运动的过程中，加速度越来越小，速度越来越大 C．电子运动到O点时，加速度为零，速度也为零 D．电子通过O点后，速度越来越大 9. 两个等量正点电荷，O点为两电荷连线的中点，a点在连线的中垂线上，若在a点由静止释放一个电子，如图所示，关于电子的运动，下列说法正确的是（电子重力不计）（　　） A．电子在从a向O运动的过程中，加速度越来越大，速度越来越大 B．电子在从a向O运动的过程中，加速度越来越小，速度越来越大 C．电子运动到O时，加速度为零，速度最大 D．电子通过O后向下运动过程中，速度越来越小，加速度可能一直增大 10. 物理中电偶极子模型可视为竖直固定的等量异种点电荷，电量大小均为q、间距为2d、如图所示粒子（质量为m，电量为2e，重力不计）从两电荷垂直平分线上某点a开始水平向右运动，轨迹如图中实线所示，，则下列说法中正确的是（　　） A．粒子在C点时电势能比A位置时大 B．粒子从A到C过程中速率先增大后减小 C．粒子在C点时加速度大小为 D．要使粒子沿着虚线做匀速直线运动，可以加一垂直纸面向里的匀强磁场物 11. 电偶极子是由一对等量异种电荷组成的。如图，固定在x轴上、带等量异种电荷的带电体M、N，它们连线的中点为O，a、b是过O点的中垂线上与O点对称的两点，c、d是x轴上关于O点对称的两点。下列说法正确的是（　　） A．a、b两点的电场强度大小相等，方向相同 B．a、b两点的电场强度大小相等，方向不同 C．电子在c点的电势能小于其在d点的电势能 D．若将电子在d点由静止释放，当电子只受电场力作用时，将在c、d间来回运动 12. 电磁学中将两相距很近的等量异号点电荷所组成的带电系统称为电偶极子。如图所示的电偶极子模型，带电量为q的两异号点电荷相距为。以两者连线为x轴，以两者连线的中垂线为y轴建立坐标系。坐标轴上有两点和，其中，，静电力常量为，则（    ） A．点电场强度方向沿x轴正向 B．点电场强度的大小约为 C．点电场强度方向沿轴正向 D．点电场强度的大小约为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $