专题05 电场中的图像与功能关系模型-（讲义）物理人教版2019必修第三册

本讲义聚焦电场中的图像与功能关系模型，系统构建从电场强度、电势到电势能、动能变化的物理图景，以v-t、E-x、φ-x等典型图像为载体，串联起电场性质与带电粒子运动状态之间的逻辑链条，形成“识图→提信息→建联系”的完整分析框架。 资料设计突出科学思维与物理观念的深度融合，通过多道典型例题和变式探究，引导学生建立图像特征与物理量间的映射关系，如利用φ-x图像斜率判断场强方向、用Ep-x图像切线斜率确定电场力大小，强化模型建构能力。课中教师可借助图像解析过程直观演示推理路径，提升课堂效率，课后学生可通过错题归因与模型复盘查漏补缺，实现从知识理解到问题解决的能力跃升。

专题05 电场中的图像与功能关系模型 【模型1　电场中的图像模型】 【模型构建】 在电场问题分析中，图像是直观呈现电场性质（如场强E、电势Φ、电势差U）与带电粒子运动状态（如速度v、加速度a、动能Ek）关系的核心工具。构建电场中的图像模型，需先明确常见图像类型，再掌握 “图像特征→物理量提取→规律关联→问题求解” 的逻辑链条，最终建立 “图像信息与电场、粒子运动规律” 的对应关系 【模型剖析】 所有电场图像模型的核心逻辑一致：“图像特征→物理量映射→规律关联”，具体可归纳为三步： 1、识图像：明确图像类型（如、、v - t，理解横、纵坐标的物理意义； 2、提信息：通过图像的斜率（如斜率→E）、面积（如面积→U）、极值点（如极值→E = 0，提取场强、电势、力、能量等关键物理量； 3、建联系：结合电场规律、和力学规律、，建立 “电场性质” 与 “粒子运动 / 能量” 的对应关系，最终解决问题。 4、常见图像及分析 v－t图像 当带电粒子只受静电力时，从v－t图像上能确定粒子运动的加速度方向、大小变化情况，进而可判定粒子运动中经过的各点的电场强度方向、电场强度大小、电势高低及电势能的变化情况。 E-x图像 （1）反映了电场强度随x变化的规律； （2）E＞0表示电场强度沿x轴正方向，E＜0表示电场强度沿x轴负方向； （3）图线与x轴围成的“面积”表示电势差，“面积”大小表示电势差大小，两点的电势高低根据电场方向判定 φ-x图像 （1）电场强度的大小等于φ-x图线的斜率大小，电场强度为零处，φ-x图线存在极值，其切线的斜率为零； （2）在φ-x图像中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势高低关系确定电场强度的方向； （3）在φ-x图像中分析电荷移动时电势能的变化，可用WAB＝qUAB，进而分析WAB的正负，然后作出判断 Ep-x图像 （1）反映了电势能随x变化的规律； （2）图线的切线斜率大小等于静电力大小； （3）进一步判断电场强度、动能、加速度等随位移的变化情况 【题目示例】 有一场强方向与x轴平行的静电场，电势φ随坐标x变化的图线如图所示，处切线与x轴平行。若规定x轴正方向为电场的正方向，下列说法正确的是（　　） A．x在内电场方向向右，在内电场方向向左 B．x在内电场强度小于内电场强度 C．将一带电粒子放在位置处所受电场力为零 D．将一电子由处静止释放，电子可到达处 【推理过程】 【答案】C 【详解】A．间电场方向向左，间电场方向向右，间电场方向向左，故A错误； B．图像斜率表示场强大小，故内电场强度大于内电场强度，故B错误； C．处的斜率为零，场强为零，粒子所受电场力为零，故C正确； D．将一电子由处静止释放，电子最远可到达处，故D错误。 故选C。 【变式探究】 一带负电的粒子只在电场力作用下沿x轴正方向运动，其电势能随位移x变化的关系如图所示，其中段图像是关于直线对称的曲线，段图像是直线，下列说法正确的是（　　） A．粒子在段做匀变速运动，段做匀速直线运动 B．处电场方向发生了反向突变，且电场强度等于零 C．段的电场强度大小、方向均不变 D．在处电势的关系为 【答案】BC 【详解】AC．由图可知图像斜率表示电场力，则段图像的斜率先减小后增大，则粒子所受的电场力先减小后增大，根据牛顿第二定律可知粒子的加速度先减小后增大，故粒子在段做非匀变速运动；段图像的斜率保持不变，则粒子所受的电场力保持不变，故场强大小和方向保持不变，粒子的加速度保持不变，故粒子在段做匀变速直线运动，故A错误，C正确； B．段带负电粒子的电势能减小，则电势增大，段带负电粒子的电势能增大，则电势减小，故处电场方向发生了反向突变，由于处的斜率为零，则该处电场力为零，电场强度为零，故B正确； D．根据图像可知 根据，已知粒子带负电，故，故D错误。 故选BC。 【模型2　电场中的功能关系】 【模型构建】 电场中的功能关系是电场与力学、能量知识的核心交汇点，其综合问题本质是 “电场力做功与电势能变化的关系”“电场力之外的力做功与机械能变化的关系”“总功与动能变化的关系” 三者的融合应用。构建此类问题的物理模型，需遵循 “明确研究对象→拆解受力与做功→关联能量变化→列方程求解”  【模型剖析】 几种常见的功能关系： (1)合外力做功等于动能的变化，即W合＝Ek2－Ek1＝ΔEk(动能定理)。 (2)重力做功等于物体重力势能的变化，即WG＝EpG1－EpG2＝－ΔEp。 (3)静电力做功等于电势能的变化，即W电＝Ep电1－Ep电2＝－ΔEp电。 (4)弹簧弹力做功等于弹性势能的变化，即W弹＝Ep1－Ep2＝－ΔEp弹。 (5)除了重力和弹簧弹力之外其他力做的总功等于物体机械能的变化，即W其他力＝E机2－E机1＝ΔE机。 【题目示例】 19．如图所示，带正电的小球P与光滑的小定滑轮О固定在同一竖直面上，用绕过滑轮О的绝缘轻质细线拉住带电小球Q，Q静止时两球恰好位于同一水平面，且PQ⊥OP。现用力拉细线上端使Q缓慢上移，直至P、Q连线与水平方向的夹角为60°，此过程中P、Q两球的带电荷量保持不变。则下列说法正确的是（　　） A．P、Q间的库仑力逐渐减小 B．库仑力对Q一直做正功 C．Q的电势能一直增大 D．细线拉力对Q做的功等于Q重力势能的增加量 【推理过程】 【答案】D 【详解】ABC．缓慢移动Q的过程中，Q处于动态平衡状态，对Q进行受力分析，如图所示 可知Q所受力的矢量三角形与三角形OPQ相似，可得 由数学知识可得，Q上移过程中r保持不变，可知两球间的库仑力大小保持不变，Q受到的库仑力不做功，电势能不变，故ABC错误； D．根据功能关系可知，细线拉力对Q做的功等于其重力势能的增加量，故D正确。 故选D。 【变式探究】 21．理论表明，将无限远处的电势规定为零时，距离点电荷Q为r处的电势，其中k为静电力常量。如图所示，真空中有四个可视为点电荷的带正电的小球，约束在边长为的正方形的顶点上。已知各小球所带电荷量均为q，P为正方形的几何中心，则（　　） A．P点的电场强度大小为 B．P点的电势为 C．小球1的电势能为 D．将小球1从位置1沿直线移至P的过程中电势能增加 【答案】BD 【详解】A．根据电场的叠加原理可知，等量同种点电荷连线的中点的电场强度为0，可知，小球1，3在P点的电场强度为0，小球2，4在P点的电场强度为0，则P点的电场强度大小为0，故A错误； B．根据电势的代数和规律有，故B正确； C．小球1所在位置的电势 则小球1的电势能，故C错误； D．根据点电荷电场强度的叠加原理可知，P点到小球1连线的电场方向由P指向小球1，将小球1从位置1沿直线移至P的过程中，电场力做负功，则电势能增加，故D正确。 故选BD。 【再次升华】 1、勿混淆 “电势能” 与 “机械能”：电势能属于 “电场 - 粒子” 系统，不属于机械能，计算机械能时只需考虑 “动能 + 重力势能（+ 弹性势能）”； 2、电场力做功的 “符号” 别错：用时，，需先判断与的高低（沿电场线电势降低），再结合粒子电性（正电荷q>0，负电荷q<0）确定的正负； 3、非匀强电场中 “电场力做功” 的计算：非匀强电场中E是变化的，不能用W=qEd，只能用或 “能量守恒反推”； 4、临界状态的 “受力分析” 不能少：如圆周运动、往返运动等问题，需先找到临界位置（如速度最小点、弹力为零点），补充力学方程（如向心力公式），才能联立能量方程求解。 1. 反射式速调管是常用的微波器件之一，它的工作原理是通过电子在电场中的振荡来产生微波。其内部为真空，有一个静电场的方向平行于轴，其电势随的分布如图所示。现将一电子（重力不计）从处以初动能2eV沿轴负方向射出，下列说法正确的是（    ） A．处的电场强度小于处的电场强度 B．电子运动到处后返回 C．电子在运动过程中，在处的电势能最大 D．电子在运动过程中电势能与动能之和逐渐减小 【答案】AB 【详解】A．根据图像斜率表示电场强度可知，区域电场强度大小为 区域电场强度大小为，则处的电场强度小于处的电场强度，故A正确； B．根据题意，由动能定理有 解得 则电子从处沿轴负方向射出运动，速度减小到0（返回），即运动到处后返回，故B正确； C．由图可知，在处的电势最大，则电子在处的电势能最小，故C错误； D．电子运动过程中，只有电场力做功，则电势能与动能之和保持不变，故D错误。 故选AB。 2. x轴上位于x=-d处固定一正点电荷qA，坐标原点O处固定另一个点电荷qB，x轴上电势φ随位置x的变化关系如图所示，其中在x>0的范围内x=d处的电势最高，B、C两点是图像与横轴的交点，规定无穷远处电势为零，引入的点电荷不改变空间电场且研究引入电荷的运动范围仅在与qA或qB碰撞之前。下列说法正确的是（　　） A．另一个点电荷qB的电性一定为正 B．qA电荷量绝对值是qB电荷量绝对值的4倍 C．在C点由静止释放一个负点电荷，电荷将做往复运动 D．在qA右侧附近由静止释放一个正点电荷，电荷将先加速后减速 【答案】B 【详解】A．根据图像可知，x轴上的电势有正有负，故qA为正电荷，qB为负电荷，故A错误； B．根据题意可知φ-x图像的斜率表示电场强度，则在x=d的位置，电场强度为零，根据点电荷电场强度的叠加原理有 解得，故B正确； C．在C点由静止释放一个负点电荷，由于此处电势能和动能均为零，故电荷先加速后减速，无穷远处电势能为零，动能同样为零，不会做往复运动，故C错误； D．在qA右侧附近由静止释放一个正电荷，由于A到B电势不断降低，所以场强方向沿x轴正方向，则正电荷所受电场力方向沿x轴正方向，则正点电荷在碰到qB之前一直加速，故D错误。 故选B。 3. 如图所示为某静电场中x轴上各点电势φ随坐标x变化的关系图像，x=0处电势最低，x=−x0处电势为2φ0，x=2x0处电势为3φ0。一质量为m、带电量大小为q（q>0）的带电粒子（电性未知）仅在电场力的作用下，从x=−x0以一定的初速度沿x轴正方向运动，到x=2x0处时速度恰好减为0。下列说法正确的是（　　） A．粒子带负电 B．粒子的初速度大小为 C．自x=−x0至x=2x0，粒子的加速度先减小后增大 D．自x=−x0至x=2x0，粒子的动能先减小后增大 【答案】C 【详解】A．沿电场线方向电势降低，沿x轴正向电势先降低后升高，则x轴负半轴的电场方向向右，x轴正半轴的电场方向向左，粒子在x正半轴做减速运动，受电场力方向向左，则粒子带正电，故A错误； B．由动能定理有 解得，故B错误； C．φ−x图像的斜率表示电场强度，可知自x=−x0至x=2x0，电场强度先减小后增大，故粒子的加速度先减小后增大，故C正确； D．自x=−x0至x=2x0，电场力先做正功后做负功，则粒子的动能先增大后减小，故D错误。 故选C。 4. 绝缘的水平面上存在着沿水平方向的电场，带负电滑块（可视为质点）在水平面上不同位置所具有的电势能Ep如图甲所示，P点是图线最低点。现将滑块由x=1m处以v=2m/s的初速度沿x轴正方向运动（如图乙），滑块质量m=1kg、与水平面间的动摩擦因数μ=0.1，g取10m/s²，则（　　） A．电场中x=3m处的电势最低 B．滑块沿x轴正方向运动过程中，速度先增加后减少 C．滑块运动至x=3m处，速度大小为2m/s D．滑块不可能到达x=4m处 【答案】BCD 【详解】A．滑块在x=3m处电势能最小，根据，且滑块带负电，可知x=3m处的电势最高，故A错误； C．滑块从x=1m处运动到x=3m处，根据功能关系可得 解得滑块运动至x=3m处，速度大小为，故C正确； B．根据图像斜率的绝对值 由题图可知，从x=1m处到x=3m处，滑块受到的电场力逐渐减小，且滑块从x=1m处运动到x=3m处，电场力做功等于克服摩擦力做功，所以电场力先大于摩擦力后小于摩擦力，则滑块沿x轴正方向运动过程中，合力先做正功，后做负功，根据动能定理可知，滑块的速度先增加后减少，故B正确； D．滑块在x=1m处的电势能与在x=4m处的电势能相等，滑块从x=1m处到x=4m处，需要克服摩擦力做功 可知滑块不可能到达x=4m处，故D正确。 故选BCD。 5. 质子仅在电场力的作用下从O点开始沿x轴正方向运动，其在O点处的初动能为4eV。该质子的电势能Ep随位移x变化的关系如图所示，其中O-x2段是关于直线x=x1对称的曲线，x2-x3段是直线。下列说法正确的是（　  ） A．x1处电场强度最小，但不为零 B．该质子在x1处的动能为6eV C．在O、x1、x2、x3处电势φ0、φ1、φ2、φ3的关系为φ1>φ2=φ0>φ3 D．该质子最终停在x3处 【答案】B 【详解】A．在图像的斜率绝对值等于电场力的大小，可知在处电场力为零，电场强度为零，故A错误； B．由图可知，质子从O到的过程中，电势能减少，电场力做正功，电场力所做的功等于电势能的减少量，即 根据动能定理可得 代入数据解得，故B正确； C．由图可知，质子在O、、、的电势能关系为 因此质子在O、、、的电势关系为，故C错误； D．由题可知，质子在电场中的总能量为 根据能量守恒可知，由于质子在的电势能为7eV，此时质子的动能为零，但由于质子受到的电场力不为零，质子不会停在处，只是在该点的速度为零，故D错误。 故选B。 6. 如图1所示，真空中有两点电荷分别固定在轴上的和处，将一正试探电荷置于轴上，的电势能随位置的变化关系部分图像如图2所示，规定无穷远处电势为零，点电荷周围某点电势公式，其中为静电力常量，为点电荷的电荷量，为该点到点电荷的距离。下列说法正确的是（　　） A．、为同种电荷 B．、的电荷量之比 C．处的电势低于处的电势 D．除无限远外，轴上电场强度为零的点只有一个 【答案】D 【详解】A．由图2知处电势为正，电势为负，可知带负电，带正电，故错误； B．由图2知处电势为零，根据点电荷周围电势公式 可知 解得，故B错误； C．在轴上，在右侧电场强度水平向右，在区间的电场强度水平向右，根据电场的叠加可知间的电场强度水平向右，当时，处电势为零，时，电势为零的点更靠近，所以处电势大于零，即处的电势高于处的电势，故C错误； D．由于正电荷的电荷量大于负电荷电荷量，可知轴上在区域电场强度不可能为零，在区域电场强度不可能为零，在区域，设该点距x=-1m处的距离为，根据电场强度为零，则有 解得 可知除无限远处，轴上电场强度为零的点只有一个，故D正确。 故选D。 7. 如下图，真空中有两个点电荷，Q1为、Q2为，分别固定在x轴的坐标为0和6cm的位置上。下列有关描述正确的是：（　　） A．图甲是x轴上（6，∞）之间各点电场强度随x变化图像 B．图乙是x轴上（0，6）之间各点电场强度随x变化图像 C．图丙是x轴上（0，6）之间各点电势随x的变化图像 D．图丁是x轴上（6，∞）之间各点电势随x的变化图像 【答案】AD 【详解】A．分析可知场强为0的点应在横坐标为6cm的右侧，设其坐标为d，则有 代入题中数据，解得 在6cm右侧场强 可知场强随着x增大而先减小后增大再减小，方向先沿x轴负方向后沿x轴正方向，故A正确； B．在两电荷之间有 可知场强随着x增大而增大，故B错误； C．分析可知在两电荷之间有电势为0的点，设其坐标为L，则有 代入题中数据，解得 该点与丙图电势为0的坐标不符，故C错误； D．分析可知在横坐标为6cm的右侧有电势为0的点，设其坐标为H，则有 代入题中数据，解得 则6cm右侧电势 可知随着x增大，电势先从负值增大到0后继续增大为正值，最后再减小，故D正确。 故选AD。 8. 某平行于轴的静电场，其电势随的分布可简化为如图所示的曲线。一质量为、带电荷量为的粒子（不计重力），以初速度从点进入电场，沿轴正方向运动，能够到达。下列叙述正确的是（　　） A．带电粒子从向右运动到运动的过程中先做匀加速直线运动再做匀减速直线运动 B．带电粒子的最小初速度为 C．带电粒子从到的过程中，在时的速度最大，若，则最大速度为 D．带电粒子从到的过程中，动能先减小再增大 【答案】C 【详解】A．因沿电场线电势降低，可知从向右运动到的过程中电场线沿x轴正向，则电场力一直沿x轴正向，则粒子做匀加速直线运动，选项A错误； B．带电粒子若恰能到达x1位置初速度最小，则由动能定理 解得最小初速度为，选项B错误； C．带电粒子从到的过程中，在时的电势能最小，则动能最大，即速度最大，若，则由动能定理 解得最大速度为，选项C正确； D．带电粒子从到的过程中，电场力先做负功（0~x1），再做正功（x1~x3），再做负功（x3~x4），可知动能先减小再增大，再减小，选项D错误。 故选C。 9. 如图甲所示，、是某电场中一条电场线上的两点，一个正电荷从点由静止释放，仅在静电力作用下从点运动到点，其运动的图像如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．点电场强度小于点电场强度 B．电场线的方向从指向 C．该点电荷在点电势能小于点电势能 D．该电场可能是孤立负电荷产生的 【答案】AD 【详解】A．从到，根据乙图可知加速度增大，由牛顿第二定律可知电场力增大，所以点的电场强度小于点的电场强度，故A正确； BC．正电荷由静止开始从运动到，则电场力方向从到，因正电荷的电场力方向与电场线方向相同，故电场线方向由指向，又根据沿着电场线方向电势逐渐降低，可知，点电势高于点电势，根据可知正电荷在点的电势能大于在点的电势能，故BC错误； D．若该电场是某个点电荷产生的，距离点电荷越近场强越大，所以该点电荷应该在的右侧，正电荷受到点电荷的吸引力，所以该点电荷带负电，故D正确。 故选AD。 10. 两电荷量分别为q1和q2的点电荷固定在x轴上的A、B两点，两点电荷连线上各点电势φ随坐标x变化的关系图像如图所示，其中P点电势最高，且，则（　　） A．q1和q2都带负电荷 B．q1的电荷量大于q2的电荷量 C．在A、B之间将一负点电荷沿x轴从P点左侧移到右侧，电势能先减小后增大 D．一点电荷只在静电力作用下沿x轴从P点运动到B点，加速度逐渐变小 【答案】AC 【详解】A．由题图知，越靠近两电荷，电势越低，则和都是负电荷，故A正确； B．图像的切线斜率表示电场强度，则P点场强为零，根据场强的叠加原则可知两点电荷在P处产生的场强等大反向，则有 因为，所以的电荷量小于的电荷量，故B错误； C．在A、B之间将一负点电荷沿x轴从P点左侧移到右侧，由题图可知，从P点左侧到右侧，电势先增加后减小，根据可知，负点电荷的电势能先减小后增大，故C正确； D．图像的切线斜率绝对值表示电场强度大小，则沿x轴从P点运动到B点场强逐渐增大，根据牛顿第二定律可得 可知一点电荷只在静电力作用下沿x轴从P点运动到B点，加速度逐渐增大，故D错误。 故选AC。 11. 如图甲所示，坐标原点处固定有电荷量为的点电荷，、点固定有电荷量为的点电荷，。轴上、、三点的横坐标分别为，，，轴上电势随坐标的变化曲线如图乙所示，其中为图像最高点对应的横坐标，下列说法正确的是（　　） A．轴上点到点之间存在电场强度为零的点 B．点场强小于点场强 C．将一带负电的试探电荷由点静止释放，试探电荷沿轴运动可到达点 D．将一带负电的试探电荷由点静止释放，试探电荷沿轴运动可到达点 【答案】BC 【详解】A．根据电场强度的叠加原理可知，、点位置的电荷在点到点之间的电场强度方向沿y轴负方向，点处电荷量为的点电荷在点到点之间的电场强度方向也沿y轴负方向，则轴上点到点之间的电场强度方向沿y轴负方向，不存在电场强度为零的点，故A错误； B．图像某点切线斜率的绝对值表示电场强度的大小，根据图乙可知，点场强小于点场强，故B正确； C．沿电场线方向电势降低，根据图乙可知，之间电场方向向左，之间电场方向向右，则将一带负电的试探电荷由点静止释放，试探电荷先向右做加速运动，越过后，向右做减速运动，由于之间电势差大小等于之间电势差大小，可知，在之间电场力做功大小等于之间克服电场力做功，则将一带负电的试探电荷由点静止释放，试探电荷沿轴运动可到达点，且到达c点时速度恰好等于0，故C正确； D．结合上述可知，将一带负电的试探电荷由点静止释放，试探电荷沿轴运动不可能到达点，故D错误。 故选BC。 12. 如图所示为静电场中沿x轴方向的各点电势随位置的变化规律，图中标出的量均为已知量。一电荷量为的带电粒子由处静止释放，粒子仅在电场力作用下沿轴运动，则下列说法正确的是（　　） A．区域电场沿轴正方向，区域电场沿轴负方向 B．区域的电场强度与区域的电场强度大小之比为 C．粒子从释放到运动至处的过程，电势能减少 D．粒子能运动到处 【答案】BC 【详解】A．根据沿电场方向电势逐渐降低可知，区域电场沿轴负方向，区域电场沿轴正方向，故A错误； B．根据可知，图像的斜率绝对值表示场强大小，由题图可知区域的电场强度与区域的电场强度大小之比为，故B正确； C．由题图可知处的电势为处，则粒子从释放到运动至处的过程，电场力做功为 根据功能关系可知，电势能减少，故C正确； D．假设粒子可以从从，该过程电场力做功为 由于粒子在处的初速度为0，所以粒子不能运动到处，故D错误。 故选BC。 13. 两个等量同种点电荷固定于光滑水平面上，其连线中垂线上有A、B、C三点，如图甲所示，一个电荷量为，质量为的小物块从点静止释放，其运动的图象如图乙所示，其中点处为整条图线切线斜率最大的位置（图中标出了该切线）则下列说法正确的是（　　） A．由到的过程中物块的电势能先减小后变大 B．由点到点电势逐渐升高 C．B、C两点间的电势差 D．点为中垂线上电场强度最大的点，场强 【答案】D 【详解】A．根据v-t图可知从C到A物块的速度一直增大，物块的动能增大，电场力做正功，则电势能一直减小，故A错误； B．根据两个等量的同种正电荷其连线中垂线上电场强度方向由O点沿中垂线指向外侧，故由C点到A点的过程中电势逐渐降低，故B错误； C．由v-t图可知B点的速度为vB=4m/s，物块在C到B过程，根据动能定理得 解得 可知，故C错误； D．根据v-t图的斜率等于加速度，可得物块在B点的加速度最大为 所受的电场力最大为Fm=mam=2×2N=4N 则电场强度的最大值为，故D正确； 故选D。 14. 如图为某静电去污池的结构示意图，其中涂有绝缘层的金属圆盘和金属棒连接电源后分别置于处理池底部和污水中，电场线分布如图所示，其中M、N和P为电场线上的点。则（　　） A．M点电势高于N点电势 B．M、P两点的电场强度相同 C．带负电的微粒从M点移到N点，其电势能减小 D．带负电的微粒从M点移到N点，电场力对其做负功 【答案】C 【详解】A．随电场线方向电势降低，可知M点电势低于N点电势，故A错误； B．根据电场线的疏密程度可知M点的电场强度比P点的小，故B错误； C．由于M点电势低于N点电势，带负电的微粒从M点移到N点，其电势能减小，故C正确； D．由于带负电的微粒从M点移到N点，其电势能减小，故电场力做正功，故D错误。 故选C。 15. 如图所示，一个绝缘半圆形竖直轨道固定在水平地面上，圆心为O，直径AB水平。在A点固定一正点电荷，将带正电的小球从B点由静止释放，经过最低点P后到达M点时速度为零，经过N点时速度最大（N点未画出）。忽略一切摩擦，下列说法正确的是（　　） A．N点可能在M点和P点之间 B．小球从B点到M点的过程中，重力与库仑力的合力先增大后减小 C．小球从B点到M点的过程中，电势能一直增大 D．小球从P点到M点的过程中，动能的减少量大于电势能增加量 【答案】CD 【详解】A．速度最大的N点，需合力沿轨道切线方向分力为0。小球从B下滑，初始速度为0，合力沿切线向下做正功使速度增大；之后合力沿切线向上做负功使速度减小。小球在N点时所受重力和库仑力的合力须与NO连线共线，则N点应在B到P之间（而非M、P之间），故A错误； B．从B到M，库仑力随距离减小而增大，重力不变，但库仑力与重力夹角（小于90°）逐渐变小，合力大小无“先增大后减小”规律，故B错误； C．小球带正电，A处是正点电荷，从B到M小球靠近A，库仑斥力做负功。根据“电场力做负功，电势能增加”，电势能一直增大，故C正确； D．小球从P到M，动能减少，重力势能因高度上升而增加，电势能因库仑斥力做负功而增加。由能量守恒：动能减少量=重力势能增加量+电势能增加量，故动能减少量大于电势能增加量，故D正确。 故选CD。 16. 如图所示，先在相距为L的A、B两点分别放置电荷量为+Q和+2Q的点电荷，O点为AB的中点，C、M在AB连线的中垂线上，N在AB连线上，，，再在C点放置一电荷量为-Q的点电荷。现将一带正电的试探电荷从M点沿中垂线移到O点，再沿AB连线移到N点。下列说法中正确的是（　　） A．O点的电场强度方向与OC成30°斜向下 B．O点的电场强度大小为 C．移动过程中试探电荷的电势能先增大后减小 D．移动过程中试探电荷的电势能一直增大 【答案】BD 【详解】AB．A、B、C三个电荷在O点产生的电场强度分别为，， 方向如图所示 则 方向为与OC之间夹角均为斜向下，故A错误，B正确； CD．试探电荷在MO间受力情况如图所示 由图可知将试探电荷从M点移动到O点过程中静电力做负功，所以试探电荷的电势能增大，试探电荷在ON间受力情况如图所示 由图可知将试探电荷从O点移动到N点过程中静电力做负功，所以试探电荷的电势能增大，所以移动过程中试探电荷的电势能一直增大，故C错误，D正确。 故选BD。 17. 某静电场中轴上电场强度随变化的关系如图所示，设轴正方向为电场强度的正方向。一带电荷量大小为的粒子从坐标原点沿轴正方向运动，结果粒子运动到处恰好速度变为零。假设粒子仅受电场力作用，和已知，则（　　） A．粒子一定带正电 B．原点比处的电势高 C．粒子运动到时的动能为 D．粒子沿轴正方向运动过程中电势能先减小后增大 【答案】AD 【详解】A．如果粒子带负电，粒子在电场中先沿场强方向运动，后逆着场强方向运动，则一定先做减速运动后做加速运动，因此粒子在处的速度不可能为零，故粒子一定带正电，故正确； B．原点与处的电势差等于图像与坐标轴围成的面积， 所以原点比处的电势低，故B错误； C．粒子从开始到的过程，由动能定理得 从原点到处由动能定理 解得，故C错误； D．粒子向右运动的过程中，电场力先做正功后做负功，因此电势能先减小后增大，故D正确。 故选AD。 18. 空间某点固定带正电的点电荷，将一质量为，带负电的金属圆环套在一根固定的粗糙、绝缘竖直细杆上，点与点等高，圆环从处由静止开始下滑，经过处的速度最大（为杆中某一点），到达处的速度为零，。如果圆环在处获得一竖直向上的速度，恰好能回到点，重力加速度为，则圆环（　　） A．从下滑到过程中，加速度一直减小 B．从下滑到过程中，克服摩擦力做的功为 C．从下滑到过程中，电势能的增加量等于 D．上滑经过的速度小于下滑经过的速度 【答案】B 【详解】A．从下滑到过程中，因在B点的速度最大，则在B点的加速度为零最小，可知从A到C加速度不是一直减小，选项A错误； B．从下滑到过程中，由动能定理 从C到A由动能定理 解得克服摩擦力做的功为，选项B正确； C．从下滑到过程中，由动能定理 可得 可得电势能的增加量等于，选项C错误； D．下滑从A到B，则 上滑由B到A，则 可得，即上滑经过的速度大于下滑经过的速度，选项D错误。 故选B。 19. 如图所示，真空中a、b、c是边长为L的等边三角形三个顶点，在a、b两点分别固定电荷量为+q的点电荷，在c点固定电荷量为的点电荷，O点为三角形中心，M、N、P点为三角形三边中点。设点电荷在某点产生电势为（Q为点电荷电荷量，r为到点电荷的距离），关于O、M、N、P四点电场强度大小及电势高低，下列说法正确的是（　　） A．M点和N点电场强度大小相等，电势不同 B．电子由O点沿直线移动到P点过程中，电势能增大 C．P点电场强度大小为，电势为0 D．O点电场强度大小为，电势为 【答案】D 【详解】A．根据等量同种电荷的电场分布特点以及点电荷的电场分布特点可知，M点和N点场强大小相等，由于a、b电荷与M、N两点距离相同，故a、b电荷在M、N两点产生电势相同，且c与M、N距离相同，故c电荷在M、N两点产生电势也相同，根据电势叠加可知，M点和N点电势相同，故A错误； B．根据电场强度叠加原理可知，三个电荷在OP上产生的电场强度其方向沿P指向O，故电子由O点沿直线移动到P点过程中，电场力做正功，电势能减小，故B错误； C．a、b两电荷在P的产生的场强抵消为0，故P点电场强度大小为 电势，故C错误； D．根据电场强度叠加原理可知，O点场强 电势，故D正确。 故选D。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 电场中的图像与功能关系模型 【模型1　电场中的图像模型】 【模型构建】 在电场问题分析中，图像是直观呈现电场性质（如场强E、电势Φ、电势差U）与带电粒子运动状态（如速度v、加速度a、动能Ek）关系的核心工具。构建电场中的图像模型，需先明确常见图像类型，再掌握 “图像特征→物理量提取→规律关联→问题求解” 的逻辑链条，最终建立 “图像信息与电场、粒子运动规律” 的对应关系 【模型剖析】 所有电场图像模型的核心逻辑一致：“图像特征→物理量映射→规律关联”，具体可归纳为三步： 1、识图像：明确图像类型（如、、v - t，理解横、纵坐标的物理意义； 2、提信息：通过图像的斜率（如斜率→E）、面积（如面积→U）、极值点（如极值→E = 0，提取场强、电势、力、能量等关键物理量； 3、建联系：结合电场规律、和力学规律、，建立 “电场性质” 与 “粒子运动 / 能量” 的对应关系，最终解决问题。 4、常见图像及分析 v－t图像 当带电粒子只受静电力时，从v－t图像上能确定粒子运动的加速度方向、大小变化情况，进而可判定粒子运动中经过的各点的电场强度方向、电场强度大小、电势高低及电势能的变化情况。 E-x图像 （1）反映了电场强度随x变化的规律； （2）E＞0表示电场强度沿x轴正方向，E＜0表示电场强度沿x轴负方向； （3）图线与x轴围成的“面积”表示电势差，“面积”大小表示电势差大小，两点的电势高低根据电场方向判定 φ-x图像 （1）电场强度的大小等于φ-x图线的斜率大小，电场强度为零处，φ-x图线存在极值，其切线的斜率为零； （2）在φ-x图像中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势高低关系确定电场强度的方向； （3）在φ-x图像中分析电荷移动时电势能的变化，可用WAB＝qUAB，进而分析WAB的正负，然后作出判断 Ep-x图像 （1）反映了电势能随x变化的规律； （2）图线的切线斜率大小等于静电力大小； （3）进一步判断电场强度、动能、加速度等随位移的变化情况 【题目示例】 有一场强方向与x轴平行的静电场，电势φ随坐标x变化的图线如图所示，处切线与x轴平行。若规定x轴正方向为电场的正方向，下列说法正确的是（　　） A．x在内电场方向向右，在内电场方向向左 B．x在内电场强度小于内电场强度 C．将一带电粒子放在位置处所受电场力为零 D．将一电子由处静止释放，电子可到达处 【推理过程】 【答案】C 【详解】A．间电场方向向左，间电场方向向右，间电场方向向左，故A错误； B．图像斜率表示场强大小，故内电场强度大于内电场强度，故B错误； C．处的斜率为零，场强为零，粒子所受电场力为零，故C正确； D．将一电子由处静止释放，电子最远可到达处，故D错误。 故选C。 【变式探究】 一带负电的粒子只在电场力作用下沿x轴正方向运动，其电势能随位移x变化的关系如图所示，其中段图像是关于直线对称的曲线，段图像是直线，下列说法正确的是（　　） A．粒子在段做匀变速运动，段做匀速直线运动 B．处电场方向发生了反向突变，且电场强度等于零 C．段的电场强度大小、方向均不变 D．在处电势的关系为 【答案】BC 【详解】AC．由图可知图像斜率表示电场力，则段图像的斜率先减小后增大，则粒子所受的电场力先减小后增大，根据牛顿第二定律可知粒子的加速度先减小后增大，故粒子在段做非匀变速运动；段图像的斜率保持不变，则粒子所受的电场力保持不变，故场强大小和方向保持不变，粒子的加速度保持不变，故粒子在段做匀变速直线运动，故A错误，C正确； B．段带负电粒子的电势能减小，则电势增大，段带负电粒子的电势能增大，则电势减小，故处电场方向发生了反向突变，由于处的斜率为零，则该处电场力为零，电场强度为零，故B正确； D．根据图像可知 根据，已知粒子带负电，故，故D错误。 故选BC。 【模型2　电场中的功能关系】 【模型构建】 电场中的功能关系是电场与力学、能量知识的核心交汇点，其综合问题本质是 “电场力做功与电势能变化的关系”“电场力之外的力做功与机械能变化的关系”“总功与动能变化的关系” 三者的融合应用。构建此类问题的物理模型，需遵循 “明确研究对象→拆解受力与做功→关联能量变化→列方程求解”  【模型剖析】 几种常见的功能关系： (1)合外力做功等于动能的变化，即W合＝Ek2－Ek1＝ΔEk(动能定理)。 (2)重力做功等于物体重力势能的变化，即WG＝EpG1－EpG2＝－ΔEp。 (3)静电力做功等于电势能的变化，即W电＝Ep电1－Ep电2＝－ΔEp电。 (4)弹簧弹力做功等于弹性势能的变化，即W弹＝Ep1－Ep2＝－ΔEp弹。 (5)除了重力和弹簧弹力之外其他力做的总功等于物体机械能的变化，即W其他力＝E机2－E机1＝ΔE机。 【题目示例】 19．如图所示，带正电的小球P与光滑的小定滑轮О固定在同一竖直面上，用绕过滑轮О的绝缘轻质细线拉住带电小球Q，Q静止时两球恰好位于同一水平面，且PQ⊥OP。现用力拉细线上端使Q缓慢上移，直至P、Q连线与水平方向的夹角为60°，此过程中P、Q两球的带电荷量保持不变。则下列说法正确的是（　　） A．P、Q间的库仑力逐渐减小 B．库仑力对Q一直做正功 C．Q的电势能一直增大 D．细线拉力对Q做的功等于Q重力势能的增加量 【推理过程】 【答案】D 【详解】ABC．缓慢移动Q的过程中，Q处于动态平衡状态，对Q进行受力分析，如图所示 可知Q所受力的矢量三角形与三角形OPQ相似，可得 由数学知识可得，Q上移过程中r保持不变，可知两球间的库仑力大小保持不变，Q受到的库仑力不做功，电势能不变，故ABC错误； D．根据功能关系可知，细线拉力对Q做的功等于其重力势能的增加量，故D正确。 故选D。 【变式探究】 21．理论表明，将无限远处的电势规定为零时，距离点电荷Q为r处的电势，其中k为静电力常量。如图所示，真空中有四个可视为点电荷的带正电的小球，约束在边长为的正方形的顶点上。已知各小球所带电荷量均为q，P为正方形的几何中心，则（　　） A．P点的电场强度大小为 B．P点的电势为 C．小球1的电势能为 D．将小球1从位置1沿直线移至P的过程中电势能增加 【答案】BD 【详解】A．根据电场的叠加原理可知，等量同种点电荷连线的中点的电场强度为0，可知，小球1，3在P点的电场强度为0，小球2，4在P点的电场强度为0，则P点的电场强度大小为0，故A错误； B．根据电势的代数和规律有，故B正确； C．小球1所在位置的电势 则小球1的电势能，故C错误； D．根据点电荷电场强度的叠加原理可知，P点到小球1连线的电场方向由P指向小球1，将小球1从位置1沿直线移至P的过程中，电场力做负功，则电势能增加，故D正确。 故选BD。 【再次升华】 1、勿混淆 “电势能” 与 “机械能”：电势能属于 “电场 - 粒子” 系统，不属于机械能，计算机械能时只需考虑 “动能 + 重力势能（+ 弹性势能）”； 2、电场力做功的 “符号” 别错：用时，，需先判断与的高低（沿电场线电势降低），再结合粒子电性（正电荷q>0，负电荷q<0）确定的正负； 3、非匀强电场中 “电场力做功” 的计算：非匀强电场中E是变化的，不能用W=qEd，只能用或 “能量守恒反推”； 4、临界状态的 “受力分析” 不能少：如圆周运动、往返运动等问题，需先找到临界位置（如速度最小点、弹力为零点），补充力学方程（如向心力公式），才能联立能量方程求解。 1. 反射式速调管是常用的微波器件之一，它的工作原理是通过电子在电场中的振荡来产生微波。其内部为真空，有一个静电场的方向平行于轴，其电势随的分布如图所示。现将一电子（重力不计）从处以初动能2eV沿轴负方向射出，下列说法正确的是（    ） A．处的电场强度小于处的电场强度 B．电子运动到处后返回 C．电子在运动过程中，在处的电势能最大 D．电子在运动过程中电势能与动能之和逐渐减小 2. x轴上位于x=-d处固定一正点电荷qA，坐标原点O处固定另一个点电荷qB，x轴上电势φ随位置x的变化关系如图所示，其中在x>0的范围内x=d处的电势最高，B、C两点是图像与横轴的交点，规定无穷远处电势为零，引入的点电荷不改变空间电场且研究引入电荷的运动范围仅在与qA或qB碰撞之前。下列说法正确的是（　　） A．另一个点电荷qB的电性一定为正 B．qA电荷量绝对值是qB电荷量绝对值的4倍 C．在C点由静止释放一个负点电荷，电荷将做往复运动 D．在qA右侧附近由静止释放一个正点电荷，电荷将先加速后减速 3. 如图所示为某静电场中x轴上各点电势φ随坐标x变化的关系图像，x=0处电势最低，x=−x0处电势为2φ0，x=2x0处电势为3φ0。一质量为m、带电量大小为q（q>0）的带电粒子（电性未知）仅在电场力的作用下，从x=−x0以一定的初速度沿x轴正方向运动，到x=2x0处时速度恰好减为0。下列说法正确的是（　　） A．粒子带负电 B．粒子的初速度大小为 C．自x=−x0至x=2x0，粒子的加速度先减小后增大 D．自x=−x0至x=2x0，粒子的动能先减小后增大 4. 绝缘的水平面上存在着沿水平方向的电场，带负电滑块（可视为质点）在水平面上不同位置所具有的电势能Ep如图甲所示，P点是图线最低点。现将滑块由x=1m处以v=2m/s的初速度沿x轴正方向运动（如图乙），滑块质量m=1kg、与水平面间的动摩擦因数μ=0.1，g取10m/s²，则（　　） A．电场中x=3m处的电势最低 B．滑块沿x轴正方向运动过程中，速度先增加后减少 C．滑块运动至x=3m处，速度大小为2m/s D．滑块不可能到达x=4m处 5. 质子仅在电场力的作用下从O点开始沿x轴正方向运动，其在O点处的初动能为4eV。该质子的电势能Ep随位移x变化的关系如图所示，其中O-x2段是关于直线x=x1对称的曲线，x2-x3段是直线。下列说法正确的是（　  ） A．x1处电场强度最小，但不为零 B．该质子在x1处的动能为6eV C．在O、x1、x2、x3处电势φ0、φ1、φ2、φ3的关系为φ1>φ2=φ0>φ3 D．该质子最终停在x3处 6. 如图1所示，真空中有两点电荷分别固定在轴上的和处，将一正试探电荷置于轴上，的电势能随位置的变化关系部分图像如图2所示，规定无穷远处电势为零，点电荷周围某点电势公式，其中为静电力常量，为点电荷的电荷量，为该点到点电荷的距离。下列说法正确的是（　　） A．、为同种电荷 B．、的电荷量之比 C．处的电势低于处的电势 D．除无限远外，轴上电场强度为零的点只有一个 7. 如下图，真空中有两个点电荷，Q1为、Q2为，分别固定在x轴的坐标为0和6cm的位置上。下列有关描述正确的是：（　　） A．图甲是x轴上（6，∞）之间各点电场强度随x变化图像 B．图乙是x轴上（0，6）之间各点电场强度随x变化图像 C．图丙是x轴上（0，6）之间各点电势随x的变化图像 D．图丁是x轴上（6，∞）之间各点电势随x的变化图像 8. 某平行于轴的静电场，其电势随的分布可简化为如图所示的曲线。一质量为、带电荷量为的粒子（不计重力），以初速度从点进入电场，沿轴正方向运动，能够到达。下列叙述正确的是（　　） A．带电粒子从向右运动到运动的过程中先做匀加速直线运动再做匀减速直线运动 B．带电粒子的最小初速度为 C．带电粒子从到的过程中，在时的速度最大，若，则最大速度为 D．带电粒子从到的过程中，动能先减小再增大 9. 如图甲所示，、是某电场中一条电场线上的两点，一个正电荷从点由静止释放，仅在静电力作用下从点运动到点，其运动的图像如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．点电场强度小于点电场强度 B．电场线的方向从指向 C．该点电荷在点电势能小于点电势能 D．该电场可能是孤立负电荷产生的 10. 两电荷量分别为q1和q2的点电荷固定在x轴上的A、B两点，两点电荷连线上各点电势φ随坐标x变化的关系图像如图所示，其中P点电势最高，且，则（　　） A．q1和q2都带负电荷 B．q1的电荷量大于q2的电荷量 C．在A、B之间将一负点电荷沿x轴从P点左侧移到右侧，电势能先减小后增大 D．一点电荷只在静电力作用下沿x轴从P点运动到B点，加速度逐渐变小 11. 如图甲所示，坐标原点处固定有电荷量为的点电荷，、点固定有电荷量为的点电荷，。轴上、、三点的横坐标分别为，，，轴上电势随坐标的变化曲线如图乙所示，其中为图像最高点对应的横坐标，下列说法正确的是（　　） A．轴上点到点之间存在电场强度为零的点 B．点场强小于点场强 C．将一带负电的试探电荷由点静止释放，试探电荷沿轴运动可到达点 D．将一带负电的试探电荷由点静止释放，试探电荷沿轴运动可到达点 12. 如图所示为静电场中沿x轴方向的各点电势随位置的变化规律，图中标出的量均为已知量。一电荷量为的带电粒子由处静止释放，粒子仅在电场力作用下沿轴运动，则下列说法正确的是（　　） A．区域电场沿轴正方向，区域电场沿轴负方向 B．区域的电场强度与区域的电场强度大小之比为 C．粒子从释放到运动至处的过程，电势能减少 D．粒子能运动到处 13. 两个等量同种点电荷固定于光滑水平面上，其连线中垂线上有A、B、C三点，如图甲所示，一个电荷量为，质量为的小物块从点静止释放，其运动的图象如图乙所示，其中点处为整条图线切线斜率最大的位置（图中标出了该切线）则下列说法正确的是（　　） A．由到的过程中物块的电势能先减小后变大 B．由点到点电势逐渐升高 C．B、C两点间的电势差 D．点为中垂线上电场强度最大的点，场强 14. 如图为某静电去污池的结构示意图，其中涂有绝缘层的金属圆盘和金属棒连接电源后分别置于处理池底部和污水中，电场线分布如图所示，其中M、N和P为电场线上的点。则（　　） A．M点电势高于N点电势 B．M、P两点的电场强度相同 C．带负电的微粒从M点移到N点，其电势能减小 D．带负电的微粒从M点移到N点，电场力对其做负功 15. 如图所示，一个绝缘半圆形竖直轨道固定在水平地面上，圆心为O，直径AB水平。在A点固定一正点电荷，将带正电的小球从B点由静止释放，经过最低点P后到达M点时速度为零，经过N点时速度最大（N点未画出）。忽略一切摩擦，下列说法正确的是（　　） A．N点可能在M点和P点之间 B．小球从B点到M点的过程中，重力与库仑力的合力先增大后减小 C．小球从B点到M点的过程中，电势能一直增大 D．小球从P点到M点的过程中，动能的减少量大于电势能增加量 16. 如图所示，先在相距为L的A、B两点分别放置电荷量为+Q和+2Q的点电荷，O点为AB的中点，C、M在AB连线的中垂线上，N在AB连线上，，，再在C点放置一电荷量为-Q的点电荷。现将一带正电的试探电荷从M点沿中垂线移到O点，再沿AB连线移到N点。下列说法中正确的是（　　） A．O点的电场强度方向与OC成30°斜向下 B．O点的电场强度大小为 C．移动过程中试探电荷的电势能先增大后减小 D．移动过程中试探电荷的电势能一直增大 17. 某静电场中轴上电场强度随变化的关系如图所示，设轴正方向为电场强度的正方向。一带电荷量大小为的粒子从坐标原点沿轴正方向运动，结果粒子运动到处恰好速度变为零。假设粒子仅受电场力作用，和已知，则（　　） A．粒子一定带正电 B．原点比处的电势高 C．粒子运动到时的动能为 D．粒子沿轴正方向运动过程中电势能先减小后增大 18. 空间某点固定带正电的点电荷，将一质量为，带负电的金属圆环套在一根固定的粗糙、绝缘竖直细杆上，点与点等高，圆环从处由静止开始下滑，经过处的速度最大（为杆中某一点），到达处的速度为零，。如果圆环在处获得一竖直向上的速度，恰好能回到点，重力加速度为，则圆环（　　） A．从下滑到过程中，加速度一直减小 B．从下滑到过程中，克服摩擦力做的功为 C．从下滑到过程中，电势能的增加量等于 D．上滑经过的速度小于下滑经过的速度 19. 如图所示，真空中a、b、c是边长为L的等边三角形三个顶点，在a、b两点分别固定电荷量为+q的点电荷，在c点固定电荷量为的点电荷，O点为三角形中心，M、N、P点为三角形三边中点。设点电荷在某点产生电势为（Q为点电荷电荷量，r为到点电荷的距离），关于O、M、N、P四点电场强度大小及电势高低，下列说法正确的是（　　） A．M点和N点电场强度大小相等，电势不同 B．电子由O点沿直线移动到P点过程中，电势能增大 C．P点电场强度大小为，电势为0 D．O点电场强度大小为，电势为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $